高中数学1理 第五章

平面向量

1.平面向量线性运算的几何意义,数过积的定义、高考对本章内容的考查以基础题为主.主要

长度、角度问题及平面向玷数量积的坐标表示及考查内容命题特点考查三块内容：(1)平面向量的线性运算

运算是常考内容.及几何意义；(2)平面向量的数鼠积的定

2.有时向量也会作为解答题的一个条件出现,如义及长度、角度问题;(3)平面向角的数

量积的坐标表示.一般以选择题、填空题

与解析几何，三角函数等结合考查.

的形式直接进行考杳.难度不大.解答题中

有时与三角函数、解析儿何等内容综合考

荏.以一个已知条件的形式出现.

直接考查.分值为5分.

在接考查向试的试题•般为中等偏下难度.有时作直接法、公式法、转化法、数形结合法、

为一个已知条件在解答题中出现.要求能读懂向坐标法等.

量的含义,这种情况我们一般要么利用向量的儿

何意义来做.要么转化为向量的代数运算.

以考查数学运算与逻辑推理为主.

第一节平面向量的概念及线性运算

・梳教机•固基础----基固为根必备知识

［基础自梳］

1.向量的有关概念

(1)向量的定义：既有大小，又有左向的量叫向量，常用。或油表示.

(2)向量的模：向量的大小，即表示向量的有向线段的«叫做向量的模，记作⑷或

A

(3)几个特殊向量：

点

长度(模)方向

零向量0任返

单位向量1任意

相等向量相柔相同

相反向量相篁相反

平行向量相同或相反

2.向量的加法、减法与数乘

定义法则(或几何意义)运算律

(1)交换律：a

+b=b+

求两个向量和的运a；

加法

算⑵结合律：3

三角形法则+。)+C=

里行四边形法则a+(b+c)

向量a加上向量b

a~b=a+

减法的相反向量叫

(一力)

做a与》的差a

三角形法则

数乘实数2与向量a的积(l)|2a|=|A||a|；(1)如«)

的运算（2）当2>0时，而与a的方向=(2//)a；

相同;(2)a+")a=

当2<0时，zla与a的方向Aa+/za；

相反;(3)A(a+*)=

当丸=0时，za=OAa+劝

3.共线向量定理

向量Q（aWO）与b共线，当且仅当有唯一一个实数九使b=Xa

思考拓展

1.与向量”共线的单位向量为端.

2.两非零向量不共线求和时，两个法则都适用；共线时，只适用三角形法则.

3.4,B,C三点共线，。为A,B,C所在直线外任一点，则而+〃诙且2+〃=

1.

4.若矗=施，则A,B,C三点共线.

［基础自测］

1.（教材改编）如图，D,E,F分别是aABC各边的中点，则下列结论错误的是（）

\.EF=CD

B.赢与发共线

C.筋与诙是相反向量

D.AE=||AC|

［答案］D

2.（教材改编）如图，MBCD的对角线交于M,若矗=a,AD^b,用a,表示而为（）

A./a+于B，2«-

C.-2a—2*D・—5+%

［答案］D

3.（易错点：向量的加减法则）设M为平行四边行ABC。对角线的交点，。为平行四边

形4BCO所在平面内任意一点，则①+协+次+5b等于（）

A.痂B.2OMC.3OMD.4OM

［答案］D

4.（2018•全国I卷，T<,改编）在△ABC中.4。为BC边上的中线.则Q）用油和危表示

为.

［答案］AD—^AB+^AC

5.（易错点:向量的几何意义）若菱形ABCD的边长为2,则而一为+H>|=

［答案］2

・研考点•练方法,点明为纲关键能力

考点一向量的基本概念

［例1］(1)给出下列五个命题：

①两个向量相等，则它们的起点相同，终点相同；

②若⑷=|臼，则a=b；

③在nABCQ中，一定有赢=比；

④若，n=p,则，〃=p；

⑤若a〃分，b//c,则°〃，

其中不正确的个数是()

A.2B.3C.4D.5

B［两个向量起点相同，终点相同，则两个向量相等；但两个向量相等，不一定有相同

的起点和终点，故①不正确；|a|=|b|,但明方方向不确定，所以。，力不一定相等，故②不

正确：③、④正确；零向量与任一非零向量都平行，当。=0时，Q与c不一定平行，故⑤不

正确.］

(2)给出下列命题：

①两个具有公共终点的向量，一定是共线向量.

