人教版中考一模测试《数学试题》含答案解析

人教版数学中考综合模拟检测试题

学校班级姓名成绩________

一、选择题

1.2020相反数是（）

11

A-------B----------C.-2020D.2020

,2020,2020

2.式子47,在实数范围内有意义，则x的取值范围是（）

A.x>2B.x>2C.x>—2D.x>—2

3.不透明的袋子中只有3个黑球和4个白球，这些球除颜色外无其他差别，随机从袋子中一次摸出4个

球，下列事件是不可能事件的是（）

A.摸出的全部是黑球B.摸出2个黑球，2个白球

C.摸出的全部是白球D.摸出的有3个白球

4.中国汉字博大精深，下列汉字是（近似于）轴对称图形的是（）

A.富B.强C.民D.意

5□.如图是一个圆柱，它的左视图是（）

6.如图，矩形ABCD中，AB=3,BC=5,点P是BC边上的一个动点（点P与点B,C都不重合），现将4PCD

沿直线PD折叠，使点C落到点F处；过点P作NBPF的角平分线交AB于点E,设BP=x,BE=y,则下列图象

中，能表示y与x的函数关系的图象大致是（）

7.从1,2,3,4四个数字中随机选出两个不同的数，分别记作b,c,则关于x的一元二次方程x2+bx+

c=0只有一个实数根的概率为（）

1

A.B.D.

53612

8.如图，ADEF的三个顶点分别在反比例函数盯=〃与孙=〃2（x>0,加>w>0）的图像上，若£>8_Lx轴

于B点，小1_无轴于C点，若B为0C的中点，ADEF的面积为2,则m,n的关系式是（）

A.m-71=8B.m+n=8C.2m-n=8D.2m+n=3

9.如图，在等腰直角AABC中，斜边AB的长度为8,以AC为直径作圆，点P为半圆上的动点，连接BP,

取BP的中点M,则CM的最小值为（）

A.36B.275-73C.V10-V2D.30-6

10.观察等式：1+2+22=23—1；1+2+22+23=24—1；1+2+22+23+24=25-1；若1+2+22+...+29=210

T=m,则用含机的式子表示2"+212+...+218+219的结果是（）

A.m2+mB.m2+m—2C.m2—1D.m2+2m

二、填空题

11.扃的平方根是.

12.一组数据：2,3,4,5,x,6,3,3,中的中位数是3,则尤的值为.

V+11

13.计算：4—+——的值为.

x—1x+1

14.如图，四边形ABCD为矩形，点E为8c上的一点，满足AB-CF=BE-CE,连接DE,延长EF

交于点，若+即』。,则的度数为.

MAE22=AF2,DEF=15

15.方程7x2-（4+13沈-"2=0（左是实数）有两个实数跟a,b,且0<a<l<6<2,那么左的取值范

围是.

P4

16.【新知探究】新定义：平面内两定点A,B,所有满足诟=k（k为定值）的尸点形成的图形是圆，我

们把这种圆称之为“阿氏圆”，

【问题解决】如图，在△ABC中，CB=4,AB=2AC,则△ABC面积的最大值为.

三、解答题

17.计算:m4n2+Im2-m4+(m2)3—(m2n)2,

18.如图，已知CD平分/ACB,Z1=Z2.若N3=30。，ZB=25°,求NBDE度数.

19.某公司共有题圈.绘三个部门，根据每个部门员工人数和相应每人所创的年利润绘制成如下的统计表

和扇形图.

各部门人数分布扇形图

各部门人数及每人所创年利润统计表

部门员工人数每人所创的年利润/万元

A510

B箴।8

C5

(I)①在扇形图中，C部门所对应的圆心角的度数为

②在统计表中，赖=，第=;

(2)求这个公司平均每人所创年利润.

20.如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，建立平面直角坐标系4-1,7),仇-6,3),

C(-2,3).

(1)将AA8C绕格点P(l,1)顺时针旋转90。，得到△山4(7,画出△4夕。，并写出下列各点坐标:

A'（,）,B-（,）,C（,）；

（2）找格点M,连CM,使CML48,则点M的坐标为（）；

（3）找格点N,连BN,使BNLAC,则点N坐标为（）.

