高一数学必考点分类集训(人教A版必修第一册)专题2.5一元二次函数、方程和不等式(能力提升卷)(原卷版+解析)

专题2.5一元二次函数、方程和不等式（能力提升卷）考试时间：120分钟；满分：150分姓名：___________班级：___________考号：___________考卷信息：本卷试题共22题，单选8题，多选4题，填空4题，解答6题，满分150分，限时150分钟，试卷紧扣教材，细分题组，精选一年好题，两年真题，练基础，提能力！一．选择题（共8小题，满分40分，每小题5分）1．（2022•孝义市开学）已知1aA．a＜b B．a+b＜ab C．|a|＞|b| D．ab＞b22．（2022春•甘孜州期末）若不等式ax2+bx﹣2＜0​的解集为{x|﹣2＜x＜1}​，则a+b​＝（）A．﹣2​ B．0 C．1 D．23．（2022春•尖山区校级期末）已知x＞0，y＞0，且2x+y＝xy，则x+2y的最小值为（）A．8 B．82 C．9 D．4．（2022•连云区校级开学）若不等式2kx2+kx−38＜0对一切实数xA．﹣3＜k＜0 B．﹣3≤k≤0 C．﹣3＜k≤0 D．k＜﹣3或k≥05．（2022秋•渝中区校级月考）已知正实数a，b满足4a+b+1b+1=1A．6 B．8 C．10 D．126．（2022春•爱民区校级期末）已知x＞0，y＞0且1x+4y=1，若x+y＞m2A．{m|m≥9} B．{m|m≤−3} C．{m|m≥1} D．{m|﹣9＜m＜1}7．（2022春•营口期末）十六世纪中叶，英国数学家雷科德在《砺智石》一书中首先把“＝”作为等号使用，后来英国数学家哈利奥特首次使用“＜”和“＞”符号，并逐渐被数学界接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远．若不相等的两个正实数a，b满足a+b＝4，且1a+1bA．t≤1 B．t＜1 C．t≤2 D．t＜28．（2022春•南岗区校级期末）下列命题正确的个数是（）①a+b≥2ab②若a＞b＞0，c＜d＜0，则ac＜bd；③不等式1+1x＞0成立的一个充分不必要条件是x④若ai、bi、ci（i＝1，2）是全不为0的实数，则“a1a2=b1b2=c1c2”是“不等式a1x2+b1x+c1A．1 B．2 C．3 D．4二．多选题（共4小题，满分20分，每小题5分）（多选）9．（2022春•绍兴期末）已知a，b∈R，且ab＞0，则下列不等式中，恒成立的是（）A．a+b2≥ab B．a2+b2C．ba+a（多选）10．（2022•常熟市校级开学）已知正实数a，b满足a+b＝mab+n，则下列结论中正确的是（）A．若m＝1，n＝0，则ab≥4 B．若m＝1，n＝0，则a+b≤4 C．若m＝0，n＝1，则12a+bD．若m＝1，n＝﹣1，则a+b≥2（多选）11．（2022春•邢台期末）已知a＞0，b＞0，a2+b2＝1，则（）A．ab的最大值为12B．2ab+3a+b的最小值为2C．a2（1+2b2）的最大值为94D．1a（多选）12．（2022春•新兴区校级期末）下列关于基本不等式的说法正确的是（）A．若0＜x＜13，则x（1﹣3x）的最大值为B．函数y=x2C．已知x+y＝1，x＞0，y＞0，则1x+2D．若正数x，y满足x2+xy﹣2＝0，则3x+y的最小值是3三．填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）13．（2022春•奉贤区校级期末）若直角三角形斜边长等于10cm，则直角三角形面积的最大值为．14．（2022•桂林开学）已知x，y是正实数，且满足1x+4y+1=3，则x15．