高二数学考点讲解练(人教A版2019选择性必修第一册)7.4.1二项分布-2022-2023学年高二数学考点讲解练(人教A版2019选择性必修第三册)(原卷版+解析)

7.4.1二项分布备注：资料包含：1.基础知识归纳；考点分析及解题方法归纳：考点包含：利用二项分布求分布列；二项分布的均值；二项分布的方差；服从二项分布随机变量最大问题；建立二项分布模型解决实际问题课堂知识小结考点巩固提升知识归纳1、相互独立事件设A，B两个事件，如果事件A是否发生对事件B发生的概率没有影响(即),则称事件A与事件B相互独立。一般地，如果事件A1,A2,…,An两两相互独立，那么这n个事件同时发生的概率，等于每个事件发生的概率的积，即.注：(1)互斥事件：指同一次试验中的两个事件不可能同时发生；(2)相互独立事件：指在不同试验下的两个事件互不影响.2、n次独立重复试验一般地，在相同条件下，重复做的n次试验称为n次独立重复试验.在次独立重复试验中，记是“第次试验的结果”，显然，“相同条件下”等价于各次试验的结果不会受其他试验的影响注:独立重复试验模型满足以下三方面特征第一：每次试验是在同样条件下进行；第二：各次试验中的事件是相互独立的；第三：每次试验都只有两种结果，即事件要么发生，要么不发生.n次独立重复试验的公式：，而称p为成功概率.3、二项分布一般地，在n次独立重复试验中，用X表示事件A发生的次数，设每次试验中事件A发生的概率为p，则X01…k…nP……此时称随机变量X服从二项分布，记作，并称p为成功概率.二项分布的期望与方差：若，则几何分布的期望和方差：若，其中，…，．则，.考点讲解考点讲解考点1：利用二项分布求分布列例1．某公司的一次招聘中，应聘者都要经过三个独立项目的测试，如果通过两个或三个项目的测试即可被录用．若甲、乙、丙三人通过每个项目测试的概率都是．(1)求甲被录用的概率；(2)设甲、乙、丙三人中被录用的人数为，求的分布列．【方法技巧】（1）利用二项分布计算甲通过两个和三个的项目的概率，相加即可；（2）利用二项分布，求分布列即可.【变式训练】1．从学校乘车到火车站的途中有三个交通岗，假设在各个交通岗遇到红灯的事件是相互独立的，并且概率都是，设为途中遇到红灯的次数，求随机变量的概率分布.2．食品安全问题越来越受到人们的重视，某超市在某种蔬菜进货前，要求食品安检部门对每箱蔬菜进行三轮各项指标的综合检测，只有三轮检测都合格，蔬菜才能在该超市销售．已知每箱这种蔬菜第一轮检测不合格的概率为，第二轮检测不合格的概率为，第三轮检测合格的概率为，每轮检测只有合格与不合格两种情况，且各轮检测是否合格相互之间没有影响．(1)求每箱这种蔬菜不能在该超市销售的概率；(2)如果这种蔬菜能在该超市销售，则每箱可获利400元，如果不能在该超市销售，则每箱亏损200元，现有4箱这种蔬菜，求这4箱蔬菜总收益的分布列．考点2：二项分布的均值例2．从一批含有13件正品，2件次品的产品中有放回地抽3次，每次抽取1件，设抽取的次品数为，则（

）A．1 B．2 C．3 D．4【方法技巧】此时称随机变量X服从二项分布，记作，并称p为成功概率.二项分布的期望与方差：若，则【变式训练】1．同时抛2枚质地均匀的硬币3次，设2枚硬币均正面向上的次数为X，则X的期望是（