②两个向量不能比较大小，但它们的模能比较大小.

③%=0(，为实数)，则2必为零.

④九〃为实数，若2a=曲,则。与b共线.

其中错误的命题的个数为()

A.1B.2C.3D.4

C［①错误.两向量共线要看其方向而不是起点与终点.

②正确.因为向量既有大小，又有方向，故它们不能比较大小，但它们的模均为实数，

故可以比较大小.

③错误.当a=0时，不论4为何值，2a=0.

④错误.当2="=0时，Aa—f/b=0,此时，。与6可以是任意向量.］

方法指导掌握向量有关概念的关键点

(1)定义，方向和长度，二者缺一不可；向量无大小.

(2)非零共线向量，方向相同或相反，长度没有限制，与直线平行不同；与起点无关；非

零向量的平行也具有传递性.

(3)相等向量，方向相同且长度相等，与共线向量不同；相等向量具有传递性.

(4)单位向量，方向没有限制，但长度都是一个单位长度；合是与。同方向的单位向量.

(5)零向量，方向没有限制，长度是0,规定零向量与任何向量共线.

(6)向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等的向量.解题时，不要把它与函数图象

的移动混淆.

［思维变式］

I.下列四个结论

①若a、Z)都是单位向量，则⑷=田|=1.

②物理学中，作用力与反作用力是一对共线向量.

③直角坐标系中，x轴、＞轴都是向量.

④若⑷=步|,贝Ua=±A

则正确的个数为()

A.1个B.2个C.3个D.4个

B［①由单位向量的定义可知①正确.②根据物理学知识知②正确.③x轴与y轴无大

小，故③错.④a与分方向不一定相同或相反，故④错.故选B.J

2.设处为单位向量，给出下列命题：①若。为平面内的某个向量，则。=|亦如；②若a

与4o平行，则a=|a|a<）;③若a与平行且闷=1,则a=ao.其中假命题的个数是（）

A.0B.1C.-1D.3

D[若a为平面内的某个向量，又与劭不一定共线，故①不正确；若a与如平行，则a

与“0同向或反向，反向时，a=—\a\ao,故②③不正确.]

考点二平面向量的线性运算

[例2]（1）设。，E,尸分别为△ABC的三边8C,CA,AB的中点，则而+危等于（）

—*1ff1—►

A.ADB.'ADC.BCD.^BC

A

A[由于O,E,F分别为BC,AC,AB的中点，设A。，BE,CF交点为O,则无+危

3_»33

=^0B+]0C=]><20O=30£）=AO.故选A.]

（2）在aABC中，点。在线段BC的延长线上，且正=3丽，点O在线段CO上（与点C,

。不重合），若最）=.循+（1—X）/，则X的取值范围是（）

D[设历=）而，因为公=启+历=启+）灰==启+），（启一48）=一）脑+（1+

>,）AC.

因为就'=3日），点。在线段CO上（与点C,。不重合），

因为公=.1不方+（1~x）AC,

所以x=-y,所以xe（一0）]

方法指导对于向量的概念的三点注意

（1）向量的两个特征：有大小和方向，向量既可以用有向线段和字母表示，也可以用坐标

表不;

（2）相等向量不仅模相等，而且方向也相同，所以相等向量一定是平行向量，而平行向量

则未必是相等向量；

（3）向量与数量不同，数量可以比较大小，向量则不能比较大小，但向量的模是非负实数，

故可以比较大小.

r思维变式]

1.设。为AABC所在平面内一点，BC=3CDf则（）

A.AD=-^AB+^ACB.AD=^AB—^AC

~►4~►1-►-►4-►1•~►

C.AD=^AB+^ACD.AD=^AB—^AC

—*■—►—►—►1—►—►1—►1—►1—►4—►

A[由题意得AO=AC+CO=4C+§3C=AC+1AC-14B=-]A3+1AC.]