21.如图，四边形ABCD为正方形，取中点。，以AB为直径，O圆心作圆.

（1）如图1,取CD的中点P,连接交。。于。，连接DQ并延长交AB的延长线于E,求证:

QE2=BE-AE；

（2）如图2,连接CO并延长交。。于M点,求tanM的值.

22.某品牌服装公司经过市场调查，得到某种运动服月销量y（件）是售价元（元/件）的一次函数，其售价、

月销售量、月销售利润做元）的三组对应值如下表：

售价M元/件）130150180

月销售量M件）21015060

月销售利润用元）10500105006000

注：月销售利润=月销售量x（售价一进价）

（1）求y关于尤的函数解析式（不要求写出自变量的取值范围）；

（2）当售价是多少时，月销售利润最大？最大利润是多少元？

（3）为响应号召，该公司决定每售出1件服装，就捐赠。元（。＞0）,商家规定该服装售价不得超过200元,

月销售量仍满足上关系，若此时月销售最大利润仍可达9600元，求。值.

23.如图1,在直角三角形ABC中，ZBAC=90°,AD为斜边BC上的高线.

图1图3

(1)求证：AD2=BD-CD

(2)如图2,过A分另ij作NA4。，ADAC的角平分线，交BC于E,M两点，过E作AE的垂线，交AM

于F.

3FD

①当tanC=1时，求——的值;

4DM

②如图3,过C作AF的垂线CG,过G点作GN//AD交AC于M点，连接MN.若/胡。=15°,

AB=1,直接写出MN的长度.

24.在如图的直角坐标系中，已知点A(1,0)、B(0,-2),将线段AB绕点A按逆时针方向旋转90。至

AC,若抛物线y=--x2+bx+2经过点C.

2

(1)求抛物线的解析式；

(2)如图，将抛物线平移，当顶点至原点时，过Q(0,-2)作不平行于x轴的直线交抛物线于E、F两

点，问在y轴的正半轴上是否存在一点P,使APEF的内心在y轴上？若存在，求出点P的坐标；若不存在,

说明理由.

(3)在抛物线上是否存在一点M,使得以M为圆心，以名为半径的圆与直线BC相切？若存在，请求

2

出点M的坐标；若不存在，请说明理由.

图1图2图3

答案与解析

一、选择题

1.2020的相反数是（

11

A.-------B.----------C.-2020D.2020

20202020

【答案】C

【解析】

【分析】

根据相反数的定义选择即可.

【详解】2020的相反数是-2020,

故选C.

【点睛】本题考查相反数的定义，注意区别倒数，绝对值，负倒数等知识，掌握概念是关键.

2.式子+2在实数范围内有意义,则x的取值范围是（

A.x>2B.x>2C.x>—2D.%之—2

【答案】D

【解析】

【分析】

根据二次根式有意义的条件：被开方数20,即可求出结论.

【详解】解：•.•式子在实数范围内有意义

x+2»0

0—2

故选D.

【点睛】此题考查的是二次根据有意义的条件,掌握二次根式有意义的条件：被开方数》。是解决此题的关

键.

3.不透明的袋子中只有3个黑球和4个白球,这些球除颜色外无其他差别，随机从袋子中一次摸出4个

球，下列事件是不可能事件的是（）

A.摸出的全部是黑球B.摸出2个黑球，2个白球

C.摸出的全部是白球D.摸出的有3个白球

【答案】A

【解析】

【分析】

根据黑球和白球的数量逐一判断即可.

【详解】A.因为一共有3个黑球，摸出4个球，摸出的全部是黑球是不可能事件，故本选项符合题意；

B.摸出2个黑球，2个白球是随机事件，故本选项不符合题意；

C.摸出的全部是白球是随机事件，故本选项不符合题意；

D.摸出的有3个白球是随机事件，故本选项不符合题意.

故选A.

【点睛】此题考查的是不可能事件的判断，掌握不可能事件的定义是解决此题的关键.

4.中国汉字博大精深，下列汉字是（近似于）轴对称图形的是（）

A.富B.强C.民D.意

【答案】A

【解析】

【分析】

根据轴对称图形的定义：在平面内，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，这样

的图形叫做轴对称图形，逐一判断即可.

