高中数学 同步导学 椭圆

2.2椭圆

【基础知识梳理】：

1.椭圆的定义：平面内与两定点&,F2的距离的和的点的轨迹叫做椭圆。

这两个定点叫做椭圆的两焦点之间的距离叫做椭圆的.

22

2.椭圆的标准方程：椭圆「+鼻=1（a〉b>0）的中心在,焦点在________轴上，

a

焦点的坐标分别是是居,F2；

22

椭圆鼻+三=1（a>b>0）的中心在，焦点在轴上，焦点的坐标

a~b

分别是E,&.

3.几个概念：椭圆与对称轴的交点，叫作椭圆的.a和b分别叫做椭圆的长

和——长。椭圆的焦距是a,b,c的关系式是

椭圆的与的比称为椭圆的离心率，记作e=,e的范围是.

离心率e越接近1,椭圆越_____；离心率e越接近0,椭圆越_____.

【典型例题分析】：

例1.（2006全国II卷文、理）已知△/根的顶点氏C在椭圆k+/=l上，顶点力是椭圆的一个

焦点，且椭圆的另外一个焦点在比■边上，则的周长是（）

（4）24（8）6（O473（力12

例2.（2012全国新课标文、理）设百，乃是椭圆八二+二=1（。

ah

>h>0）的左、右焦点，P为直线x=T■上一点，△鸟P片是底

角为30°的等腰三角形，则E的离心率为（）

例3.（2016全国I文）直线/经过椭圆的一个顶点和一个焦点,若椭圆中心到1的距离为其短轴长的点

则该椭圆的离心率为（）

1123

（A）]（B）2（C）1（D）a

例4.（2011全国新课标卷理）在平面直角坐标系X。）中，椭圆C的中心为原点，焦点耳，耳在x轴上,

离心率为孝。过月的直线乙交C于4,8两点，且A4BF2的周长为16,那么。的方程为

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［基础训练】

1.（2015广东文）己知椭圆±+'=1（m＞0）的左焦点为耳（一4,0）,则加=（）

—25m2

B.4C.3D.2

fv2J3

2.（2014全国大纲文、理）已知椭圆C：r+1=1（。＞人＞0）的左、右焦点为耳、居，离心率为—，

ab3

过鸟的直线/交C于A、B两点，若的周长为4百，则C的方程为（）

3.（2013广东文）已知中心在原点的椭圆C的右焦点为F（l,0）,离心率等于L,则c的方程是（）

2

4.（2001春招北京、内蒙、安徽文）已知巴、尸2是椭圆展+事=1的两焦点，过点尸2的直线

交椭圆于点A、B,若|A8|=5,则|AG|+|86|=（）

（A）II（B）10（C）9（D）16v

5.（2003北京文）如图，直线/:x—2y+2=O过椭圆的左焦点

B和一个顶点B,该椭圆的离心率为（）

6.（2009江西理）过椭圆鼻+与=1（。＞。＞0）的左焦点月作x轴的垂线交椭圆于点尸，工为

右焦点，若N「PB=60，则椭圆的离心率为（）

&611

A.-----B.-----C.-D.一

2323

7.（2010广东文）若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列，则该椭圆的离心率是（）

4321

A.-B.-C.-D・一

5555

8.（2005全国卷IH文、理）设椭圆的两个焦点分别为FL、F2,过F2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P,

若△BPF2为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是（）

A.—B.也二1C.2-V2D.V2-1

22

9.（2013全国大纲文）己知尸1（一1,0）,6（1,0）是椭圆C的两个焦点，过尸2且垂直于x轴的直线交C

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于A,B两点,且|AB|=3,则C的方程为()・

2丫222222

rxyi

A.--+V=1B.=1c.—+—=1D.—+—=1

2324354

10.（2004湖北理）已知椭圆二+±=1的左、右焦点分别为6、&,点P在椭圆上，若P、Fl、Fz

1691

是一个直角三角形的三个顶点，则点P到x轴的距离为（）

99779

（A）-（B）3（C）（D）-

574

11.（2012四川理）椭圆土+匕=1的左焦点为尸，直线》=机与椭圆相交于点A、B,当"AB的

43

周长最大时，AE43的面积是。

7

12.（2008全国I卷理）在△A3C中，AB=BC,cos5=一一.若以A5为焦点的桶圆经过点C,

18

则该椭圆的离心率e=.

