人教版九年级数学上册《24. 2. 2 直线和圆的位置关系》

《24.2.2直线和圆的位置关系》

一'选择题

1.如图，直线AB与。。相切于点A,弦CD〃AB,E,F为圆上的两点，且NCDE=NADF.若。0的半

径为CD=4,贝IJ弦EF的长为（）

2.如图，已知正方形ABCD,点E是边AB的中点，点0是线段AE上的一个动点（不与A、E重合），

以0为圆心，0B为半径的圆与边AD相交于点M,过点M作。。的切线交DC于点N,连接OM、ON、

BM、BN.记△MNO、AAOMxZ\DMN的面积分别为&、S?、S3,则下列结论不一定成立的是（）

3.如图，在平面直角坐标系中，点A、B均在函数y=k（k>0,x>0）的图象上，OA与x轴相切,

X

OB与v轴相切.若点B的坐标为（1,6）,OA的半径是。B的半径的2倍，则点A的坐标为（）

A.(2,2)B.(2,3)C.(3,2)D.(4,—)

4.如图，RtZ\ABC中，NACB=90°,AC=4,BC=6,以斜边AB上的一点0为圆心所作的半圆分别与

AC、BC相切于点D、E,则AD为（）

B

5.如图，AB、AC是。0的两条弦,NBAC=25°,过点C的切线与OB的延长线交于点D,则ND的度

数为（）

40°

二'填空题

6.如图，在。ABCD中，以点A为圆心，AB的长为半径的圆恰好与CD相切于点C,交AD于点E,延

长BA与。A相交于点F.若面的长为则图中阴影部分的面积为

7.如图，AB是。0的直径，点C在AB的延长线上，CD切00于点D,连接AD.若NA=25°,则N

8.如图，在矩形ABCD中，AD=8,E是边AB上一点，且AE=^AB.。。经过点E,与边CD所在直线

4

相切于点G（NGEB为锐角），与边AB所在直线交于另一点F,且EG：EF=&：2.当边AD或BC所

9.如图，AB是。0的直径，P为AB延长线上的一个动点，过点P作。0的切线，切点为C,连接AC,

BC,作NAPC的平分线交AC于点D.

下列结论正确的是（写出所有正确结论的序号）

①△CPDs^DPA；

②若NA=30°,则PC=«BC；

③若NCPA=30°,则PB=OB；

④无论点P在AB延长线上的位置如何变化，NCDP为定值.

10.如图，直线I与半径为4的。。相切于点A,P是。0上的一个动点（不与点A重合），过点P

作PBLI,垂足为B,连接PA.设PA=x,PB=y,则（x-y）的最大值是.

11.如图，在菱形ABCD中，AB=2“，ZC=120°,以点C为圆心的而与AB,AD分别相切于点G,H,

与BC,CD分别相交于点E,F.若用扇形CEF作一个圆锥的侧面，则这个圆锥的高是.

GH

BD

C

12.如图，在直角梯形ABCD中，ZABC=90°,上底AD为«,以对角线BD为直径的。。与CD切于

点D,与BC交于点E,且ZABD为30°.则图中阴影部分的面积为（不取近似值）.

13.如图，4ABC是等腰直角三角形，AC=BC=a,以斜边AB上的点0为圆心的圆分别与AC,BC相切

于点E,F,与AB分别交于点G,H,且EH的延长线和CB的延长线交于点D,则CD的长为

14.一走廊拐角的横截面积如图所示，已知ABJ_BC,AB〃DE,BC〃FG,且两组平行墙壁间的走廊宽

度都是1m,前的圆心为0,半径为1m,且NE0F=90°,DE、FG分别与。0相切于E、F两点.若水

平放置的木棒MN的两个端点M、N分别在AB和BC上，且MN与。。相切于点P,P是面的中点，则

木棒MN的长度为m.

15.如图，已知AB为。。的直径，AB=2,AD和BE是圆0的两条切线，A、B为切点，过圆上一点C

作。0的切线CF,分别交AD、BE于点M、N,连接AC、CB,若NABC=30°,则AM=

三、解答题

16.如图，A为。。外一点，AB切。0于点B,A0交。。于C,CD_LOB于E,交。0于点D,连接0D.若

AB=12,AC=8.

(1)求0D的长;

(2)求CD的长.

17.如图，在Rt^ABC中，NACB=90°,以AC为直径的。0与AB边交于点D,过点D作。。的切线,

交BC于E.

(1)求证：点E是边BC的中点；

(2)求证:BC2=BD»BA；

(3)当以点0、D、E、C为顶点的四边形是正方形时，求证：AABC是等腰直角三角形.

18.如图，E是长方形ABCD的边AB上的点，EFLDE交BC于点F

(1)求证：Z\ADEsaBEF；

(2)设H是ED上一点，以EH为直径作。0,DF与。。相切于点G,若DH=0H=3,求图中阴影部分的

面积(结果保留到小数点后面第一位，逐71.73,n«3.14).

c

19.已知：如图，P是。。外一点，过点P引圆的切线PC(C为切点)和割线PAB,分别交。。于A、

B,连接AC,BC.