）A． B． C．1 D．2．曲靖一中某班级有学生58人，其中男生29人，从该班级中随机地有放回地抽取一人，连续抽58次，抽到女生的次数的期望等于（

）A．48 B．30 C．29 D．283．若随机变量，则数学期望E（X）＝（

）A．6 B．3 C． D．4．若离散型随机变量，，且，则为（

）A． B． C． D．考点3：二项分布的方差例3．若随机变量，若则_____________.【方法技巧】根据二项分布的期望，方差公式即得.【变式训练】1．某同学参加学校数学知识竞赛，规定每个同学答题道，已知该同学每道题答对的概率为，则该同学答对题目数量的数学期望和方差分别为（

）A． B． C． D．2．已知，则（

）A． B． C． D．3．已知随机变量服从二项分布，则_______.4.已知随机变量，则（

）A．B．C．从装有3个红球、9个黑球的袋中一次性摸出3个球，则可表示摸出的红球个数D．桐人和茅场晶彦进行3场决斗，且桐人每场决斗的胜率均为（不存在平手），则可表示桐人的胜场数考点4：服从二项分布随机变量最大问题例4．《乘风破浪的姐姐》是一档深受观众喜爱的电视节目，节目采用组团比赛的方式进行，参赛选手需要全部参加完五场公开比赛，其中五场中有四场获胜，就能取得参加决赛的资格.若某参赛选手每场比赛获胜的概率是，则这名选手能参加决赛的概率是（

）A． B． C． D．【方法技巧】利用二项分布的概率计算公式即可求解.【变式训练】1．如果X～B(15，)，则使P(X＝k)最大的k值（

）A．3 B．4C．4或5 D．3或42．某篮球运动员每次投篮投中的概率是，每次投篮的结果相互独立，那么在他10次投篮中，记最有可能投中的次数为，则的值为（

）A．5 B．6 C．7 D．83．若，则取得最大值时，（

）A．4或5 B．5或6 C．10 D．55．某学校高三年级有400名学生参加某项体育测试，根据男女学生人数比例，使用分层抽样的方法从中抽取了100名学生，记录他们的分数，将数据分成7组：，整理得到如下频率分布直方图：（1）若该样本中男生有55人，试估计该学校高三年级女生总人数；（2）若规定小于60分为“不及格”，从该学校高三年级学生中随机抽取一人，估计该学生不及格的概率；（3）若规定分数在为“良好”,为“优秀”.用频率估计概率,从该校高三年级随机抽取三人,记该项测试分数为“良好”或“优秀”的人数为X,求X的分布列和数学期望.考点5：建立二项分布模型解决实际问题例5．下列例子中随机变量服从二项分布的有________．①随机变量表示重复抛掷一枚骰子次中出现点数是的倍数的次数；②某射手击中目标的概率为，从开始射击到击中目标所需的射击次数；③有一批产品共有件，其中件为次品，采用有放回抽取方法，表示次抽取中出现次品的件数（）；④有一批产品共有件，其中件为次品，采用不放回抽取方法，表示次抽取中出现次品的件数（）．【方法技巧】根据题意可得，抽到的次品的件数符合二项分布，再由二项分布的方差公式即可得出答案.【变式训练】1．一批零配件的次品率为0.01，从这批产品中每次随机取一件，有放回地抽取1000次，表示抽到的次品数，则__________.2．某公司为招聘新员工设计了一个面试方案：应聘者从道备选题中一次性随机抽取道题，按照题目要求独立完成．规定：至少正确完成其中道题便可通过．已知道备选题中应聘者甲有道题能正确完成，道题不能完成；应聘者乙每题正确完成的概率都是，且每题正确完成与否互不影响．(1)求甲恰好正确完成两个面试题的概率；(2)求乙正确完成面试题数的分布列及其期望.知识小结知识小结二项分布一般地，在n次独立重复试验中，用X表示事件A发生的次数，设每次试验中事件A发生的概率为p，则X01…k…nP……此时称随机变量X服从二项分布，记作，并称p为成功概率.二项分布的期望与方差：若，则几何分布的期望和方差：若，其中，…，．则，.巩固提升巩固提升一、单选题1．已知随机变量服从二项分布，则等于（

