高中数学《排列与排列数》复习小结与训练

§6.2.1排列与排列数

(第一课时排歹！D

【学习目标】

1.理解并掌握排列的概念

2.能应用排列知识解决简单的实际问题.

【知识梳理】

知识点一排列的定义

一般地，从n个不同元素中取出m(mWn)个元素，并按照一定的顺序排成一

列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列.

知识点二排列相同的条件

两个排列相同的充要条件：

(1)两个排列的元素完全相同.

(2)元素的排歹C顺序也相同.

【判断正误】

1.123与321是相同的排列.(X)

2.同一个排列中，同一个元素不能重复出现.(V)

3.在一个排列中，若交换两个元素的位置，则该排列不发生变化.(X)

4.从4个不同元素中任取3个元素，只要元素相同得到的就是相同的排

歹I」.(X)

【题型探究】

一、排列的概念

例1判断下列问题是否为排列问题：

(1)北京、上海、天津三个民航站之间的直达航线的飞机票的价格(假设来回的

票价相同)；

(2)选2个小组分别去植树和种菜；

(3)选2个小组去种菜；

⑷选10人组成一个学习小组；

(5)选3个人分别担任班长、学习委员、生活委员；

(6)某班40名学生在假期相互打电话.

解(1)票价只有三种，虽然机票是不同的，但票价是一样的，不存在顺序问

题，所以不是排列问题.

⑵植树和种菜是不同的，存在顺序问题，属于排列问题.

(3)(4)不存在顺序问题，不属于排列问题.

⑸每个人的职务不同，例如甲当班长或当学习委员是不同的，存在顺序问题，

属于排列问题.

(6)A给B打电话与B给A打电话是不同的，所以存在着顺序问题，属于排列问

题.

所以在上述各题中(2)(5)(6)是排列问题，(1)(3)(4)不是排列问题.

反思感悟判断一个具体问题是否为排列问题的思路

跟踪训练1判断下列问题是否为排列问题：

(1)会场有50个座位，要求选出3个座位有多少种方法？若选出3个座位安排

三位客人，又有多少种方法？

⑵从集合乂={1,2,…，9}中，任取两个元素作为a,b,可以得到多少个焦点

222

在X轴上的椭圆方程与+高=1?可以得到多少个焦点在X轴上的双曲线方程之

aba

一L

(3)平面上有5个点，其中任意三个点不共线，这5个点最多可确定多少条直

线？可确定多少条射线？

解(1)第一问不是排列问题，第二问是排列问题.“入座”问题同“排队”问

题，与顺序有关，故选3个座位安排三位客人是排列问题.

⑵第一问不是排列问题，第二问是排列问题.

X2V2

若方程p+°=l表示焦点在X轴上的椭圆，则必有a>b,a,b的大小关系一

ab

定;

2222

XVXV

在双曲线-?一审=1中，不管a>b还是a<b,方程p一口=1均表示焦点在x轴上

abab

的双曲线，且是不同的双曲线，故是排列问题.

⑶确定直线不是排列问题，确定射线是排列问题.

二、画树形图写排列

例2将A,B,C,D四名同学按一定顺序排成一行，要求自左向右，且A不排

在第一，B不排在第二，C不排在第三，D不排在第四，试用树形图列出所有可

能的排法.

解树形图(如图)：

AD

/\

n/c

A/4/

-A—A

DIBl8

IInI

BoA

oDC

由树形图知,所有排法有BADC,BCDA,BDAC,CADB,CDAB,CDBA,DABC,

DCAB,DCBA.

反思感悟树形图的画法

(1)确定首位，以哪个元素在首位为分类标准进行确定首位.

(2)确定第二位，在每一个分支上再按余下的元素，在前面元素不变的情况下定

第二位并按顺序分类.

(3)重复以上步骤，直到写完一个排列为止.

跟踪训练2(1)从1,2,3,4四个数字中任取两个数字组成两位数，共有多少个

不同的两位数？

⑵写出从4个元素a,b,c,d中任取3个元素的所有排列.