2.设。，£分别是△ABC的边AB,BC上的点，AD=^AB,BE=|BC.若m=九油+72启

(九，乃为实数)，

由2|+及的值为.

［解析］DE=DB+BE=^+IBC,

=^AB+|(AC—AB)=—/B+%C,

VD£=2IAB+A2AC,

.,__1,_2

・"1—_6，42—3,

因此h+h=2-

［答案Jj

考点三共线向量定理的应用

角度1|三点共线问题

［例3］(1)(一题多解)已知A,B,C是直线/上不同的三个点，点。不在直线/上，则使

等式/"1+》而+於=。成立的实数x的取值集合为()

A.{0}B.0C.{-1}D.{0,-1}

C［方法一若要炉3+x协+反'=()成立，正必须与必―+*加共线，由于万1一协

=威与成:共线，所以。了和励的系数必须互为相反数，则；^=一匕解得x=0或》=-1,

而当x=0时，BC=0,此时B,C两点重合，不合题意，舍去.故x=—l.

法二"：BC=OC-OB,：.^OA+xOB+OC~OB=0,

即无■=—/殖一(x—l)协，VA,B,C三点共线，

/.—A2—(X—1)=1,即/+x=0,解得x=0或x=—1

当x=0时，ic=o,此时B,C两点重合，不合题意，舍去，故X=-L］

(2)设两个非零向量a与b不共线.

若诵=a+b,BC=2a+Sb,CD=3(a-b).

求证：A,B,。三点共线.

［证明］'：AB^a+b,&?=2a+8Z>,CD=3(a-Z>).

.,.fib=BC+cb=2a+8Z>+3(a-Z>)=2a+8Z>+3<z-3Z>=5(a+Z>)=5AB.：.AB,彷共线，

又它们有公共点B.

：.A,B,。三点共线.

角度2向量共线求参数

［例4］(1)己知非零向量ei，ez，a,b满足@=2ei—e2,b=Ji+e2.给出以下结论:

①若e与e2不共线，a与》共线，则上=一2；

②若ei与e2不共线，a与b共线，则々=2；

③存在实数葭使得。与方不共线，3与62共线.

④不存在实数”,使得a与b不共线，为与e2共线.

其中正确的是(只填序号).

［解析］若。与b共线，即a=劝，即2ei—e2=Mei+2e2,而ei与e2不共线，

\Xk=2,

所以解得％=—2,故①正确，②不正确.

a=(2-z)ei,

若ei与62共线，则02=初1,有‘

b=(k+X)ei9

I।2—z

因为ei,ei,a,b为非零向量，所以2W2且2W—Z,所以7;一:a—T-rrb,即。=亍/6,

2—Z上十4k+A

这时a与b共线，所以不存在实数A满足题意.故③不正确，④正确.

综上，正确的结论为①④

r答案］①④

(2)设两个非零向量a与方不共线.试确定实数鼠使版+6和a+防同向.

［解］与a+幼同向，.•.存在实数42>0),

使ka+b=X(a-\-kb),即ka+b=Xa+Akb.

：.(k-A)a=(Xk-\)b.'：a,b是不共线的非零向量，

7：—2=0,伏=1,\k=—\,

：.\解得或

Xk—1=0,U=1U=—1,

又》0,：.k=\.

方法指导

I.向量。、〜共线的两种情况

①a与6共线。存在不全为零的实数入"使得为+独=0.

②若C1,©2是不共线的两向量，则•=九01+%262与弓="101+"202平行O九〃2—%第1=0.

