高中数学微：中点弦问题

最新高中数学精品微专题：中点弦问题

一、常用结论

22

1.椭圆中点弦问题结论（以焦点在X轴的椭圆方程三+与=1（。＞。＞0）为例）

一.b2

（1）如图，在椭圆C中，E为弦AB的中点，贝1J&OE•女人8=---F；（证明：用点差法）

a

222

（2）注意：若焦点在y轴上的椭圆£+5=1（4＞。＞0），则QE•心8=-会.

22

2.双曲线中点弦结论（以焦点在x轴的双曲线方程匚-'=1为例）

ab

（1）如图1或图2,E为弦AB的中点，则左0丁38=勺；

222

（2）注意：若焦点在y轴上的双曲线当■—0=1,则女。丁左.=二

a'b'b

3.抛物线中点弦结论

（1）在抛物线/=2〃双〃声0）中，若直线/与抛物线相交于M、N两点，点「（与，孔）是弦MN的中点，

弦MN所在的直线/的斜率为A“N，则即：k=&

打

（2）同理可证，在抛物线-=2py（pw0）中，若直线/与抛物线相交于M、N两点，点「（/，先）是弦MN

的中点，弦MN所在的直线/的斜率为匕“N，则」一.%=加.即：左=且

及MNP

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二、典例【选填+解答题】

1.(2021,云南昆明市•昆明一中高三)己知椭圆0+?=1(。〉。〉0)的右焦点为尸，离心率乎，过点产

的直线/交椭圆于A8两点，若AB中点为(U),则直线/的斜率为()

11

A.2B.-2C.--D.—

22

【答案】C

【分析】先根据已知得到。2=»2,再利用点差法求出直线的斜率.

2222

【详解】由题得£=也,；.4c2=2a2」4(4-b)=2a,:.a=2b.设4%,y),B(x2,y2),由题得

a2

-cf^2x,2+«2y,2=a2b2

西+々=2,y+y,=2,所以2,22,。，两式相减得

b-x2~+a=a-b-

〃(X]+%2)(%-X2)+a“y+%)(X一%)=°，所以2〃(X]-X2)+2a2(y_%)=0，

所以=0,所以1+2左=0,.•.%=—」.

(玉一”2)2

2.【2014年江西卷(理15)]过点”(1,1)作斜率为一,的直线与椭圆C：A+相交于A5,

2a-b-

若M是线段AB的中点，则椭圆C的离心率为

【解析】由椭圆中点弦性质可得%/=-—=e2—1,则2，故e=注.

a-[0<e<l2

/+丁

3.12013全国卷1理科】己知椭圆E：=l(a>b>0)的右焦点为尸(3,0),过点尸的直线交E于A,B

两点.若AB的中点坐标为(1,-1),则E的方程为()

22

厂y二+£

A.—+—=1B.=1

45363627

o22)

三+21厂u_厂

C.=1D.=1

2718189

【解析】”脑=-与，得与答x(—1)=一耳,

a3-1a

h21

»又9=。之二/一/，解得〃2=%/=18,

a22

22

...椭圆方程为二+二=1,

189

故选D.

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4.（2018全国卷HI第一问）已知斜率为左的直线/与椭圆C：土+2L=1交于A，B两点,线段的中

43

点为。”>0）.证明：k<——

2

【答案】证明见解析.

2222

【解析】设A（x”x）,8（%,%），则立+&=1，&+&=1,

4343

b23

上述两式相减，则左03.的8=一彳=一巳.

a4

由题设知二---^=1,———=m,故4・机=——，于是2=-------

m>0

31

由《1m2得0Vme—，故Zv一-.

一+—<122

143

5.（2020年湖北高二期末）如图，已知椭圆C：，+方=1（“>力>0）,斜率为-1的直线与椭圆C相交于

A,B两点，平行四边形。AMB（。为坐标原点）的对角线。M的斜率为'，则椭圆的离心率为______

3

旦

【答案】B

【解析】方法1：设直线45方程为y=-x+〃，设4（和%）,8（%,%），

"22

上+匕=1

由/得：（/+〃）/_2/依+/〃2=0,

y=-x+n

/A2

Ax+x2=__^7，y+%=2〃一（％+/），设

ertb

•・・Q4MB是平行四边形，・・・。麻=a+0月，♦・・1=%+工2，y二乂+为，

.心—_X+%_2〃一（％+%）_2》[2+b2।b21

••“OM~~~~]=a7-----1=-r=—

XX}+x2玉+x2X]+x2Q2〃23

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.c2a2-b22c瓜

••t・・e——=,'.

a2a23a3

故选B.

,1

He2_1=__Lrr

2

方法2：(秒杀解)kAB-kOM=---=e-\=>\3,=—.

a„,3

[0<e<1

故选B.