解(1)由题意作树形图，如图.

1234

小ZN小小

234134124123

故所有两位数为12,13,14,21,23,24,31,32,34,41,42,43,共有12个.

(2)由题意作树形图，如图.

abed

CG/K小

故所有的排列为：abc,abd,acb,acd,adb,adc,bac,bad,bca,bed,

bda,bdc,cab,cad,cba,cbd,cda,cdb,dab,dac,dba,dbc,dca,

deb,共有24个.

三、简单的排列问题

例3（1）有7本不同的书，从中选3本送给3名同学，每人各1本，共有多少

种不同的送法？

⑵有7种不同的书，要买3本送给3名同学，每人各1本，共有多少种不同的

送法？

解（1）从7本不同的书中选3本送给3名同学，相当于从7个元素中任取3个

元素的一个排列，所以共有7X6X5=210（种）不同的送法.

（2）从7种不同的书中买3本书，这3本书并不要求都不相同，根据分步乘法计

数原理，共有7X7X7=343（种）不同的送法.

反思感悟对于简单的排列问题，其解题思路可借助分步乘法计数原理进行，

即采用元素分析法或位置分析法求解.

跟踪训练3（1）沪宁高铁线上有六个大站：上海、苏州、无锡、常州、镇江、

南京，铁路部门应为沪宁线上的六个大站（这六个大站之间）准备不同的火车票

的种数为（）

A.15B.30C.12D.36

答案B

解析对于两个大站A和B,从A到B的火车票与从B到A的火车票不同，因

为每张车票对应一个起点站和一个终点站，因此，每张火车票对应从6个不同

元素（大站）中取出2个不同元素（起点站和终点站）的一种排列，故不同的火车

票有6X5=30（种）.

（2）3盆不同品种的花排成一排，共有种不同的排法.

答案6

【跟踪训练】

L（多选）下面问题中，不是排列问题的是（）

A.由1,2,3三个数字组成无重复数字的三位数

B.从40人中选5人组成篮球队

C.从100人中选2人抽样调查

D.从1,2,3,4,5中选2个数组成集合

答案BCD

解析选项A中组成的三位数与数字的排列顺序有关，选项B,C,D只需取出

元素即可，与元素的排列顺序无关.

2.从甲、乙、丙三人中选两人站成一排的所有站法为（）

A.甲乙、乙甲、甲丙、丙甲

B.甲乙丙、乙丙甲

C.甲乙、甲丙、乙甲、乙丙、丙甲、丙乙

D.甲乙、甲丙、乙丙

答案C

解析从三人中选出两人，而且要考虑这两人的顺序，所以有如下6种站法：

甲乙、甲丙、乙甲、乙丙、丙甲、丙乙.

3.从5本不同的书中选两本送给2名同学，每人一本，则不同的送书方法的种

数为（）

A.5B.10C.20D.60

答案C

解析不同的送书种数为5X4=20.

4.从1,2,3,4这4个数字中选出3个数字构成无重复数字的三位数有

个.

答案24

5.有8种不同的菜种，任选4种种在不同土质的4块地里，有种不同

的种法.

答案1680

解析将4块不同土质的地看作4个不同的位置，从8种不同的菜种中任选4

种种在4块不同土质的地里，则本题即为从8个不同元素中任选4个元素的排

列问题，所以不同的种法共有8X7X6X5=1680（种）.

【课堂小结】

1.知识清单：

⑴排列的定义：顺序性.

⑵“树形图”法列举排列.

（3）排列的简单应用.

2.方法归纳：数形结合.

3.常见误区：排列的定义不明确.

【同步练习】

M基础巩固

1.（多选）从1,2,3,4四个数字中，任选两个数做以下数学运算，并分别计算它

们的结果.在这些问题中，相应运算可以看作排列问题的有（）

A.加法B.减法C.乘法D.除法

答案BD

解析因为加法和乘法满足交换律，所以选出两个数做加法和乘法时，结果与

两数字位置无关，故不是排列问题，而减法、除法与两数字的位置有关，故是

排列问题，故选BD.