2.证明A、B、C三点共线转化成证明初与公(或由共线O存在实数人使祐=7启(或

AB^XBC).

［思维变式］

1.在四边形ABC。中，AB=a+2b,BC=-4a~b,CD=-5a~3b,则四边形ABCZ)

的形状是()

A.矩形B.平行四边形

C.梯形D.以上都不对

C［由已知，得Q)=赢+就'+%=一8。-26=2(—4“-6)=2庆：，

故而〃的.

又因为B与而不平行，所以四边形A8CD是梯形.］

2.已知向量eiWO,2GR,a=ei+&2，b=2et,若向量a与向量b共线，则()

A.A=0B.€2=0

C.e\//€2D.ei〃e2或2=0

D［设Q=岫，则61+屁2=2氏1

所以(1—2々)61+2改=0,

所以(2k—1)的=初2.

因为eiWO,所以若2&—1#0,

2

则ei=7J7©2,此时ei〃%;

2k~1

若2k—1=0,则2=0或&=0.

因为0与任意向量平行，所以。与方共线的条件为幻〃62或％=0.］

・链高考•提素养————素养为本创新应用

［再研高考］

(2017.江苏卷)如图，在同一个平面内，向量晶，0B,无的模分别为1,1,也，而与

历的夹角为a,且tana=7,油与诙的夹角为45。，若历=〃i5X+〃乃（如“WR）,则机+

［解析］

建立平面直角坐标系.

7J2y[23

因为tana=7,a为锐角，所以sina=-j^-,cosa=诟，从而cos(a+45°)=-予sin((x

+45。）=点又向量血0B,历的模分别为1,1,小,

n_3r_5

5f一产m~4

所以A（1,0）,8—予之r)解得4

7_47

<5=5W,["一4,

所以根+〃=3.

7A/2\[23

解法二：由tana=7,仪£[0,兀]得sinCOSQ=而，则cos(a+45°)=一亍

m.

db=mOAOC+nOBOC,百+〃=2,

由<_____得'

3.

OCOB=mOAOB+nOB2—^n+n=1,

\m=~v

解得j7所以m+〃=3.

g不

［答案I3

［创新应用］

向量的线性运算与动点的位置

由两点可以确定一向量，当第三点满足与该向量一定关系时，可以判断第三点位置情况.

1.已知0,A,8三点不共线，尸为该平面内一点，且5>=近+坐，则（）

\AB\

A.点P在线段AB上

B.点P在线段AB的延长线上

C.点P在线段AB的反向延长线上

D.点P在射线AB上

D［由5>=况+丝，得标一后=空，：.AP=-^--AB,.•.点尸在射线AB上，故选

丽\AB\\AB\

D.］

2.已知平面内一点P及△ABC,若两+沌+的'=筋，则点P与aABC的位置关系是

（）

A.点尸在线段AB上B.点P在线段BC上

C.点尸在线段4c上D.点P在△ABC外部

C［由属+诵+正=赢知：PA+PB-\-PC=PB-PA,即元=-2摘，故点P在线段AC

上•］

3.已知点M是△ABC所在平面内的一点，若点M满足山折一前一元|=0且SAABC=3S

△A8M，则实数2=.

［解析］

如图，设D为8C的中点，

则而+最?=45,

因为田而一赢一而=0,

所以汨/-&一启=0,

所以AAM=AB+AC=2AD,

于是A,M,。三点共线，且1-1=万

\AD\W

V。一”1

1^△A8C33△ABM,月八02，

^S^ABM\AM\2

又因为SAABD=]SAABC,

S^ABD|^p|P-K

/乙.1SAABM12

所以5=近嬴=5.奸解得2=±3.