）A． B． C． D．2．已知随机变量，且，则（

）A． B． C． D．3．设随机变量，若，，则参数的值分别为（

）A．12，0.4 B．12，0.6 C．6，0.4 D．6，0.64．重伯努利试验应满足的条件：①各次试验之间是相互独立的；②每次试验只有两种结果；③各次试验成功的概率是相同的；④每次试验发生的事件是互斥的．其中正确的是（

）A．①② B．②③ C．①②③ D．①②④5．某试验每次成功的概率为，现重复进行10次该试验，则恰好有7次试验未成功的概率为（

）A． B． C． D．6．已知随机变量X服从二项分布，若，则等于（

）A． B．8 C．12 D．247．下列说法正确的个数是（

）．①某同学投篮的命中率为，他次投篮中命中的次数是一个随机变量，且服从二项分布；②某福彩中奖概率为，某人一次买了张彩票，中奖张数是一个随机变量，且服从二项分布；③从装有大小与质地相同的个红球、个白球的袋中，有放回地摸球，直到摸出白球为止，则摸球次数是随机变量，且服从二项分布．A．0个 B．1个 C．2个 D．3个8．自5月初，麓山之巅观日出在抖音走红后，每天都有上千人披星戴月登顶岳麓山看日出，登顶游客中外地游客占，外地游客中有乘观光车登顶，本地游客中有乘观光车登顶，乘观光车登顶的票价为20元.若某天有1200人登顶观日出，则观光车营运公司这天的登顶观日出项目的营运票价收入是（

）A．4800元 B．5600元 C．6400元 D．7200元二、多选题9．（多选）下列试验不是重伯努利试验的是（

）．A．依次投掷四枚质地不同的硬币B．某人射击，击中目标的概率是稳定的，他连续射击了次C．口袋中装有个白球，个红球，个黑球，依次从中抽取个球D．小明做道难度不同的数学单选题10．下列说法正确的是（