(1)求证：ZPCA=ZPBC；

(2)利用(1)的结论，已知PA=3,PB=5,求PC的长.

20.如图，AB是。0的直径，过点A作。。的切线并在其上取一点C,连接0C交。0于点D,BD的

延长线交AC于E,连接AD.

(1)求证：△CDEs/SCAD；

(2)若AB=2,AC=2。求AE的长.

21.如图，。。与RtZkABC的斜边AB相切于点D,与直角边AC相交于E、F两点，连结DE,已知N

B=30°,。。的半径为12,弧DE的长度为4n.

(1)求证：DE〃BC；

(2)若AF=CE,求线段BC的长度.

D

22.如图，已知AB,AC分别是。。的直径和弦，点G为兆上一点，GE±AB,垂足为点E,交AC于

点D,过点C的切线与AB的延长线交于点F,与EG的延长线交于点P,连接AG.

(1)求证：4PCD是等腰三角形；

(2)若点D为AC的中点，且NF=30°,BF=2,求4PCD的周长和AG的长.

23.如图，AB是。。的直径，点C,D是半圆0的三等分点，过点C作。。的切线交AD的延长线于

点E,过点D作DFLAB于点F,交。。于点H,连接DC,AC.

(1)求证：ZAEC=90°；

(2)试判断以点A,0,C,D为顶点的四边形的形状，并说明理由；

(3)若DC=2,求DH的长.

24.如图，在梯形ABCD中，AD〃BC,NB=90°,以AB为直径作。0,恰与另一腰CD相切于点E,

连接0D、0C、BE.

(1)求证:0D//BE；

(2)若梯形ABCD的面积是48,设0D=x,0C=y,且x+y=14,求CD的长.

25.(1)如图1,四边形ABCD是矩形，点E是边AD的中点，求证：EB=EC.

(2)如图2,AB与。0相切于点C,NA=NB,。。的半径为6,AB=16,求0A的长.

26.已知：如图，四边形ABCD为平行四边形，以CD为直径作。0,。。与边BC相交于点F,O0的

切线DE与边AB相交于点E,且AE=3EB.

(1)求证：AADE^ACDF；

(2)当CF：FB=1：2时，求。。与。ABCD的面积之比.

27.已知：AB是。。的直径，直线CP切00于点C,过点B作BDJLCP于D.

(1)求证：Z\ACBsZ\CDB；

(2)若。。的半径为1,NBCP=30°,求图中阴影部分的面积.

28.如图，在RtZ\ABC中，ZBAC=90°,AB=4,AC=3,线段AB为半圆。的直径，将Rt^ABC沿射线

AB方向平移，使斜边与半圆。相切于点G,得aDEF,DF与BC交于点H.

(1)求BE的长；

(2)求Rt^ABC与4DEF重叠(阴影)部分的面积.

29.如图，已知。0中直径AB与弦AC的夹角为30。，过点C作。。的切线交AB的延长线于点D,

0D=30cm.求：直径AB的长.

D

ofB

30.如图，AB是。0的直径，点C在。0上，过点C作。0的切线CM.

(1)求证:ZACM=ZABC；

(2)延长BC到D,使BC=CD,连接AD与CM交于点E,若。0的半径为3,ED=2,求4ACE的外接圆

的半径.

《24.2.2直线和圆的位置关系》

参考答案与试题解析

一、选择题

1.如图，直线AB与。。相切于点A,弦CD〃AB,E,F为圆上的两点，且NCDE=NADF.若。0的半

径为■1，CD=4,贝I］弦EF的长为（

)

【考点】切线的性质；勾股定理；垂径定理；圆周角定理.

【专题】压轴题；数形结合.

【分析】首先连接0A,并反向延长交CD于点H,连接0C,由直线AB与00相切于点A,弦CD〃AB,

可求得0H的长，然后由勾股定理求得AC的长，又由NCDE=NADF,可证得EF=AC,继而求得答案.

【解答】解：连接0A,并反向延长交CD于点H,连接0C,

•.・直线AB与。。相切于点A,

.,.0A1AB,

,弦CD/7AB,

.'.AH±CD,

.,.CH=—CD—X4=2,

22

的半径为

/.OA=OC=—,

2

•■-OH=7OC2-CH^

二•AH=OA+OH二2+24,

22

ACRAH2+C沪2立・

VZCDE=ZADF,

••CE=AF-

-'-EF=AC>

；.EF=AC=2&.

故选：B.

【点评】此题考查了切线的性质、圆周角定理、垂径定理以及勾股定理等知识.此题难度适中，注

意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用.