2.某学习小组共5人，约定假期每两人相互微信聊天，共需发起的聊天次数为

（）

A.20B.15C.10D.5

答案A

解析由题意得共需发起的聊天次数为5X4=20.

3.从1,2,3,4中任取两个不同数字组成平面直角坐标系中一个点的坐标，则组

成不同点的个数为（）

A.2B.4C.12D.24

答案C

4.甲、乙、丙三人排成一排照相，甲不站在排头的所有排列种数为（）

A.6B.4C.8D.10

答案B

解析列树形图如下：

乙

丙

/\/\

甲

丙

甲

乙

—

——

—

—

丙

甲

乙

甲

故组成的排列为丙甲乙，丙乙甲，乙甲丙，乙丙甲，共4种.

5.将字母a,a,b,b,c,c排成三行两列，要求每行的字母互不相同，每列

的字母也互不相同，则不同的排列方法共有（）

A.12种B.18种C.24种D.36种

答案A

解析先排第一列，因为每列的字母互不相同，因此共有3X2X1=6（种）不同

的排法，再排第二列，其中第二列第一行的字母共有2种不同的排法，第二列

第二、三行的字母只有1种排法，所以共有6X2X1=12（种）不同的排法.

6.从a,b,c,d,e五个元素中每次取出三个元素，可组成个以b为

首的不同的排列，它们分别是.

答案12bac,bad,bae,bca,bed,bee,bda,bdc,bde,bea,bee,bed

解析画出树形图如下：

可知共12个，它们分别是bac,bad,bae,bca,bed,bee,bda,bdc,bde,

bea,bee,bed.

7.车展期间，某调研机构准备从5人中选3人去调查El馆、E3馆、E4馆的参

观人数，则不同的安排方法种数为.

答案60

解析由题意可知，本题为从5个元素中选3个元素的排列问题，所以安排方

法有5><4X3=60（种）.

8.一次演出，因临时有变化，拟在已安排好的4个节目的基础上再添加2个小

品节目，且2个小品节目不相邻，则不同的添加方法共有种.

答案20

解析从原来4个节目形成的5个空中选2个空排列，共有5X4=20（种）添加

方法.

9.写出下列问题的所有排列：

⑴北京、广州、南京、天津4个城市相互通航，应该有多少种机票？

（2）两名老师和两名学生合影留念，写出老师不在左端且相邻的所有可能的站

法，并回答共有多少种？

解（1）列出每一个起点和终点情况，如图所示.

/广州/南京/天津/北京

北京9南京广州，天津南京北京天津9广州

'天津'北京'广州、南京

故符合题意的机票种类有：北京广州，北京南京，北京天津，广州南京，广州

天津，广州北京，南京天津，南京北京，南京广州，天津北京，天津广州，天

津南京，共12种.

（2）由于老师不站左端，故左端位置上只能安排学生.设两名学生分别为A,

B,两名老师分别为M,N,此问题可分两类：

M—N——BM—N——A

//

A—N—M—BB—N—M—A

、B—M—N\—M—N

、N—M、N—M

由此可知，所有可能的站法为AMNB,ANMB,ABMN,ABNM,BMNA,BNMA,BAMN,

BANM,共8种.

10.用一颗骰子连掷三次，投掷出的数字顺序排成一个三位数，此时：

（1）各位数字互不相同的三位数有多少个？

（2）可以排出多少个不同的三位数？

解（1）三位数的每位上数字均为1,2,3,4,5,6之一.

第一步，得首位数字，有6种不同结果；

第二步，得十位数字，有5种不同结果；

第三步，得个位数字，有4种不同结果.

故可得各位数字互不相同的三位数有6X5X4=120（个）.