【详解】A.富是（近似于）轴对称图形，故本选项符合题意；

B.强不是（近似于）轴对称图形，故本选项不符合题意；

C.民不是（近似于）轴对称图形，故本选项不符合题意；

D.意不是（近似于）轴对称图形，故本选项不符合题意.

故选A.

【点睛】此题考查的是轴对称图形的识别，掌握轴对称图形的定义是解决此题的关键.

5.如图是一个圆柱，它的左视图是（

B.

【答案】B

【解析】

【分析】

根据左视图的定义：从物体左面所看到的平面图形，即可得出结论.

【详解】解：根据左视图的定义，圆柱的左视图为一个长方形

故选B.

【点睛】此题考查的是几何体左视图的判断，掌握常见几何体三视图的特征是解决此题的关键.

6.如图，矩形ABCD中，AB=3,BC=5,点P是BC边上的一个动点（点P与点B,C都不重合），现将4PCD

沿直线PD折叠，使点C落到点F处；过点P作/BPF的角平分线交AB于点E,设BP=x,BE=y,则下列图象

中，能表示y与x的函数关系的图象大致是（）

【答案】C

【解析】

【分析】

先证明ABPEsACDP,再根据相似三角形对应边成比例列出式子变形可得.

【详解】由已知可知/EPD=90。，

AZBPE+ZDPC=90°,

VZDPC+ZPDC=90°,

ZCDP=ZBPE,

VZB=ZC=90°,

.'.△BPE^ACDP,

ABP：CD=BE：CP,即x：3=y：(5-x),

~x~+5x

y=-----(0<X<5)；

3

故选C.

考点：1.折叠问题；2.相似三角形的判定和性质；3.二次函数的图象.

7.从1,2,3,4四个数字中随机选出两个不同数，分别记作b,c,则关于x的一元二次方程x2+bx+

c=0只有一个实数根的概率为（）

1111

A.—B.—C.一D.—

23612

【答案】D

【解析】

【分析】

根据题意画出树状图即可得出6,c的取值情况共有12种等可能的结果，然后根据一元二次方程的情况求出

b、c满足的关系式，然后根据概率公式计算概率即可.

【详解】解：画树状图如下

/1N2ZNZ3N4

234134124123

6,c的取值情况共有12种等可能的结果

若关于x的一元二次方程x2+bx+c=0只有一个实数根

则〃_4c=0,满足此条件的b,。的取值只有1种

关于x的一元二次方程x2+bx+c=0只有一个实数根的概率为1+12='

12

故选D.

【点睛】此题考查的是求概率问题和一元二次方程根的情况，掌握画树状图、利用概率公式求概率和一元

二次方程根的情况与△的关系是解决此题的关键.

8.如图，KDEF的三个顶点分别在反比例函数xy=n与xy=m（x>0,m>n>0）的图像上，若DBlx轴

于B点，FElx轴于。点，若B为OC的中点，\DEF的面积为2,则m,n的关系式是（）

A.m—n=8B.m+n=8C.2m一〃=8D.2m+〃=3

【答案】A

【解析】

【分析】

由题意可设点D坐标为(x,—),点E的坐标为(2x,―),点F的坐标为(2x,—),然后根据S梯形

x2x2x

DBCF-S梯形DBCE=S/J5EF列出等式，即可得出结论.

nnTH

【详解】解：由题意可设点D的坐标为(x,一)，点E的坐标为(2x,—),点F的坐标为(2x,—)

x2x2x

nmn

.*.DB=—,FC=—,BC=2x—x=x,EC=—

x2x2x

•S梯形DBCF-S梯形DBCE=SADEF

—BC(DB+CF)--BC(DB+CE)=2

22

口口1n,m、1nn、

即一X1c--卜——)——X1F——)二2

2X2x2X2x

整理，得机一九=8

故选A.

【点睛】此题考查的是反比例函数图象与图形面积的结合，掌握利用反比例函数解析式设出点的坐标和图

形的面积公式是解决此题的关键.