2.如图，已知正方形ABCD,点E是边AB的中点，点0是线段AE上的一个动点(不与A、E重合)，

以。为圆心，0B为半径的圆与边AD相交于点M,过点M作。。的切线交DC于点N,连接OM、ON、

BM、BN.记△MNO、AAOM.△DMN的面积分别为酬、S2、S3,则下列结论不一定成立的是()

A.S1>S2+S3B.AAOM^ADMNC.ZMBN=45°D.MN=AM+CN

【考点】切线的性质；正方形的性质；相似三角形的判定与性质.

【分析】(1)如图作MP〃AO交ON于点P,当AM=MD时，求得S产S2+S3,

(2)利用MN是。。的切线，四边形ABCD为正方形，求得△AOMs^DMN.

(3)作BP±MN于点P,利用RtAMAB^RtAMPB和RtABPN^RtABCN来证明C,D成立.

【解答】解：(1)如图，作MP〃AO交ON于点P,

:点0是线段AE上的一个动点，当AM二MD时,

S梯形ONDA="I"(OA+DN)*AD

SAMNO=SAMOP+SAMPN=^P<AM+—MP*MD=-^IP>AD,

/\MI1UZAMUi/\Wrri"

(OA+DN)=MP,

2

••SAMWO=N"S梯形ONDA,

=+

••S1S2S3,

,.不一定有SBS2+S3,

(2)：MN是。。的切线,

.'.OM±MN,

又；四边形ABCD为正方形,

,NA=ND=90°,ZAM0+ZDMN=90°,ZAM0+ZA0M=90°,

ZAOM=ZDMN,

在△AMO和△DMN中,

fZA=ZD

IZAOM=ZDMN'

.-.△AOM^ADMN.

故B成立;

(3)如图，作BP_LMN于点P,

B

VMN,BC是OO的切线,

NPMB=—NMOB,NCBM=—NMOB,

22

：AD〃BC,

NCBM=NAMB,

ZAMB=ZPMB,

在RtAMAB和RtZXMPB中，

'/BPM=NBAM

-ZPMB=ZAMB

.,.RtAMAB^RtAMPB(AAS)

.,.AM=MP,ZABM=ZMBP,BP=AB=BC,

在RtABPN和RtABCN中，

[BP=BC

lBN=BN

.■.RtABPN^RtABCN(HL)

.,.PN=CN,ZPBN=ZCBN,

NMBN=NMBP+PPBN,

MN=MP+PN=AM+CN.

故C,D成立，

综上所述，A不一定成立，

故选：A.

【点评】本题主要考查了圆的切线及全等三角形的判定和性质，关键是作出辅助线利用三角形全等

证明.

3.如图，在平面直角坐标系中，点A、B均在函数y=k（k>0,x>0）的图象上，（DA与x轴相切,

X

OB与y轴相切.若点B的坐标为（1,6）,OA的半径是。B的半径的2倍，则点A的坐标为（）

A.(2,2)B.(2,3)C.(3,2)D.(4,33)

2

【考点】切线的性质；反比例函数图象上点的坐标特征.

【专题】数形结合.

【分析】把B的坐标为（1,6）代入反比例函数解析式，根据。B与y轴相切，即可求得。B的半径,

贝UOA的半径即可求得，即得到B的纵坐标，代入函数解析式即可求得横坐标.

【解答】解：把B的坐标为（1,6）代入反比例函数解析式得：k=6,

则函数的解析式是：y=-,

x

；B的坐标为（1,6）,OB与y轴相切，

，。8的半径是1,

则。A是2,

把y=2代入y=§得：x=3,

x

则A的坐标是（3,2）.

故选：C.

【点评】本题考查了待定系数法求函数的解析式，以及斜线的性质，圆的切线垂直于经过切点的半

径.

4.如图，Rt^ABC中，NACB=90°,AC=4,BC=6,以斜边AB上的一点0为圆心所作的半圆分别与

AC、BC相切于点D、E,则AD为（）

【考点】切线的性质；相似三角形的判定与性质.

【专题】几何图形问题.

【分析】连接ODxOE,先设AD=x,再证明四边形ODCE是矩形，可得出OD=CE,OE=CD,从而得出CD=CE=4

-x,BE=6-（4-x）,可证明△AODSOBE,再由比例式得出AD的长即可.

【解答】解：连接OD、0E,

设AD=x,

丁半圆分别与AC、BC相切，

/.ZCD0=ZCE0=90°,

VZC=90°,

・•・四边形ODCE是矩形，

.'.OD=CE,OE=CD,

又「OD=OE,

/.CD=CE=4-x,BE=6-(4-x)=x+2,

VZA0D+ZA=90°,NAOD+NBOE=90°,

：.ZA=ZB0E,

.,.△AODSOBE,

.AD,QD

…胡丽，

.x4-x

''4-x-x+21

解得x=1.6,

【点评】本题考查了切线的性质.相似三角形的性质与判定，运用切线的性质来进行计算或论证，

常通过作辅助线连接圆心和切点，利用垂直构造直角三角形，证明三角形相似解决有关问题.

