专题4.20 因式分解（挑战综合（压轴）题分类专题）八年级数学下册基础知识专项讲练（北师大版）

专题4.20因式分解（挑战综合（压轴）题分类专题）（专项练习）一、综合篇【考点一】直接进行因式分解1．把下面各式分解因式：(1) (2)2．把下列各式分解因式：（1） （2）3．因式分解；（1） （2）（3）【考点二】因式分解✮✮化简求值4．先因式分解，再计算求值：，其中．5．已知，先因式分解，再求值：．6．设，若代数式化简的结果为，请你求出满足条件的a值．【考点三】因式分解✮✮规律✮✮大小比较7．仔细观察下列各式：第1个等式：；第2个等式：；第3个等式：；请你根据以上规律，解决下列问题：(1)写出第4个等式：___________；(2)写出第（为正整数）个等式，并证明等式成立．8．已知实数，（其中n是正整数）满足：(1)求的值；(2)求的值（用含n的代数式表示）；(3)求的值．9．比较x2+1与2x的大小．（1）尝试（用“＜”，“＝”或“＞”填空）：①当x＝1时，x2+12x；②当x＝0时，x2+12x；③当x＝﹣2时，x2+12x．（2）归纳：若x取任意实数，x2+1与2x有怎样的大小关系？试说明理由．【考点四】因式分解✮✮面积问题10．如图的长方体中，已知高为x，S1＝16﹣x2，S2＝4x﹣x2．(1)用x表示图中S3；(2)求长方体的表面积．11．如图：将一张矩形纸板按图中所画虚线裁剪成九张小纸板，其中有两张正方形的甲种纸板，边长为a，有两张正方形的乙种纸板，边长为b，有五张矩形的丙种纸板，边长分别为a，b（）．(1)观察图形，矩形纸板的面积可以用裁剪成的九张小纸板面积的和表示为__________，还可以用两边的乘积表示为__________，则利用矩形纸板面积的不同表达方式可以得到等式______________________________；(2)若矩形纸板中所有甲、乙两种正方形纸板的面积和为，每个丙种矩形纸板的面积为，求图中矩形纸板内所有裁剪线（虚线）的长度之和．12．探究活动：（1）如图1，可以求出阴影部分的面积是____________．（写成两数平方差的形式）（2）如图2，若将阴影部分裁剪下来，重新拼成一个长方形，面积是__________．（写成多项式乘法的形式）（3）比较图1、图2阴影部分的面积，可以得到等式：______________．知识应用：（1）计算：．（2）若，，求的值．【考点五】因式分解✮✮几何问题13．完全平方公式是初中数学的重要公式之一：，完全平方公式既可以用来进行整式计算又可以用来进行分解因式，发现：应用：(1)写出一个能用上面方法进行因式分解的式子，并进行因式分解；(2)若，请用m，n表示a、b；拓展：如图在直角三角形ABC中，BC=1，，延长CA至D，使AD=AB，求BD的长（参考上面提供的方法把结果进行化简）14．阅读材料：把形ax2+bx+c的二次三项式（或其一部分）配成完全平方式的方法叫配方法．配方法的基本形式是完全平方公式的逆写，即a2±2ab+b2＝（a±b）2．请根据阅读材料解决下列问题：（1）填空：a2﹣4a+4＝．（2）若a2+2a+b2﹣6b+10＝0，求a+b的值．（3）若a、b、c分别是△ABC的三边，且a2+4b2+c2﹣2ab﹣6b﹣2c+4＝0，试判断△ABC的形状，并说明理由．二、压轴篇【考点一】因式分解✮✮化简求值✮✮规律✮✮最值15．已知a2﹣3a+1＝0．（1）判断a＝0是否成立？请说明理由．（2）求6a﹣2a2的值．（3）求a+的值．16．两位数相乘：19×11=209，18×12=216，25×25=625，34×36=1224，47×43=2021，…（1）认真观察，分析上述各式中两因数的个位数、十位数分别有什么联系，找出因数与积之间的规律，并用字母表示出来．（2）验证你得到的规律．17．我们知道，任意一个正整数n都可以进行这样的分解：n=p×q(p，q是正整数，且p≤q)，在n的所有这种分解中，如果p，q两因数之差的绝对值最小，我们就称p×q是n的最佳分解．并规定：F(n)=．例如12可以分解成1×12，2×6或3×4，因为12﹣1＞6﹣2＞4﹣3，所以3×4是12的最佳分解，所以F(12)=．