（2）三位数，每位上数字均可从1,2,3,4,5,6六个数字中得一个，共有这样的三

位数有6X6X6=216（个）.

g综合运用

11.由1,2,3,4这四个数字组成的首位数字是1,且恰有三个相同数字的四位

数的个数为（）

A.9B.12C.15D.18

答案B

解析本题要求首位数字是1,且恰有三个相同的数字，用树形图表示为：

/一2—2,2-1—1

《3-3—31

、-4-4'4-1—1

1—1(3—；1—1-1^3

由此可知共有12个符合题意的四位数.

12.将4张相同的博物馆的参观票分给5名同学，每名同学至多1张，并且票

必须分完，那么不同的分法的种数为()

A.5"B.45

C.5X4X3X2D.5

答案D

解析由于参观票只有4张，而人数为5人，且每名同学至多1张，故一定有

1名同学没有票.因此从5名同学中选出1名没有票的同学，有5种选法.又

因为4张参观票是相同的，不加以区分，所以不同的分法有5种.

13.三人踢催子，互相传递，每人每次只能踢一下.由甲开始踢，经过4次传

递后，键子又被踢回甲，则不同的传递方式共有()

A.4种B.5种C.6种D.12种

答案C

解析若甲先传给乙，则有甲一乙一甲一乙一甲，甲一乙一甲一丙一甲，甲一

乙一丙一乙一甲3种不同的传法；同理，甲先传给丙也有3种不同的传法，故

共有6种不同的传法.

14.现从8名学生干部中选出3名同学分别参加全校“资源”、“生态”和

“环保”三个夏令营活动，则不同的选派方案的种数是.

答案336

解析从8名学生干部中选出3名同学排列的种数为8X7X6=336,故共有

336种不同的选派方案.

g拓广探究

15.用0,1,2,3,…，9十个数字可组成不同的：

(1)三位数个；

(2)无重复数字的三位数个；

⑶小于500且无重复数字的三位奇数个.

答案（1）900（2）648（3）144

解析（1）由于0不能在百位，所以百位上的数字有9种选法，十位与个位上的

数字均有10种选法，所以不同的三位数共有9X10X10=900（个）.

（2）百位上的数字有9种选法，十位上的数字有除百位上的数字以外的9种选

法，个位上的数字应从剩余8个数字中选取，所以共有9X9X8=648（个）无重

复数字的三位数.

（3）小于500的无重复数字的三位奇数，应满足的条件是：首位只能从1,2,3,4

中选，个位必须为奇数，按首位分两类：

第一类，首位为1或3时，个位有4种选法，十位有8种选法，所以共有

4X8X2=64（种）；

第二类，首位为2或4时，个位有5种选法，十位有8种选法，所以共有

5X8X2=80（种）.

由分类加法计数原理知，共有64+80=144（种）.

16.某药品研究所研制了5种消炎药a”a2,a;!,a,,as,4种退热药b“b2,b:!,

bo现从中取两种消炎药和一种退热药同时进行疗效试验，但&两种药或

同时用或同时不用，a3,匕两种药不能同时使用，试写出所有不同试验方法.

为，02

同时用同时不用

（4种）

a：，用G不用

（2x3种）（1x4#）

解如图，由树形图可写出所有不同试验方法如下：aiab,a&2b2,ag2b：”

a】a2b4,a3a1bi，a334b2,a3a4b3,a3a5b”a3a5b2，a3a5b3,aasb”3435b2,a4a5b3,

a4ab，共14种.

§6.2排列与排列数

第二课时排列数

【学习目标】

1.能用计数原理推导排列数公式.2.能用排列数公式解决简单的实际问题.

【知识梳理】

知识点一排列数的定义

从n个不同元素中取出m(mWn)个元素的所有不同排列的个数,叫做从n个不

同元素中取出m个元素的排列数，用符号A：表示.

思考排列与排列数相同吗？

答案排列数是元素排列的个数，两者显然不同.

知识点二排列数公式及全排列

1.排列数公式的两种形式

(1)A：=n(n—1)(n—2)…(n—m+1),其中m,nGN*,并且mWn.