）A．数据1，3，5，7，9，11，13的第60百分位数为9B．已知随机变量服从二项分布：，设，则的方差C．用简单随机抽样的方法从51个体中抽取2个个休，则每个个体被抽到的概率都是D．若样本数据的平均数为2，则的平均数为8三、填空题11．设随机变量，若随机变量X的数学期望，则__________.12．新冠核酸检查小组对城市的一个小区名市民进行核酸检查，其中有一个是疑似病人，将名市民的采集样本放在一组，进行化验，如果有一个是疑似病人，这组所采集的样本化验结果显示阳性，该小组每一个市民就必须逐一进行排查，直到找出疑似病人，现从这小组中任选组，那么找到疑似病人所在小组的数学期望为_________13．若离散型随机变量X服从分布，则______．14．如果随机变量服从二项分布，服从二项分布，那么当变化时，关于成立的的个数为______．四、解答题15．某地区为下岗人员免费提供财会和计算机培训，以提高下岗人员的再就业能力．每名下岗人员可以选择参加一项培训、参加两项培训或不参加培训，已知参加过财会培训的有，参加过计算机培训的有．假设每个人对培训项目的选择是相互独立的，且各人的选择相互之间没有影响.(1)任选1名下岗人员，求该人参加过培训的概率；(2)任选3名下岗人员，记为3人中参加过培训的人数，求的分布列和期望.16．为保护学生视力，让学生在学校专心学习，促进学生身心健康发展，教育部于2021年1月15日下发文件《关于加强中小学生手机管理工作的通知》，几对中小学生的手机使用和管理作出了相关的规定．某中学研究型学习小组调查研究“中学生每日使用手机的时间”．从该校学生中随机选取了100名学生，调查得到如下表所示的统计数据．时间人数630351964(1)从该校任选1名学生，估计该学生每日使用手机的时间小于36min的概率；(2)估计该校所有学生每日使用手机的时间t的中位数；(3)以频率估计概率，若在该校学生中随机挑选3人，记这3人每日使用手机的时间在的人数为随机变量，求的分布列和数学期望．7.4.1二项分布备注：资料包含：1.基础知识归纳；考点分析及解题方法归纳：考点包含：利用二项分布求分布列；二项分布的均值；二项分布的方差；服从二项分布随机变量最大问题；建立二项分布模型解决实际问题课堂知识小结考点巩固提升知识归纳1、相互独立事件设A，B两个事件，如果事件A是否发生对事件B发生的概率没有影响(即),则称事件A与事件B相互独立。一般地，如果事件A1,A2,…,An两两相互独立，那么这n个事件同时发生的概率，等于每个事件发生的概率的积，即.注：(1)互斥事件：指同一次试验中的两个事件不可能同时发生；(2)相互独立事件：指在不同试验下的两个事件互不影响.2、n次独立重复试验一般地，在相同条件下，重复做的n次试验称为n次独立重复试验.在次独立重复试验中，记是“第次试验的结果”，显然，“相同条件下”等价于各次试验的结果不会受其他试验的影响注:独立重复试验模型满足以下三方面特征第一：每次试验是在同样条件下进行；第二：各次试验中的事件是相互独立的；第三：每次试验都只有两种结果，即事件要么发生，要么不发生.n次独立重复试验的公式：，而称p为成功概率.3、二项分布一般地，在n次独立重复试验中，用X表示事件A发生的次数，设每次试验中事件A发生的概率为p，则X01…k…nP……此时称随机变量X服从二项分布，记作，并称p为成功概率.二项分布的期望与方差：若，则几何分布的期望和方差：若，其中，…，．则，.考点讲解考点讲解考点1：利用二项分布求分布列例1．某公司的一次招聘中，应聘者都要经过三个独立项目的测试，如果通过两个或三个项目的测试即可被录用．若甲、乙、丙三人通过每个项目测试的概率都是．(1)求甲被录用的概率；(2)设甲、乙、丙三人中被录用的人数为，求的分布列．【答案】(1)(2)分布列见解析【详解】（1）由题意得甲通过两个项目测试的概率为，通过三个项目测试的概率为，所以甲被录用的概率为.（2）由（1）得每个人被录用的概率为，的所有可能取值为0，1，2，3，所以，，，，所以的分布列为：【方法技巧】（1）利用二项分布计算甲通过两个和三个的项目的概率，相加即可；（2）利用二项分布，求分布列即可.【变式训练】1．从学校乘车到火车站的途中有三个交通岗，假设在各个交通岗遇到红灯的事件是相互独立的，并且概率都是，设为途中遇到红灯的次数，求随机变量的概率分布.【答案】分布列见解析【分析】根据题意，利用二项分布的概率公式求解即可.【详解】由题意知，则，，，，所以的概率分布如下表：01232．食品安全问题越来越受到人们的重视，某超市在某种蔬菜进货前，要求食品安检部门对每箱蔬菜进行三轮各项指标的综合检测，只有三轮检测都合格，蔬菜才能在该超市销售．已知每箱这种蔬菜第一轮检测不合格的概率为，第二轮检测不合格的概率为，第三轮检测合格的概率为，每轮检测只有合格与不合格两种情况，且各轮检测是否合格相互之间没有影响．(1)求每箱这种蔬菜不能在该超市销售的概率；(2)如果这种蔬菜能在该超市销售，则每箱可获利400元，如果不能在该超市销售，则每箱亏损200元，现有4箱这种蔬菜，求这4箱蔬菜总收益的分布列．【答案】(1)(2)答案见解析【分析】（1）先求出每轮合格的概率，再利用对立事件的概率即可求得求每箱这种蔬菜不能在该超市销售的概率；（2）先分析出4箱蔬菜的总收益为随机变量X的所有可能，再利用二项独立重复试验二项分布的公式求出每种情况的概率，最后写出分布列即可【详解】（1）解：记Ai(i＝1，2，3)分别为事件“第一、二、三轮检测合格”，A为事件“每箱这种蔬菜不能在该超市销售”．由题设知P(A1)＝1－＝，P(A2)＝1－＝，P(A3)＝，所以P(A)＝1－P(A1)P(A2)P(A3)＝1－××＝．（2）解：设这4箱蔬菜的总收益为随机变量X，则X的所有可能取值为1600，1000，400，－200，－800，且P(X＝1600)＝，P(X＝1000)＝，P(X＝400)＝，P(X＝－200)＝，P(X＝－800)＝．故X的分布列为X16001000400－200－800P考点2：二项分布的均值例2．从一批含有13件正品，2件次品的产品中有放回地抽3次，每次抽取1件，设抽取的次品数为，则（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【分析】首先求出抽一次抽到次品的概率，依题意可得，利用二项分布的期望公式及期望的性质计算可得；【详解】解：依题意每次抽到次品的概率，所以，所以，所以；故选：C【方法技巧】此时称随机变量X服从二项分布，记作，并称p为成功概率.二项分布的期望与方差：若，则【变式训练】1．同时抛2枚质地均匀的硬币3次，设2枚硬币均正面向上的次数为X，则X的期望是（