(1)若F(a)=且a为100以内的正整数，则a=；(2)如果m是一个两位数，那么试问F(m)是否存在最大值或最小值？若存在，求出最大(或最小)值以及此时m的取值并简要说明理由．【考点二】因式分解✮✮阅读材料18．阅读材料：若m2﹣2mn+2n2﹣8n+16=0，求m、n的值．解：∵m2﹣2mn+2n2﹣8n+16=0，∴（m2﹣2mn+n2）+（n2﹣8n+16）=0∴（m﹣n）2+（n﹣4）2=0，∴（m﹣n）2=0，（n﹣4）2=0，∴n=4，m=4．根据你的观察，探究下面的问题：（1）已知x2+2xy+2y2+2y+1=0，求2x+y的值；（2）已知a﹣b=4，ab+c2﹣6c+13=0，求a+b+c的值．19．阅读下列材料解决问题：将一个多位数从左向右，每限三位数分段（如果最右段不足三位，可在这个多位数的右方添0再分段），然后将这些三位数相加，如果其和能被37整除，则这个多位数也能被37整除；反之，也成立．我们称这样的多位数为“三七巧数”，如：78477，784+770＝1554，1554是37的42倍，所以78477能被37整除；反之，78477÷37＝2121，则一定有784+770＝1554＝37×42，我们称78477为“三七巧数”．(1)若一个六位数的前三位数和后三位数之和能被37整除，求证：这个六位数也能被37整除；(2)已知一个五位自然数是“三七巧数”，其末三位为m＝500+10y+52，末三位以前的数为n＝10(x+1)+y（其中1≤x≤8，1≤y≤4且为整数），求这个五位数．20．阅读下列材料，解答下列问题：材料一：一个三位以上的自然数，如果该自然数的末三位表示的数与末三位之前的数字表示的数之差是11的倍数，我们称满足此特征的数叫“网红数”，如：65362，362﹣65＝297＝11×27，称65362是“网红数”．材料二：对任的自然数p均可分解为P＝100x+10y+z（x≥0，0≤y≤9，0≤z≤9且x、y，z均为整数）如：5278＝52×100+10×7+8，规定：G（P）＝．（1）求证：任两个“网红数”之和一定能被11整除；（2）已知：S＝300+10b+a，t＝1000b+100a+1142（1≤a≤7，0≤b≤5，其a、b均为整数），当s+t为“网红数”时，求G（t）的最大值．【考点二】因式分解✮✮新定义21．一个形如的五位自然数（其中a表示该数的万位上的数字，b表示该数的千位上的数字，c表示该数的百位上的数字，d表示该数的十位上的数字，e表示该数的个位上的数字，且），若有且，则把该自然数叫做“对称数”，例如在自然数12321中，3=2+1，则12321是一个“对称数”.同时规定：若该“对称数”的前两位数与后两位数的平方差被693的奇数倍，则称该“对称数”为“智慧对称数”.如在“对称数”43734中，，则43734是一个“智慧对称数”．（1）将一个“对称数”的个位上与十位上的数字交换位置，同时，将千位上与万位上的数字交换位置，称交换前后的这两个“对称数”为一组“相关对称数”．例如：12321与21312为一组“相关对称数”，求证：任意的一组“相关对称数”之和是最小“对称数”的倍数；（2）求出所有的“智慧对称数”中的最大“智慧对称数”．22．如果一个自然数M的个位数字不为0，且能分解成，其中A与B都是两位数，A与B的十位数字相同，个位数字之和为8，则称数M为“团圆数”，并把数M分解成的过程，称为“欢乐分解”．例如：∵，22和26的十位数字相同，个位数字之和为8，∴572是“团圆数”．又如：∵，18和13的十位数字相同，但个位数字之和不等于8，∴234不是“团圆数”．(1)判断195，621是否是“团圆数”？并说明理由．(2)把一个“团圆数”M进行“欢乐分解”，即，A与B之和记为P（M），A与B差的绝对值记为Q（M），令，当G（M）能被8整除时，求出所有满足条件的M的值．23．如果一个自然数的个位数字不为，且能分解成，其中与都是两位数，与的十位数字相同，个位数字之和为，则称数为“合和数”，并把数分解成的过程，称为“合分解”．例如，和的十位数字相同，个位数字之和为，是“合和数”．又如，和的十位数相同，但个位数字之和不等于，不是“合和数”．（1）判断，是否是“合和数”？并说明理由；（2）把一个四位“合和数”进行“合分解”，即．的各个数位数字之和与的各个数位数字之和的和记为；的各个数位数字之和与的各个数位数字之和的差的绝对值记为．令，当能被整除时，求出所有满足条件的．参考答案1．(1)；(2)【分析】（1）先提取公因式，再套用平方差公式；（2）先提取公因式，再套用完全平方公式．（1）解：原式=