9.如图，在等腰直角AABC中，斜边AB的长度为8,以AC为直径作圆，点P为半圆上的动点，连接BP,

取BP的中点M,则CM的最小值为()

BC

A.375B.2A/5-A/3C.回—母D.3行一&

【答案】C

【解析】

【分析】

连接AP、CP,分别取AB、BC的中点E、F,连接EF、EM和FM,根据三角形中位线的性质、圆周角定

理的推论可得点M的运动轨迹为以EF为直径的半圆上，取EF的中点O,连接OC,点。即为半圆的圆心,

从而得出当O、M、C共线时，CM最小，如图所示，CM最小为CMi的长，最后根据勾股定理求值即可.

【详解】解：连接AP、CP,分别取AB、BC的中点E、F,连接EF、EM和FM,

・'EM、FM和EF分别是AABP、ZXCBP和AABC的中位线

；.EM〃AP,FM/7CP,EF/7AC,EF=-AC

2

AZEFC=180°-ZACB=90°

VAC为直径

ZAPC=90°,即AP±CP

/.EMXMF,BPZEMF=90°

点M的运动轨迹为以EF为直径的半圆上

取EF的中点O,连接OC,点。即为半圆的圆心

当0、M、C共线时，CM最小，如图所示，CM最小为CMi的长,

:等腰直角AABC中，斜边AB的长度为8,

；.AC=BC=江AB=4g

2

11

：.EF=-AC=242^FC=3BC=2^，

.,.OMi=OF=-EF=J2

2

根据勾股定理可得尸2+F(^=

.•.CMI=OC-OMI=V10-A/2

即CM最小值为—J5

故选c.

【点睛】此题考查的是三角形中位线的性质、圆周角定理的推论、等腰直角三角形的性质和勾股定理，掌

握三角形中位线的性质、圆周角定理的推论、等腰直角三角形的性质和勾股定理是解决此题的关键.

10.观察等式：1+2+22=23—1；1+2+22+23=24—1；1+2+22+23+24=25-1；若1+2+22+...+29=210

T=m,则用含机的式子表示2"+2n+…+2”+219的结果是()

A.m2+mB.m2+m~2C.m2~1D.m2+2m

【答案】C

【解析】

【分析】

根据题意，先用m表示出2",然后将所求式子加上21。，再减去21。，然后利用乘法分配律即可求出结论.

【详解】解：；1+2+22+…+29=21°—1=%

.'.210=m+l

.•.2U+212+...+2*+219

=210+2n+212+...+218+219-210

10

=2X(1+2+22+...+29).2io

=m(m+1)-(机+1)

-m2—1

故选C.

【点睛】此题考查的是有理数的乘方运算，掌握有理数乘方的意义是解决此题的关键.

二、填空题

11.南的平方根是.

【答案】±272

【解析】

【分析】

先根据算术平方根的定义得到庖=8，然后根据平方根的定义求出8的平方根.

【详解】解：..•府=8，

8的平方根为士屈=土2行，

故答案为±20.

【点睛】本题考查了平方根的定义：若一个数的平方等于。，那么这个数叫。的平方根，记作土&(a.O).

12.一组数据：2,3,4,5,x,6,3,3,中的中位数是3,则尤的值为.

【答案】3

【解析】

【分析】

先将除x之外其它数从小到大排列，根据中位数的定义判断x的位置，即可求出x的值.

【详解】解：除x之外，其余各数从小到大排列为2,3,3,3,4,5,6

添加上x之后，共8个数，中位数应为第四个数和第五个数的平均数

•••x应是从小到大排列后的第四个数或第五个数

.x+3Q

2

解得x=3

故答案为：3.

【点睛】此题考查的是根据一组数据的中位数，求字母的值，掌握中位数的定义是解决此题的关键.

X+]1

13.计算：一不+—；的值为_____.

X—1X+1

2x

【答案】—-

x—1

【解析】

【分析】

先通分，然后根据分式的加法法则计算即可.

V+11

【详解】解：4—+——

X—1X+1

---X-+-1--1---x---1--

=(x-l)(x+1)(x-l)(x+l)

X+1+x—1

_(x-l)(x+1)

2x

_(x-l)(x+1)

_2x

~x2-l

故答案为：

【点睛】此题考查的是分式的加法运算，掌握分式的加法法则是解决此题的关键.

14.如图，四边形ABCD为矩形，点E为BC上的一点，满足AB-CF=BE-CE,连接DE,延长EF

交于M点，若AE2+/。2=.2,15。,则的度数为.

