高中数学课堂讲义-平面向量基本定理及坐标表示

高中数学课堂讲义一平面向量基本定理及坐标表示

目录

1.教学大纲....................................................................1

2.平面向量基本定理...........................................................1

2.1.要点平面向量基本定理.................................................1

2.2.［基础自测］...............................................................2

2.3.题型一对平面向量基本定理的理解——自主完成...........................3

2.4.题型二用基表示平面向量——师生共研...................................4

2.5.题型三平面向量基本定理的应用——微点探究.............................4

2.6.易错警示................................................................6

3.平面向量基本定理.............................................................6

3.1.要点....................................................................6

3.2.［基础自测］..............................................................6

3.3.题型一..................................................................7

3.4.题型二..................................................................7

3.5.题型三..................................................................8

1.教学大纲

(1)理解平面向量基本定理及其意义.能推导平面向量基本定理和

运用平面向量基本定理解决某些数学问题.

最新课标(2)借助平面直角坐标系，掌握平面向量的正交分解及坐标表示.

(3)会用坐标表示平面向量的加、减运算与数乘运算.

(4)能用坐标表示平面向量的共线条件.

2.平面向量基本定理

2.1.要点平面向量基本定理

1.定理：如果ei，e2(如图①所示)是同一平面内的两个不共线向量，那么

对于这一平面内的任一向量4,存在唯对实数九，22,使4=九6|十4202(如

图②所示)，其中不共线的向量ei,62叫作表示这一平面内所有向量的一组

，记为.

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2.正交分解：若基中的两个向量_______,则称这组基为正交基，在

下向量的线性表示称为正交分解.若基中的两个向量是互相垂直的单

位向量，则称这组基为.

2.2.［基础自测］

1.判断正误(正确的画“，错误的画“x”)

(1)平面内的任意两个向量都可以作为一个基•()

(2)平面向量的基确定后，平面内的任何一个向量都能用这个基唯一表

示.()

(3)若01,02是不共线的向量，且为61+2202=〃。+//202(九，义2,.2@对,

T

A=

则入2=口装()

(4)若｛ei,02｝是平面a内所有向量的一个基，则九61+丸202(九，丸2。10不一

定在平面a内.()

(5)若e\,e2是不共线的向量，则为ei+/l2e2=0(/li"26R)o4i=%2=0.()

(6)基向量可以是零向量.()

2.设。是平行四边形ABC。两对角线的交点，给出下列向量组：

①而与AB；②而与BC；③正与DC；@0D

与0B,其中可作为这个平行四边形所在平面的一组基的是()

A.①②B.①③

C.①④D.③④

3.已知AO是△ABC的中线，AB=a,AD=Z>,以a,〃为基表示

AC,则AC=()

1

A.1(0一5)B.2b~a

i

C.文方一①D.2b+a

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4.如图，在正方形ABC。中，E是。。边上的中点，且AB=c,AD

=b,则BE=

2.3.题型一对平面向量基本定理的理解——自主完成

1.设为，02是同一平面内的两个向量，则有()

A.e\,e2一定平行

B.e\,02的模相等

C.对同一平面内的任一向量a,都有。=&1+〃02(九〃6R)

D.若e”e2不共线，则对同一平面内的任一向量a都有a=ke\,//GR)

2.设右，e2是不共线的两个向量，给出下列四组向量：

①g与ei+e2；

②ei-2e2与e2-2ei；

③ei—2«2与4e2-2ei；

④ei+e2与e\—C2.

其中，不能作为平面内所有向量的一组基的是(写出满足条件的序

号).

从两个向量是否共线入手.

方法归的

对基的理解

(1)两个向量能否作为一组基，关键是看这两个向量是否共线.若共线，则

不能作基，反之，则可作基.

(2)一个平面的基一旦确定，那么平面上任意一个向量都可以由这组基唯一

线性表示出来.设向量a与万是平面内两个不共线的向量，若尤ia+yib=X2a+

(Xi=x2

y2b,则iy,=y,

提醒：一个平面的基不是唯一的，同一个向量用不同的基表示，表达式不

一样.

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2.4.题型二用基表示平面向量——师生共研

例1如图所示，在AABC中，M是的中点，且AN=7AC,BN

与CM相交于点E,设AB=a,AC=Z>,试用基｛a,切表示向量AE.

状元随笔利用基可以将所有的向量放到同一个标准下，这样更容易看出

多个向量之间的关系.就本题而言，在解题时，只需紧盯着目标，不断地利用三

点共线的性质定理进行转化，最后通过任一向量用基表示的唯一性，即若a

...........................................卜=%

=kie<>,且a=及e<+g2e,,则I必=来构

建方程（组），使得问题获解.

方底>）3的

用基表示向量的两种基本方法

用基表示向量的基本方法有两种：一种是运用向量的线性运算对待求向量

不断地进行转化，直至用基表示为止；另一种是通过列向量方程（组），利用基表

示向量的唯一性求解.

跟踪训练I如图，在平行四边形ABCD中，设对角线上的向量AC=a,

而=5，试用基｛“，》｝表示AB«BC.