（2022春•京口区校级期末）已知关于x的一元二次不等式ax2+bx+c＜0的解集为{x|1＜x＜3}，则cx2﹣bx+a＞0的解集是．16．（2022春•龙凤区校级期末）已知a＞0，b＞0，下面四个结论：①2aba+b②若a＞b＞0，则ab+4③若a＞b，则c2④若1a+1+1b+1=1，则a其中正确结论的序号是．（把你认为正确的结论的序号都填上）四．解答题（共6小题，满分70分）17．（2021秋•普宁市期末）设a∈R，关于x的二次不等式ax2﹣2x﹣2a＞0的解集为A，集合B＝{x|1＜x＜2}，满足A∩B≠∅，求实数a的取值范围．18．（2022春•青铜峡市校级期末）（1）已知x＞3，求4x−3（2）已知x，y是正实数，且x+y＝1，求1x19．（2022春•东城区校级月考）请回答下列问题：（1）若关于x的不等式x2﹣3x+2a2＞0（a∈R）的解集为{x|x＜1或x＞b}，求a，b的值．（2）求关于x的不等式ax2﹣3x+2＞5﹣ax（a∈R）的解集．20．（2022春•广安期末）已知不等式（a+1）x2﹣4x﹣6＜0的解集是{x|﹣1＜x＜3}．（1）求常数a的值；（2）若关于x的不等式ax2+mx+4≥0的解集为R，求m的取值范围．21．（2021秋•凉州区期末）如图，计划用篱笆围成一个一边靠墙（墙的长度没有限制）的矩形菜园．设菜园的长为x，宽为y．（1）若菜园面积为72，则x，y为何值时，可使所用篱笆总长最小？（2）若使用的篱笆总长度为30，求1x22．（2022春•汉滨区期末）解下列问题：（1）若不等式ax2+bx+3＞0的解集为{x|﹣1＜x＜3}，求a，b的值；（2）若a+b＝1，a＞0，b＞0，求1a（3）已知﹣2＜a≤3，1≤b＜2，求代数式a+b和2a﹣3b的取值范围．专题2.5一元二次函数、方程和不等式（能力提升卷）考试时间：120分钟；满分：150分姓名：___________班级：___________考号：___________考卷信息：本卷试题共22题，单选8题，多选4题，填空4题，解答6题，满分150分，限时150分钟，试卷紧扣教材，细分题组，精选一年好题，两年真题，练基础，提能力！一．选择题（共8小题，满分40分，每小题5分）1．（2022•孝义市开学）已知1aA．a＜b B．a+b＜ab C．|a|＞|b| D．ab＞b2【分析】由1a＜1b＜0【解答】解：∵1a∴b＜a＜0，∴b＜a，a+b＜ab，|a|＜|b|，ab＜b2，故选项B正确，故选：B．2．（2022春•甘孜州期末）若不等式ax2+bx﹣2＜0​的解集为{x|﹣2＜x＜1}​，则a+b​＝（）A．﹣2​ B．0 C．1 D．2【分析】根据一元二次不等式与一元二次方程的关系解之．【解答】解：∵不等式ax2+bx﹣2＜0​的解集为{x|﹣2＜x＜1}，∴方程ax2+bx﹣2＝0根为﹣2、1，则−ba=−1−2a=−2，解得，a故选：D．3．（2022春•尖山区校级期末）已知x＞0，y＞0，且2x+y＝xy，则x+2y的最小值为（）A．8 B．82 C．9 D．【分析】由条件可得1x+2y=1，x+2y＝（x+2y【解答】解：x＞0，y＞0，且2x+y＝xy，可得：1x则x+2y＝（x+2y）（1x+2y=）＝5+2xy故选：C．4．（2022•连云区校级开学）若不等式2kx2+kx−38＜0对一切实数xA．﹣3＜k＜0 B．﹣3≤k≤0 C．﹣3＜k≤0 D．k＜﹣3或k≥0【分析】由2kx2+kx−38＜【解答】解：2kx2+kx−38＜①k＝0时，−3②k≠0时，k＜0Δ=解可得，﹣3＜k＜0，综上可得，﹣3＜k≤0，故选：C．5．（2022秋•渝中区校级月考）已知正实数a，b满足4a+b+1b+1=1A．