【答案】600

【解析】

【分析】

根据矩形的性质可得NB=NC=90°,AD〃:BC,然后根据相似三角形的判定定理即可证出△ABEs^ECF,

从而得出NAEB=NEFC,然后求出/AEF,结合勾股定理和已知条件即可证出EF=FD,根据等边对等角可

得NDEF=NEDF=15。，然后根据三角形外角的性质、平行线的性质即可求出结论.

【详解】解：：四边形ABCD为矩形，

.•.ZB=ZC=90°,AD〃BC

.-.ZEFC+ZFEC=90°

,：ABCF=BECE,

.ABBE

"EC~CF

.'.△ABE^AECF

.•.ZAEB=ZEFC

.•.ZAEB+ZFEC=90°

.•.ZAEF=180°-(ZAEB+ZFEC)=90°

在RtZkAEF中，AE2+EF2=AF2,

-：AE2+FD2=AF2,

.\EF=FD

.•.ZDEF=ZEDF=15°

ZEFC=ZDEF+ZEDF=30°

ZFEC=90°-ZEFC=60°

VAD//BC

，ZM=ZFEC=60°

故答案为：60°.

【点睛】此题考查的是矩形的性质、相似三角形的判定及性质、勾股定理、等腰三角形的性质和平行线的

性质，掌握矩形的性质、相似三角形的判定及性质、勾股定理、等腰三角形的性质和平行线的性质是解决

此题的关键.

15.方程7天2-（4+13）小-左-2=0（左是实数）有两个实数跟。，b,且那么上的取值范

围是.

【答案】-4<k<-2

【解析】

【分析】

设y=7/-（4+13）x-左-2（左是实数），由7>0和已知条件画出二次函数图象，可得当x=0时，y>0；

当x=l时，y<0,当x=2时，y>0,然后列出关于k的不等式组即可求出结论.

【详解】解：设y=7x2一（4+13次-左-2（左是实数），由7>0,原方程有两个实数跟a,b,且0<a<l<6

<2,

，二次函数丫=7*2-念+13仅-1<-2的图象与*轴的交点为（a,0）和（b,0）且0<a<1<6<2,画出

其大致图象，如下所示

根据图象可得：当x=0时，y>0；当x=l时，y<0,当x=2时，y>0

-k-2>0

即<7—（上+13）—左一2<0

7x22—2（左+13）—女一2〉0

解得：-4<k<-2

故答案为：-4<k<-2.

【点睛】此题考查的是根据一元二次方程根的取值情况，求参数的取值范围，掌握二次函数与x轴的交点

与一元二次方程根的关系是解决此题的关键.

PA

16.【新知探究】新定义：平面内两定点A,B,所有满足一=左（上为定值）的尸点形成的图形是圆，我

PB

们把这种圆称之为“阿氏圆”，

【问题解决】如图，在△A3C中，C3=4,AB=2AC,则△ABC面积的最大值为

【答案】—

3

【解析】

【分析】

以A为顶点，AC为边，在4ABC外部作NCAP=NABC,AP与BC的延长线交于点P,证出△APCsABPA,

歹I」出比例式可得BP=2AP,CP=—AP,从而求出AP、BP和CP,即可求出点A的运动轨迹，最后找出距离

2

BC最远的A点的位置即可求出结论.

【详解】解：以A为顶点，AC为边，在AABC外部作NCAP=NABC,AP与BC的延长线交于点P,

NAPONBPA,AB=2AC

△APCSABPA,

,APCPAC_1

**BP-AP_AB-2

1

・・・BP=2AP,CP二一AP

2

VBP-CP=BC=4

.\2AP--AP=4

2

Q

解得：AP=-

3

164

：.BP=—,CP=—,即点P为定点

33

o

.•.点A的轨迹为以点P为圆心，一为半径的圆上，如下图所示，过点P作BC的垂线，交圆P于点A1,此

3

时Ai到BC的距离最大，即△ABC的面积最大

11816

SAAIBC=—BC-AiP=-X4X-=—

2233

即△ABC面积的最大值为屿

3

故答案为：一.

3

【点睛】

此题考查的是相似三角形的判定及性质、确定点的运动轨迹和求三角形的面积，掌握相似三角形的判定及

性质、圆的定义和三角形的面积公式是解决此题的关键.

