高中数学《平行关系的性质》导学案

5.2平行关系的性质

［学习目标］1.理解直线与平面平行、平面与平面平行的性质定理，并能用

文字、符号和图形语言描述定理.2.会用线面平行、面面平行的性质定理证明

相关问题.3.理解“平行”与“平行”之间的转化.

课前自主学习

【主干自填】

1.直线与平面平行的性质

文字语言图形语言符号语言

如果一条直线与

一个平面平行，则画a〃a

过该直线的匝1任朝aS?"

意一个平面与已匾］a「3=〃

知平面的幽交线

与该直线平行

2.平面与平面平行的性质

文字语言图形语言符号语言

如果两个同平行平圈a〃/?

面同时与第三个平

面相交，则它们的丽「0=6

的交线平行^a//b

【即时小测】

1.思考下列问题

(1)分别在两个平行平面的直线有什么位置关系？

提示：平行或异面，因为两平面平行无公共点，所以两直线无公共点，即平

行或异面.

⑵两个平面互相平行，其中一个平面内的直线与另一个平面有什么位置关

系？

提示：平行.因为两平面平行所以两平面无公共点，所以其中一个平面内的

直线与另一个平面无公共点，所以直线与平面平行.

(3)若一个平面与两个平行平面同时相交，则交线有什么位置关系？

提示：平行.因为交线在同一平面内且无公共点所以两直线平行.

2.已知直线/〃平面a,直线〃2a,则直线/和根的位置关系是()

A.相交B.平行

C.异面D.平行或异面

提示：D

3.如下图所示，直线a〃平面a,A^a,并且。和A位于平面a两侧，点B,

C^a,AB,AC分别交平面a于点E、F,若BC=4,b=5,AF=3,则EF=.

_3

提示：!由于点A不在直线。上，则A、B、。确定一个平面人:,aCB=

EF.

•.•a〃平面a,所〃a.•.差=笫.

AFXBC3X43

：EF===

'~\^5+32-

课堂互动探究

题型一线面平行的性质定理的应用

例1A8CO是平行四边形，点P是平面ABC。外一点，M是PC的中点,

在。M上取一点G,过G和AP作平面交平面于G”.求证：AP//GH.

［证明］连接AC交8。于0,连接MO

「ABC。是平行四边形，...0是AC的中点.

又M是PC的中点，J.AP//0M.

根据直线和平面平行的判定定理，

则有出〃平面BMD.

;平面必HGA平面BMD=GH,

根据直线和平面平行的性质定理，，必〃6”.

线面平行的性质定理是证明空间两直线平行的重要依

据，解题时要注意把握.当证明了直线平行于平面后，再

过该直线作平面与已知平面相交，得交线与已知直线平

线面平行的判定

行.具体方法如下：线线平行线面平行

线面平行的性质

线线平行.

［变式训练1］已知：a//b,aa,b尸，aCg=l,求证：a//b//1.

证明如图所示，"：a//b,bp,

b

p

：.a〃B，

又cia,aC,=I,

：.a//l,

又.\a//b//L

题型二面面平行的性质定理的应用

例2已知a〃4，A,CQa,B,。金夕，直线A3与CD交于点S,且SA=8,

SB=9,CD=34,求当S在a,4之间时SC的长.

［解］如图所示.

'：AB与C。相交于S,

：.AB,CO可确定平面外且aCy=AC,尸BD.

,：a//[i,：.AC//BD,•,•需=1§，

：'SA+SB=CD'即至'=!?'解得S0=16.

类题通法

由面面平行得到线线平行，进而由成比例线段得解，体现了立体几何与平面

几何间的转化关系.另外，面面平行还有许多性质，如要证明线面平行，可先证面

面平行，再由性质证得.

［变式训练2］如图，平面a〃夕，线段分别交a,夕于M,N,线段AO

分别交a，夕于C,D,线段分别交a,§千F,E若AM=9,MN=11,NB=

15,S»MC=78.求△END的面积.

解.平面a〃P，

又平面ANDA平面a=MC,平面ANDA平面夕=NZ),

J.MC//ND,同理EN〃/7M.

又AM=9,MN=11,NB=15,

.MC_AM_9FM_BM_26

'''ND=~AN=20,~EN=~BN='l5,

又/FMC=NEND,

°\:FM-MC-sinZFMCn»no

.S/SFMC2__________________92678

>•或嬴=]67入小./人仍=^=而'

产MNZ>sinNEND

S“MC=78,?.4END的面积S&END=100.

＞题型三平行关系的综合应用

例3如图所示，已知P是口ABC。所在平面外一点，M,N分别是A3,PC

的中点，平面B4OC平面PBC=/.