2.全排列：把n个不同的元素全都取出的一个排列，叫做n个元素的一个全排

列，全排列数为A：=n!(叫做n的阶乘).规定：0!=1.

【自我检测】

1.眉=.

答案6

2.虐=132,贝Un=.

答案12

3.Ag=20,则x=.

答案2

4.甲、乙、丙三人站成一排，共有一种不同站队方式.(用排列数表示)

案展

答

Aik-

5.g-

答

5

案8-

【题型探究】

一、排列数公式的应用

命题角度1利用排列数公式求值

例1—1计算：鼠和A：.

解A?s=15X14X13=2730,

A；=6X5X4X3X2X1=720.

命题角度2利用排列数公式化简

例1—2(1)用排列数表示(55—n)(56—n)…列9—n)(n@N*且n<55)；

(2)化简:n(n+l)(n+2)(n+3),,,(n+m).

解(1),.,55—n,56—n,…，69—n中的最大数为69—n,且共有(69—n)—(55

—n)+1=15(个)数，

(55—n)(56—n),,,(69—n)=A；；-n.

(2)由排列数公式可知n(n+l)(n+2)(n+3)…(n+m)=A：：：.

命题角度3利用排列数公式证明

例1—3求证：AM—A；=mA『.

证明VA：-A：=-一---

+lnI+”1—［m！!।n—m!r

n!n+1n!m

n—mn+1-mn-mn+1-m

n!

=m-=niA'，

n+l-mn

A"+i—A：=mA：

反思感悟排列数公式的选择

(1)排列数公式的乘积形式适用于计算排列数.

(2)排列数公式的阶乘形式主要用于与排列数有关的证明、解方程和不等式等问

题，具体应用时注意阶乘的性质，提取公因式，可以简化计算.

跟踪训练1不等式AK6AT?的解集为()

A.[2,8]B.[2,6]C.(7,12)D.{8}

答案D

«।

解析由AK6A-2,得一^-<6X—

8—x!r1

化简得X2—19X+84<0,解得7<X<12,①

xW8,

又所以2WxW8,②

x—220,

由①②及xWN*,得x=8.

二、排队问题

命题角度1“相邻”与“不相邻”问题

例2—13名男生，4名女生，这7个人站成一排在下列情况下，各有多少种

不同的站法？

（1）男、女各站在一起；

⑵男生必须排在一起；

（3）男生不能排在一起；

（4）男生互不相邻，且女生也互不相邻.

解（1）（相邻问题捆绑法）男生必须站在一起，即把3名男生进行全排列，有A；

种排法，

女生必须站一起，即把4名女生进行全排列，有A；种排法，

全体男生、女生各看作一个元素全排列有虐种排法，

由分步乘法计数原理知，共有A：-AbA；=288（种）排法.

（2）（捆绑法）把所有男生看作一个元素，与4名女生组成5个元素全排列，

故有A”2=720（种）不同的排法.

（3）（不相邻问题插空法）先排女生有A；种排法，把3名男生安排在4名女生隔成

的五个空中,有相种排法,故有个-2=1440（种）不同的排法.

⑷先排男生有A；种排法，让女生插空，有A；A；=144（种）不同的排法.

命题角度2定序问题

例2—27人站成一排.

（1）甲必须在乙的前面（不一定相邻），则有多少种不同的排列方法？

（2）甲、乙、丙三人自左向右的顺序不变（不一定相邻），则有多少不同的排列方

法？

解（1）甲在乙前面的排法种数占全体排列种数的一半，故有当=2520（种）不

同的排法.

（2）甲、乙、丙自左向右的顺序保持不变，即甲、乙、丙自左向右顺序的排法种

数占全排列种数的

故有他=840（种）不同的排法.

八3

命题角度3元素的“在”与“不在”问题

例2—3从包括甲、乙两名同学在内的7名同学中选出5名同学排成一列，求

解下列问题.

⑴甲不在首位的排法有多少种？

（2）甲既不在首位也不在末位的排法有多少种？

（3）甲与乙既不在首位也不在末位的排法有多少种？

（4）甲不在首位，同时乙不在末位的排法有多少种？

解（1）方法一把元素作为研究对象.