三、解答题

17.计算：m4n2+2m2-m4+(m2)3-(m2n)2.

【答案】3m6

【解析】

【分析】

根据同底数幕的乘法、幕的乘方、积的乘方和合并同类项法则计算即可.

【详解】解:m4n2+2m2-m4+(m2)3-(«?2w)2

=4/2+2m6+m6-m4n2

=3/w6

【点睛】此题考查的是嘉的运算性质和合并同类项，掌握同底数哥的乘法、幕的乘方、积的乘方和合并同

类项法则是解决此题的关键.

18.如图，已知CD平分NACB,Z1=Z2.若N3=30。，/B=25°,求NBDE度数.

【解析】

【分析】

根据角平分线的定义可得N2=N3=30°,结合已知条件和平行线的判定可得DE〃AC,从而得出

ZDEB=ZACB=Z2+Z3=60°,最后利用三角形内角和定理即可求出结论.

【详解】解：CD平分NAC2,Z3=30°,

.•.Z2=Z3=30°

VZ1=Z2

.•.Zl=Z3=30°

；.DE〃AC

ZDEB=ZACB=Z2+Z3=60°

AZBDE=180°-ZDEB-ZB=95°

【点睛】此题考查的是角平分线的定义、平行线的判定及性质和三角形的内角和定理，掌握角平分线的定

义、平行线的判定及性质和三角形的内角和定理是解决此题的关键.

19.某公司共有.封端.绘三个部门，根据每个部门的员工人数和相应每人所创的年利润绘制成如下的统计表

和扇形图.

各部门人数分布扇形图

部门员工人数每人所创的年利润/万元

A510

B额8

C5

(1)①在扇形图中，C部门所对应的圆心角的度数为:

②在统计表中，赖=,•:=;

(2)求这个公司平均每人所创年利润.

【答案】⑴①108。；②9,6；(2)7.6万元.

【解析】

试题分析：(1)①在扇形图中，由C部门所占比例乘以360°即可得出C部门所对应的圆心角的度数.

②先计算出A部门所占比例，再计算出总人数，根据B、C部门所占比例即可求出b、c的值.

(2)利用加权平均数的计算公式计算即可.

试题解析：(1)①360°x30%=108°；

②：a%=l-45%-30%=25%

5-25%=20

.\20x45%=9(人)

20x30%=6(人)

(2)10x25%+8x45%+5x30%=7.6

答：这个公司平均每人所创年利润是7.6万元.

考点：1.扇形统计图；2.加权平均数.

20.如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，建立平面直角坐标系A(-l,7),B(—6,3),

C(-2,3).

(1)将AABC绕格点P(l,1)顺时针旋转90。，得到AA，"。，画出△48，。，并写出下列各点坐标：

4(_____，)，5-(,),0(,)；

(2)找格点M,连CM,使CMLAB,则点M的坐标为()；

(3)找格点N,连BN,使BN1AC,则点N的坐标为().

【答案】(1)图见解析，7,3；3,8；3,4；(2)图见解析，-6,8；(3)图见解析，-2,2

【解析】

【分析】

(1)根据题意，将AABC绕格点P(l,1)顺时针旋转90。，即可得到4A'B'C,然后根据平面直角坐标系

即可求出结论；

(2)先求出tanZABC,然后在点B的正上方找出点M,使tanZBMC=tanZABC,即可得出此时CMrAB,

即可得出结论；

(3)如解图所示，先求出tan/CAE,然后找出点N,使tan/NBC=tan/CAE,即可证出BNJ_AC,从而

求出结论.

【详解】解：(1)将AABC绕格点P(l,1)顺时针旋转90。，即可得到如下图所示,△A，BC即

为所求，由平面直角坐标系可知：A，(7,3),B'(3,8),C(3,4)

故答案为：7,3;3,8；3,4.

BE5

如图所示，在点B正上方找到点M(-6,8),连接CM、BM

BC4

由图可知：tan/BMC=------=—

BM5

.\tanZBMC=tanZABC

/.ZBMC=ZABC

VZABC+ZMBA=90°

.-.ZBMC+ZMBA=90°

ACM±AB

...点M(-6,8)即为所求

故答案为；-6,8.