(1)求证：1//BC；

(2)MN与平面玄。是否平行？试证明你的结论.

［解］解法一：(1)证明：因为BC〃AO,

BC里平面PAD,AD平面PAD,

所以BC〃平面PAD.

又因为8C平面PBC,

平面PBCC平面PAD=l,

所以BC//1.

(2)平行.取PD的中点E,

连接AE,NE,

可以证得NE//AM且NE=AM.

可知四边形AMNE为平行四边形.

所以MN〃AE,MN里平面APO,AE平面APD,

所以MN〃平面APD.

解法二：(1)证明：由AO〃3C,ADS平面P8C,BC平面PBC,

所以AO〃平面PBC.

又因为A0平面以。，平面P8CA平面%。=/,

所以/〃AO〃BC.

(2)设。是CO的中点，连接NQ,MQ,则MQ〃AD

火MQ生平面应。，AD平面出。，

所以MQ〃平面PAD.

同理，由NQ〃PD,可得N。〃平面BLD,

而MQCNQ=Q,

所以平面MVQ〃平面PAD.

又MN平面MN0,

所以MN〃平面PAD.

类题通法

在空间平行的判断与证明时要注意线线、线面、面面平行关系的转化过程:

平面与平面平行的判定

I直线与平面平面与平面I

直线与平行的判定1直线与平平行的判定，平而与

直线单行“直线与平面一面平行“平面与平面全面,行

t平行的性质平行的性质I

平面与平面平行的性质

［变式训练3］在长方体ABCO-AiBiGDi中，点M是的中点，点、N是

A4的中点.

求证：MN〃平面4CD

证明设点「为A。的中点，连接MP,NP.

•点M是的中点，,MP//CD.

,：CD平面AiCD,MP生平面AC。，

...MP〃平面AiCD

二•点N是AAi的中点，：.NP//A\D.

VAiD平面AC。，NP里平面4CD,

，NP〃平面AiCD.

,?MPANP=P,MP平面MNP,NP平面MNP,

二平面MNP〃平面ACD

■:MN平面MNP,〃平面4CD

培优部落

易错点>线面之间平行关系转化不当致错

［典例］如右图所示，平面a〃平面用，AC与8D为异面直线，且ACa,

BD夕，M,N分别为AB,CO的中点，求证：MN〃平面仇

［错解］错解一：:a〃尸，ACa,

：.AC//p.

又BD尸，J.AC//BD.

,：M,N分别为AB,CO的中点，

：.MN//BD.'：MN^夕，BD夕，

〃平面/3.

错解二：连接8C,取8C的中点P,连接MP,NP,如下图所示.

在△ABC中，M,尸分别是AB,的中点,

：.MP//\C.

•:MP里平面a,ACa,

〃平面a.

同理，PN〃平面用.

,：a//p,〃平面△又PNnMP=P,

二平面MPN//平面p,而MN平面MPN,

；.MN〃平面［i.

［错因分析］错解一中，由AC〃平面用得不到AC与平面夕内的所有直线平

行.因此，由AC〃平面夕，BD平面夕得不到AC〃8D.这是对线面平行的性质

定理理解不透彻所致.而且若AC〃8D,则A,B,C,。四点共面，与已知条件

中AC,30异面矛盾.错解二中，“•：a"6,MP〃平面a,二MP〃平面夕'这

一步是没有依据的，尽管当MP旻尸时结论成立，但仍需要证明.

［正解］'：ABHAC=A,

：.AB,AC确定一个平面，设该平面为1

则yC\a=AC.

ABy,BR0,

.♦•8是〉与夕的公共点，于是可设夕ny=BE,如图所示.

连接CE,DE,取CE的中点P,连接MP,PN.

\'a///3,aHy=AC,0Cy=BE,

：.AC//BE.

又M,P分别为AB,CE的中点，:.MP〃BE.

'：BE夕，MP里仇：.MP///i.

在△CEO中，P,N分别为CE,CD的中点，：.PN//DE.

又PN且夕，DE/3,：.PN///3.

又MPCPN=P,，平面MNP〃平面［i.

,:MN平面MNP,〃平面及

课堂小结

1.三种平行关系可以任意转化，其相互转化关系如图所示:

2.证明线与线、线与面的平行关系的一般规律是：“由已知想性质，由求证

得判定”，是分析和解决问题的一般思维方法，而作辅助线和辅助面往往是沟通

已知和未知的有效手段.

|随堂巩固训练|

1.如果相异点A、8和相异点C、。分别在异面直线a,匕上，那么正确的

结论是（）

A.直线AC与8。可能相交

B.直线与可能相交

C.AC与BD,AO与BC都是异面直线

D.AC与80,AO与8C不一定都是异面直线

答案C

解析本题适合用反证法：假设AC与8。共面，不妨设该平面为a,则AG

a,BGa,CGa,因为相异点A、8和相异点C、。分别是在异面直线a,h

上，所以。a,ba,这与已知a,b是异面直线矛盾，所以假设不成立，即得

AC与8。是异面直线；同理可证AO与8c也是异面直线.