5.如图，AB、AC是。0的两条弦，ZBAC=25°,过点C的切线与0B的延长线交于点D,则ND的度

数为（）

A.25°B.30°C.35°D.40°

【考点】切线的性质.

【专题】几何图形问题.

【分析】连接0C,根据切线的性质求出N0CD=90°,再由圆周角定理求出NCOD的度数，根据三角

形内角和定理即可得出结论.

【解答】解：连接0C,

；CD是。。的切线，点C是切点，

Z0CD=90°.

••,ZBAC=25°,

ZC0D=50°,

ZD=180°-90°-50°=40°.

【点评】本题考查的是切线的性质，熟知圆的切线垂直于经过切点的半径是解答此题的关键.

二'填空题

6.如图，在aABCD中，以点A为圆心，AB的长为半径的圆恰好与CD相切于点C,交AD于点E,延

长BA与OA相交于点F.若面的长为手，则图中阴影部分的面积为2-个.

【考点】切线的性质；平行四边形的性质；弧长的计算；扇形面积的计算.

【专题】几何图形问题.

【分析】求图中阴影部分的面积，就要从图中分析阴影部分的面积是由哪几部分组成的.很显然图

中阴影部分的面积=Z\ACD的面积-扇形ACE的面积，然后按各图形的面积公式计算即可.

【解答】解：连接AC,

♦DC是GA的切线,

「.ACJLCD,

又•・.AB二AC二CD,

/.△ACD是等腰直角三角形，

ZCAD=45°,

又四边形ABCD是平行四边形，

.,.AD//BC,

ZCAD=ZACB=45°,

又TAB二AC,

/.ZACB=ZB=45°,

・・・NFAD=NB=45°,

EF的长为一■，

..45冗r

•下二］80，

解得：r=2,

二•S阴影=S^ACO_S扇形ACE二2X2-"二二/二2一

23602

【点评】本题主要考查了扇形的面积计算方法，不规则图形的面积通常转化为规则图形的面积的和

差.

7.如图，AB是。0的直径，点C在AB的延长线上，CD切。0于点D,连接AD.若NA=25°,则N

C=40度，

D

【考点】切线的性质；圆周角定理.

【专题】计算题.

【分析】连接0D,由CD为圆0的切线，利用切线的性质得到0D垂直于CD,根据OA=OD,利用等边

对等角得到NA=NODA,求出NODA的度数，再由NCOD为aAOD外角，求出NC0D度数，即可确定出

NC的度数.

【解答】解：连接0D,

,「CD与圆0相切，

.,.OD1DC,

,.'OA=OD,

ZA=Z0DA=25",

•••NCOD为AAOD的外角，

ZC0D=50°,

ZC=90°-50°=40°.

故答案为：40

【点评】此题考查了切线的性质，等腰三角形的性质，以及外角性质，熟练掌握切线的性质是解本

题的关键.

8.如图，在矩形ABCD中，AD=8,E是边AB上一点，且AE=4AB.。0经过点E,与边CD所在直线

4

相切于点G（NGEB为锐角），与边AB所在直线交于另一点F,且EG：EF=J^：2.当边AD或BC所

在的直线与。。相切时，AB的长是12或4.

【考点】切线的性质；矩形的性质.

【专题】几何图形问题；压轴题.

【分析】过点G作GN_LAB,垂足为N,可得EN=NF,由EG：EF=泥：2,得：EG：EN=^：1,依据

勾股定理即可求得AB的长度.

【解答】解：边AB所在的直线不会与。0相切；边BC所在的直线与。。相切时，

如图，过点G作GNLAB,垂足为N,

.,.EN=NF,

又「EG：EF=V5：2,

/.EG：EN=V5：1,

又：GN=AD=8,

•.・设EN=x,则GEW^X,根据勾股定理得：

(V5x)2-X2=64»解得:x=4,GE=475，

设。0的半径为r,由OE2=EN2+ON2

得：/=16+(8-r)7,

：.r=5..'.0K=NB=5,

.,.EB=9,

又AE=1AB,

4

・・.AB=12.

同理，当边AD所在的直线与。。相切时，连接0H,

二•OH二AN二5,

.'.AE=1.

又AE昔AB,

・・・AB=4.

故答案为：12或4.

【点评】本题考查了切线的性质以及勾股定理和垂径定理的综合应用，解答本题的关键在于做好辅

助线，利用勾股定理求出对应圆的半径.

9.如图，AB是。。的直径，P为AB延长线上的一个动点，过点P作。。的切线，切点为C,连接AC,

BC,作NAPC的平分线交AC于点D.

下列结论正确的是②③④（写出所有正确结论的序号）

①△CPDs/iDPA；

②若NA=30°,则PC=“BC；

③若NCPA=30。，则PB=OB；

④无论点P在AB延长线上的位置如何变化，ZCDP为定值.

【考点】切线的性质；三角形的角平分线、中线和高；三角形的外角性质；相似三角形的判定与性

质.

【专题】几何综合题.