DC

AR

2.5.题型三平面向量基本定理的应用——微点探究

微点I利用平面向量基本定理求参数

例2在△A3C中，。为AC的中点，BC=3BE,BD与AE交于点

F.若AF=2AE,则实数2的值为（）

1

A."B.；

3

C.D.

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方法归的

1.利用平面向量基本定理求参数值的基本思路是利用定理的唯一性，对某

一向量用基表示两次然后利用系数相等列方程(组)求解，即对于基｛的，e2],若

产=m

a=xei+ye2,且a=〃zei+〃e2(x,y,m,〃eR),则有Iv=n

2.充分利用平面几何知识对图中的有关点进行精确定位，往往可使问题更

便于解决.

跟踪训练2在平行四边形A3CO中，点E为CO的中点，点尸满足AF

=2而.若EF=xAC+yAB,则x+y=()

11

A.一"B.一

12

C.-7D.-7

微点2确定两直线交点的位置问题

例3如图，在△ABC中，点M是BC的中点，点N在AC上，且AN=2NC,

AM与BN相交于点P,求AP：PM与3P：PN.

以而与K为基利用平面向量基本定理求解.注意条件A、P、M

和B、P、N共线的应用.

变式探究将本例中的“N在AC上且AN=2NC”改为“N为AC的中

点”，其它条件不变，求AP：PM=BP:PN.

方法归的

用向量解决平面几何问题的一般步骤

(1)选取不共线的两个平面向量作为基.

(2)将相关的向量用基向量表示，将几何问题转化为向量问题.

(3)利用向量知识进行向量运算，得向量问题的解.

(4)再将向量问题的解转化为平面几何问题的解.

易错辨析对基的理解不准确致误

例4已知ei#0,a=ei+M2,)=2ei,则a与8共线的条件为()

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A.A=0B.©2=0

C.e\//eiD.ei〃e2或/1=0

解析：当ei〃e2时，a〃ei.因为b=2e\,所以〃〃ei.又因为ei#0,所以a

与b共线;当％=0时，a//ei,因为8=2ei,所以8〃ei.又因为ei#0,所以a

与方共线.故选D.

答案：D

2.6.易错警示

易错原因纠错心得

本题中e”e2没指明不共线，应考在应用平面向量基本定理时

虑两种情况.本题易忽略ei//e2的情况不能忽略向量作为基的条件，否

致错选A.则就会出错.

3.平面向量基本定理

3.1.要点

1.基{e"ei}

2.互相垂直正交基标准正交基

3.2.［基础自测］

1.(1)X(2)V(3)V(4)X(5)V(6)X

2.解析：①而与标不共线；②DA=-BC,则而与

前共线；③就与而不共线；④OD=-OB,则而与

而共线.由平面向量基的概念知，只有不共线的两个向量才能构成一组基，

故①③满足题意.

答案：B

3.解析：如图，AO是△ABC的中线，则。为线段的中点，从而AD

］一。7

=；(AB+AC),贝ijAC=2AD-AB=26-a.

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A

3.3.题型一

1.解析：D选项符合平面向量基本定理.故选D.

答案：D

（人=1,

2.解析：①设ei+e2=Qi,则11=。，无解，

...ei+e2与ei不共线，即e［与e\+e2能作为一组基.

②设c\—2e2=2（e2—2的），则（l+2A）ei—（2+A）e2=0,

1+2入=0.

则I2+X=0»无解，...约一2。2与02—2ei不共线，

即ei—2。2与e2-2ei能作为一组基.

1

③丁eI-2e2=—；（4e2-2ei）,

1•ei—2e2与4e2—2ei共线，

即g—2e2与4。2—2约不能作为一组基.

④设ei+e2=2（G］—。2）,则（1—2）ei+（l+2）G2=0,

fl一入=0,

则11+入=0,无解，...ei+e2与e］一?2不共线，即ei+e2与3一e?

能作为一组基.

答案：③

3.4.题型二

AC

例1解析：易得AN=7=F,AM=；AB=力，

由N,E,B三点共线可知，存在实数机使AE=mAN+（l-m）AB

第7页共io页

力7力+(1-m)a.

由三点共线可知，存在实数〃使靛=〃AM+(1—n)AC

~/:«+(1—n)b.

所以7mZ>+(l-~{a,5}为基,

r

1-m=

m=1

所以(7所以AE=7a+

1

7&.

跟踪训练1解析:方法一设AC,3。交于点

海=士，BO=65=lBD=

所以AB=AO+OB=AO-BO=

BO+6c=ia+%

方法二设AB=x,BC=J,则AD=BC=j,又

|AB+BC=AC,

(AD-AB=BD,

3.5.题型三

例2解析：如图，三点共线，...存在实数%,使正=上而

=女就+玩)，二AB+^(BA+BC

AB+BF=)=(1

：)布+须.AE■一f+11

=AB+BE=AB7BCVAF=2AE,A

(1-洒+艮丸AB+；BC....靛与前不共线,

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答案：c

跟踪训练2解析：因为EF=ED+DF=-:AB-：AD,

xAC+yAB=i(AB+AD)+yAB=(x+y)AB+xAD,所

以x+y=—=故选A.

答案：A

例3解析：设BM=ei,K=%

则AM=AC+C