）A． B． C．1 D．【答案】B【分析】由二项分布期望公式直接计算可得.【详解】设抛掷2枚硬币一次，2枚硬币均正面向上为事件A，则，易知，所以.故选：B2．曲靖一中某班级有学生58人，其中男生29人，从该班级中随机地有放回地抽取一人，连续抽58次，抽到女生的次数的期望等于（

）A．48 B．30 C．29 D．28【答案】C【分析】根据二项分布期望公式，即可得答案.【详解】设抽到女生的人次数为，由题目条件知，，期望，故选：C．3．若随机变量，则数学期望E（X）＝（

）A．6 B．3 C． D．【答案】B【分析】由二项分布的数学期望即可得出答案.【详解】随机变量，则数学期望.故选：B.4．若离散型随机变量，，且，则为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据二项分布的期望公式及二项分布的概率公式即得.【详解】因为，所以，得，所以.故选：C.考点3：二项分布的方差例3．若随机变量，若则_____________.【答案】【详解】∵，∴∴.故答案为：.【方法技巧】根据二项分布的期望，方差公式即得.【变式训练】1．某同学参加学校数学知识竞赛，规定每个同学答题道，已知该同学每道题答对的概率为，则该同学答对题目数量的数学期望和方差分别为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由条件确定该同学答对题目数量的分布列，再由二项分布的期望和方差公式求随机变量的期望及方差.【详解】设该同学答对题目数量为，因为该同学每道题答对的概率为，共答道题，所以，所以，，故选：C.2．已知，则（

）A． B． C． D．【答案】AC【分析】根据二项分布的期望、方差公式计算可得；【详解】解：因为，所以，．故选：AC3．已知随机变量服从二项分布，则_______.【答案】##4.8【分析】根据二项分布的方差运算公式以及变量间的方差关系公式即可求解.【详解】因为,所以,所以.故答案为:.4.已知随机变量，则（

）A．B．C．从装有3个红球、9个黑球的袋中一次性摸出3个球，则可表示摸出的红球个数D．桐人和茅场晶彦进行3场决斗，且桐人每场决斗的胜率均为（不存在平手），则可表示桐人的胜场数【答案】AD【分析】根据二项分布求期望和方差的公式求出期望和方差；根据超几何分布和二项分布特征得到C为超几何分布，D为二项分布.【详解】，A正确；，B错误；超几何分布：描述了从有限N个物件（其中包含M个指定种类的物件）中抽出n个物件，成功抽出该指定种类的物件的次数（不放回）；二项分布：n个独立的成功/失败试验中成功的次数的离散概率分布，其中每次试验的成功概率为p；故C选项中的X符合超几何分布，C错误；D正确．故选：AD．考点4：服从二项分布随机变量最大问题例4．《乘风破浪的姐姐》是一档深受观众喜爱的电视节目，节目采用组团比赛的方式进行，参赛选手需要全部参加完五场公开比赛，其中五场中有四场获胜，就能取得参加决赛的资格.若某参赛选手每场比赛获胜的概率是，则这名选手能参加决赛的概率是（

