高中数学数列专项练习 数列求和

数列求和的四种常见类型

类型1.公式法求和：用等差(等比)数列求和公式.

例1.(2018年全国2卷)记S“为等差数列｛/｝的前"项和，已知4=-7,S3=-15.

(1)求｛4｝的通项公式；

(2)求S“，并求S”的最小值.

解析：(1)设｛4｝的公差为4,由题意得3q+3。=—15,由q=-7,得d=2,所以仅“｝

的通项公式为4=2〃-9.

(2)代入等差数列求和公式，得S“=〃2-8〃=(〃-4)2—16,所以当〃=4时，S“取到最

小值，且最小值为-16.

例2.(2020新高考2卷)已知公比大于1的等比数列｛4｝满足4+%=20,%=8.

(1)求他“｝的通项公式；

(2)求—02a3+…+(―D"'•

,、a,+a,=a.q+a,cf=20

解析：⑴设等比数列｛4｝的公比为q(0>l),贝"24,7",

a3=a｝q=8

整理可得：2/一54+2=0,•••4>1M=2,4=2,数列的通项公式为：an=2-2'"'=2".

-1n+,2n+1

(2)由于：(-ifanan+l=(-I)"x2"x2=(-if2,故:

-13579-12n+1

axa2-a2a3+...+(-1)"anan+i=2-2+2-2+...+(-I)"•2

类型2.裂项求和

i.分母是等差数列相邻两项乘积，则I：——匚)，贝I：

44+1danan+l

111111

1F....d=—(-----------).

a\a2--〃2。3----------anan+\

1

2.有理化后求和：a=-V/i-i.

ny[n+y/n-l

T_1

3.指数式裂相求和:

(2"+l)-(2n+,+l)-2"+l2n+l+1

三类应用：①裂相求和；②证明不等式；③求范围.

2

例3.(2015年全国2卷)S“为数列｛%｝的前〃项和，已知a“>0,an+2a„=4S„+3.

(1)求｛%｝的通项公式;

(2)设a=—!—,求数列打的前〃项和.

《4+1

解析：(1)a,+；+2%=4s向+3与已知作差得：U,+i+«„X«„+I-«„-2)=0,

a“+i一4=2,当〃=1时，4=3,=2〃+1.

(2)b；11_______1=-{-__1〃

"一(2〃+1*2〃+3)一42〃+12〃+3/-2U2〃+3厂6〃+9，

类型3：错位相减

型如｛(kn+b)q"｝(q丰1)的数列求和，其基本解题步骤如下:

Stepl：由题可得：an-bn=

Step2：故骞=0tbi+....+a„bn①，q-Tn=a也+....+。也+i②

Step3：由①一②得：(1—/骞=44—。/田+纳上二动

q-i

Step4：化简：T“=____________________

例4.(2020年新课标全国卷117)设｛〃“｝是公比不为1的等比数列，q为。2,%的等差中项.

(1)求他“｝的公比;

(2)若，4=1，求数列｛"4,｝的前〃项和.

2

解析：(1)设公比为4,得2q=“2+%，即2q=qg+qq2,g+g-2=0,得q=l(舍

去)，q=-2.

(2)设S.为｛w“｝的前”项和，由(1)及题设可得，4=(-2)"T,所以

S“=]+2x(-2)+…+〃x(-2)j①，

-2S"=一2+2x(-2)2+…+(〃-1)x(-2)"T+〃x(—2)"②，用QHD可得：

1n

3Sn=l+(-2)+(-2>+…+(-2严-(-2)"=J*_„x(-2).

故S」_(3〃+1)(-2)".

"99

类型4.分组求和

适用对象：主要适用于通项是由两部分不同的形式构成的数列，其次还适用于一些几项放

在一起可以化简的数列.

例如：｛%+/｝型，可分别单独求出｛。“｝,｛勿｝的前〃项和再求和.或者分段型，具体见下

面的2021新高考1卷.

例5.(2021新高考1卷).已知数列｛4｝满足4=1,—I""*：,21聂’

［。〃+2(九为偶数).

(1)记2=%，写出a,伪，并求数列也｝的通项公式；

(2)求｛q｝的前20项和.