第一类，不含甲，此时只需从甲以外的其他6名同学中选出5名放在5个位置

上，有鳍种排法.

第二类，含有甲，甲不在首位，先从4个位置中选出1个放甲，再从甲以外的

6名同学中选出4名排在没有甲的位置上，有A：种排法.根据分步乘法计数原

理，有4XA；种排法.

由分类加法计数原理知，共有就+4XA：=2160（种）排法.

方法二把位置作为研究对象.

第一步，从甲以外的6名同学中选1名排在首位，有A；种方法；

第二步，从占据首位以外的6名同学中选4名排在除首位以外的其他4个位置

上，有A：种方法.

由分步乘法计数原理知，共有思・能=2160（种）排法.

方法三（间接法）先不考虑限制条件，从7人中选出5人进行排列，然后把不

满足条件的排列去掉.

不考虑甲在首位的要求，总的可能情况有A；种，甲在首位的情况有A：种，所以

符合要求的排法有第一廉=2160（种）.

（2）把位置作为研究对象，先考虑特殊位置.

第一步，从甲以外的6名同学中选2名排在首末2个位置上，有底种方法；

第二步，从剩下的5名同学中选3名排在中间3个位置上，有偿种方法.

根据分步乘法计数原理，共有解•用=1800（种）方法.

⑶把位置作为研究对象.

第一步，从甲、乙以外的5名同学中选2名排在首末2个位置，有6种方法；

第二步，从剩下的5名同学中选出3名排在中间3个位置上，有点种方法.

根据分步乘法计数原理，共有依・屈=1200（种）方法.

⑷间接法.

总的可能情况有A：种，减去甲在首位的A；种排法，再减去乙在末位的用种排

法，注意到甲在首位，同时乙在末位的排法数被减去了两次，所以还需补回一

次屋种排法，所以共有国-2A,!+A[=1860(种)排法.

反思感悟排队问题的解题策略

排队问题除涉及特殊元素、特殊位置外，还往往涉及相邻、不相邻、定序等问

题.

(1)对于相邻问题，可采用“捆绑法”解决.即将相邻的元素视为一个整体进行

排列.

(2)对于不相邻问题，可采用“插空法”解决.即先排其余的元素，再将不相邻的

元素插入空中.

(3)对于定序问题，可采用“除阶乘法”解决.即用不限制的排列数除以顺序一

定元素的全排列数.

(4)对于“在”与“不在”问题，可采用“特殊元素优先考虑，特殊位置优先安

排”的原则解决.

跟踪训练2三个女生和五个男生排成一排.

(1)如果女生必须全排在一起，可有多少种不同的排法？

(2)如果女生必须全分开，可有多少种不同的排法？

(3)如果两端都不能排女生，可有多少种不同的排法？

(4)如果两端不能都排女生，可有多少种不同的排法？

解(1)(捆绑法)因为三个女生必须排在一起，所以可以先把她们看成一个整

体，这样同五个男生合在一起共有六个元素，排成一排有点种不同的排法，对

于其中的每一种排法，三个女生之间又有A：种不同的排法.因此共有点・用=4

320(种)不同的排法.

(2)(插空法)要保证女生全分开，可先把五个男生排好，每两个相邻的男生之间

留出一个空位，这样共有四个空位，加上两边男生外侧的两个位置，共有六个

位置，再把三个女生插入这六个位置中，只要保证每个位置至多插入一个女

生，就能保证任意两个女生都不相邻，由于五个男生排成一排有虐种不同排

法，对于其中任意一种排法，从上述六个位置中选出三个让三个女生插入都有

A；种排法，因此共有川•用=14400(种)不同的排法.

(3)方法一(位置分析法)因为两端都不能排女生，所以两端只能挑选五个男生

中的两个，有抬种不同的排法，对于其中的任意一种不同的排法，其余六个位

置都有片种不同的排法，所以共有盾・廉=14400（种）不同的排法.

