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文档简介
数列求和的四种常见类型
类型1.公式法求和:用等差(等比)数列求和公式.
例1.(2018年全国2卷)记S“为等差数列{/}的前"项和,已知4=-7,S3=-15.
(1)求{4}的通项公式;
(2)求S“,并求S”的最小值.
解析:(1)设{4}的公差为4,由题意得3q+3。=—15,由q=-7,得d=2,所以仅“}
的通项公式为4=2〃-9.
(2)代入等差数列求和公式,得S“=〃2-8〃=(〃-4)2—16,所以当〃=4时,S“取到最
小值,且最小值为-16.
例2.(2020新高考2卷)已知公比大于1的等比数列{4}满足4+%=20,%=8.
(1)求他“}的通项公式;
(2)求—02a3+…+(―D"'•
,、a,+a,=a.q+a,cf=20
解析:⑴设等比数列{4}的公比为q(0>l),贝"24,7",
a3=a}q=8
整理可得:2/一54+2=0,•••4>1M=2,4=2,数列的通项公式为:an=2-2'"'=2".
-1n+,2n+1
(2)由于:(-ifanan+l=(-I)"x2"x2=(-if2,故:
-13579-12n+1
axa2-a2a3+...+(-1)"anan+i=2-2+2-2+...+(-I)"•2
类型2.裂项求和
i.分母是等差数列相邻两项乘积,则I:——匚),贝I:
44+1danan+l
111111
1F....d=—(-----------).
a\a2--〃2。3----------anan+\
1
2.有理化后求和:a=-V/i-i.
ny[n+y/n-l
T_1
3.指数式裂相求和:
(2"+l)-(2n+,+l)-2"+l2n+l+1
三类应用:①裂相求和;②证明不等式;③求范围.
2
例3.(2015年全国2卷)S“为数列{%}的前〃项和,已知a“>0,an+2a„=4S„+3.
(1)求{%}的通项公式;
(2)设a=—!—,求数列打的前〃项和.
《4+1
解析:(1)a,+;+2%=4s向+3与已知作差得:U,+i+«„X«„+I-«„-2)=0,
a“+i一4=2,当〃=1时,4=3,=2〃+1.
(2)b;11_______1=-{-__1〃
"一(2〃+1*2〃+3)一42〃+12〃+3/-2U2〃+3厂6〃+9,
类型3:错位相减
型如{(kn+b)q"}(q丰1)的数列求和,其基本解题步骤如下:
Stepl:由题可得:an-bn=
Step2:故骞=0tbi+....+a„bn①,q-Tn=a也+....+。也+i②
Step3:由①一②得:(1—/骞=44—。/田+纳上二动
q-i
Step4:化简:T“=____________________
例4.(2020年新课标全国卷117)设{〃“}是公比不为1的等比数列,q为。2,%的等差中项.
(1)求他“}的公比;
(2)若,4=1,求数列{"4,}的前〃项和.
2
解析:(1)设公比为4,得2q=“2+%,即2q=qg+qq2,g+g-2=0,得q=l(舍
去),q=-2.
(2)设S.为{w“}的前”项和,由(1)及题设可得,4=(-2)"T,所以
S“=]+2x(-2)+…+〃x(-2)j①,
-2S"=一2+2x(-2)2+…+(〃-1)x(-2)"T+〃x(—2)"②,用QHD可得:
1n
3Sn=l+(-2)+(-2>+…+(-2严-(-2)"=J*_„x(-2).
故S」_(3〃+1)(-2)".
"99
类型4.分组求和
适用对象:主要适用于通项是由两部分不同的形式构成的数列,其次还适用于一些几项放
在一起可以化简的数列.
例如:{%+/}型,可分别单独求出{。“},{勿}的前〃项和再求和.或者分段型,具体见下
面的2021新高考1卷.
例5.(2021新高考1卷).已知数列{4}满足4=1,—I""*:,21聂’
[。〃+2(九为偶数).
(1)记2=%,写出a,伪,并求数列也}的通项公式;
(2)求{q}的前20项和.
