高中数学-《二项式定理》教学设计学情分析教材分析课后反思

课标分析

在新课标中，对二项式定理的要求是：“能用计数原理证明二项式定理，会用二项式定

理解决与二项展开式有关的问题”，按照课标的要求，首先要理解二项式定理是怎么得来的，

即证明的过程和方法，要向学生讲解清楚，这是课标要求之一;还要求学生掌握如何应用，

要想灵活应用二项式定理，必须要对定理内容掌握，在定理内容掌握的基础上，才会运用，

因此要求学生既要理解证明过程，又要掌握定理内容。

学情分析

本班为普通班学生，数学基础不太好，跳乏自主探究、逻辑思维能力，需要教师适时、

适度的引导，但学生学习了推理的知识，理解了组合及组合数概念，掌握了多项式乘法的运

算法则，具有一定的类比、归纳、猜想的能力，能够完成课时计划内容。通过对学案预习的

批阅，对于学生的预习情况总结如下：对二项式定理的探究过程似懂非懂，不理解；二项式

定理基本上能够模仿。但对于项的整理计算出现问题较多；二项式系数与项的系数两个概念

不能准确区分；在求二项式展开运算的过程中，存在展开不完全的问题。

评测练习

1、求（十一〒）的展开式

(V%-

2、求的展开式中的第r+1项

3、求(1一2幻6的展开式中第4项的系数及二项式系数

4、求(2-x/的展开式中含项的系数

学校单县二中授课教师班级十九班科目数学节次1

课题二项式定理学生数45课型新授课

教学过程环节点评

(-)设置情境，引入课题

让学生展示

(。+b)~=3+b)(a+b)具体展开过

程

=a+ab+ba+b

(a+b)100=?

问题设置让

学生意识到

(。+。)3=(a+b)(a+b)(a+b)按照多项式

乘法法则展

开不太现实，

="3+%2"+为。2+及

工作量太大，

是否存在简

3+4°°=?

洁方便的方

法，引出课

(二)新知探究

题。

探究1、如何利用两个计数原理解释3+份2(合并同类项前)的展开式中

的每一项的由来？

(。+by=(〃+6)(〃+b)

利用ii-数原

^a2+ab+ba+b2(合并同类项前的展开式)理和组合知

识分析

(a+b)2展开

(共g___项、每一项都符合/-勺//=0,1,…〃)形式)

式中的每一

项的得来

探究2、如何利用组合及组合数知识解释(”+加2(合并同类项后)的展开

式中的每一项的系数？

22

(a+b)=a^+2ah+h(合并同类项后的展开式)

=C^a2+C\ab+Clb2

探究3、仿照上述过程，利用计数原理及组合知识得到5+切3、(。+份’的

展开式

(a+b)3=(a+b)(a+b)(a+b)类比

=Cja3+C\a2b+Cjab2+C^3

探究2、3对

(a+b)0、

(a+b)4-(a+b)(a+b)(a+b)

(a+b)'、

(a+b)"的展

=+以//7+琢°2b2+c3a/,3+C*4开式进行了

详细分析和

探究4(归纳)、你能猜想("+勿"(〃^77*)的展开式并给出证明吗？

探究，通过观

察，归纳、猜

(a+b)"=C^an+C\an~xb+---+C^an~kbk+--+C^bn

想到n为任意

正整数时的

证明：由于(a+b)"是_Q__个(a+b)相乘，每个(a+b)在相乘时有两种选择，

选或而且每个中的或选定后才能得到展开式的一

ab.(a+b)ab二项式定理

项。由分步计数原理可知展开式共有二一项，其中每一项都是对殳

内容，并真正

的形式。(合并同类项前)

理解二项式

对于每一项ankbk,它是由n-k个(a+b)选了a,k个(a+b)选了b得

系数的意义。

到的。由于b选定后，a的选法也随之确定，所以a"*bk出现的次数相当于

从n个(a+b)中取』____个b的组合数总______,这样，在展开式中，产1?