方法二（间接法）三个女生和五个男生排成一排共有A；种不同的排法，从中扣

除女生排在首位的A1•A；种排法和女生排在末位的A；•A；种排法，但两端都是女

生的排法在扣除女生排在首位的情况时被扣去一次，在扣除女生排在末位的情

况时又被扣去一次，所以还需加回来一次，由于两端都是女生有解•就种不同

的排法，所以共有A：—2A；・A；+A；•熄=14400（种）不同的排法.

方法三（元素分析法）从中间六个位置挑选三个让三个女生排入，有屋种不同

的排法，对于其中的任意一种排法，其余五个位置又都有点种不同的排法，所

以共有解・1=14400（种）不同的排法.

（4）方法一（位置分析法）因为只要求两端不都排女生，所以如果首位排了男

生，那么末位就不再受条件限制了，这样可有种不同的排法；如果首位

排女生，有A：种排法，那么末位就只能排男生，这样可有种不同的排

法，因此共有AhA；+A；•A；•A；=36000（种）不同的排法.

方法二（间接法）三个女生和五个男生排成一排共有A；种不同的排法，从中扣

除两端都是女生的排法依・A；种，就得到两端不都是女生的排法种数.因此共

有A；-A；•就=36000（种）不同的排法.

【跟踪训练】

1.解等于（）

A.9X3B.93

C.9X8X7D.9X8X7X6X5X4X3

答案C

2.89X90X91X92X…X100可表示为（）

A.A僚B.A；ioC.A京D.A*

答案C

1X2X-X100100!

解析89X90X91X92义…义妙=[x2X…X88=丽厂=人状12

3.3位老师和3名学生站成一排，要求任何学生都不相邻，则不同的排法种数

为（）

A.144B.72C.36D.12

答案A

解析先将老师排好，有屋种排法，形成4个空，将3名学生插入4个空中,

有A：种排法，故共有A滤=144(种)排法.

4.

答案36

A；—A；7义6解一6内.a

解析-7i—----7i----=36

5.用1,2,3,4,5,6,7组成没有重复数字的七位数，若1,3,5,7的顺序一定，则

有个七位数符合条件.

答案210

解析若1,3,5,7的顺序不定，则4个数字有A；=24(种)排法，故1,3,5,7的

顺序一定的排法只占全排列种数的士.故有±XA；=210(个)七位数符合条件.

【课堂小结】

1.知识清单：

⑴排列数、排列数公式.

(2)全排列、阶乘、0!=1.

⑶排列数的应用：排队问题(相邻、不相邻、定序等问题).

2.方法归纳：直接法、优先法、捆绑法、插空法、除阶乘法、间接法.

3.常见误区：忽视A：中“n,mWN*”这个条件.

【同步练习】

g基础巩固

1.设m£N*,且水15,则服,等于()

A.(20—m)(21—m)(22—m)(23—m)(24—m)(25—m)

B.(20—m)(19—m)(18—m)(17—m)(16—m)

C.(20-m)(19—m)(18—m)(17—m)(16—m)(15—m)

D.(19—m)(18—m)(17—m)(16—m)(15—m)

答案C

解析是指从20-m开始依次小1的连续的6个数相乘，即(20—m)(19—

m)(18—m)(17—m)(16—m),(15—m).

2.已知A3—A：=io,则n的值为()

A.4B.5C.6D.7

答案B

解析由A、1一A：=10,得(n+l)n—n(n—1)=10，解得n=5.

3.有4名司机，4名售票员要分配到4辆汽车上，使每辆汽车上有一名司机和

一名售票员，则可能的分配方法有()

A.A；种B.解种

C.A：A；种D.2A；种

答案C

解析司机、售票员各有A；种分配方法，由分步乘法计数原理知，共有A；A：种

不同的分配方法.