6.【2019—中月考】直线y=4x+m（meR）与椭圆C：二+二=1相交于A,B两点，设线段AB的中

32

点、为M,则动点M的轨迹方程为（）D

A.y=——+lB.y=——

6”6

C.y=+l（-V3<x<V3）D.y-<x<

2fI

7.已知椭圆2V-+工=l的一条弦的斜率为3,它与直线工=—的交点恰为这条弦的中点M,则M的坐标

75252

为（）

【答案】C

【分析】

由题意知：斜率为3的弦中点M（；,%）,设弦所在直线方程y=3x+6,结合椭圆方程可得5+%2=-b

一即

2

可求人，进而求M的坐标.

【详解】

由题意，设椭圆与弦的交点为4%，％）,5（*2，）2），AB:y^3x+b,

则将y=3x+b代入椭圆方程，整理得：12/+6法+/—75=0,

△=36廿—48(//—75)>0

b

而X]+%2=1，故6=-2,

2-

AAB:y=3x-2,又知（万，％）在A3上，则为=一2,

故选：C

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22

8.（2020•四川成都市•成都七中）已知椭圆G:-y+y1=l（a>b>0）的右焦点为F（3,0）,过点F的直线交椭

圆于4B两点.若AB的中点坐标为（1,-1）,则G的方程为（）

22222222

A.------1---------1D.----------1---------1C•--------1---------1U.-------1-------1

453636272718189

【答案】D

［分析］设A（x„y,）,B（x2,y2），代入椭圆的标准方程,两式作差可得岫=4■，由K=2，9=c?="一从,

a~a"2

即可求解.

【详解】设4（九1,乂）,8（%,,%），则%+马=2,乂+%=-2,乌+与=1,①与+与=1,②

a'b-a-h-

（%+々）（%-W）,（x+，2）（X-%）n.7,X一%入2（%+电）b2y1,0+11

2十72-u,・・K--7；7--F，乂氏AB--~~7-7

abAB%—々。（乂+%）Q"3—12

,2i22

:W，又9=c2=/一解得〃=9,/=18,.•.椭圆方程为二+匕=1,

a22189

1VX

9.（2020•黑龙江哈尔滨市•哈师大附中）己知离心率为万的椭圆与+乒=1（。>。〉0）内有个内接三角形

ABC,。为坐标原点，边A6、BC、AC的中点分别为£>、E、F,直线A6、BC、AC的斜率分别为

111

却右心且均不为。，若直线8、。区在斜率之和为1，则彳+短匕=（）

【答案】c

【分析】设出椭圆方程，设出AB,。的坐标，通过点差法转化求解斜率，然后推出结果即可.

C|v2V2

【详解】由题意可得一=一，所以4从=342,不妨设为乙+二=1.设4（百，y）,8（%,%），C（x3,%），

a243

尤+&.=]迂+互=1,两式作差得（W-'）（&+'二则转3（必一X）

43'43-344（七一西）

-=一]koD，同理可得—=一7％，7—=一：七£，所以厂+厂+1=_：（ZQD+《E+女0"）=一：，

L4kAC4kBC4Kk2k3A4

22py

10.（2020•广东广州市•执信中学）已知椭圆「:0+4=1（。>6>0）的离心率为注，AA3C的三个顶点都

a2b22

在椭圆上，设它的三条边AB，BC,AC的中点分别为£>,E，尸，且三条边所在直线的斜率分别占，

%2，右，且匕，&，&均不为0.。为坐标原点，则（）

A.a2：Z?2=l：2

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B.直线AB与直线0。的斜率之积为-2

C.直线8c与直线0E的斜率之积为-工

2

111

D.若直线O。，0E,OF的斜率之和为1,则1+厂+1的值为-2

欠］k2攵3

【答案】CD

【分析】由题意可得：/=»2设AQ,y),B®，%)•D*o,%).利用点差法即可得出占・&8=-g，

k?，koE=-万，k^koF=~—»即可判断•

【详解】椭圆r：「+4=l(a>b>0)的离心率为正，：.e1

=1——7=—,:.cr—2b1»故A错；

CTb~2a22

2222

设4(x，M),532，%)・。(工0，%)・工+A-=1'-T+咚=1,两式相减可得：

abab2

2

''2==•.kfkOD=,同理行L=---，kykOF=--->故8错，C正确.