13.（2009广东理）巳知椭圆G的中心在坐标原点，长轴在x轴上，离心率为X二，且G上一点到G的

2

两个焦点的距离之和为12,则椭圆G的方程为.

14.（2011江西理）若椭圆/+%=1的焦点在x轴上，过点（I,/）作圆f+y2=i的切线，切点

分别为A,B,直线AB恰好经过椭圆的右焦点和上顶点，则椭圆方程是.

15.（2010全国I卷文、理）已知F是椭圆C的一个焦点，B是短轴的一个端点，线段BF的延长线交C

于点D,且方=2而，则C的离心率为

v-22

16.（2015全国新课标I卷理）一个圆经过椭圆二+v匕•=1的三个顶点，且圆心在x轴上，则

164

该圆的标准方程为—0

17.（2014安徽理）设片，鸟分别是椭圆后：/+方=1（0＜。＜1）的左、右焦点，过点耳的直线交椭

圆E于AB两点，若|A用=3忸胤,46，》轴，则椭圆E的方程为

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［巩固练习】

?2

1.（2013辽宁文）已知椭圆C：5+方=1（。＞4°）的左焦点为尸，C与过原点的直线相交于A,8两

4

点，连接AF,BF.若依阴=10,|B同=8,cos/A8尸=弓，则C的离心率为（）

2.（2016全国ID文、理）已知。为坐标原点，尸是椭圆C：、•+5■=1（。＞。〉0）的左焦点，A,B

ab"

分别为。的左，右顶点.P为C上一点，且PFJ_x轴..过点A的直线/与线段PR交于点M,

与y轴交于点E.若直线3M经过。E的中点，则C的离心率为（）

1123

（A）-（B）-（C）-（D）-

3234

3.（2007福建理）已知正方形ABCD,则以A、B为焦点，且过C、D两点的椭圆的离心率为.

4.（2006上海理）已知椭圆中心在原点，一个焦点为0）,且长轴长是短轴长

的2倍，则该椭圆的标准方程是.

5.（2008海南、宁夏文）过椭圆±-+二=1的右焦点作一条斜率为2的直线与椭圆交于A、B两点，

54

O为坐标原点，则aOAB的面积为

X2V2

6.（2009上海文、理）已知/、尸2是椭圆C：-r+J=1Ca＞b＞0）的两个焦点，

b

P为椭圆C上一点，且丽，丽.若工的面积为9,贝IJ。二.

22

7、（2012江西理）椭圆「+:=1（。＞人＞0）的左、右顶点分别是A,B,左、右焦点分别是耳，居。

a-b

若|4耳耳工|,|月0成等比数列，则此椭圆的离心率为.

8.（2014江西文）设椭圆。：£+点■=1（。＞匕＞0）的左右焦点为《，F2,作鸟作X轴的垂线与。交

于A,8两点，£8与y轴交于点。，若则椭圆C的离心率等于.

元221

9、（2015浙江文）椭圆靛+齐=1（a＞b＞0）的右焦点F（c,0）关于直线旷=—x的对称点Q在椭

圆上，则椭圆的离心率是.

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专题辅导：直线与椭圆的综合问题

【基础知识梳理】：

1.解答直线与圆锥曲线相交问题的一般步骤为：设线、设点，联立、消元，韦达、代入、化简。

2.弦中点问题的特殊解法-一点差法：

21+k2x2

3.弦长公式：|AB|=Vl+k|x,-x2|=7（）[（i+x2）-4x^2]（k为弦AB所在直线的斜率）

【典型例题分析】：

22

例1.（2010辽宁文）设£,居分别为椭圆。:三+2r=1（a>人>0）的左、右焦点，过居的直线/与

a~b~

椭圆C相交于A,8两点，直线/的倾斜角为60,大到直线/的距离为2百.

（I）求椭圆C的焦距；（H）如果求椭圆C的方程.

例2.（2011四川文）过点C（0,1）的椭圆鸟+¥=1（4>%>0）的离心率为正，椭圆与x轴交于

a2b22

两点4",0）、A（-«,0）,过点C的直线/与椭圆交于另一点力,

并与x轴交于点尸，直线AC与直线2。交于点Q.

（I）当直线/过椭圆右焦点时;求线段CC的长；

（II）当点P异于点B时，求证：OPOQ为定值.