【分析】①只有一组对应边相等，所以错误；

②根据切线的性质可得NPCB=NA=30°,在直角三角形ABC中NABC=60°得出OB=BC,NBPC=30°,

解直角三角形可得PB=J%C=J^BC；

③根据切线的性质和三角形的外角的性质即可求得NA=NPCB=30°,NABC=60°,进而求得

PB=BC=OB；

④连接0C,根据题意，可知OCJ_PC,NCPD+NDPA+NA+NAC0=90°,可推出NDPA+NA=45°,即N

CDP=45°.

【解答】解：①J，NCPD=NDPA,ZCDP=ZDAP+ZDPA=#ZDAP*ZPDA,

...△CPDs^DPA错误；

②连接OC,

:AB是直径，NA=30°

ZABC=60°,

.,.OB=OC=BC,

■■,PC是切线，

ZPCB=ZA=30°,Z0CP=90°,

ZAPC=30",

prpr,

・•・在RTZ\POC中，cotZAPC=cot30°毛三一%

OCBC

「・PC=«BC,正确；

③「NABC=NAPC+NPCB,ZPCB=ZA,

ZABC=ZAPC+ZA,

VZABC+ZA=90°,

ZAPC+2ZA=90°,

,/ZAPC=30°,

/.ZA=ZPCB=30°,

.,.PB=BC,NABC=60°,

.'.OB=BC=OC,

.'.PB=OB；正确；

④解：如图，连接oc,

'.'OC=OA,PD平分NAPC,

ZCPD=ZDPA,NA=NACO,

:PC为。。的切线,

.,.OC±PC,

,.,ZCP0+ZG0P=90°,

(NCPD+NDPA)+(NA+NACO)=90",

ZDPA+ZA=45°,

即NCDP=45°；正确；

故答案为：②③④；

【点评】本题主要考查切线的性质、等边三角形的性质、角平分线的性质、外角的性质，解题的关

键在于作好辅助线构建直角三角形和等腰三角形.

10.如图，直线I与半径为4的。。相切于点A,P是00上的一个动点(不与点A重合)，过点P

作PB_LI,垂足为B,连接PA.设PA=x,PB=y,则(x-y)的最大值是2.

【考点】切线的性质.

【专题】几何图形问题；压轴题.

【分析】作直径AC,连接CP,得出△APCs/iPBA,利用*塔，得出y=2x*所以x-y=x-^xJ

ACAP88

(x-4)2+2,当x=4时，x-y有最大值是2.

o8

【解答】解：如图，作直径AC,连接CP,

ZCPA=90°,

'."AB是切线，

.-.CA±AB,

-.'PB±I,

，AC〃PB,

NCAP=NAPB,

.'.△APC^APBA,

.AP_PB

"AC^PA'

•••PA=x,PB=y,半径为4,

.x_y

■,TV

.-12

"y-8X，

x-y-x——x2=——x2+x=——(x-4)2+2,

888

当x=4时，x-y有最大值是2,

故答案为：2.

【点评】此题考查了切线的性质，平行线的性质，相似三角形的判定与性质，以及二次函数的性质,

熟练掌握性质及定理是解本题的关键.

11.如图，在菱形ABCD中，AB=2f，ZC=120°,以点C为圆心的而与AB,AD分别相切于点G,H,

与BC,CD分别相交于点E,F.若用扇形CEF作一个圆锥的侧面，则这个圆锥的高是2\万.

【考点】切线的性质；菱形的性质；圆锥的计算.

【分析】先连接CG,设CG=R,由勾股定理求得扇形的半径即圆锥的母线长，根据弧长公式1=3音,

180

再由2""="^罂，求出底面半径r,则根据勾股定理即可求得圆锥的高•

180

【解答】解：如图:连接CG,

ZC=120°,

/.ZB=60°,

,.'AB与窗相切,

...CGJLAB,

在直角4CBG中，CG=BC.sin600=2«义亨=3,即圆锥的母线长是3,

设圆锥底面的半径为r,则：2nr=l2°?

180

.'.r=1.

则圆锥的高是：732-I2=272.

【点评】本题考查的是圆锥的计算，先利用直角三角形求出扇形的半径，运用弧长公式计算出弧长,

然后根据底面圆的周长等于扇形的弧长求出底面圆的半径.

12.如图，在直角梯形ABCD中，NABC=90°,上底AD为加，以对角线BD为直径的。。与CD切于

点D,与BC交于点E,且NABD为30°.则图中阴影部分的面积为组号-n（不取近似值）.

【考点】切线的性质；直角梯形；扇形面积的计算.

【专题】几何图形问题.

【分析】连接0E,根据NABC=90°,AD=«,NABD为30°,可得出AB与BD,可证明AOBE为等边

三角形，即可得出NC=30°.阴影部分的面积为直角梯形ABCD的面积-三角形ABD的面积-三角形

OBE的面积-扇形ODE的面积.

【解答】解：连接0E,过点。作OFLBE于点F.

