高一数学同步课时作业(人教A版2019必修第二册)8.3.1棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积同步课时作业(原卷版+解析)

课时跟踪检测（二十一）棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积基础练1．若长方体的长、宽、高分别为3cm,4cm,5cm，则长方体的体积为()A．27cm3 B．60cm3C．64cm3 D．125cm32．若六棱柱的底面是边长为3的正六边形，侧面为矩形，侧棱长为4，则其侧面积等于()A．12 B．48C．64 D．723.我国古代《九章算术》里，记载了一个“商功”的例子：今有刍童，下广二丈，袤三丈，上广三丈，袤四丈，高三丈．问积几何？其意思是：今有上下底面皆为长方形的草垛(如图所示)，下底宽2丈，长3丈，上底宽3丈，长4丈，高3丈．问它的体积是多少？该书提供的算法是：上底长的2倍与下底长的和与上底宽相乘，同样下底长的2倍与上底长的和与下底宽相乘，将两次运算结果相结，再乘以高，最后除以6.则这个问题中的刍童的体积为()A．13.25立方丈 B．26.5立方丈C．53立方丈 D．106立方丈4．已知正四棱锥的底面边长为6，侧棱长为5，则此棱锥的侧面积为()A．6 B．12C．24 D．485.如图，ABC­A′B′C′是体积为1的棱柱，则四棱锥C­AA′B′B的体积是()A.eq\f(1,3) B.eq\f(1,2)C.eq\f(2,3) D.eq\f(3,4)6．若五棱台ABCDE­A1B1C1D1E1的表面积是30，侧面积是25，则两底面面积的和为________．7．已知高为3的直棱柱ABC­A1B1C1的底面是边长为1的正三角形，则三棱锥B1­ABC的体积为________．8．已知正五棱台的上、下底面边长分别为4cm和6cm，侧棱长为5cm，则它的侧面积为________cm2.9．如图所示，三棱锥的顶点为P，PA，PB，PC为三条侧棱，且PA，PB，PC两两互相垂直，又PA＝2，PB＝3，PC＝4，求三棱锥P­ABC的体积V.10．长方体ABCD­A1B1C1D1的体积为V，P是DD1的中点，Q是AB上的动点，求四面体P­CDQ的体积．拓展练1．一个长方体的三个面的面积分别为eq\r(2)，eq\r(3)，eq\r(6)，则这个长方体的体积为()A．6 B.eq\r(6)C．3 D．2eq\r(3)2．侧面都是等腰直角三角形的正三棱锥，底面边长为a时，该三棱锥的表面积是()A.eq\f(3＋\r(3),4)a2 B.eq\f(3,4)a2C.eq\f(3＋\r(3),2)a2 D.eq\f(6＋\r(3),4)a23.如图，在直四棱柱ABCD­A1B1C1D1中，底面ABCD是平行四边形，点E是棱BB1的中点，点F是棱CC1上靠近C1的三等分点，且三棱锥A1­AEF的体积为2，则四棱柱ABCD­A1B1C1D1的体积为()A．12 B．8C．20 D．184．在正方体ABCD­A1B1C1D1中，三棱锥D1­AB1C的表面积与正方体的表面积的比为()A．1∶1 B．1∶eq\r(2)C．1∶eq\r(3) D．1∶25．棱台的体积为76cm3，高为6cm，一个底面面积为18cm2，则另一个底面面积为__________．6．三棱锥P­ABC中，D，E分别为PB，PC的中点，记三棱锥D­ABE的体积为V1，P­ABC的体积为V2，则eq\f(V1,V2)＝________.7.三棱台ABC­A1B1C1中，AB∶A1B1＝1∶2，求三棱锥A1­ABC，三棱锥B­A1B1C，三棱锥C­A1B1C1的体积之比．培优练用一张正方形的纸把一个棱长为1的正方体礼品盒完全包住，不将纸撕开，求所需纸的最小面积．课时跟踪检测（二十一）棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积基础练1．