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［基础训练】

1.(2010全国新课标理)设片，工分别是椭圆E:二+当=1(a>b>0)的左、右焦点，过£斜率

ab

为1的直线1与E相较于A,B两点，且|A片忸g|成等差数列.

(I)求E的离心率；(II)设点P(0,T)满足|24|=归用，求E的方程.

2.(2012北京文)已知椭圆C：=+与=1(a>b>0)的一个顶点为A(2,0),离心率为---，

Qb~2

直线y=k(x-l)与椭圆C交与不同的两点M,N。

(I)求椭圆C的方程；(II)当4AMN的面积为典时，求k的值

3

3.(2009山东理)设椭圆E:=+二=l(a,b>0)过M(2,、历),N(、/,1)两点，O为坐标原点.

a"b"

(I)求椭圆E的方程；(II)是否存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒

有两个交点A,B,且。4_LOB?若存在，写出该圆的方程，并求AB的取值范围，若不存在说明理由。

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15.（2011北京文）已知椭圆6:5+亲•=l（a>b>0）的离心率为千，右焦点为（2户万。斜率为

1的直线/与椭圆G交于A,B两点，以A3为底边作等腰三角形，顶点为尸（-3,2）。

（I）求椭圆G的方程；（II）求MAB的面积。

16.（2011上海文）已知椭圆C:j+y2=l（常数加>1）,点p是。上的动点，M是右顶点，

m'

定点A的坐标为（2,0）o（1）若M与A重合，求C的焦点坐标；

（2）若加=3,求|PA|的最大值与最小值；（3）若|P4|的最小值为|MA|,求m的取值范围。

/3

17.（2009广东文）已知椭圆G的中心在坐标原点,长轴在x轴上,离心率为5两个焦点分别为匕和工,

椭圆G上一点到6和F2的距离之和为12.圆6：/+>2+2kx-4y-21=0（keR）的圆心为点义.

（1）求椭圆G的方程；（2）求△儿耳与面积；（3）问是否存在圆Q包围椭圆G?请说明理由。

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3

18.(2009辽宁文、理)已知椭圆C过点A(l,]),两个焦点为(-1,0),(1,0)。

(1)求椭圆C的方程；(2)E,F是椭圆C上的两个动点，如果直线AE的斜率与AF的斜率

互为相反数，证明直线EF的斜率为定值，并求出这个定值。

19..(2005湖北文、理)设A、B是椭圆3/+V=丸上的两点，点N(1,3)是线段AB的中点，线段

AB的垂直平分线与椭圆相交于C、D两点.(I)确定；I的取值范围，并求直线AB的方程；

(II)试判断是否存在这样的4,使得A、B、C、D四点在同一个圆上？并说明理由.

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2.2椭圆参考答案

【典型例题分析】：

x2y2

例1.3,例2.C；例3.B；例4.—+上-=1。

168

［基础训练】

1.C；2.A；3.D；4.A；5.D；6.B7.B8.D9.C10.D

23…/273

11.12.-；13.—+—=1；14.—+—=1；15.—

38369543

16.+/="；17.x2+=1；

I2；342

3

二、直线与椭圆的综合问题

【典型例题分析】:

22

例1.（2010辽宁文）设耳，与分别为椭圆C:5+齐=13>8>0）的左、右焦点，过K的直线/与

椭圆C相交于A,3两点，直线/的倾斜角为60，月到直线/的距离为2百.

（I）求椭圆C的焦距;（II）如果A居=263,求椭圆C的方程.

解：（I）设焦距为2c,由已知可得式到直线/的距离限=2百，故c=2.

所以椭圆C的焦距为4.

（11）设4%,y）,B®,%）,由题意知y<°，%>°，直线/的方程为y=百。一2）.

y=C(x-2),

2222A

联立《彳22^(3a+h)y+4y/3by-3b=0.

KF

—G/(2+2a)6/(2—2a)

解得y3a2+h2，y23a2+b2

因为整=26民所以一y=2y2.

⑶回(2+2。)®(2-2。)

=2.._.

得a=3.而〃2—/??=4,所以〃=A/5.

22

故椭圆。的方程为土+匕=1.

95

例2.（2011四川文）过点C（0,1）的椭圆［+¥=1（〃>分>0）的离心率为斗，椭圆与x轴交于

两点A（q,0）、A（-a,0）,过点C的直线1与椭圆交于另一点D,

并与x轴交于点尸，直线AC与直线8。交于点Q.