---ZABC=90°,AD=«,NABD为30°,

BD=2，§,

.,.AB=3,

■.,OB=OE,NDBC=60°,OFXBE,

.'.0F=—,

2

.「CD为。。的切线，

ZBDC=90",

ZC=30°,

，BC=4正，

S阴影=S梯形ABCD-SAABD-SA0BE-S扇彩ODE

_(AD+BC)XABAD,ABBEOF120X7TX(J3)2

222—360

,(V3+W3)X3r

22-y-

=2173-n.

4_

故答案为：Zh叵-n.

4

【点评】本题考查了切线的性质、直角梯形以及扇形面积的计算，要熟悉扇形的面积公式.

13.如图，AABC是等腰直角三角形，AC=BC=a,以斜边AB上的点0为圆心的圆分别与AC,BC相切

于点E,F,与AB分别交于点G,H,且EH的延长线和CB的延长线交于点D,则CD的长为上述a.

2

【考点】切线的性质；切割线定理；相似三角形的性质.

【专题】压轴题.

【分析】连接OE、OF,由切线的性质结合结合直角三角形可得到正方形OECF,并且可求出。0的半

径为，则BF=a-=,再由切割线定理可得BF?=BH・BG,利用方程即可求出BH,然后又因OE〃DB,OE=OH,

利用相似三角形的性质即可求出BH=BD,最终由CD=BC+BD,即可求出答案.

【解答】解：如图，连接OE、OF,

•.・由切线的性质可得OE=OF=。。的半径，N0EC=N0FC=NC=90°,

••.OECF是正方形，

,/由ZXABC的面积可知*XACXBC。XACXOE+yXBCXOF,

.,.OE=OF=—a=EC=CF,BF=BC-CF=,GH=20E=a,

2

,•,由切割线定理可得BF2=BH.BG,

a2=BH(BH+a),

4

.,.BH=—I"』2a或BH=―-__(舍去)，

22

；OE〃DB,OE=OH,

.,.△OEH^ABDH,

.OE_BD

',OH-BH'

.,.BH=BD,CD=BC+BD=a+-上返a=±b②.

22

【点评】考查了切线的性质，本题需仔细分析题意，结合图形，利用相似三角形的性质及切线的性

质即可解决问题.

14.一走廊拐角的横截面积如图所示，已知ABJ_BC,AB/7DE,BC〃FG,且两组平行墙壁间的走廊宽

度都是1m,前的圆心为0,半径为1m,且NE0F=90°,DE、FG分别与。。相切于E、F两点.若水

平放置的木棒MN的两个端点M、N分别在AB和BC上，且MN与。。相切于点P,P是前的中点，则

木棒MN的长度为（4、历-2）m.

【考点】切线的性质；全等三角形的判定与性质；勾股定理的应用；正方形的判定与性质.

【专题】几何图形问题.

【分析】连接0B,延长OF,0E分别交BC于H,交AB于K,证得四边形BKOH是正方形，然后证得

0B经过点P,根据勾股定理求得0B的长，因为半径0P=1,所以BP=2&-1,然后求得aBPM丝Z\BPN

得出P是MN的中点，最后根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可求得.

【解答】解：连接0B,延长OF,0E分别交BC于H,交AB于K,

「DE、FG分别与。。相切于E、F两点，

/.OE±ED,OF±FG,

■.,AB/7DE,BC〃FG,

.-.OK±AB,OH±BC,

,.,ZE0F=90°,

•••四边形BKOH是矩形，

•••两组平行墙壁间的走廊宽度都是1m,。。半径为1m,

.•.0K=0H=2,

矩形BKOH是正方形，

ZB0K=ZB0H=45°,

••.P是面的中点，

.•.0B经过P点，

在正方形BKOH中，边长=2,

；.0B=2圾,

,.,0P=1,

；p是MN与O0的切点，

.'.OB±MN,

VOB是正方形BKOH的对角线,

Z0BK=Z0BH=45°,

在aBPM与4BPN中

'/OBK=/OBH=45°

<ZBPM=ZBPN

BP=BP

.,.△BPM^ABPN(ASA)

r.MP=NP,

.\MN=2BP,

•「BP=2&-1,

.,.MN=2(272-D=4&-2,

故答案为：4夜-2

【点评】本题考查了圆的切线的性质，正方形的判定和性质，全等三角形的判定和性质以及勾股定

理的应用，0、P、B三点共线是本题的关键.

15.如图，已知AB为。。的直径，AB=2,AD和BE是圆0的两条切线，A、B为切点，过圆上一点C

作。0的切线CF,分别交AD、BE于点M、N,连接AC、CB,若NABC=30°,则AM=返.

3

D

【考点】切线的性质.

【专题】计算题.