6 B．8 C．10 D．12【分析】根据a+2b＝a+b+b+1﹣1＝（a+b+b+1）（4a+b【解答】解：∵正实数a，b满足4a+b∴a+2b＝a+b+b+1﹣1＝（a+b+b+1）（4a+b+1b+1）﹣1＝5+4(b+1)a+b+a+bb+1故选：B．6．（2022春•爱民区校级期末）已知x＞0，y＞0且1x+4y=1，若x+y＞m2A．{m|m≥9} B．{m|m≤−3} C．{m|m≥1} D．{m|﹣9＜m＜1}【分析】由基本不等式“1”的用法得x+y≥9，进而解不等式m2+8m＜9即可得答案．【解答】解：∵x＞0，y＞0，且且1x∴x+y＝（x+y）（1x+4y）＝5当且仅当yx=4xy，即∴（x+y）min＝9，由x+y＞m2+8m恒成立，即m2+8m＜（x+y）min＝9，解得：﹣9＜m＜1，故选：D．7．（2022春•营口期末）十六世纪中叶，英国数学家雷科德在《砺智石》一书中首先把“＝”作为等号使用，后来英国数学家哈利奥特首次使用“＜”和“＞”符号，并逐渐被数学界接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远．若不相等的两个正实数a，b满足a+b＝4，且1a+1bA．t≤1 B．t＜1 C．t≤2 D．t＜2【分析】利用“乘1法”，可得1a【解答】解：1a+1b=14（a+b）（1a+1b）=因为a≠b，所以1a又1a+1b故选：A．8．（2022春•南岗区校级期末）下列命题正确的个数是（）①a+b≥2ab②若a＞b＞0，c＜d＜0，则ac＜bd；③不等式1+1x＞0成立的一个充分不必要条件是x④若ai、bi、ci（i＝1，2）是全不为0的实数，则“a1a2=b1b2=c1c2”是“不等式a1x2+b1x+c1A．1 B．2 C．3 D．4【分析】直接利用基本不等式的解法和不等式的性质，充分条件和必要条件，不等式的解法的应用判断①②③④的结论．【解答】解：对于①，a+b≥2ab（a＞0，b＞0），故①错误；对于②，若a＞b＞0，c＜d＜0，则﹣c＞﹣d＞0，故﹣ac＞﹣bd，故ac＜bd，故②正确；对于③，使不等式1+1x＞0，整理得x+1x＞0，故x＞0或x＜﹣1，所以不等式1+1x对于④，不等式x2+x+1＞0与x2+x+2＞0的解集都为R，但是11若1−1=1−1=1−1，则不等式x2+故若ai、bi、ci（i＝1，2）是全不为0的实数，则“a1a2=b1b2=c1c2”是“不等式a1x2+b1x+c1＞0和a故选：B．二．多选题（共4小题，满分20分，每小题5分）（多选）9．（2022春•绍兴期末）已知a，b∈R，且ab＞0，则下列不等式中，恒成立的是（）A．a+b2≥ab B．a2+b2C．ba+a【分析】根据已知条件，结合特殊值法，以及基本不等式的公式，即可求解．【解答】解：对于A，令a＝﹣1，b＝﹣1，满足ab＞0，但a+b2＜ab对于B，a2+b2﹣2ab＝（a﹣b）2≥0，当且仅当a＝b时，等号成立，故a2+b2≥2ab，故B选项中的不等式恒成立；对于C，∵ab＞0，∴ba＞0，∴ba+ab≥2b对于D，若a＞0，b＞0，可得a+1a≥2，b+1b≥2，所以（a+1a）（b+1b）≥4，当且仅当若a＜0，b＜0，则（a+1a）（b+1b）＝（|a|+1|a|）（|b|+1故选：BCD．（多选）10．（2022•常熟市校级开学）已知正实数a，b满足a+b＝mab+n，则下列结论中正确的是（）A．若m＝1，n＝0，则ab≥4 B．若m＝1，n＝0，则a+b≤4 C．若m＝0，n＝1，则12a+bD．若m＝1，n＝﹣1，则a+b≥2【分析】把m，n的相应值代入，结合基本不等式及相关结论分别检验各选项即可．