=；（2）解：原式==．【点拨】本题考查了整式的因式分解，即把一个多项式化成几个整式积的形式；掌握因式分解的提公因式法、公式法是解决本题的关键．2．（1）；（2）【分析】（1）先提公因式a，再利用平方差公式分解；（2）先利用完全平方公式变形，再利用平方差公式分解．解：（1）===；（2）===【点拨】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．3．（1）；（2）；（3）【分析】（1）先提公因式x，再利用平方差公式分解；（2）直接利用完全平方公式分解因式得出答案；（3）先提公因式-y，再利用完全平方公式分解．解：（1）==；（2）==；（3）==【点拨】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．4．，30【分析】先利用提公因式法和平方差公式进行因式分解，再代入x的值即可．解：，当时，原式．【点拨】本题考查因式分解，掌握提公因式法和公式法是解题的关键．5．；【分析】先将公共因式提出来，然后利用完全平方公式求解即可．解：当，时，原式．【点拨】本题考查因式分解的应用、完全平方公式，解题的关键是提出公共因式．6．a=﹣2或0．【分析】先利用因式分解得到原式（x+y）（x﹣2y）+3y（x+y）＝（x+y）2，再把当y＝ax代入得到原式＝（a+1）2x2，所以当（a+1）2＝1满足条件，然后解关于a的方程即可．解：原式＝（x+y）（x﹣2y）+3y（x+y）＝（x+y）2，当y＝ax，代入原式得（1+a）2x2＝x2，即（1+a）2＝1，解得：a＝﹣2或0．考点：1．整式的混合运算；2．平方根．【点拨】本题主要考查整式的运算，解题的关键是掌握单项式乘单项式法则、单项式乘单项式的运算法则．7．(1)；(2)；证明见分析【分析】（1）根据已知等式规律写出第4个等式；（2）根据前几个式子的规律写出第（为正整数）个等式，，根据完全平方公式因式分解即可得证．（1）解：第4个等式：，故答案为：．（2）解：第（为正整数）个等式，证明：左边∴左边右边【点拨】本题考查了整式的乘法，因式分解，数字类规律题，熟练掌握完全平方公式，因式分解是解题的关键．8．(1)；(2)；(3)【分析】（1）根据题目中的式子可以计算出的值；（2）根据题目的式子，可以用含n的代数式表示的值；（3）根据（2）中的结果，可以计算出所求式子的值．（1）解：∵，，∴，∴；（2）解：，即；（3）解：∵，∴．【点拨】本题考查数字类变化规律探究、列代数式并求值，解答本题的关键是明确题意，发现题目中式子的变化特点，并灵活运用求出所求式子的值．9．（1）①=；②>；③>；（2）x2+1≥2x，理由见分析【分析】（1）根据代数式求值，可得代数式的值，根据有理数的大小比较，可得答案；（2）根据完全平方公式，可得答案．解：（1）①当x＝1时，x2+1＝2x；②当x＝0时，x2+1＞2x；③当x＝﹣2时，x2+1＞2x．故答案为：＝；＞；＞．（2）x2+1≥2x．证明：∵x2+1﹣2x＝（x﹣1）2≥0，∴x2+1≥2x．【点拨】本题考查了求代数式的值，有理数的大小比较，两个整式大小比较及证明，公式法因式分解、不完全归纳法，解题关键是理解根据“A-B”的符号比较“A、B”的大小．10．(1)S3＝4x+x2(2)-2x2+16x+32【分析】（1）分别表示长方体的长和宽，可得S3；（2）根据表面积公式代入可得答案．解：（1）∵S2＝4x−x2＝x(4−x)，∴长方体的宽=4-x,∵S1＝16−x2＝(4−x)(4+x)∴长方体的长=4+x,∴S3＝x(4+x)＝4x+x2；（2）长方体的表面积=2（4x+x2）+2（16-x2）+2（4x-x2）=8x+2x2+32-2x2+8x-2x2=-2x2+16x+32．【点拨】本题考查了长方体，整式的加减，以及因式分解的应用,掌握长方形的面积=长×宽是解题的关键．