若长方体的长、宽、高分别为3cm,4cm,5cm，则长方体的体积为()A．27cm3 B．60cm3C．64cm3 D．125cm3解析：选B长方体即为四棱柱，其体积为底面积×高，即为3×4×5＝60(cm)3.故选B.2．若六棱柱的底面是边长为3的正六边形，侧面为矩形，侧棱长为4，则其侧面积等于()A．12 B．48C．64 D．72解析：选D该六棱柱的6个侧面是全等的矩形，则S侧＝6×(3×4)＝72.故选D.3.我国古代《九章算术》里，记载了一个“商功”的例子：今有刍童，下广二丈，袤三丈，上广三丈，袤四丈，高三丈．问积几何？其意思是：今有上下底面皆为长方形的草垛(如图所示)，下底宽2丈，长3丈，上底宽3丈，长4丈，高3丈．问它的体积是多少？该书提供的算法是：上底长的2倍与下底长的和与上底宽相乘，同样下底长的2倍与上底长的和与下底宽相乘，将两次运算结果相结，再乘以高，最后除以6.则这个问题中的刍童的体积为()A．13.25立方丈 B．26.5立方丈C．53立方丈 D．106立方丈解析：选B由题意知，刍童的体积为[(4×2＋3)×3＋(3×2＋4)×2]×3÷6＝26.5(立方丈)．故选B.4．已知正四棱锥的底面边长为6，侧棱长为5，则此棱锥的侧面积为()A．6 B．12C．24 D．48解析：选D正四棱锥的斜高h′＝eq\r(52－32)＝4，S侧＝4×eq\f(1,2)×6×4＝48.故选D.5.如图，ABC­A′B′C′是体积为1的棱柱，则四棱锥C­AA′B′B的体积是()A.eq\f(1,3) B.eq\f(1,2)C.eq\f(2,3) D.eq\f(3,4)解析：选C∵VC­A′B′C′＝eq\f(1,3)VABC­A′B′C′＝eq\f(1,3)，∴VC­AA′B′B＝1－eq\f(1,3)＝eq\f(2,3).故选C.6．若五棱台ABCDE­A1B1C1D1E1的表面积是30，侧面积是25，则两底面面积的和为________．解析：S表＝S侧＋S两底，则S两底＝S表－S侧＝30－25＝5.答案：57．已知高为3的直棱柱ABC­A1B1C1的底面是边长为1的正三角形，则三棱锥B1­ABC的体积为________．解析：由题意，锥体的高为BB1，底面为S△ABC＝eq\f(\r(3),4)，所以VB1­ABC＝eq\f(1,3)Sh＝eq\f(1,3)×eq\f(\r(3),4)×3＝eq\f(\r(3),4).答案：eq\f(\r(3),4)8．已知正五棱台的上、下底面边长分别为4cm和6cm，侧棱长为5cm，则它的侧面积为________cm2.解析：侧面等腰梯形的高为eq\r(52－1)＝2eq\r(6)(cm)，所以侧面积S＝5×eq\f(4＋6×2\r(6),2)＝50eq\r(6)(cm2)．答案：50eq\r(6)9．如图所示，三棱锥的顶点为P，PA，PB，PC为三条侧棱，且PA，PB，PC两两互相垂直，又PA＝2，PB＝3，PC＝4，求三棱锥P­ABC的体积V.解：三棱锥的体积V＝eq\f(1,3)Sh，其中S为底面积，h为高，而三棱锥的任意一个面都可以作为底面，所以此题可把B看作顶点，△PAC作为底面求解．故VP­ABC＝eq\f(1,3)S△PAC·PB＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×2×4×3＝4.10．长方体ABCD­A1B1C1D1的体积为V，P是DD1的中点，Q是AB上的动点，求四面体P­CDQ的体积．解：设长方体的长、宽、高分别为AB＝a，BC＝b，AA1＝c，则有V＝abc.由题意知PD＝eq\f(1,2)c，S△CDQ＝eq\f(1,2)CD·AD＝eq\f(1,2)ab，所以VP­CDQ＝eq\f(1,3)S△CDQ·PD＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)ab×eq\f(1,2)c＝eq\f(1,12)abc＝eq\f(1,12)V.