［答案I±3

课时作业（二十五）

A级基础达标

1.已知a,力是两个非零向量，且|a+b|=|a|+向，则下列说法正确的是（)

A.a+b=0B.a=b

C.“与分共线反向D.存在正实数九使。=劝

D［由已知得，向量a与分为同向向量，即存在正实数晨使4=油.］

2.在下列选项中，“a//b”的充分不必要条件是（）

A.a,〜都是单位向量

B.|a|=|*|

C.\a+b\=\a\~\b\

D.存在不全为零的实数九n，使%+/必=0

C［a,，都是单位向量，但方向可能既不相同，又不相反，故A错误；|a|=|6|,但方向

不定，故B错误；\a+b\=\a\-\b\;若a,力都是非零向量，则a,反向共线，且|a|>|臼；若

a,力中恰有一个零向量，则a/0,b=0:若a=5=0,则a,6也符合|a+b|=|a|一|旬，所以

\a+b\=\a\~\b\^>a//b,而a〃8=/|a+加=|a|一步|,故C正确；D选项中“存在不全为零的实

数九〃，使为+/必=0”<^a//b.]

3.设a是非零向量，2是非零实数，下列结论中正确的是（）

A.a与加的方向相反B.a与方。的方向相同

C.|一冽2⑷D.|一训2|2|口

B[对于A,当2>0时，a与痴的方向相同，当2V0时，。与痛的方向相反.B正确；

对于C,|-Aa|=|l||a|,由于囚的大小不确定，故|一痴|与⑷的大小关系不确定；对于D,即

是向量，而|一施|表示长度，两者不能比较大小.]

4.①有向线段就是向量，向量就是有向线段；

②向量a与向量力平行，则a与分的方向相同或相反；

③向量后与向量而共线，则A,B,C,。四点共线；

④如果a〃"h//c,那么a〃c.

以上命题中正确的个数为（）

A.1B.2C.3D.0

D[①不正确，向量可以用有向线段表示，但向量不是有向线段：②不正确，若a与b

中有一个为零向量时也互相平行，但零向量的方向是不确定的，故两向量方向不一定相同或

相反；

③不正确，共线向量所在的直线可以重合，也可以平行；

④不正确，当5=0时，a与c不一定平行，

故正确命题的个数为0」

5.如图所示，在aABC中，点。是8c的中点，过点。的直线分别交直线AB,AC于不

同的两点M,M若魂=痴拓AC=nANf则加+〃的值为（）

A.1B.2

C.3D.4

B[由。是8。中点，可得n=T魂+；危，由题意知

AO=^mAM+^nANf因为O,M,N三点共线，

所以gm+.=1,则加+〃=2.]

6.（2021・威海模拟）设a,力不共线，AB=2a+pb,BC=a+b,CD=a-2b,若A,8,。

三点共线，则实数〃的值为（）

A.-2B.-1C.1D.2

B[因为反'="+/>,CD=a-2b,所以访=诙+曲=24—尻又因为人B,。三点共线，

所以而共线.设法=2而，所以2a+涉=42。一/>）,所以2=22,1）=-z,即2=1,p

=-1.]

7.已知向量a,b,且赢=a+2A,BC=~5a+6b,①=7。-26,则一定共线的三点是

（）

A.B,C,DB.A,B,CC.4,B,DD.A,C,D

C[因为而=的+而=-5〃+6方+74—2b=2。+4方=23+26)=2赢，所以A,B,D

三点共线・]

8.已知向量。，b不共线，且c=〃+),d=a+(22—1)8,若c与d反向，则实数2的

值为()

1

A.1B.-*2

C.1或一JD.一1或一；

B[由于c与d反向，则存在实数攵使。=履代V0),于是痴+6=4团+(2/1—1冽.整理

得20+》=①+(22左一攵)尻由于a,》不共线，所以有整理得222—2-1=0,解

[22左一左=1,

得4=1或2=一；.又因为女V0,所以2V0,故4=一不

9.(2018•全国I卷)在△A3C中，A。为3C边上的中线，石为AO的中点，则说=()

1-3f

C^AB+^ACD.%3+京C

A[作出示意图如图所示.