）A． B． C． D．【答案】D【详解】由题意可知五场中获胜的场次，所求选手能参加决赛的概率.故选：D【方法技巧】利用二项分布的概率计算公式即可求解.【变式训练】1．如果X～B(15，)，则使P(X＝k)最大的k值（

）A．3 B．4C．4或5 D．3或4【答案】D【分析】利用做商法比较大小，，得．即可得出结论．【详解】解：，得．所以当时，，当时，，其中时，，从而或4时，取得最大值，故选：D2．某篮球运动员每次投篮投中的概率是，每次投篮的结果相互独立，那么在他10次投篮中，记最有可能投中的次数为，则的值为（

）A．5 B．6 C．7 D．8【答案】D【分析】先记投篮命中的次数为随机变量，根据题意，得到服从二项分布，求出取最大时的值，即可得出结果.【详解】记投篮命中的次数为随机变量，由题意，，则投篮命中次的概率为，由得，即，即，解得，又，因此时，取最大值.即该运动员10次投篮中，最有可能投中的次数为次.故选：D.【点睛】本题主要考查二项分布对应的概率最大问题，涉及组合数的运算，属于基础题型.3．若，则取得最大值时，（

）A．4或5 B．5或6 C．10 D．5【答案】D【分析】根据二项分布的概率公式得到，再根据组合数的性质判断即可；【详解】解：因为，所以，由组合数的性质可知当时取得最大值，即取得最大值，所以；故选：D5．某学校高三年级有400名学生参加某项体育测试，根据男女学生人数比例，使用分层抽样的方法从中抽取了100名学生，记录他们的分数，将数据分成7组：，整理得到如下频率分布直方图：（1）若该样本中男生有55人，试估计该学校高三年级女生总人数；（2）若规定小于60分为“不及格”，从该学校高三年级学生中随机抽取一人，估计该学生不及格的概率；（3）若规定分数在为“良好”,为“优秀”.用频率估计概率,从该校高三年级随机抽取三人,记该项测试分数为“良好”或“优秀”的人数为X,求X的分布列和数学期望.【答案】（1）人（2）（3）详见解析【分析】（1）根据样本总人数100人,中男生有55人,则可算出女生45人.再根据总人数是400人,按样本中的女生人数与样本总人数的比例即可估算出的估计总体中女生人数.（2）由表可用减去及格人数的概率得到不及格人数的概率.（3）设“样本中“良好”或“优秀””为事件B,则,根据二项分布列出频率分布列,计算数学期望【详解】解：（1）∵样本中男生有55人,则女生45人∴估计总体中女生人数人（2）设“不及格”为事件A,则“及格”为事件∴（3）设“样本中“良好”或“优秀””为事件B,则依题意可知：,所以,X的分布列为X0123P0.3430.4410.1890.027【点睛】本题考查频率分布直方图的概率问题,概率分布问题注意一些常用的概率分布,如二项分布,超几何分布等,会计算概率,正确列出分布列,正确计算数学期望及方差.考点5：建立二项分布模型解决实际问题例5．下列例子中随机变量服从二项分布的有________．①随机变量表示重复抛掷一枚骰子次中出现点数是的倍数的次数；②某射手击中目标的概率为，从开始射击到击中目标所需的射击次数；③有一批产品共有件，其中件为次品，采用有放回抽取方法，表示次抽取中出现次品的件数（）；④有一批产品共有件，其中件为次品，采用不放回抽取方法，表示次抽取中出现次品的件数（）．【答案】①③【分析】根据二项分布的知识对四个例子进行分析，从而确定正确答案.【详解】对于①，设事件为“抛掷一枚骰子出现的点数是的倍数”，则.在次独立重复试验中事件恰好发生了次（）的概率，符合二项分布的定义．对于②，的取值是，，不符合二项分布的定义，因此不服从二项分布．