共有个,将它们合并同类项，就得二项展开式，这就是二项

式定理。(合并同类项后)教师引导

简单证明

(三)新知讲解

二项式定理：

教师引导学

生对二项式

(a+b)"=c?a"+c"++…+c"%k+…+c；；b"卜eN*)

定理特点及

规律的总结

1、相关概念

和归纳，有利

①通项：

于学生对二

②二项式系数

项式定理的

2、公式特征

①项数：共_____项。识记，同时还

②指数：字母a按____排列，从_降到_____可以使学生

字母b按_____排列，从―升到_____体验数学公

字母a和b的指数和为______

式的对称美、

③二项式系数：_____________

和谐美。

(四)尝试应用

例1、用二项式定理展开：

(1)(X+1)4(2)+(3)«—宁丫

归纳总结：

(1)让学生意识到a、b只是一个符号，它们可以是数、式子或其它的，只是具对二项式定

备这个标准形式，就可以用定理展开。

理的考查

（2）让学生知道定理中a、b的顺序不能颠倒，两者整体相等，但具体到每一

项不一定相等

（3）展开时注意运算技巧，先写系数再写关于x的指数式。

（4）若二项式不符合标准形式，转化为标准形式再展开

例2、求（X-7）8展开式中的第4项

巩固通项的

概念，消除容

易产生误解

18

变式：①求（》一1）展开式中含x2项的系数的地方：通项

Tk+i=Qlb

②求（》一夕展开式中的常数项指的是第k+1

项，项的系数

与二项式系

（五）跟踪练习

数是两个不

1、求（a-四）5的展开式

同的概念。

2、求（0+3加6的展开式的中间一项

评测练习，巩

固二项式定

理及通项公

3、（“一»”的展开式的第6项的系数是（）

式

A、一GoB、一。1°C、D、Go

4、求（1+2x）7的展开式中含X，项的系数

A、第二项B、第三项C、第四项D、第五项

(六)、小结知识方法总

1、知识结

二项式定理及通项、二项式系数的概念。二项式定理每一项中字母a,h的

指数和为〃，a的指数从“递减至0同时。的指数由0递增至〃，体现数

学的对称美、和谐美.

2、思想过程方法

(1)主要探究方法：从特殊到一般再回到特殊的思想方法

(2)从特殊情况入手，“观察一一归纳——猜想一一证明”的思维方法，是

人们发现事物规律的重要方法之一，要养成“大胆猜想，严谨论证”的良

好习惯.

发言人组内评课

朱启礼优点：教学设计完整，环节衔接自然，教师综合素质较高

缺点：学生讨论时间短，计算技巧强调不够

姬豪文优点：课堂效果挺好，学生活动多

缺点：题量大

听了几位老师的评价，受益匪浅。以后在课堂上注意充分调动学生的积极性，

听后反思

发挥学生的主体作用。计算是学生的弱点，注意突破。逻辑推理是难点，注

意有效引导。尽自己最大的努力，争做一名优秀的数学教师。

教材分析

本节课是高中数学人教版选修2-3第一章计数原理1.3二项式定理的内容.在学生已经

学习了组合和多项式乘法的基础上，进一步研究学习二项式定理的内容.这一内容共安排两

课时，这是第一课时.

二项式定理是初中学习的多项式乘法的继续,它所研究的是一种特殊的多项式一一二项

式的乘方的展开式.这一小节与很多内容都有着密切的联系，特别是它在本章的学习中起着

乘上启下的作用.既强化巩固了前面所学的组合知识，又为下一节课讲解特殊的组合数一一

二项式系数的性质打下基础，也是学习概率知识及概率统计的准备知识，又为解决某些整除

性、近似计算等问题提供了方法.

人教版高中数学高二年级《二项式定理》

教

学

设

计

中

县

二

葛艳英

《二项式定理》教学设计

一.教材地位与作用分析

本节课是高中数学人教版选修2-3第一章计数原理1.3二项式定理的内容.在学生己经

学习了组合和多项式乘法的基础上，进一步研究学习二项式定理的内容.这一内容共安排两

课时，这是第一课时.

二项式定理是初中学习的多项式乘法的继续，它所研究的是一种特殊的多项式一一二项

式的乘方的展开式.这一小节与很多内容都有着密切的联系，特别是它在本章的学习中起着

乘上启下的作用.既强化巩固了前面所学的组合知识，又为下一节课讲解特殊的组合数一

二项式系数的性质打下基础，也是学习概率知识及概率统计的准备知识，又为解决某些整除

性、近似计算等问题提供了方法.