【分析】连接OM,0C,由OB=OC,且NABC的度数求出NBCO的度数，利用外角性质求出NAOC度数,

利用切线长定理得到MA=MC,利用HL得到三角形AOM与三角形COM全等，利用全等三角形对应角相

等得到0M为角平分线，求出NA0M为30°,在直角三角形AOM中，利用锐角三角函数定义即可求出

AM的长.

【解答】解：连接0M,00,

,.■OB=OC,且NABC=30°,

ZBC0=ZABC=30°,

「NAOC为△BOC的外角，

ZA0C=2ZABC=60",

1.'MA,MC分别为圆。的切线，

.,.MA=MC,且NMA0=NMC0=90°,

SRtAAOM和RtZiCOM中,

[MA=MC

IOM=OM'

.,.RtAAOM^RtACOM(HL),

ZAOM=ZCOM—ZA0C=30°,

2

在RtZ\AOM中，0A==AB=1,ZA0M=30°,

解得：AM=F3.

3

故答案为：返.

3

【点评】此题考查了切线的性质，锐角三角函数定义，外角性质，以及等腰三角形的性质，熟练掌

握切线的性质是解本题的关键.

三'解答题

16.如图，A为。。外一点，AB切。。于点B,A0交。。于C,CD_LOB于E,交00于点D,连接0D.若

AB=12,AC=8.

(1)求0D的长;

【考点】切线的性质；勾股定理；相似三角形的性质.

【专题】几何图形问题.

【分析】(1)设。0的半径为R,根据切线定理得OB±AB,则在RtAABO中，利用勾股定理得到R2+122=

(R+8)2,解得R=5,即0D的长为5；

(2)根据垂径定理由CDLOB得DE=CE,再证明△OECs/^BA,利用相似比可计算出CE=瑞，所以

1O

CDE2CE二1七2仪0.

13

【解答】解：(1)设。。的半径为R,

：AB切。0于点B,

.'.OB±AB,

在RtaABO中，OB=R,A0=0C+AC=R+8,AB=12,

•.•OB2+AB2=OA2,

.,.R2+122=(R+8)2,

解得R=5,

.­.OD的长为5；

(2)•.'CD±OB,

.,.DE=CE,

而OB±AB,

；.CE〃AB,

.,.△OEC^AOBA,

,CEOC

,AB-OA

CE_5

125+8'

•..eut---6--0--,

13

CD=2CE=12±0^

13

【点评】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径.也考查了勾股定理、垂径定理

和相似三角形的判定与性质.

17.如图，在RtaABC中，ZACB=90°,以AC为直径的。。与AB边交于点D,过点D作。。的切线,

交BC于E.

(1)求证：点E是边BC的中点；

(2)求证:BC2=BD»BA；

(3)当以点0、D、E、C为顶点的四边形是正方形时，求证：aABC是等腰直角三角形.

【考点】切线的性质；正方形的性质；相似三角形的判定与性质.

【专题】证明题.

【分析】(1)利用切线的性质及圆周角定理证明；

(2)利用相似三角形证明；

(3)利用正方形的性质证明.

【解答】证明：(1)如图，连接0D.

VDE为切线，

ZEDC+Z0DC=90°；

,/ZACB=90°,

/.ZECD+Z0CD=90°.

又「OD=OC,

N0DC=NOCD,

ZEDOZECD,

/.ED=EC；

;AC为直径，

ZADC=90°,

ZBDE+ZEDC=90°,NB+NECD=90°,

ZB=ZBDE,

/.ED=BE.

・・・EB=EC,即点E为边BC的中点；

(2)・.・AC为直径，

ZADC=ZACB=ZBDC=90°,

又•・,NB二NB

/.△ABC^ACDB,

.AB_BC

*'BC

/.BC2=BD>BA；

(3)当四边形ODEC为正方形时，NOCD=45°；

「AC为直径，

ZADC=90°,

ZCAD=ZADC-Z0CD=90°-45°=45°

.'.RtAABC为等腰直角三角形.

【点评】本题是几何证明题，综合考查了切线性质、圆周角定理、相似三角形、正方形、等腰直角

三角形等知识点.试题着重对基础知识的考查，难度不大.

18.如图，E是长方形ABCD的边AB上的点，EFLDE交BC于点F

（1）求证：△ADEs/XBEF；

（2）设H是ED上一点，以EH为直径作（DO,DF与。。相切于点G,若DH=0H=3,求图中阴影部分的

面积（结果保留到小数点后面第一位，«石1.73,n«3.14）.

【考点】切线的性质；矩形的性质；扇形面积的计算；相似三角形的判定；特殊角的三角函数值.

【专题】综合题.

【分析】（1）由条件可证NAED=NEFB,从而可证△ADEs^BEF.

（2）由DF与。0相切，DH=0H=0G=3可得N0DG=30°,从而有NG0E=120°,并可求出DG、EF长,

从而可以求出△DGO、ADEFx扇形OEG的面积，进而可以求出图中阴影部分的面积.

【解答】（1）证明：•.・四边形ABCD是矩形，

NA=NB=90°.

VEF±DE,

ZDEF=90°.