③和④的区别：③是“有放回”抽取，而④是“无放回”抽取，④中次试验是不独立的，因此不服从二项分布，对于③有，服从二项分布.故答案为：①③【方法技巧】根据题意可得，抽到的次品的件数符合二项分布，再由二项分布的方差公式即可得出答案.【变式训练】1．一批零配件的次品率为0.01，从这批产品中每次随机取一件，有放回地抽取1000次，表示抽到的次品数，则__________.【答案】9.9.【详解】由题意可得，抽到的次品的件数符合二项分布，即由二项分布的方差公式可得故答案为：【点睛】本题主要考查了求二项分布的方差，属于基础题.2．某公司为招聘新员工设计了一个面试方案：应聘者从道备选题中一次性随机抽取道题，按照题目要求独立完成．规定：至少正确完成其中道题便可通过．已知道备选题中应聘者甲有道题能正确完成，道题不能完成；应聘者乙每题正确完成的概率都是，且每题正确完成与否互不影响．(1)求甲恰好正确完成两个面试题的概率；(2)求乙正确完成面试题数的分布列及其期望.【答案】(1)(2)分布列见解析，【分析】（1）设甲正确完成面试的题数为，则的取值范围是．然后求出即可；（2）设乙正确完成面试的题数为，则取值范围是，求出取每个值时的概率，即可得分布列，然后根据二项分布期望的求法求解即可.（1）解：由题意得：设甲正确完成面试的题数为，则的取值范围是．；（2）设乙正确完成面试的题数为，则取值范围是．，，，．应聘者乙正确完成题数的分布列为知识小结知识小结二项分布一般地，在n次独立重复试验中，用X表示事件A发生的次数，设每次试验中事件A发生的概率为p，则X01…k…nP……此时称随机变量X服从二项分布，记作，并称p为成功概率.二项分布的期望与方差：若，则几何分布的期望和方差：若，其中，…，．则，.巩固提升巩固提升一、单选题1．已知随机变量服从二项分布，则等于（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由二项分布的概率公式计算．【详解】．故选：D．2．已知随机变量，且，则（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据二项分布的方差和期望公式，列方程即可解出的值，进而可求.【详解】由二项分布的方差和期望公式可得：，解得，则．故选：C3．设随机变量，若，，则参数的值分别为（

）A．12，0.4 B．12，0.6 C．6，0.4 D．6，0.6【答案】C【分析】由，可得，由此列出关于的方程组，从而得出结果．【详解】由题可得,解得，故选：C．4．重伯努利试验应满足的条件：①各次试验之间是相互独立的；②每次试验只有两种结果；③各次试验成功的概率是相同的；④每次试验发生的事件是互斥的．其中正确的是（

）A．①② B．②③ C．①②③ D．①②④【答案】C【分析】由重伯努利试验试验的定义判断即可．【详解】解：只包含两个可能结果的试验叫做伯努利试验，将一个伯努利试验独立地重复进行次所组成的随机试验称为重伯努利试验，故重伯努利试验应满足的条件：①各次试验之间是相互独立的；②每次试验只有两种结果；③各次试验成功的概率是相同的；故选：C5．某试验每次成功的概率为，现重复进行10次该试验，则恰好有7次试验未成功的概率为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据二项分布的概率公式即可求解.【详解】由题意可知，重复进行10次试验，7次未成功，说明3次成功，所以所求概率为．故选：A．6．已知随机变量X服从二项分布，若，则等于（