（I）当直线/过椭圆右焦点时，求线段CO的长；

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(II)当点P异于点8时，求证：OPOQ为定值.

解：(I)由已知得人=1,£=也，解得a=2,所以椭圆方程为上+丁=1.

a24

椭圆的右焦点为(6,0),此时直线/的方程为y=-*x+l,代入椭圆方程得

7/-8百x=0,解得占=0,々=竽，代入直线/的方程得yl=l,y2=-i,所以。(孚

故IC£>|==y-

(II)当直线/与x轴垂直时与题意不符.

设直线/的方程为y=履+1(%*0且4wg).代入椭圆方程得(4二+1)/+8日=0.

解得芯=0，w=昴、，代入直线/的方程得y=1,必，

所以。点的坐标为(二上丝).

4k+14k~+1

又直线AC的方程为］+y=l,乂直线BO的方程为y=\为(x+2),联立得

因此Q(-4Z,2k+1),又P(-Lo).所以OPOQ=(-4,0)(-4Z,2Z+1)=4.

kk

故OP。。为定值.

［基础训练】

x2y2

L(2010全国新课标理)设片,鸟分别是椭圆E：/+g=1(a>b>0)的左、右焦点，过£斜率

为1的直线1与E相较于A,B两点，且|Ag|,|AB|,忸可成等差数列.

(I)求E的离心率；(II)设点P(0,-1)满足|P4|=|PB|,求E的方程.

解：由椭圆定义知|4科+忸用+|AB|=4a,又21ABi=|AF2|+忸用得=

/的方程为y=x+c,其中c7a2一如

y=x+c

设A3,y),8(X2,J2),则A,B两点坐标满足方程组</y2

222222

化简得("+h)x+2acx+a(c-ft)=0

2Xc2-b2)

n.—Q.cica

则XI+X2=------7X\X2

a+ba2+b2

因为直线AB斜率为1,所以|AB|=0k”刈=,2[(XI+X2)2-4X1X2]

yla2-b2V2

得aa22b2E的离心率e=£

3a2+b2aa2

x\+X2-a2c2c

(II)设A6中点为N(xo,yo),由(I)知xo=-----=----7=——c,yo=xo+c=—

2a-\-b~33

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yo+1

由|RA|=|P同得左=一1=-1得c=3，a=30,b=3二轨迹E的方程为土+工=1

xo189

2.（2010福建理）已知中心在坐标原点0的椭圆C经过点A（2,3）,且点F（2,0）为其右焦点。

（1）求椭圆C的方程;（2）是否存在平行于0A的直线/,使得直线/与椭圆C有公共点,

且直线0A与/的距离等于4?若存在，求出直线/的方程；若不存在，请说明理由。

22

%y

解法一：（I）依题意，可设椭圆C的方程为「+1（a>b>0）,且可知左焦点为F'（—2,0）

从而有c=2解得c=2

2Q=|A/q+|A尸'|=3+5=8,a=4

22

222程为江卧

又a+b=c,所以。之=12,故椭圆C的方

（H）假设存在符合题意的直线/,其方程为丁=］3》+,

3

由y=—x+t得31+3次+/-12=0

-2

22

二+J1

1612

因为直线/与椭圆C有公共点，所以△=（3〃）—4x3（产-12）>0,

解得一4百

另一方面，由直线0A与/的距离。=4可得4,从而『=±2屈\

由于±2屈史14b,46］，所以符合题意的直线/不存在。

解法二：,

无2

（1）依题意，可设椭圆c的方程为・+1(a>b>0),且有:

a

49

a2+b21,解得〃=12或/=一3（舍去）。从而/=16

a2-b2=4

(II)同解法一

22

3.（2009山东理）设椭圆E:-7+=1（a,b>0）过M（2,y/l.）,N（5/6,1）两点，O为坐标原点.

（I）求椭圆E的方程;（ID是否存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒

有两个交点A,B,且。4J.0B?若存在，写出该圆的方程，并求ABI的取值范围，若不存在说明理由。

X2

解：（1）因为椭圆E:—+=1(a,b>0)过M(2,V2),N(灰,1)两点,

a

42

+1_1

一

层

217-2_Q22

。a8

所以<

61解得■所以4.椭圆E的方程为---F--=