解析：(1)由题设可得瓦—=q+1=2,仇=。4=“3+1="2+2+1=5

aa

又2k+2=%k+l+1，4AM=+2，故的*+2=2k+3即%=斗+3即一4=3

所以也｝为等差数列，故勿=2+(〃-1)X3=3/LL

⑵设｛《,｝的前20项和为$20，贝！1S20=4+。2+。3+…+。20，进一步分组可得：

§20=〃1+〃2+.-•+〃2()=(41++,••+。凶)+(〃,+〃4+•■•+。20)

因为4=。2-1，。3=。4一1，…，。19=。20-1，所以$20=2(%+%+…+《8+%。)-1。

=2(4+/..+%+九)-10=2乂110乂2+与%3卜10=300.

除上例之外，分组求和还适用于出现摆动数列｛(-1)%“｝型中，具体解法见下例.

例7.(2014年湖南文科)已知数列｛/｝的前〃项和S“=£1±,〃eN*.

(1)求数列｛凡｝的通项公式；

(2)设d=2%+(—“%〃，求数列物,｝的前2〃项和.

解析：(1)当〃=1时，4=5=1；

当〃之2时，4=S“_“=_(〃-1)；(〃-1)=",故数列｛凡｝的通向公式为：

4="•

(2)由(1)知，4=2"+(-1)”“，记数列｛"｝的前2〃项和为&,则

J=(21+22+...+22")+(-1+2-3+4-...+2〃)，进一步，若记A=21+2?+...+22",

3=—1+2—3+4—...+2“，分别求和可得：

2n+1

A=2(J2)=2-2,5=(―1+2)+(―3+4)+...+[―(2〃-1)+2〃]=n,

1—2

故数列他“｝的前〃项和为2,,+I

2T2II=A+B=2+〃-2.

1"—n,n-1k—1

注：此处4是一个分段形式：2=/eN+,分组求和是处理分段形式

2"+n,n=2k

的数列求和的一把利器!

（2018年天津）.设｛4｝是等比数列，公比大于0,其前n项和为S.（〃eN*）,也｝是等

差数列.已知4=1,%=%+2，。4=4+々，。5=2+24.

（I）求｛%｝和也｝的通项公式；

（II）设数列｛S"｝的前n项和为7；（（€*）,

（i）求北;

。（1+4+2）42”2（、

⑴证明工+1）屋2）==一2（2）.

详解：（/）设等比数列｛4｝的公比为q.由4=1,%=。2+2,

可得/—g—2=0.因为4>0,可得g=2,故q=2”，

设等差数列他,｝的公差为d,由4=4+4，可得3d=4.

由%=仇+2b6,可得3向+13d=16,

从而仇=l,d=1,故〃=几

所以数列｛q｝的通项公式为=2"T,

数列｛〃｝的通项公式为2=几

l-2n

(//)(/)由(/),有S“一1,

〃1-2

〃/、〃2x(l-2〃)

故(=X(2"_1)=X2*_〃=--------—〃=2角一〃一2・

hik=i1-2

(/7)因为([+以2应_(2*M/_2+\+2)叱..―2k包21

(攵+1)仕+2)(攵+1)(攵+2)伏+1)伏+2)k+2k+\'

«(T+b)b(232?)(2423)(2n+22向)2),+2。

所以，k——k+2k=-------+--------+•••+-------------=--------2

金(Z+1)(4+2)(321(43)[〃+2n+lJn+2

真题演练

,、9

（2021浙江卷）已知数列｛4｝的前〃项和为S",且4s“+1=3S“—9.

（1）求数列｛《,｝的通项;

（2）设数列也｝满足地+（〃-4）《,=0,记也｝的前"项和为7.，若（4独，对任意

〃£N*恒成立，求之的范围.

92727

【详解】(1)当〃=1时，4(%+4)=3%-9,4a,=--9=-----a

-44216

当〃N2时，由4se=3S”—9①，得4S“=3s,i-9②，①一②得=3an

。2=一。,.'./。，.'.■^■二］,又a3..93

1^74」7=：，•.•｛4｝是首项为-：，公比为三的等比数

16an44444

列,

976

4

〃一43

(2)由32+(〃-4)勺=0,得瓦—«„=(»-4)(-)",

23

3f33、⑶4

所以7；=-3x--2x-I-1X+0xa+…+(力-4).—j

41447

4

%"(J-2x(1)-lx3、+…+(〃—5).图+(〃—4＞图

4〃+1

两式相减得，7；=—3x3+（。］「3丫3、

++一(〃-4)・1

4n4⑷

9

916-("4)图

—一+一

46

〃+1

=-2+2.43—(〃—4).图=-〃•图

44

3

所以，二-4〃・(/田，

由7；V池,得一4〃•(1)"”44(〃一4)•(李"恒成立，

即