~►-►—►]-►\—►]]—►-►1―►-►3•―>■]-►

EB=EO+OB=5AD+5cB=5X5(A8+AO+5(AB-A0=Z8-/C.故选AJ

10.如图，在△4BC中，点。在线段8c上，且满足8£>=；OC,过点。的直线分别交直

线AB,AC于不同的两点M,N若m=m赢,AN^nAC,则()

A.〃?+"是定值，定值为2

B.2机+〃是定值，定值为3

c5+5是定值，定值为2

D.康2+褪1定值，定值为3

D[因为M,D,N三点共线，所以国)=力而+(1—2)•病.

-►-►-►-►-►-►-►-►]-►►-►I►

>LAM=mAB,AN=nAC,所以AO=2mA8+(l-2>〃AC.又所以AO-A8='AC

i_2_2121

—^ADf所以AD=QAC+QA8.比较系数知，?=Q,(1—z>=7,所以一十一=3,故选D.]

1Q

11.（2021•绵阳诊断）在△ABC中，AN=^AC,P是BN上一点,若存=加诵+嬴，则

Zo

实数，〃的值为.

［解析］因为B,P,N三点共线，

所以崩=/赢+（1-。俞=/诵+［（1-。又因为崩=机油+3启，所以

LO

m—t,

'13解得=

15（1）萱，4

1答案］!

12.（2021•太原模拟）在正方形A8CC中，M,N分别是8C,C£＞的中点，若启=瓶方+

"病，则实数%+〃=.

［解析］如图，'：AM=AB+BM=AB+\BC=DC+^BC,①

AN=AD+DN^BC+^DC,②

由①②得正=,而一,DC=^AM—^AN,.".AC=AB+BC=DC+BC=^AM—^AN+

4—2f2f2f—224

1AN-1AM=wAM+铲N,AC=}AM+/^ANf〃=§，%+〃=1.

4

［答案］3

B级能力提升

13.（多选）下列关于向量线性运算正确的是（）

A.已知。是正方形ABCD的中心.若而=/筋+/后，其中，A,〃GR,则力=一2

B.若四边形ABC。满足病且而|=|诙|,则四边形A8CO的形状是菱形.

C.已知“，力是不共线的向量，AB=Aa+b,最?=4+血2,//SR,则A,B,C三点、

共线的充要条件为川=1.

D.己知点O,A,B不在同一条直线上，点P为该平面上一点，且2/=2万1+及，则

点P在线段A3上.

—►—►—►—►—►—►—►I—►—►I—►I/

AC［DO=DA+AO=CB+AO=AB—AC+^AC=AB—2ACf.*.A=1,//=-2，因此［=

一2.A正确.对于B,因为屈）=；诙，所以病〃病，且|屐）|=々的，所以四边形ABC。为以

AO为上底，8C为下底的梯形.又|嘉|=|方石，所以梯形ABC。的两腰相等.因此四边形A8CD

是等腰梯形.B错误.对于C,因为A,B,C三点共线，所以施〃危，设矗=山私加#0）,

优=〃7,—►—►—►

则2a+b=m（a+油），所以所以2〃=1.C正确.对于Q,因为2OP=2OA+BA,所

［1=”必，

以力＞=或，所以点P在线段AB的反向延长线上，D错误.故选AC.］

14.在△A8C中有如下结论：“若点M为△ABC的重心，则麻+A而+证=0.”设a,

h,c分别的内角A,B,C的对边，点M为△ABC的重心.若疝％+丽+坐就=

0,则内角A的大小为.,当a=3时，ZVIBC的面积为

［解析1由a.MA+

(分一„讪=0,且忌与讪不共线，；.a一坐c=b一坐c=0,；.a=b=坐CAABC中，由

余弦定理可求得cosA=坐，，A=会若4=3,则6=3,c、=3小，S^ABC=

X2-4,

［答案］\乎

15.直线/上有不同三点A,B,C,。是直线/外一点，若51=(1-cosa)丽+sina沆(a

是锐角)，则。=.