%+%2xxa2222

又看+春+看7%+%+%)=-2,

Ty

达三

--------*

\//0-----

二

/C

22

11.(2020•广东广州市•执信中学)已知直线L与双曲线.］一［=1(。〉0,。〉0)相交于4,B两点，线段

a：b

AB的中点为M,0为坐标原点，若直线L的斜率为左，OM的斜率为女2,且匕&=2,则双曲线渐近线的

斜率等于()

万

A.±—B.±2C.±72D.±-

22

【答案】c

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22

=1

2b2

a21，两式相减可

【详解】设4（5,凹）,3（工2，%），加（工，丁），则X+%2=2x,y\+y2=2y,•/<

2.五=1

I//

另一%）x2y=0,：直线L的斜率为

仁（攵尸（）），直线OM的斜率为z2，；•*=一‘•）=勺=2,则2=夜.

-x2xaa

2

12.（2020•四川成都市•成都七中）过点P（l,4）作直线/交双曲线y2—、r=i于4,3两点，而P恰为弦AB

的中点，则直线/的斜率为（）.

1

A.----B.-1

16

1

C.—D.1

16

【答案】C

X

y2\

【分析】根据P为A8的中点，利用点差法，设A（x，y）,8（%,%），由,,两式相减求解.

1

4

X]+x2__

—•1

2%1+x2=2

【详解】设A（X，X）,B（9,月），因为P为AB的中点，则，,所以

X+%=4Ji+%=8'

2X\_i

2yF=i

将A、B代入双曲线产一千=1得，，,,两式相减得:

y,-y21%+左,乂一%121

—---,9所以上4月=力~~—=—X—=一

整理得：''I，、AD4o14•

弘+必%-%4816

22

13.（2021•全国高二）已知斜率为1的直线/与双曲线C：厂yl（a>0,b>0）相交于6、。两点,

屋一炉

且3。的中点为"（1,3）.则。的离心率为（）

D,1

A.2BC.3

-T2

【答案】A

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城

-=

瓦，两式做差得心丁―一㈤O

【详解】设8&,%）,。（々,%），＜2-

%

-=

整理得了"],而即°=＞二^=1,玉+々=2,必+%=6,代入有q=3,即

a（玉一%2）（玉+工2）为一工2。

22

C~~Cl~―/日Cc

——z—=3,可得e=-=2.

aa

14.（2020•广州市天河中学）已知双曲线E的中心为原点，*3,（））是E的焦点，过尸的直线/与E相交于

A，8两点，且45的中点为朋（一2,6），则E的方程为（）

A,二上122X2y222

B.工-匕=1C.--一上-=1D.二上=1

45635436

【答案】B

2

【详解】设双曲线E的标准方程为3x_z=1,由题意知：c=3,即储+万=9①，设A（%,yi）,6a,%）,

2

*y下-

QA8的中点为加卜2,6），.•.玉+々=-4,y+%=26，又「A，5在双曲线上，则12

%

X2官-

两式作差得：比式_比4=0,即止卑出

a2b2a2b2

即加=0=粤口=券=一¥^又•./二一:留=-g,

%）-X2a（凹+＞2）2/5a~5axM-xF-2-35

即一名”=一1,解得：=2〃②，由①②解得：/=6,82=3,二双曲线的标准方程为：兰―f=I.

5a2563

r2v2

15.（2019•陕西高考模拟）双曲线二-乜•=1的一条弦被点P（4,2）平分，那么这条弦所在的直线方程是（）

369

A..x-y-2-QB.2x+y-10=0

C.x-2y=QD.x+2y-8=0

【答案】C

【解析】设弦的两端点A（々,y）,

8（七，＞,2）＞斜率为k，

贝吟-9匕茎

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两式相减得a-w）（%+七）=（y-%）（»+匕）,

369

即左=息二&=9（西+&）=»=」

3-七36（y+%）36x42’

二弦所在的直线方程y—2=g（x—4）,即x-2y=0.

故选：C

16.（2020•河南周口市•高三）已知双曲线无2匕=1上有三个点A，B,C且A5，BC,AC的中点分

8

别为。，E，F,用字母攵表示斜率，若*+喂+*=—8（点。为坐标原点，且攵如，kOE，k°F均

111

不为零），则^—+7—+7―~_______•

^AB^BC

【答案】-1

22

2

【详解】设A（%,y）,网％,%），。（%,%），则%+工2=2/，,+%=2%,xt-^-=l,Xj--=1,

88

两式相减得/）（内+人）=（"+工[,整理可得失・■=四，即:=今，

OZ|Z2g（）KAB0

1k1k111,

同理得nF7—=丁n.P因为左前+攵0£+%8=-8，所以1+厂+厂=-1

KBC°KAC6KABKBCKAC

22

17.（2020•全国高二课时练习）双曲线c：=—==l（a>0力>0）的右焦点分别为F,圆M的方程为

ab~

（x—5）2+y2=2〃.若直线/与圆M相切于点P（4,l）,与双曲线C交于A,B两点，点P恰好为AB的中点，

则双曲线c的方程为.

