高一数学同步备好课之题型全归纳(人教A版必修第一册)专题31指数幂及其运算(原卷版+解析)

专题31指数幂及其运算1．分数指数幂的意义分数指数幂正分数指数幂规定：aeq\s\up5(\f(m,n))＝eq\r(n,am)(a>0，m，n∈N*，且n>1)负分数指数幂规定：a－eq\s\up5(\f(m,n))＝eq\f(1,aeq\s\up5(\f(m,n)))＝eq\f(1,\r(n,am))(a>0，m，n∈N*，且n>1)0的分数指数幂0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义温馨提示：(1)分数指数幂aeq\s\up15(eq\f(m,n))不可以理解为eq\f(m,n)个a相乘．(2)对于正分数指数幂，规定其底数是正数．2．有理数指数幂的运算性质(1)aras＝ar＋s(a>0，r，s∈Q)(2)(ar)s＝ars(a>0，r，s∈Q)．(3)(ab)r＝arbr(a>0，b>0，r∈Q)．3．无理数指数幂一般地，无理数指数幂aα(a>0，α是无理数)是一个确定的实数．有理数指数幂的运算性质同样适用于无理数指数幂．温馨提示：(1)对于无理指数幂，只需了解两点：①它是一个确定的实数；②它是有理数幂无限逼近的结果．(2)a－b＝eq\f(1,ab)(a>0，b是正无理数)．(3)定义了无理数指数幂后，幂的指数由原来的有理数范围扩充到了实数范围．题型一根式与分数指数幂的互化1．若有意义，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．2．式子的计算结果为（

）A． B． C． D．3．将表示成分数指数幂，其结果是（

）A． B．C． D．4．已知，则化为（

）A． B． C．m D．15．将化成分数指数幂为（

）A． B．C． D．6．化简(其中，)的结果是（

）A． B． C． D．7．的分数指数幂表示为____________8．已知，则___________.9．化简，将结果用有理指数幂的形式表示为______．10．用有理指数幂的形式表示下列各式（其中）：（1）______；

（2）______．11．用分数指数幂形式表示下列各式（式中）：（1）；（2）；（3）；（4）.12．用分数指数幂的形式表示下列各式（其中，均为正数）：(1)；(2)；(3)．题型二利用分数指数幂的运算性质化简求解1．化简结果为（

）A．a B．b C． D．2．计算：3．已知，，则（

）A． B． C． D．4．计算：=____________.5．计算=________________.6．(a>0，b>0)＝________.7．已知，则______.8．化简．9．化简下列各式：(1)；(2)．10．计算下列各式（式中字母均为正数）：(1)；(2)；(3)；(4)；(5)；(6)；(7)；(8)．11．求下列各式的值：(1)；(2)；(3)；(4)12．计算：(1)；(2)(a＞0，b＞0)．13．计算：(1)(2)；(3)(4)求值：题型三指数幂运算中的条件求值1．若则（

）A．10 B．15 C． D．2．设a，b为正实数，，，则（

）A．1 B．3 C．9 D．273．设，，则（

）A． B．1 C．2 D．34．已知，，则______．5．设，则___________.6．已知,，则的值为______.7．，则_______．8．若为方程x2－3x＋a＝0的两根，则________．9．已知，则___________.10．已知，且，求下列各式的值：(1)；(2)；(3)．11．已知，求的值．12．（1）已知，计算：；（2）设，，求的值．13．求解下列问题：(1)已知，且，求.(2)已知，求和的值.专题31指数幂及其运算1．分数指数幂的意义分数指数幂正分数指数幂规定：aeq\s\up5(\f(m,n))＝eq\r(n,am)(a>0，m，n∈N*，且n>1)负分数指数幂规定：a－eq\s\up5(\f(m,n))＝eq\f(1,aeq\s\up5(\f(m,n)))＝eq\f(1,\r(n,am))(a>0，m，n∈N*，且n>1)0的分数指数幂0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义温馨提示：(1)分数指数幂aeq\s\up15(eq\f(m,n))不可以理解为eq\f(m,n)个a相乘．(2)对于正分数指数幂，规定其底数是正数．2．有理数指数幂的运算性质(1)aras＝ar＋s(a>0，r，s∈Q)(2)(ar)s＝ars(a>0，r，s∈Q)．(3)(ab)r＝arbr(a>0，b>0，r∈Q)．3．无理数指数幂一般地，无理数指数幂aα(a>0，α是无理数)是一个确定的实数．有理数指数幂的运算性质同样适用于无理数指数幂．温馨提示：(1)对于无理指数幂，只需了解两点：①它是一个确定的实数；②它是有理数幂无限逼近的结果．(2)a－b＝eq\f(1,ab)(a>0，b是正无理数)．(3)定义了无理数指数幂后，幂的指数由原来的有理数范围扩充到了实数范围．题型一根式与分数指数幂的互化1．若有意义，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．[解析]由负分数指数幂的意义可知，，所以，即，因此的取值范围是．故选：C.2．式子的计算结果为（