CE1

(3)由图可知：tan/CAE=——=—

AE4

如图所示，找到点N(-2,2),连接BN,延长AC交BN于点D

CN1

由图可知：tan/CBN=——=—

BC4

.•.tanZCBN=tanZCAE

/CBN=ZCAE

在RtAABE中，ZABE+ZBAC+ZCAE=90°

AZABE+ZBAC+ZCBN=90°

/.ZADB=90°,即BN_LAC,

.•.点N(-2,2)即为所求

故答案为：-2,2.

【点睛】此题考查的是画旋转图形和在格点中画一条线段的垂线，掌握旋转图形的画法、垂直的定义和锐

角三角函数是解决此题的关键.

21.如图，四边形48C。为正方形，取A8中点。，以A8为直径，。圆心作圆.

(1)如图1,取CD的中点P,连接BP交©O于Q,连接DQ并延长交AB的延长线于E,求证:

QE2=BE-AE；

(2)如图2,连接C。并延长交。。于M点，求tanM的值.

【答案】(1)见解析；(2)73-1

【解析】

【分析】

(1)连接AQ,AP,根据直角所对的圆周角是直角可得NAQB=/AQP=90°,从而证出A、Q、P、D四点

共圆，再根据圆周角定理的推论可得/DAP=/DQP,利用SAS证出△ADP0ZkBCP,推出NEBQ=/EQA,

即可证出△EBQs/vEQA,列出比例式变形即可证出结论；

(2)延长OA至N,使ON=OC,连接CN,根据等边对等角可得/N=NOCN,然后根据三角形外角的性

质即可推出NM=/N,设OB=a,贝|BC=2a,利用勾股定理求出OC,从而求出ON,然后求出tanN即可得

出结论.

【详解】解：(1)连接AQ,AP,

,：AB为直径

・•・ZAQB=ZAQP=90°

・・•四边形ABCD为正方形，

AZADC=90°,AB/7CD,ZADP=ZBCP=90°,AD=BC

.•.ZADC+ZAQP=180°,NEBQ二NDPQ

・・・A、Q、P、D四点共圆

ZDAP=ZDQP

AZEQA=ZEQB+ZBQA=ZDQP+90°=ZDAP+90°=ZDAP+ZADP=ZAPC

VDP=CP,ZADP=ZBCP=90°,AD=BC

AADP^ABCP

・・・ZAPD=ZBPC

・•・ZAPD+ZAPB=ZBPC+ZAPB

・・・NDPQ二NAPC

・・・ZEBQ=ZEQA

ZE=ZE

••△EBQS/XEQA

.BE_QE

AE

\QE2=BEAE；

(2)延长OA至N,使ON=OC,连接CN

.\ZN=ZOCN

:.ZCOB=ZN+ZOCN=2ZONC

VOB=OM

・・・ZM=ZOBM

:.ZCOB=ZM+ZOBM=2ZM

ZM=ZN

・・•四边形A5CD为正方形，点O为AB的中点

ABC=AB=2OB

设OB=a,则BC=2a

根据勾股定理可得OC=ylBC2-OB2=岛

：.ON=OC=y/3a

tanM=6—1

【点睛】此题考查的是正方形的性质、四点共圆、圆周角定理的推论、全等三角形的判定及性质、相似三

角形的判定及性质、三角形外角的性质、勾股定理和锐角三角函数，掌握正方形的性质、四点共圆、圆周

角定理的推论、全等三角形的判定及性质、相似三角形的判定及性质、三角形外角的性质、勾股定理和锐

角三角函数是解决此题的关键.

22.某品牌服装公司经过市场调查，得到某种运动服月销量y（件）是售价x（元/件）的一次函数，其售价、

月销售量、月销售利润做元）的三组对应值如下表：

售价x（元/件）130150180

月销售量M件）21015060

月销售利润用元）10500105006000

注：月销售利润=月销售量x（售价一进价）

（1）求y关于x的函数解析式（不要求写出自变量的取值范围）；

（2）当售价是多少时，月销售利润最大？最大利润是多少元？

（3）为响应号召，该公司决定每售出1件服装，就捐赠。元3>0）,商家规定该服装售价不得超过200元，

月销售量仍满足上关系，若此时月销售最大利润仍可达9600元，求。的值.