拓展练1．一个长方体的三个面的面积分别为eq\r(2)，eq\r(3)，eq\r(6)，则这个长方体的体积为()A．6 B.eq\r(6)C．3 D．2eq\r(3)解析：选B设长方体的长、宽、高分别为x，y，z，则xy＝eq\r(2)，yz＝eq\r(3)，xz＝eq\r(6)，∴(xyz)2＝6.∴V＝xyz＝eq\r(6).故选B.2．侧面都是等腰直角三角形的正三棱锥，底面边长为a时，该三棱锥的表面积是()A.eq\f(3＋\r(3),4)a2 B.eq\f(3,4)a2C.eq\f(3＋\r(3),2)a2 D.eq\f(6＋\r(3),4)a2解析：选A∵侧面都是等腰直角三角形，故侧棱长等于eq\f(\r(2),2)a，∴S表＝eq\f(\r(3),4)a2＋3×eq\f(1,2)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)a))2＝eq\f(3＋\r(3),4)a2.故选A.3.如图，在直四棱柱ABCD­A1B1C1D1中，底面ABCD是平行四边形，点E是棱BB1的中点，点F是棱CC1上靠近C1的三等分点，且三棱锥A1­AEF的体积为2，则四棱柱ABCD­A1B1C1D1的体积为()A．12 B．8C．20 D．18解析：选A设点F到平面ABB1A1的距离为h，由题意得VA1­AEF＝VF­A1AE＝eq\f(1,3)S△A1AE·h＝eq\f(1,3)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)AA1·AB))·h＝eq\f(1,6)(AA1·AB)·h＝eq\f(1,6)·S四边形ABB1A1·h＝eq\f(1,6)VABCD­A1B1C1D1，所以VABCD­A1B1C1D1＝6VA1­AEF＝6×2＝12.所以四棱柱ABCD­A1B1C1D1的体积为12.故选A.4．在正方体ABCD­A1B1C1D1中，三棱锥D1­AB1C的表面积与正方体的表面积的比为()A．1∶1 B．1∶eq\r(2)C．1∶eq\r(3) D．1∶2解析：选C由题图可知，三棱锥D1­AB1C的各面均是正三角形.其边长为正方体侧面对角线.设正方体的棱长为a，则面对角线长为eq\r(2)a，S锥＝4×eq\f(1,2)(eq\r(2)a)2×eq\f(\r(3),2)＝2eq\r(3)a2，S正方体＝6a2，故S锥∶S正方体＝1∶eq\r(3).故选C.5．棱台的体积为76cm3，高为6cm，一个底面面积为18cm2，则另一个底面面积为__________．解析：设另一个底面面积为xcm2，则由V＝eq\f(1,3)h(S＋eq\r(SS′)＋S′)，得76＝eq\f(1,3)×6×(18＋x＋eq\r(18x))，解得x＝8，即另一个底面的面积为8cm2.答案：8cm26．三棱锥P­ABC中，D，E分别为PB，PC的中点，记三棱锥D­ABE的体积为V1，P­ABC的体积为V2，则eq\f(V1,V2)＝________.解析：如图，设点C到平面PAB的距离为h，三角形PAB的面积为S，则V2＝eq\f(1,3)Sh，V1＝VE­ADB＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)S×eq\f(1,2)h＝eq\f(1,12)Sh，所以eq\f(V1,V2)＝eq\f(1,4).答案：eq\f(1,4)7.三棱台ABC­A1B1C1中，AB∶A1B1＝1∶2，求三棱锥A1­ABC，三棱锥B­A1B1C，三棱锥C­A1B1C1的体积之比．解：设棱台的高为h，S△ABC＝S，则S△A1B1C1＝4S.∴VA1­ABC＝eq\f(1,3)S△ABC·h＝eq\f(1,3)Sh，VC­A1B1C1＝eq\f(1,3)S△A1B1C1·h＝eq\f(4,3)Sh.又V台＝eq