11．(1)，，；(2)【分析】（1）根据图形可得九张小纸板面积的和；根据图形可知用两边的乘积表示为；根据等面积法即可得出（2）根据题中条件可以得到，，恒等变形即得，结合几何意义即可得到，从而求得结论．（1）解：观察图形，矩形纸板的面积可以用裁剪成的九张小纸板面积的和表示为；根据图形可知用两边的乘积表示为；根据等面积法即可得出；故答案为：，，；（2）解：根据题意可得：，，∴，，即，∴，∵，，∴，∴矩形纸板内所有裁剪线（虚线）的长度之和为．【点拨】本题考查看图写代数式以及因式分解得实际应用，看懂图形，读懂题意，利用因式分解恒等变形得到要求的量是解决问题的关键．12．探究活动：（1）；（2）；（3）；知识应用：（1）；（2）【分析】（1）大正方形的面积与小正方形的面积的差就是阴影部分的面积；（2）利用矩形的面积公式即可求解；（3）根据（1）（2）表示的阴影部分面积相等即可解答；知识应用：（1）利用平方差公式即可求解；（2）先把已知条件因式分解再代入即可求解．解：探究活动：（1）（2）（3）（等号左右顺序可互换）知识应用：（1）（2）∵∴∵∴即：∴【点拨】本题主要考查了平方差公式的几何表示，表示出图形阴影部分面积是解题的关键．13．（1）见分析；（2）a=m2+2n2，b=2mn；拓展：BD=（+）．【分析】（1）依照样例进行解答即可；（2）把等式右边按照完全平方公式进行计算，然后再根据无理数相等的性质进行解答即可；拓展：先根据勾股定理求得AB长，继而利用勾股定理求出BD2，再结合上面的方法进行因式分解求得BD长即可．解：（1）4+2=3+2+1=（）2+2+12=（+1）2；（2）(n+m)2=m2+2mn+2n2=m2+2n2+2mn，又，所以a=m2+2n2，b=2mn；拓展：由勾股定理得AC2+BC2=AB2，BC=1，，所以AB2=12+（）2=1+3=4，∴AB=2，又AB=AD，所以AD=2，CD=2+，BD2=BC2+CD2=12+(2+）2=1+4+4+3=8+4；8+4=6+4+2=（）2+4+（）2=（+）2，所以BD2=（+）2，所以BD=±（+），因为BD为三角形的一边，所以-（+）不合题意舍去，所以BD=（+）．【点拨】本题考查了完全平方公式，因式分解的应用，勾股定理等知识，弄清题意，灵活运用相关知识是解题的关键．14．（1）；（2）2；（3）为等边三角形理由见分析【分析】(1)运用完全平方公式将

=0，变形为，，即可得结论；(2)首先将，，分成两个完全平方式的形式，根据非负数的性质求出a，b的值即可；(3)先将已知等式利用配方法变形，再利用非负数的性质解题．解：，故答案为；，，，，；为等边三角形理由如下：，，，，，为等边三角形．【点拨】本题考查配方法的运用，非负数的性质，完全平方公式，等边三角形的判断解题的关键是构建完全平方式，根据非负数的性质解题．15．（1）a＝0不成立；理由见分析；（2）2；（3）3【分析】（1）将a＝0代入方程即可求出答案．（2）将a2﹣3a＝﹣1整体代入原式即可求出答案．（3）将等式两边同时除以a即可求出答案．解：（1）将a＝0代入a2﹣3a+1＝0，∴左边＝1≠0＝右边，故a＝0不成立．（2）∵a2﹣3a＝﹣1，∴原式＝﹣2（a2﹣3a）＝2．（3）∵a2﹣3a＝﹣1，a≠0，∴a+＝3．【点拨】本题考查代数式求值，灵活地对代数式进行变形并应用整体代入的思想方法是解题关键．16．见分析解：（1）两因数的十位数相等，个位数相加等于10，而积后两位是两因数个位数相乘、前两位是十位数乘以（十位数+1）；（2）验证写出的等式左、右两边是否相等即可．解：（1）上述等式的规律是：两因数的十位数相等，个位数相加等于10，而积后两位是两因数个位数相乘、前两位是十位数乘以（十位数+1）；如果用m表示十位数，n表示个位数的话，则第一个因数为10m+n，第二个因数为10m+（10﹣n），积为100m（m+1）+n（10﹣n）；等式表示出来为：（10m+n）[10m+（10﹣n）]=100m（m+1）+n（10﹣n）；（2）∵左边=（10m+n）（10m﹣n+10），=（10m+n）[10（m+1）﹣n]，=100m（m+1）﹣10mn+10n（m+1）﹣n2，=100m（m+1）﹣10mn+10mn+10n﹣n2，=100m（m+1）+n（10﹣n）=右边，∴（10m+n）[10m+（10﹣n）]=100m（m+1）+n（10﹣n）成立．