【答案】（1）y=-3x+600；（2）当售价是140元时，月销售利润最大，最大利润是10800元；（3）a的值为

120-8072

【解析】

【分析】

（1）设丫=1尔+15,将（130,210）和（150,150）代入即可求出结论；

（2）设这种运动服的进价为m元/件，根据题意可得w=y（x—m）,将x=130,y=210,w=10500代入即可

求出m的值，从而求出卬与x的二次函数关系式，最后利用二次函数求最值即可；

（3）由题意可知：w=（-3x+600）（x—80—a）=-3（x-贲。+"）_）_l_-_jgQa+10800（xW200）,

-242a

然后根据对称轴与x的取值范围分类讨论，分别根据二次函数的增减性用x求出对应的最值,即可得出结论.

【详解】解：（1）由题意可设y=kx+b

将（130,210）和（150,150）代入，得

"210=130左+人

[150=150左+〃

关于X的函数解析式为y=-3x+600

(2)设这种运动服的进价为m元/件

由题意可知：w=y(x—m)

将x=130,y=210,w=10500代入，得

10500=210(130-m)

解得：m=80

：.w=y(x-80)=(-3x+600)(x-80)=-3x2+840x-48000=-3(x-140)2+10800

而-3<0

.•.当x=140时,w有最大值,最大值为10800

答：当售价是140元时，月销售利润最大，最大利润是1080。元.

(3)由题意可知：w=(-3x+600)(x—80—a)=-3(x—-----)2H—a2—180a+10800(xW200)

24

当28°+"》200时,由-3<0

2

...当xW200时，w随x的增大而增大

.,.当x=200时，w最大，此时w=0,故不符合题意；

...280+”W200,即aW120,由-3<0

2

当x=280+",卬有最大值，止匕时0的最大值为3a2-180。+10800

24

即心a?_180a+10800=9600

4

解得：4=120—8009=120+800(不符合前提条件，故舍去)

ax=120—80-\/2

答：a的值为120—800.

【点睛】此题考查的是二次函数和一次函数的应用，掌握利用待定系数法求一次函数解析式和利用二次函

数求最值是解决此题的关键.

23.如图1,在直角三角形ABC中，ZBAC=90°,AD为斜边BC上的高线.

(1)求证：AD2=BD•CD；

(2)如图2,过A分另蚱NBA。，ADAC的角平分线，交BC于E,M两点，过E作AE的垂线，交AM

于F.

3

①当tanC=3时，求——FD的值；

4DM

②如图3,过C作AF的垂线CG,过G点作GN//AD交AC于M点，连接MN.若NEAD=15。，

AB=1,直接写出MN的长度.

21

【答案】(1)见解析；(2)①一；②二

32

【解析】

【分析】

(1)根据直角三角形的性质和同角的余角相等证出/B=NDAC,再根据相似三角形的判定定理证出

△BDA-AADC,列出比例式变形即可得出结论；

(2)①分别过点E、M作EPLAB于P,作MQLAC于Q,根据角平分线的性质可得PE=ED,DM=MQ,

然后利用tan/BAD=tanC,可设BD=9a,利用锐角三角函数分别用a表示出ED和DM即可求出结论；

②设NG与CM交于点H,先证出AABM等边三角形，ZGMH=ZAMB=60°,可得AB=AM=BM=1,

然后利用锐角三角函数分别求出MH和NH,最后利用勾股定理即可求出结论.

【详解】解：(1):在直角三角形ABC中，ZBAC=90°,AD为斜边BC上的高线

ZBDA=ZADC=ZBAC=90°

.\ZB+ZBAD=90°,ZDAC+ZBAD=90°

.*.ZB=ZDAC

AABDALAADC

.BDAD

"AD~CD

：.AD2=BD-CD

(2)①分别过点E、M作EP_LAB于P,作MQ_LAC于Q

：AE平分/BAD,AF平分NDAC,A。为斜边8c上的高线,

；.PE=ED,DM=MQ

3

・・・在直角三角形ABC中，ZBAC=90°,tanC=—

4

AZBAD+ZDAC=90o,ZC+ZDAC=90°

.'.ZBAD=ZC

tanZBAD=tanC

.BDAD_3

••茄一庆一1

设BD=9a,贝|