）A． B．8 C．12 D．24【答案】D【分析】根据二项分布的数学期望和方差公式，再结合数学期望和方差性质求解即可.【详解】随机变量X服从二项分布，，因为，所以.因为，所以.故选：D7．下列说法正确的个数是（

）．①某同学投篮的命中率为，他次投篮中命中的次数是一个随机变量，且服从二项分布；②某福彩中奖概率为，某人一次买了张彩票，中奖张数是一个随机变量，且服从二项分布；③从装有大小与质地相同的个红球、个白球的袋中，有放回地摸球，直到摸出白球为止，则摸球次数是随机变量，且服从二项分布．A．0个 B．1个 C．2个 D．3个【答案】C【分析】利用独立重复实验的概率模型，判断3个命题的真假，推出结果即可．【详解】解：①某同学投篮投中的概率，该运动员重复次投篮，则命中次数服从二项分布，正确；②福彩中奖概率为，某人一次买了张，中奖张数是一个随机变量，满足二项分布；所以②正确；③从装有个红球、个白球的袋中，有放回地摸球，直到摸出白球为止，则摸球次数是随机变量，则的可能取值为、、、、、，且，，，，，，不是二项分布，所以③不正确；故选：C．8．自5月初，麓山之巅观日出在抖音走红后，每天都有上千人披星戴月登顶岳麓山看日出，登顶游客中外地游客占，外地游客中有乘观光车登顶，本地游客中有乘观光车登顶，乘观光车登顶的票价为20元.若某天有1200人登顶观日出，则观光车营运公司这天的登顶观日出项目的营运票价收入是（

）A．4800元 B．5600元 C．6400元 D．7200元【答案】C【分析】根据全概率公式先求任选一人，他是乘观光车登顶的概率为，再结合二项分布求每天的营运票价收入．【详解】从登顶观日出的人中任选一人，他是乘观光车登顶的概率则观光车营运公司这天的登顶观日出项目的营运票价收入是元）故选：C．二、多选题9．（多选）下列试验不是重伯努利试验的是（

）．A．依次投掷四枚质地不同的硬币B．某人射击，击中目标的概率是稳定的，他连续射击了次C．口袋中装有个白球，个红球，个黑球，依次从中抽取个球D．小明做道难度不同的数学单选题【答案】ACD【分析】根据重伯努利试验的概念及性质直接判断即可.【详解】A．由于试验的条件不同（硬币质地不同），因此不是重伯努利试验．B．某人射击，击中目标的概率是稳定的，因此是重伯努利试验．C．每次抽取，每种颜色出现的可能性不相等，因此不是重伯努利试验．D．道题难度不同，每道题做对的概率也不同，因此不是重伯努利试验．故选：ACD．10．下列说法正确的是（

）A．数据1，3，5，7，9，11，13的第60百分位数为9B．已知随机变量服从二项分布：，设，则的方差C．用简单随机抽样的方法从51个体中抽取2个个休，则每个个体被抽到的概率都是D．若样本数据的平均数为2，则的平均数为8【答案】AD【分析】由百分位数的概念可判断A，由二项分布的方差可知B错误，由古典概型可判断C，由平均数的性质可判断D.【详解】对于A，共有7个数据，而，故第60百分位数为9，A正确；对于B，易知，而，所以，B错误；对于C，由古典概型可知：从51个体中抽取2个个体，每个个体被抽到的概率都是，C错误；对于D，若样本数据的平均数为2，则的平均数为，D正确.故选：AD三、填空题11．设随机变量，若随机变量X的数学期望，则__________.【答案】【分析】根据随机变量和求服从二项分布的变量的期望公式，代入公式后得到.【详解】解：由题意得：随机变量随机变量X的数学期望，解得故答案为：12．新冠核酸检查小组对城市的一个小区名市民进行核酸检查，其中有一个是疑似病人，将名市民的采集样本放