17．(1)6，24，54，96；(2)见分析【分析】(1)由题意可知且，由此可得，即a=6或24或54或96；(2)由F(m)=且可知，F(m)的最大值为1，此时，则m是一个完全平方数，找出两位数中的所有完全平方数即可得到m的值；由F(m)=且可知，当m是两位数中的最大质数时，F(m)的值最小，找到两位数中的最大质数即可得到答案．（1）解：∵，F(a)=，∴，∴a=6或24或54或96；故答案为：6或24或54或96；（2）解：F(m)存在最大值和最小值．①∵F(m)=且，∴F(m)的最大值为1，此时，∴当m是一个完全平方数时，F(m)有最大值1，又∵m是两位数，∴当m=16或25或36或49或64或81时，F(m)有最大值1；②当m为质数时，p=1，q=m，此时由题意可知F(m)=，∴当m为两位数中的最大质数97时，F(m)最小，此时F(m)=F(97)=．【点拨】本题主要考查了因式分解的应用、完全平方数以及新定义，本题的解题要点是正确理解“正整数n的最佳分解的含义”，结合F(n)=中，可得如下结论：（1）当n为“完全平方数”时，F(n)的值最大为1；（2）当n为“质数”时，F(n)的值为：．18．(1)1；(2)3．【分析】（1）根据题意，可以将题目中的式子化为材料中的形式，从而可以得到x、y的值，从而可以得到2x+y的值；（2）根据a-b=4，ab+c2-6c+13=0，可以得到a、b、c的值，从而可以得到a+b+c的值．解：(1)∵x2+2xy+2y2+2y+1=0，∴(x2+2xy+y2)+(y2+2y+1)=0，∴(x+y)2+(y+1)2=0，∴x+y=0，y+1=0，解得，x=1，y=−1，∴2x+y=2×1+(−1)=1；(2)∵a−b=4，∴a=b+4，∴将a=b+4代入ab+c2−6c+13=0，得b2+4b+c2−6c+13=0，∴(b2+4b+4)+(c2−6c+9)=0，∴(b+2)2+(c−3)2=0，∴b+2=0，c−3=0，解得，b=−2，c=3，∴a=b+4=−2+4=2，∴a+b+c=2−2+3=3．【点拨】此题考查了因式分解方法的应用：利用因式分解解决求值问题；利用因式分解解决证明问题；利用因式分解简化计算问题.此题解答的关键是要明确：用因式分解的方法将式子变形时，根据已知条件，变形的可以是整个代数式，也可以是其中的一部分.19．(1)证明见分析；(2)74592【分析】（1）设这个六位数为，结合题意即可设（t为正整数），再根据，即可得出，即证明这个六位数能被37整除；（2）根据题意可知这个五位自然数是，即为，根据1≤x≤8，1≤y≤4，即可知这个五位自然数的末两位数为，前三位数为．再结合这个五位自然数是“三七巧数”，即得出能被37整除，由，且为整数，即得出可以为：925或1295或1665，分类讨论，即可求出的值，即得出这个五位数．解：（1）设这个六位数为∵前三位数和后三位数之和能被37整除，故可设（t为正整数），即又∵∴能被37整除，即这个六位数能被37整除；（2）根据题意可知这个五位自然数是，∴∵1≤x≤8，1≤y≤4，∴，，∴这个五位自然数的末两位数为，前三位数为．将末两位后方填0，得：∴，∵1≤x≤8，1≤y≤4，∴，且为整数，又∵这个五位自然数是“三七巧数”，∴能被37整除，∴可以为：925或1295或1665当为925时，即y+2=2,则y=0，x=3，不合题意舍；当为1295时，即y+2=9,则y=7，不合题意舍；当为1665时，即y+2=6,则y=4，x=6，∴此时这个五位数为，且74592÷37=2016，符合题意．【点拨】本题考查整式加减的应用，数的整除，因式分解的应用．读懂题意，理解“三七巧数”的概念是解题关键．20．