解析:(1)由题设可得瓦—=q+1=2,仇=。4=“3+1="2+2+1=5
aa
又2k+2=%k+l+1,4AM=+2,故的*+2=2k+3即%=斗+3即一4=3
所以也}为等差数列,故勿=2+(〃-1)X3=3/LL
⑵设{《,}的前20项和为$20,贝!1S20=4+。2+。3+…+。20,进一步分组可得:
§20=〃1+〃2+.-•+〃2()=(41++,••+。凶)+(〃,+〃4+•■•+。20)
因为4=。2-1,。3=。4一1,…,。19=。20-1,所以$20=2(%+%+…+《8+%。)-1。
=2(4+/..+%+九)-10=2乂110乂2+与%3卜10=300.
除上例之外,分组求和还适用于出现摆动数列{(-1)%“}型中,具体解法见下例.
例7.(2014年湖南文科)已知数列{/}的前〃项和S“=£1±,〃eN*.
(1)求数列{凡}的通项公式;
(2)设d=2%+(—“%〃,求数列物,}的前2〃项和.
解析:(1)当〃=1时,4=5=1;
当〃之2时,4=S“_“=_(〃-1);(〃-1)=",故数列{凡}的通向公式为:
4="•
(2)由(1)知,4=2"+(-1)”“,记数列{"}的前2〃项和为&,则
J=(21+22+...+22")+(-1+2-3+4-...+2〃),进一步,若记A=21+2?+...+22",
3=—1+2—3+4—...+2“,分别求和可得:
2n+1
A=2(J2)=2-2,5=(―1+2)+(―3+4)+...+[―(2〃-1)+2〃]=n,
1—2
故数列他“}的前〃项和为2,,+I
2T2II=A+B=2+〃-2.
1"—n,n-1k—1
注:此处4是一个分段形式:2=/eN+,分组求和是处理分段形式
2"+n,n=2k
的数列求和的一把利器!
(2018年天津).设{4}是等比数列,公比大于0,其前n项和为S.(〃eN*),也}是等
差数列.已知4=1,%=%+2,。4=4+々,。5=2+24.
(I)求{%}和也}的通项公式;
(II)设数列{S"}的前n项和为7;((€*),
(i)求北;
。(1+4+2)42”2(、
⑴证明工+1)屋2)==一2(2).
详解:(/)设等比数列{4}的公比为q.由4=1,%=。2+2,
可得/—g—2=0.因为4>0,可得g=2,故q=2”,
设等差数列他,}的公差为d,由4=4+4,可得3d=4.
由%=仇+2b6,可得3向+13d=16,
从而仇=l,d=1,故〃=几
所以数列{q}的通项公式为=2"T,
数列{〃}的通项公式为2=几
l-2n
(//)(/)由(/),有S“一1,
〃1-2
〃/、〃2x(l-2〃)
故(=X(2"_1)=X2*_〃=--------—〃=2角一〃一2・
hik=i1-2
(/7)因为([+以2应_(2*M/_2+\+2)叱..―2k包21
(攵+1)仕+2)(攵+1)(攵+2)伏+1)伏+2)k+2k+\'
«(T+b)b(232?)(2423)(2n+22向)2),+2。
所以,k——k+2k=-------+--------+•••+-------------=--------2
金(Z+1)(4+2)(321(43)[〃+2n+lJn+2
真题演练
,、9
(2021浙江卷)已知数列{4}的前〃项和为S",且4s“+1=3S“—9.
(1)求数列{《,}的通项;
(2)设数列也}满足地+(〃-4)《,=0,记也}的前"项和为7.,若(4独,对任意
〃£N*恒成立,求之的范围.
92727
【详解】(1)当〃=1时,4(%+4)=3%-9,4a,=--9=-----a
-44216
当〃N2时,由4se=3S”—9①,得4S“=3s,i-9②,①一②得=3an
。2=一。,.'./。,.'.■^■二],又a3..93
1^74」7=:,•.•{4}是首项为-:,公比为三的等比数
16an44444
列,
976
4
〃一43
(2)由32+(〃-4)勺=0,得瓦—«„=(»-4)(-)",
23
3f33、⑶4
所以7;=-3x--2x-I-1X+0xa+…+(力-4).—j
41447
4
%"(J-2x(1)-lx3、+…+(〃—5).图+(〃—4>图
4〃+1
两式相减得,7;=—3x3+(。]「3丫3、
++一(〃-4)・1
4n4⑷
9
916-("4)图
—一+一
46
〃+1
=-2+2.43—(〃—4).图=-〃•图
44
3
所以,二-4〃・(/田,
由7;V池,得一4〃•(1)"”44(〃一4)•(李"恒成立,
即
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