）A． B． C． D．[解析].故选：D.3．将表示成分数指数幂，其结果是（

）A． B．C． D．[解析].故选：C.4．已知，则化为（

）A． B． C．m D．1[解析]，.故选：C．5．将化成分数指数幂为（

）A． B．C． D．[解析]．故选：B.6．化简(其中，)的结果是（

）A． B． C． D．[解析]因，，所以.故选：C7．的分数指数幂表示为____________[解析]8．已知，则___________.[解析]，则，因此，.9．化简，将结果用有理指数幂的形式表示为______．[解析]10．用有理指数幂的形式表示下列各式（其中）：（1）______；

（2）______．[解析]（1）；（2）.11．用分数指数幂形式表示下列各式（式中）：（1）；（2）；（3）；（4）.[解析]（1）（2）；（3）；（4）解法一：从里向外化为分数指数幂=====解法二：从外向里化为分数指数幂.

=====12．用分数指数幂的形式表示下列各式（其中，均为正数）：(1)；(2)；(3)．[解析](1)；(2)；(3).题型二利用分数指数幂的运算性质化简求解1．化简结果为（

）A．a B．b C． D．[解析]根据实数指数幂的运算公式，可得：.故选：A.2．计算：[解析]2+22+1＝7．3．已知，，则（

）A． B． C． D．[解析]根据题意得，，因为，所以.故选：D.4．计算：=____________.[解析]5．计算=________________.[解析]由题得，，，原式=.6．(a>0，b>0)＝________.[解析]原式＝＝.7．已知，则______.[解析].8．化简．[解析]9．化简下列各式：(1)；(2)．[解析](1)．(2)．10．计算下列各式（式中字母均为正数）：(1)；(2)；(3)；(4)；(5)；(6)；(7)；(8)．[解析](1)由指数幂的运算公式，可得.(2)由指数幂的运算公式，可得.(3)由指数幂的运算公式，可得.(4)由指数幂的运算公式，可得.(5)由指数幂的运算公式，可得.(6)由指数幂的运算公式，可得.(7)由指数幂的运算公式，可得.(8)由指数幂的运算公式，可得.11．求下列各式的值：(1)；(2)；(3)；(4)[解析](1)原式；(2)原式；(3)原式；(4)原式.12．计算：(1)；(2)(a＞0，b＞0)．[解析](1).(2).13．计算：(1)(2)；(3)(4)求值：[解析](1)(2)(3)原式.(4)题型三指数幂运算中的条件求值1．若则（

）A．10 B．15 C． D．[解析]因为两边平方得，即，所以原式，故选：C2．设a，b为正实数，，，则（

）A．1 B．3 C．9 D．27[解析]因为，所以，即，∴，，∴，故选：C．3．设，，则（

）A． B．1 C．2 D．3[解析]∵，，∴，∴，故选：B4．已知，，则______．[解析]因为，，所以．5．设，则___________.[解析]由.6．已知,，则的值为______.[解析]由，得，即，所以，则.7．，则_______．[解析]因为，且，所以.8．若为方程x2－3x＋a＝0的两根，则________．[解析]因为为方程x2－3x＋a＝0的两根，所以所以＝3×(32－3)＝18，x2＋x-2＝＝(32－2)2－2＝47，所以.9．已知，则___________.[解析].10．已知，且，求下列各式的值：(1)；(2)；(3)．[解析](1)因为，且，所以；(2)因为，所以，则，因为，所以舍去）；(3).11．已知，求的值．[解析]因为，故.12