【解答】解：当m＝1，n＝0时，a+b＝ab≥2ab当且仅当a＝b＝2时取等号，解得ab≥4，故A正确；a+b＝ab≤（a+b2）2，当且仅当a＝b解得a+b≥4，故B错误；当m＝0，n＝1时，a+b＝1，则2a+b+b+1＝3，所以12a+b+2=13（3+b+12a+b+当且仅当b+12a+b=4a+2b当m＝1，n＝﹣1时，a+b＝ab﹣1≤(a+b2)2−解得a+b≥2+22（舍负）故，故D正确．故选：ACD．（多选）11．（2022春•邢台期末）已知a＞0，b＞0，a2+b2＝1，则（）A．ab的最大值为12B．2ab+3a+b的最小值为2C．a2（1+2b2）的最大值为94D．1a【分析】利用基本不等式判断A、B、D的正误，注意等号成立条件，将a2（1+2b2）化为关于a2的二次函数形式求最值判断C．【解答】解：因为a＞0，b＞0，a2+b2＝1，所以1≥2ab，即ab≤12ab+3a+b=(a+b)2当且仅当a＝b=22时等号成立，则A，a2（1+2b2）＝a2[1+2（1﹣a2）]＝3a2﹣2a4＝﹣2（a2−34当a2=34时取得最大值1a2+4b2=（a2+b2当且仅当b2=2a故选：ABD．（多选）12．（2022春•新兴区校级期末）下列关于基本不等式的说法正确的是（）A．若0＜x＜13，则x（1﹣3x）的最大值为B．函数y=x2C．已知x+y＝1，x＞0，y＞0，则1x+2D．若正数x，y满足x2+xy﹣2＝0，则3x+y的最小值是3【分析】根据基本不等式求出最值即可判断．【解答】解：对A，若0＜x＜13，则1﹣3所以x（1﹣3x）=13×3x（1﹣3x当且仅当3x＝1﹣3x，即x=16时等号成立，所以最大值为112对B，因为x＞﹣1，所以x+1＞0，所以y=x2+3x+3x+1=（x当且仅当x+1=1x+1，即x＝0等号成立，故函数最小值为3，故对C，因为x+y＝1，x＞0，y＞0，所以1x+2y=（1x+2y）（x当且仅当2xy=yx，即x=2−1，y＝2对D，由x2+xy﹣2＝0可得y=2x−x，因为x＞0，y＞0，可得0＜则3x+y＝2x+2x≥22x⋅2x=4所以最小值是4，故D错误．故选：AC．三．填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）13．（2022春•奉贤区校级期末）若直角三角形斜边长等于10cm，则直角三角形面积的最大值为．【分析】根据题意，设直角三角形的直角边为a，b，面积为S，由勾股定理得a2+b2＝100，利用基本不等式的性质可得S=12ab≤14【解答】解：根据题意，设直角三角形的直角边为a，b，面积为S，∵直角三角形斜边长等于10cm，∴a2+b2＝100，则S=12ab≤14故答案为：25．14．（2022•桂林开学）已知x，y是正实数，且满足1x+4y+1=3，则x【分析】根据条件，由x+y＝x+y+1﹣1=13（x+y+1）（【解答】解：因为x，y是正实数，且满足1x则x+y＝x+y+1﹣1=13（x+y+1）（=13（5+y+1x+当且仅当y+1x=4xy+1且1x所以x+y的最小值为2．故答案为：2．15．（2022春•京口区校级期末）已知关于x的一元二次不等式ax2+bx+c＜0的解集为{x|1＜x＜3}，则cx2﹣bx+a＞0的解集是．【分析】根据关于x的一元二次不等式ax2+bx+c＜0的解集得到a、b、c的关系，即可解之．【解答】解：∵x的一元二次不等式ax2+bx+c＜0的解集为{x|1＜x＜3}，∴a＞0ca=3−ba=4，不等式cx2﹣bx+a＞0化为3x2+4故答案为：{x|x＜﹣1或x＞−116．