二.教学内容分析

教材中是通过〃取一些特殊值(1,2,3,4)的基础上，观察归纳出二项式定理，即

nn2n22rnrrnn

(a+b)"=C°a+C'na-'b+C„a-b+•••+C„a-b+•••+C„b(neN*)

对二项式定理的理解和掌握，要从项数、系数、指数、通项等方面的特征去熟悉它的展开式.

三.学情分析

本班为普通班学生，数学基础不太好，缺乏自主探究、逻辑思维能力，需要教师适时、

适度的引导，但学生已经学习了推理的知识，理解了组合及组合数概念，掌握了多项式乘法

的运算法则，具有一定的类比、归纳、猜想的能力，能够完成课时计划内容。

四.教学目标：

1、知识与技能：理解二项式定理及其推导方法，识记二项展开式的有关特征，能对二项式

定理进行简单应用.

2、过程与方法：通过教师指导下的探究活动，经历数学思维过程，熟悉理解“观察一归纳

一猜想一证明”的思维方法，养成合作的意识，获得学习和成功的体验.

3、情感、态度与价值观：通过对二项式定理内容的研究，体验特殊到一般发现规律，一般

到特殊指导实践的认识事物过程；通过对二项展开式结构特点的观察，体

验数学公式的对称美、和谐美.

五.教学重点与难点

1、重点：(1)掌握二项式定理及二项式展开式的通项公式.

(2)会利用二项展开式及通项公式解决有关问题..

2、难点：(1)用两个计数原理分析(a+b)2的展开式

(2)用两个计数原理证明二项式定理

六、教法、学法分析

1、教法：为了完成本节课的教学目标，掌握并能正确运用二项式定理，让学生主动探索展

开式的由来是关键。本节课的教法贯穿启发式教学原则，采用“多媒体引导点拨”

的教学方法以多媒体演示为载体，以“探究”为核心，设计课件展示，并引导学生

沿着积极的思维方向，逐步达到即定的教学目标，发展学生的逻辑思维能力；同

时，考虑到学生的个体差异，在教学的各个环节进行分层施教，实现''有差异"的

发展。

2、学法；根据学生思维的特点，遵循“教必须以学为主立足点”的教学理念，让每一个学

生自主参与整堂课的知识构建。在教学的各个环节中引导学生进行类比迁移，对照

学习。学生在教师营造的“可探索”的环境里，积极参与，生动活泼地获取知识,

掌握规律、主动发现、主动发展。

七、教学手段分析

利用电脑，投影仪等多媒体教学展现二项式定理的推导过程以及学生的学习情况,

激发学生的的兴趣，增大教学容量，提高课堂效率。

八、教学时数：2课时，（本节是第1课时）。

九.教学过程

（一）设置情境，引入课题

师：初中学过多项式相乘，同学们按照多项式乘法法则展开（。+。）2、（a+㈤③

生：（。+匕）-=（a+6）（a+b）

27

=ci

=

(a+6)3=(a+b)(a+b)(a+b)

=滔+为2"纭序+7

师：如果按照多项式相乘如何展开（a+b）i0°=?

（a+b）l00=?

按照多项式相乘展开，计算量太大，如何快速简洁的进行计算？今天学习的课题

一二项式定理

设计意图：让学生展示具体展开过程（合并同类项之前的项和合并同类项之后的项）,

为下面探究问题做准备。（。+勿1°°=?问题设置让学生意识到按照多项式乘法法

则展开不太现实，工作量太大，是否存在简洁方便的方法，引出课题。

（二）新知探究

师：前面刚学习了两个计数原理以及组合的相关知识，下面利用这些知识探究以下几个

问题。

探究1、如何利用两个计数原理解释S+”产（合并同类项前）的展开式中的每一

项的由来？

（a+b）~=（a+b）（a+b）

=a1+ah+ba+h2（合并同类项前的展开式）

生：a?是第一个因式选a,第二个因式也选a,相乘得到;ab是第一个因式选a,第二个因

式选

b,相乘得到；ba是第一个因式选b,第二个因式选a,相乘得到；苗是第一个因式

选b,第二个因式也选b,相乘得到.