2.直线a〃平面a,a内有〃条直线交于一点，那么这〃条直线中与直线a

平行的（）

A.至少有一条B.至多有一条

C.有且只有一条D.没有

答案B

解析因为〃条直线交于一点，所以这〃条直线肯定不平行，因此至多有一

条直线与。平行.

3.已知直线/〃平面a,PGa,那么过点P且平行于/的直线（）

A.只有一条，不在平面a内

B.只有一条，在平面a内

C.有两条，不一定都在平面a内

D.有无数条，不一定都在平面a内

答案B

解析如图所示，..•/〃平面a,P^a,

二直线/与点P确定一个平面夕，aH/3=m,

PGm,〃机且机是唯一的.

4.过两平行平面a,夕外的点P的两条直线AB与8,它们分别交a于A,

C两点，交夕于B,。两点，若抬=6,AC=9,PB=8,则8。的长为.

答案12

解析两条直线与CD相交于P点，所以可以确定一个平面，此平面与

PAAr

两平行平面a,4的交线AC〃B。，所以而=前,又巩=6,AC=9,PB=8,故

BD=12.

课后课时精练

时间:25分钟

1.a//a,b〃B，a〃夕，则a与b位置关系是()

A.平行B.异面

C.相交D.平行或异面或相交

答案D

解析如图(1),(2),(3)所示，。与〃的关系分别是平行、异面或相交.

//////

(1)⑵

2.三棱锥S—ABC中，E、尸分别是S3、SC上的点，且£尸〃平面ABC,则

（）

A.EF与8C相交B.EF与平行

C.EF与BC异面D.以上均有可能

答案B

解析由线面平行的性质定理可知所〃BC

3.如图，四棱锥P—A8CO中，M,N分别为AC,PC上的点，且MN〃平

面则（）

A.MN//PD

B.MN//PA

C.MN//AD

D.以上均有可能

答案B

解析〃平面PAD,MN平面PAC,平面以。A平面PAC=PA,：.

MN//PA.

4.下列说法正确的个数是（）

①两个平面平行，夹在两个平面间的平行线段相等；

②两个平面平行，夹在两个平面间的相等线段平行；

③如果一条直线和两个平行平面中的一个平行，那么它和另一个也平行；

④平行于同一条直线的两个平面平行.

A.1B.2C.3D.4

答案A

解析只有①正确.②中的两线段还可能相交或异面；③中的直线可能在另

一个平面内；④中的两个平面可能相交.

5.平面a截一个三棱锥，如果截面是梯形，那么平面a必定和这个三棱锥

的()

A.一个侧面平行B.底面平行

C.仅一条棱平行D.某两条相对的棱都平行

答案C

解析当平面a〃平面ABC时，如下图(1)所示，截面是三角形，不是梯形,

所以A、B不正确；

⑴⑵

当平面a〃&1时，如上图(2)所示，此时截面是四边形。EFG.

又SA平面SAB,平面SABQa=DG,

所以SA//DG.

同理，SA//EF,所以EF〃DG.

同理，当平面时，GF//DE,但是截面是梯形，则四边形。EFG中仅

有一组对边平行，所以平面a仅与一条棱平行.所以D不正确，C正确.

6.下列说法正确的是()

A.平行于同一条直线的两个平面平行

B.平行于同一个平面的两个平面平行

C.一个平面内有三个不共线的点到另一个平面的距离相等，则这两个平面

平行

D.若三直线a,b,c两两平行，则在过直线。的平面中，有且只有一个平

面与江c均平行

答案B

解析平行于同一条直线的两个平面可以平行也可以相交，所以A错；B显

然正确；C中没有指明这三个点在平面的同侧还是异侧，不正确；D不正确，因

为过直线。的平面中，只要乩c不在其平面内，则与仇c均平行.

7.设m、〃是平面a外的两条直线，给出三个论断：

①"2〃〃；②机〃a；③〃〃a.以其中的两个为条件，余下的一个为结论，构成

三个命题，写出你认为正确的一个命题：.（用序号表示）

答案①②今③（或①③"②）

解析①②今③

设过m的平面§马a交于I.

m//a,.'.m//1,m//n,.'.n//1,■:a,Ia,.'.n//a.

8.如图，正方体ABC。-431Goi中，A3=2,点E为A。的中