（2022春•龙凤区校级期末）已知a＞0，b＞0，下面四个结论：①2aba+b②若a＞b＞0，则ab+4③若a＞b，则c2④若1a+1+1b+1=1，则a其中正确结论的序号是．（把你认为正确的结论的序号都填上）【分析】转化为整式不等式，利用不等式性质判定；均值不等式求最小值．【解答】解：①交叉相乘等价化为：4ab≤（a+b）2，等价化为（a﹣b）2≥0，成立，①正确；②ab+4b2+1b(a−b)=ab﹣b2+b2++4b2+1b(a−b)=b（a﹣b③两边同乘ab，可等价化为bc2≤ac2，（b﹣a）c2≤0，成立，③正确；④a+2b＝（a+1）+2（b+1）﹣3＝[（a+1）+2（b+1）]（1a+1+1b+1）﹣3＝1+a+1b+1+2(b+1)a+1故答案为：①③④．四．解答题（共6小题，满分70分）17．（2021秋•普宁市期末）设a∈R，关于x的二次不等式ax2﹣2x﹣2a＞0的解集为A，集合B＝{x|1＜x＜2}，满足A∩B≠∅，求实数a的取值范围．【分析】根据关于x的二次不等式ax2﹣2x﹣2a＞0的解集为A知a≠0，求出对应方程的解，讨论a＞0和a＜0时，求出A，根据A∩B≠∅求出实数a的取值范围．【解答】解：因为关于x的二次不等式ax2﹣2x﹣2a＞0的解集为A，集合B＝{x|1＜x＜2}，所以a≠0，且对应方程ax2﹣2x﹣2a＝0的解为x1=1a−2+1a2，x2=①当a＞0时，A＝{x|x＜x1或x＞x2}，因为A∩B≠∅的充要条件是x2＜2，即1a+2+1a＜2，解得0＜②当a＜0时，A＝{x|x1＜x＜x2}，因为A∩B≠∅的充要条件是x2＞1，即1a+2+综上知，实数a的取值范围是{a|a＜﹣2或0＜a＜5−174或18．（2022春•青铜峡市校级期末）（1）已知x＞3，求4x−3（2）已知x，y是正实数，且x+y＝1，求1x【分析】（1）配凑可得4x−3（2）利用基本不等式中的“乘1法”，即可得解．【解答】解：（1）∵x＞3，∴x﹣3＞0，∴4x−3当且仅当4x−3=x−3，即∴4x−3（2）∵x，y∈R+，∴1x当且仅当y=3x，即x=3∴1x+319．（2022春•东城区校级月考）请回答下列问题：（1）若关于x的不等式x2﹣3x+2a2＞0（a∈R）的解集为{x|x＜1或x＞b}，求a，b的值．（2）求关于x的不等式ax2﹣3x+2＞5﹣ax（a∈R）的解集．【分析】（1）由题意可是1和b为方程x2﹣3x+2a2＝0的两根，利用韦达定理得以方程组，解得即可；（2）不等式为ax2+（a﹣3）x﹣3＞0，即（ax﹣3）（x+1）＞0，讨论a＝0，a＞0，a＝﹣3，a＜﹣3，﹣3＜a＜0，由二次不等式的解法，即可得到所求解集．【解答】解：（1）∵关于x的不等式x2﹣3x+2a2＞0（a∈R）的解集为{x|x＜1或x＞b}，∴1和b为方程x2﹣3x+2a2＝0的两根，∴1+b=31×b=2a2（2）关于x的不等式ax2﹣3x+2＞5﹣ax（a∈R），即ax2+（a﹣3）x﹣3＞0，即（ax﹣3）（x+1）＞0，当a＝0时，原不等式解集为{x|x＜﹣1}；当a≠0时，方程（ax﹣3）（x+1）＝0的根为x1=3∴①当a＞0时，3a＞−1，∴原不等式的解集为{x|x＞3②当﹣3＜a＜0时，3a＜−1，∴原不等式的解集为{x|3③当a＝﹣3时，3a=−1，∴原不等式的解集为④当a＜﹣3时，3a＞−1，∴原不等式的解集为{x|﹣1＜x20．（2022春•广安期末）已知不等式（a+1）x2﹣4x﹣6＜0的解集是{x|﹣1＜x＜3}．（1）求常数a的值；（2）若关于x的不等式ax2+mx+4≥0的解集为R，求m的取值范围．【分析】（1）根据一元二次不等式与一元二次方程的关系求之；（2）根据一元二次不等式的解法直接求之．【解答】解：