4.要从a,b,c,d,e5个人中选出1名组长和1名副组长，但a不能当副组

长，则不同的选法种数是()

A.20B.16C.10D.6

答案B

解析不考虑限制条件有用种选法，若a当副组长，有A：种选法，故a不当副

组长，有麒一2=16(种)选法.

5.一排9个座位坐了3个三口之家，若每家人坐在一起，则不同的坐法种数为

()

A.3X3!B.3X(3!)3C.(3!)4D.9!

答案C

解析利用“捆绑法”求解，满足题意的坐法种数为AM(A》3=(3!)'.故选C.

6.某高三毕业班有40人，同学之间两两彼此给对方仅写一条毕业留言，那么

全班共写了条毕业留言.(用数字作答)

答案1560

解析根据题意，得鼠=1560,故全班共写了1560条毕业留言.

7.高三(一)班学生要安排毕业晚会的4个音乐节目，2个舞蹈节目和1个曲艺

节目的演出顺序，要求2个舞蹈节目不连排，则共有种不同的排法.

答案3600

解析不同排法的种数为A氏=3600.

8.从班委会的5名成员中选出3名分别担任班级学习委员、文娱委员与体育委

员，其中甲、乙二人不能担任文娱委员，则不同的选法共有种.（用数

字作答）

答案36

解析文娱委员有3种选法，则安排学习委员、体育委员有用=12（种）方法，

由分步乘法计数原理知，共有3X12=36（种）选法.

9.某次文艺晚会上共演出8个节目，其中2个唱歌节目、3个舞蹈节目、3个

曲艺节目，求分别满足下列条件的节目编排方法有多少种？

（1）一个唱歌节目开头，另一个放在最后压台；

（2）2个唱歌节目互不相邻；

⑶2个唱歌节目相邻且3个舞蹈节目不相邻.

解（1）先排唱歌节目有A；种排法，再排其他节目有解种排法，所以共有AQA；

=1440（种）排法.

⑵先排3个舞蹈节目和3个曲艺节目，有解种排法，再从其中7个空（包括两

端）中选2个排唱歌节目，有此种插入方法，所以共有山•用=30240（种）排

法.

（3）把2个相邻的唱歌节目看作一个元素，与3个曲艺节目排列，共有A：种排

法，再将3个舞蹈节目插入，共有虐种插入方法，最后将2个唱歌节目互换位

置，有用种排法，故所求排法共有A；•AM片=2880（种）排法.

10.用0,1,2,3,4五个数字：

（1）可组成多少个五位数？

（2）可组成多少个无重复数字的五位数？

（3）可组成多少个无重复数字的且是3的倍数的三位数？

（4）可组成多少个无重复数字的五位奇数？

解（1）各个数位上的数字允许重复，故由分步乘法计数原理知，共有

4X5X5X5X5=2500（个）符合要求的数.

（2）方法一先排万位，从1,2,3,4中任取一个有A：种方法，其余四个位置四个

数字共有A；种方法，故共有A：•A；=96（个）符合要求的数.

方法二先排0,从个、十、百、千位中任选一个位置将0填入，有A；种方

法，其余四个数字全排有A；种方法，故共有A；・A：=96（个）符合要求的数.

（3）构成3的倍数的三位数，各个位上数字之和是3的倍数，按取0和不取0分

类：

①取0,从1和4中取一个数，再取2进行排列，先填百位有A；种方法，再填

其余位有虐种方法，故有2XA；•屐种方法.

②不取0,则只能取3,从1或4中再任取一个，再取2,然后进行全排，有

2XA：种方法，

所以共有2XA；・甫+2义用=8+12=20（个）符合要求的数.

（4）考虑特殊位置个位和万位，先填个位，从1,3中选一个填入个位，有A；种方

法，然后从剩余3个非0数中选一个填入万位，有A；种方法，包含0在内还有

3个数在中间三位置上全排列，排列数为A；,

故共有A；•A；•用=36（个）符合要求的数.

g综合运用

11.（多选）下列各式中与排列数A：相等的是（）

B.n(n—1)(n-2)•••(n-m)

nA"

D.