师：（归纳）展开式中的每一项都是由第一个因式选一个，第二个因式选一个，相乘得到。

（问题）第一个因式选一个有几种选法？第二个因式选一个有几种选法？根据分步

乘法计数原理，共有多少种选法，即共多少项？

生：第一个因式选一个有两种选法，选a或选b,第二个因式选一个有两种选法，选a

或选b,根据分步乘法计数原理，共有2X2=2,选法，即共4项.

师：每一项是否都符合&=0,1,…〃）这种形式?

（共2项、每一项都符合=0,1,…〃）形式）

当k=0时表示哪一项？当k=2时表示哪一项？当k=l时表示哪些项？

生：当k=0时表示第一项，当k=2时表示最后一项，当k=l时表示第二和第三项

师：当k=l时表示第二和第三项，要合并的同类项，即得到合并后的展开式。（投影显

）

探究2、如何利用组合及组合数知识解释（”+初2（合并同类项后）的展开式中的每

一项的系数？

22

（a+b）=a^+2ab+b（合并同类项后的展开式）

22

=C^a+C\ab+Clb

生：小组讨论

师：（提问）中间项ab是怎么得到的？

生：一个因式选a,一个因式选b,相乘得到。

师：一个因式选a,即a',一个因式选b,即b',两个因式哪一个因式选b,有多少选法？用组

合数怎么表示？

生：C2-

师：即系数为2.哪一个因式选b一旦确定后，剩下的那一个一定选a,a随之也就确定了。

（同理解释第一项和第三项）

师：项前面的组合数实质上反映了选b的个数，第一项选了0个b,即C/；第二项选了1个

b,即C2‘；第三项选了2个b,即C/；选b的个数一旦确定，选a的个数随之也就确定

了•（考虑选b的个数，也可以考虑选a的个数）

设计意图：探究1、2按照合并同类项前、后顺序分别用计数原理和组合知识对展开式中的

项进行解释，让学生对项的由来尤其是项的系数有深刻认识，为下面类比

（a+b）3、（a+b）"做好铺垫

师：类比上述过程，解释（”+“展开式

生：小组讨论

探窕3、仿照上述过程，利用计数原理及组合知识得到①+切二（"+加4的展开式

（a+b）3=（a+b）（a+b）（a+b）

=+C1a2b+Clab2+C^b3

(a+b)4=(a+b)(a+b\a+h)(a+b)

=Cja4+C\a3b+C1a2b2+C加/+Cib4

师：以上是对m+与2、（。+4、（”+牙展开式的分析，由此可以猜想S+»"（〃£"*）

的展开式（板书）

探究4（归纳）、你能猜想（"+"）"（〃eN*）的展开式并给出证明吗？

（a+b）"=C^an+C^an~ib+---+C^an~kbk+---+C'^bn

师：要想说明归纳猜想的结论的正确性，需要证明。

（教师引导证明通项的成立）

证明：C^an~khk(t=O.I,-,n)

__________f

(a+b)"是多少个因式相乘？为了得到C：""",多少因式选b,有多少选法？还剩

下多少因式？剩下的因式一定选什么？(从以上几个问题出发，引导学生思考通项

的由来)。

中的k能否为0?表示第几项？能否为1,表示第几项？以此类推，能否

为n?表示第几项？

师：可以表示展开式中的每一项，这一项的成立可以说明展开式中的每一项都

是成立的，从而得到二项展开式，此公式表示的定理叫做二项式定理。

设计意图：探究2、3对(a+b)2、(a+b)-、(a+b)”的展开式进行了详细分析和探究，

通过观察，归纳、猜想到n为任意正整数时的二项式定理内容，并真正理解二项式系

数的意义。让学生参与知识的发生、发展、深化的过程，学习体会应用“观察、归纳、

猜想、证明”的科学思维方法的过程。

(三)新知讲解

二项式定理

(a+b)"=c%〃+cM-%+……+C肥,eN*)