（1）见分析；（2）39【分析】（1）设两个“网红数”为，，（n、b表示末三位表示的数，m、a表示末三位之前的数字），则n﹣m＝11k，b﹣a＝11h，所以+＝1001m+1001a+11（k+h）＝11（91m+91n+h+k），即可证明；（2）s＝3×100+10b+a，t＝1000（b+1）+100（a+1）+4×10+2，所以s+t＝1000（b+1）+100（a+4）+10（b+4）+a+2；①当1≤a≤5时，s+t＝，则﹣（b+1）能被11整除，即101a+9b+441＝11×9a+2a+11b﹣2b+40×11+1能被11整除，由已知可得﹣7≤2a﹣2b+1≤11，求出a＝5，b＝0；②当6≤a≤7时，s+t＝，则﹣（b+2）能被11整除，所以101a+9b﹣560＝11×9a+2a+11b﹣2b﹣51×11+1能被11整除，可得3≤2a﹣2b+1≤15，求出a＝6，b＝1或a＝7，b＝2，分别求出相应的G（t）值即可．解：（1）设两个“网红数”为，，（n、b表示末三位表示的数，m、a表示末三位之前的数字），∴n﹣m＝11k，b﹣a＝11h，∵+＝1001m+1001a+11（k+h）＝11（91m+91n+h+k），∴m、a、k、h都是整数，∴91m+91n+h+k为整数，∴任两个“网红数”之和一定能被11整除；（2）s＝3×100+10b+a，t＝1000（b+1）+100（a+1）+4×10+2，∴s+t＝1000（b+1）+100（a+4）+10（b+4）+a+2，①当1≤a≤5时，s+t＝，则﹣（b+1）能被11整除，∴101a+9b+441＝11×9a+2a+11b﹣2b+40×11+1能被11整除，∴2a﹣2b+1能被11整除，∵1≤a≤5，0≤b≤5，∴﹣7≤2a﹣2b+1≤11，∴2a﹣2b+1＝0或11，∴a＝5，b＝0，∴t＝1642，G（1642）＝17.25；②当6≤a≤7时，s+t＝，则﹣（b+2）能被11整除，∴101a+9b﹣560＝11×9a+2a+11b﹣2b﹣51×11+1能被11整除，∴2a﹣2b+1能被11整除，∵6≤a≤7，0≤b≤5，∴3≤2a﹣2b+1≤15，∴2a﹣2b+1＝11，∴a＝6，b＝1或a＝7，b＝2，∴t＝2742或3842，∴G（2742）＝28或G（3842）＝39，∴G（t）的最大值39．【点拨】此题主要考查新定义运算的应用，解题的关键根据题意理解“网红数”的定义及因式分解的应用．21．（1）见分析；（2）最大的“智慧对称数”为81918.分析：（1）根据新定义表示一组“相关对称数”，相加变形后可得结论；（2）根据“智慧对称数”表示这两个数：10a+b和10b+a，作平方差列式：（10a+b）2-（10b+a）2=99(a2-b2)，且a2-b2被7的奇数倍整除，进行分类讨论即可确定结论．解：（1）证明：∵“对称数”：，“相关对称数”：，∴+=（10000a+1000b+100c+10d+e）+（10000b+1000a+100c+10e+d），=11000a+11000b+200c+11e+11d，∵c=a+b，∴200c=200a+200b，∵a=e，b=d，∴+=11211a+11211b，∴最小“对称数”是11211，∴（+）÷11211=a+b，∵a、b都是正整数，∴+能被11211整除，∴任意的一组“相关对称数”之和是最小“对称数”的倍数；（2）由（1）知五位“对称数”形式为.若此“对称数”为“智慧对称数”，（10a+b）2-（10b+a）2=99(a2-b2)，且a2-b2被7的奇数倍整除.∵1≤a≤9，1≤b≤9∴-80≤a2-b2≤80，∴a2-b2=±7，±21，±35，±42，±49，±63，±77，当a2-b2=7时，a=4，b=3，c=7，当a2-b2=-7时，a=3，b=4，c=7，当a2-b2=21时，a=5，b=2，c=7；当a2-b2=-21时，a=2，b=5，c=7；当a2-b2=35时，a=6，b=1，c=7；当a2-b2=-35时，a=1，b=6，c=7；当a2-b2=49时，不符合题意；当a2-b2=-49时，不符合题意.当a2-b2=63时，a=8，b=1，c=9；当a2-b2=-63时，a=1，b=8，c=9;当a2-b2=77时，不符合题意；当a2-b2=-77，不符合题意.∴所有的“智慧对称数”为：43734,34743,52725,61716,16761,81918,18981.∴最大的“智慧对称数”为81918.点睛：本题主