J.2

【答案】--/=1

4■

【详解】设点A（x,,>',）,3（w，%），直线/的斜率为k,则h月=-1,所以攵=1,2〃=（4-5）2+F=2,

4—5

即心1，则5-4=1，£¥=1.两式相减，得』-”石+"2）=3—%）°+%）

a2b2a2b2a2b2

y.-y,h2（x,4-X）8/?24b2x2.

则女="士=寸_?4=—=—=1,即〃=4,所以双曲线C的方程为匕一>2=].

%一乙〃（y+必）2aa4

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18.（2017•河北衡水中学高考模拟）己知双曲线的中心在原点且一个焦点为F（g,0）,直线y=x-1与其相

2

交于M，N两点，若MN中点的横坐标为则此双曲线的方程是

22

AEJIB.三-二=1

3443

2〉99

J-JD.二上=1

5225

【答案】D

2*)

【解析】设双曲线的方程为］y

=l（a>0,b>0），由题意可得储+从=7,设N（x2,y2）,

a

（252(x,+x)(x,-x)_(y+%)(y-%)

则MN的中点为|一§,一§l,得22

b22b2

z25

2x(-)2x(-°)0n25

33，即—=声，联立片+力2=7,解得er2，〃=5,故所求双曲线的方程为

ar2b2

22

二-故选D.

25

2

19.已知双曲线C：5y=13>0,匕〉0）的左焦点为尸（—。,0）,过点F且斜率为1的直线与双曲线C交

a~

于4B两点，若线段AB的垂直平分线与x轴交于点P（2c,0）,则双曲线C的离心率为（）

A.22.B.垃C.73D.2

【答案】D

【解析】

【分析】

设线段A8的中点坐标为“（毛,%），根据4明=1，%.=-1，求出线段A6的中点M坐标，用点差法求

出a,c关系，即可求解

【详解】设线段A8的中点坐标为（七,%）,

%=1

X.+c

则有《

%=—1

xa-2c

设4（西，%）,6（4,必），代入双曲线方程有,

222

磐=1,与一与=1两式相减得,

h2a2h2

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（玉一X,）（X|+x）（X-%）（x+%）_1

―2=壬―^=1

可得存一普.1=0,即4=2,b2=3a2.

a~b-a~b

c-2a,e=2.

故选:D.

20.直线/过点尸（1,1）与抛物线丁=4%交于A3两点，若尸恰为线段A3的中点，则直线/的斜率为（）

11

A.2B.—2C.—D.---

22

【答案】A

【分析】

y=4x

利用点差法，\'2'两式相减，利用中点坐标求直线的斜率.

1%=4%

【详解】

设4（石,乂）,6区3），

V2=4x

'Ll/，两式相减得才—必仁式玉一七），

%=4%2

即（y+%）（y—%）=4（七一马），

当玉工超时，（凶+%）上」上=4,

X1-X,

因为点尸（1,1）是A8的中点，所以弘+%=2,2左=4,

解得：k=2

故选：A

21.（2019秋•湖北月考）斜率为％的直线/过抛物线）2=2px（p>0）焦点F,交抛物线于A,8两点，点P

（xo,州）为A8中点，则领）为（）

A.定值占B.定值p

C.定值2PD.与％有关的值

【分析】设直线方程与抛物线联立得纵坐标之和，进而的中点的纵坐标，直接求出ho的值为定值.

【解答】解：显然直线的斜率不为零，抛物线的焦点（里，0）,

2

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设直线/为：x=w?y+E,且火=」，A(x,y),B(%',y'),

2m

直线与抛物线联立得：y2-2pmy-p2=0,y+y'=2p〃?，

所以由题意得：和=竺^———pm,所以6o=」・pw=p,

2m

故选：B.

22.过点。(4,1)作抛物线丁=8x的弦AB,若弦AB恰被Q平分，则AB所在的直线方程为.

解：＞2=8X,y2=2mx,772=4.

由％".%=加得：kAB=4-

.•.AB所在的直线方程为y-l=4(x-4),即4x-y-15=0.

23.设6乙为抛物线x?=y的弦，如果这条弦的垂直平分线/的方程为y=—x+3,求弦所在的直

线方程.

解：x2=y,x2=2my,m=-^.弦片鸟所在直线的斜率为1.设弦公P2的中点坐标为(/，打)・由

1，曰1

-----xh=m得：=—.

kPP°2

r\*2

弦4g的中点也在直线y=—x+3上，凡=-g+3=g.弦耳g的中点坐标为(31).

.•.弦々8所在的直线方程为y—|=l-(x—g),即x—y+2=0.

24.AABC的三个顶点都在抛物线氏y2=2x上，其中4(2,2),AABC的重心G是抛物线E的焦点，则

BC边所在直线的方程为.

【答案】4x+4y+5=0

【分析】

设B(x")"