［解析］因为直线/上有不同三点A,B,C,所以存在实数九使得筋=2病，所以51一

OB=X(OC-OB),

即晶=(1一幻加+7诙，

［1—2=1—cosa,

所以々所以sina=cosa,因为a是锐角，

［2=sina,

所以a=45°.

［答案］45°

16.(2021.河北联考)已知在△ABC中，点。满足2防+函=0,过点。的直线/与直线

AB,AC分别交于点M,

N,AM=kAB,俞=说?.若2>0,">0,则2+〃的最小值为________.

［解析］连接AD因为2昉+而=0,所以丽=；证，历=赢+访=嘉+；诙=筋+：

—►—►2A］>-►-►-►

(AC-AB)=y8+wAC.因为。、M、N三点共线，所以存在xGR,使AO=x4M+(l-x)AN,

则Q)=xZ诵+(l—x)新2,所以xZ值+(l-x)/后=辆+；启，根据平面向量基本定理，得

2121211211

xA=y(1—X)〃=Q,所以X=万，1一］=耳，所以至+.=1，所以2+〃=3(，+〃)亍+［=?3

+号+)缶3+；",当且仅当'=也〃时等号成立'.•/+〃的最小值为3+；小.

23+2小

［答案J

第二节平面向量基本定理及坐标运算

・梳教科•固基础-------基固为根必备知识

［基础自梳］

1.平面向量基本定理

(1)定理：如果4，02是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意

向量。，有且只有一对实数九，22，使。=九ei+&e2.

(2)基底：不共线的向量以，C2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底.

2.平面向量的坐标表示

在平面直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i,/作为基底，该

平面内的任一向量。可表示成a=xi+)y,由于a与数对(x,y)是一一对应的，把有序数对(x,

y)叫做向量a的坐标，记作a=(x,y)，其中a在x轴上M坐标是x,a在y轴上的坐标是

y

3.平面向量的坐标运算

设a=(x\,ji),b=(X2,力)，则a+b=⑴+应，yi+)'2),a-b=

向量的加法、减法

(X|—Vl-¥2)

向量的数乘设。=(x,y),则2a=Qx,幼

向量坐标的求法设A(xi,yi),B(xi,>2)，则AB=(q—xi，¥i)

4.向量共线的坐标表示

若a=(xi，y),6=(x2，J2)-贝Ua〃bo足口一及宣=0.

思考拓展

1.若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量坐标.

X］=X2

2.当a=(xi,yi),b=g,")；a=b<^

_____

3.a=(x,y),\a\=yj^+y2.

4.当％2丫2#0时，a//b<^>—=^

X2yi

［基础自测］

L(教材改编)下列哪组向量可以作为平面向量的一组基底()

A.e1=(—2,4),e2=(l,—2)

B.e1=(4,3),e2=(-3,8)

C.ei=(2,3),e2=(一2,一3)

D.ei=(3,0),e2=(4,0)

［答案JB

2.(教材改编)向量a,b满足a+Z>=(—1,5),a-b=(5,—3),则b为()

A.(-3,4)B.(3,4)

C.(3,—4)D.(—3,—4)

［答案］A

3.(教材改编)己知a=(4,2),6=(-6,m),若。〃b,则，"的值为()

A.-3B.3C.-12D.12

［答案JA

4.(易错点：平面向量基本定量的理解)若a、b不共线，且Xia+hb—0,则九=

,2,2.

［答案］0,0

5.(易错点:分类不清)设丹(1,3),尸2(4,0),尸是线段P/2的一个三等分点.则尸点坐标

为.

［答案］(2,2)或(3,1)

研考点.练方法-----点明为纲关键能力

考点一平面向量基本定理及其应用

角度1|用基底表示向量

［例1］(1)［一题多解］在平行四边形ABCO中,AC与交于点0,E是线段0D的中点,

AE的延长线与CO交于点F,若n=a,由=b,则万=()

C^a+^b

B［解法一：如图，因为E是线段。。的中点，所以由平行四边形的性质得有=弁=标