1、相关概念

①通项：&/ibk(k=Qh…

②二项式系数：支

2、公式特征

①项数：共n+1项。

②指数：字母a按降幕排列,从n降到0—

字母b按升哥排列,从0升到n—

字母a和b的指数和为‘1

师：无论字母a字母b的指数怎样变化，但他们指数和始终为n,万变不离这个n,非常和

谐。

③二项式系数：C：,依次为C：,C：,…，c『,c：

师：C：=C：,C；=（：，...,说明公式具有对称性

此公式不但和谐，而且对称，形式非常美。除了形式美之外，实用性非常强（引出

公式应用）

设计意图：对二项式定理特点及规律的总结和归纳，有利于学生对二项式定理的识记，同

时还可以使学生体验数学公式的对称美、和谐美。

（四）尝试应用

例1、用二项式定理展开:

(1)(X+1)4⑶（五一

（学生板演）

设计意图：设计例1三个小题主要考虑到以下几点：

（1）点评（1）时，让学生对比（1+尤）4的展开式，意识到定理中a、b的顺序

不能颠倒，两者整体相等，但具体到每一项不一定相等。

（2）点评（2）时，引导学生注意展开后项的运算技巧，先整理系数再写关于x

的指数式。

（3）点评（1）（2）后让学生意识到a、b只是一个符号，它们可以是数、式子或

其它的，只是具备这个标准形式，就可以用定理展开。

（4）小题（3）二项式不符合标准形式，转化为标准形式再展开

（5）三个小题中次数都比较小，展开时计算量相对小，若次数比较大，每一项展

开工作量太大，考虑到求某一项的问题，引出例2。

例2、求（X-；）展开式中的第4项

师：用什么公式求解第4项？

生：通项公式

师：k为多少？

生：k=3

（学生板演）

师：接着做跟踪练习2：求（。+3与6的展开式的中间一项。（提问方式）

师：以上题目是利用通项公式求指定项，比如例2中求第四项，含x2的项。若把条件和结

论互换一下，会变成什么问题？（板书变式）

变式：①求（X-：）展开式中含X?项的系数②求"一夏）展开式中的常数项

师：根据条件不知道第几项，如何求项数，确定项的系数？（提示学生通项的作用）

（学生板演）

（点评时，可能会出现项的系数与二项式系数混淆的，引导学生两者是不同的概念）

设计意图：借助例2巩固通项的概念，强化通项公式的使用，消除容易产生误解的地方：通

项（M=〃指的是第k+1项，项的系数与二项式系数是两个不同的概念。

遗留问题：（。+人）1°°=?

师：（。+份侬=?展开式中共多少项？第二项是多少？每一项是不是都会写了？

（让学生进一步意识到二项式定理的作用，学习本节课的意义）

（五）跟踪练习

1、求（“-孤月的展开式

2、求(。+3。)6的展开式的中间一项

3、的展开式的第6项的系数是()

4、求(1+2x)7的展开式中含(项的系数

A、第二项B、第三项C、第四项D、第五项

设计意图：巩固二项式定理及通项公式，加强知识的应用。

(六)、小结

1、知识

二项式定理及通项、二项式系数的概念。二项式定理每一项中字母a,。的指数和为“，

a的指数从"递减至0同时〃的指数由0递增至〃，体现数学的对称美、和谐美.

2、思想过程方法

(1)主要探究方法：从特殊到一般再回到特殊的思想方法

(2)从特殊情况入手，“观察——归纳——猜想——证明”的思维方法，是人们发现事

物规律的重要方法之一，要养成“大胆猜想，严谨论证”的良好习惯.

(七)、布置作业

1、必做题

课本P36习题1.3A组2(2)、4(4)

2、选做题A组5

十.自我测评

2、求它由'的展开式中的第四项

3、求(1一2x)6的展开式中第4项的系数及二项式系数

4、求Q-a6的展开式中含/项的系数

十一.板书设计

二项式定理

(a+b)"=c?a"…+c；；b%wN*例1、用二项式定理展开：

(1)(Hl)，(2)T)'

(1)①通项：C^an-kbk(k=0,1.-,,1)

(4--%)3

②二项式系数：4(3)«

(X-1)8

(2)公式特征

例2、求X展开式中的第4

①项数：共n+1项。

项

②指数：字母a按降塞排列,从n降到0—

变式：

字母b按升塞排列,从0升到n_

(一)8,

字母a和b的指数和为q___