ZAED=90°-NBEF=NEFB・

VZA=ZB,ZAED=ZEFB,

/.△ADE^ABEF.

(2)解：・・・DF与。。相切于点G,

/.OG±DG.

/.ZDG0=90°.

•/DH=OH=OG,

OG1

「.sinNODG二

OD2

Z0DG=30°.

/.ZG0E=120°.

.《-12071X

•■°扇形DEG--------——---------------n■

360

iSRtADGO中,

cosZODG=-

DO62

DG=3

在RtZkDEF中,

tanNEDF理「EL我

DE93

.•.EF=3。

Se断E・EF=aX9X3后写1,

SADGO=|OG.GO=1X3MX3二号.

•"S阴影二S^DEF-S^DGO—S扇形OEG

=2?V3_9V3_3n

22

三9«-3n

Q9X1.73-3X

・•・图中阴影部分的面积约为6.2.

c

【点评】本题考查了矩形的性质、相似三角形的判定、切线的性质、特殊角的三角函数值、扇形的

面积等知识，考查了用割补法求不规则图形的面积.

19.已知：如图，P是。。外一点，过点P引圆的切线PC（C为切点）和割线PAB,分别交。。于A、

B,连接AC,BC.

（1）求证:ZPCA=ZPBC；

（2）利用（1）的结论，已知PA=3,PB=5,求PC的长.

【考点】切线的性质；相似三角形的判定与性质.

【专题】几何综合题.

【分析】（1）连结OC,0A,先根据等腰三角形的性质得出NACO=NCAO,再由PC是。。的切线，C

为切点得出NPC0=90°,NPCA+NAC0=90°,在AAOC中根据三角形内角和定理可知NACO+NCAO+

ZA0C=180°,由圆周角定理可知NA0C=2NPBC,故可得出NAC0+NPBC=90°,再根据NPCA+N

AC0=90°即可得出结论；

（2）先根据相似三角形的判定定理得出△PACs^PCB,由相似三角形的对应边成比例即可得出结论.

【解答】（1）证明：连结OC,0A,

,.'OC=OA,

NACO=NCAO,

；PC是。。的切线，C为切点，

/.PC±00,

ZPC0=90°,ZPCA+ZAC0=90°,

在△AOC中，NAC0+NCA0+NA0C=180°,

■.,ZA0C=2ZPBC,

.•,2ZAC0+2ZPBC=180°,

ZAC0+ZPBC=90°,

；NPCA+NAC0=90°,

ZPCA=ZPBC；

(2)解：VZPCA=ZPBC,ZCPA=ZBPC,

.,.△PAC^APCB,

.PC_PB

"PPPC'

.,.PC-PA*PB,

・;PA=3,PB=5,

••.PC=V3X5=V15.

【点评】本题考查的是切线的性质，根据题意作出辅助线，构造出圆心角是解答此题的关键.

20.如图，AB是。。的直径，过点A作。。的切线并在其上取一点C,连接0C交00于点D,BD的

延长线交AC于E,连接AD.

(1)求证：△CDEs/xCAD；

(2)若AB=2,AC=2料，求AE的长.

【考点】切线的性质；相似三角形的判定与性质.

【专题】证明题.

【分析】(1)根据圆周角定理由AB是。。的直径得到NADB=90°,则NB+NBAD=90°,再根据切

线的性质，由AC为。。的切线得NBAD+NCAD=90°,则NB=NCAD,由于NB=NODB,ZODB=ZCDE,

所以NB=NCDE,则NCAD=NCDE,加上NECD=NDCA,根据三角形相似的判定方法即可得到aCDEs

△CAD；

(2)在Rt^AOC中，0A=1,AC=2j],根据勾股定理可计算出0C=3,则CD=0C-0D=2,然后利用4

CDE^ACAD,根据相似比可计算出CE,再由AE=AC-CE可得AE的值.

【解答】(1)证明：是。。的直径，

ZADB=90°,

ZB+ZBAD=90°,

,■•AC为。0的切线，

.,.BA1AC,

ZBAC=90°,即NBAD+NCAD=90°,

ZB=ZCAD,

•.,OB=OD,

r.ZB=Z0DB,

而NODB二NCDE,

ZB=ZCDE,

ZCAD=ZCDE,

而NECD二NDCA,

/.△CDE^ACAD；

(2)解：・・・AB=2,

.,.0A=1,

在RtaAOC中，AC=2版,

-',OC=VOA2+AC2=3'

.■.CD=0C-0D=3-1=2,

---△CDE^ACAD,

,CD_CA即2_2a

"CECD'CE~2~,

.".CE=^/2.

.•.AE=AC-CE=2«-止止.

【点评】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径.也考查了勾股定理、圆周角定

理和相似三角形的判定与性质.

21.如图，。。与Rt^ABC的斜边AB相切于点D,与直角边AC相交于E、F两点，连结DE,已知N

B=30°,。。的半径为12,弧DE的长度为4n