高一数学必考点分类集训(人教A版必修第一册)专题4.3对数(4类必考点)(原卷版+解析)

专题4.3对数TOC\o"1-3"\h\z\t"正文,1"【考点1：对数的概念判断与求值】 1【考点2：指数式与对数式的互化】 1【考点3：对数的运算性质】 1【考点4：换底公式及其应用】 2【考点1：对数的概念判断与求值】【知识点：对数的概念】如果ax＝N(a>0，且a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作x＝logaN，其中a叫做对数的底数，N叫做真数，logaN叫做对数式.1．（2022·全国·高一课时练习）（1）对数的概念一般地，如果ax=N（a>0，且a≠1），那么数x叫做以a为底N的对数，记作x=___________，其中a叫做对数的___________，（2）对数的基本性质①当a>0，且a≠1时，ax②负数和0没有对数．③特殊值：1的对数是___________，即loga1=___________（a>0，且a≠1）；底数的对数是1，即logaa=1（（3）常用对数与自然对数名称定义记法常用对数以_________为底的对数叫做常用对数______自然对数以无理数e=2.71828⋅⋅⋅为底的对数称为自然对数______2．（2021·江苏省江阴市第一中学高一期中）使式子log(3x−1)(3−x)有意义的x的取值范围是（A．x>3 B．x<3 C．13<x<3 D．13．（2022·江苏省南通中学高一阶段练习）已知对数式loga+124−a有意义，则aA．−1,4 B．−1,0C．−4,0∪0,1 4．（2023·全国·高三专题练习）已知函数fx=log2x,A．−1 B．33 C．3 D．5．（2022·天津市红桥区教师发展中心高一期末）有以下四个结论：①lglg10=0；②lnlge=0；③若10=lgx，则A．①② B．②④C．①③ D．③④6．（2022·重庆·巫山县官渡中学高二阶段练习）(多选)下列说法正确的有（

）A．零和负数没有对数B．任何一个指数式都可以化成对数式C．以10为底的对数叫做常用对数D．以e为底的对数叫做自然对数7．（2021·全国·高一课时练习）若log1+k1−k有意义，则实数8．（2021·全国·高一课前预习）求下列各式的值：(1)log5(2)log2【考点2：指数式与对数式的互化】【知识点：指数式与对数式的互化】1、ax＝N⇔x＝logaN；2、loga1＝0，logaa＝1，aloga1．（2022·贵州·黔西南州金成实验学校高三阶段练习）方程4x2．（2022·浙江丽水·高三竞赛）函数f(x)满足f(23．（2022·全国·高一课时练习）（多选）下列指数式与对数式互化正确的一组是（

）A．100=1与lg1=0 B．C．27−13=13与4．（2022·浙江·高三开学考试）牛顿曾经提出了常温环境下的温度冷却模型：θ=θ1−θ0e−kt+θ0，其中t为时间（单位：min),θ0为环境温度，θ1为物体初始温度，θ为冷却后温度.假设在室内温度为A．10min B．20min C．40min5．（2021·甘肃·高台县第一中学高一期中）酒驾是严重危害交通安全的违法行为，为了保障交通安全，根据国家有关规定：100mL血液中酒精含量达到20∼79mg的驾驶员即为酒后驾车，80mg及以上定义为醉酒驾车．假设某驾驶员喝了一定量的酒后，其血液中的酒精含量上升了1mg/mL．如果在停止喝酒以后，他血液中酒精含量会以每小时30%的速度减少，那么他至少经过___________个小时才能驾驶．（结果保留整数，参考数据log0.7【考点3：对数的运算性质】【知识点：对数的运算性质】运算法则loga(M·N)＝logaM＋logaNa>0，且a≠1，M>0，N>0logaeq\f(M,N)＝logaM－logaNlogaMn＝nlogaM(n∈R)重要推论(1)；(2)logab＝eq\f(1,logba)，推广logab·logbc·logcd＝logad.1．（2017·湖南·武冈市教育科学研究所高二学业考试）求值(lg5)22．（2022·北京·杨镇第一中学高三阶段练习）2log3．（2022·天津市南开区南大奥宇培训学校高三阶段练习）计算：log2.54．（2020·江苏·南通一中高一阶段练习）已知a>0，且a≠1，下列说法不正确的是（

）A．若M=N，则logaM=logaNC．若logaM2=logaN5．（2021·江苏省灌南高级中学高一期中）定义两个实数间的一种新运算“*”：x∗y=lg10x+10y，x，y∈R.对于任意实数A．a∗b=b∗a C．a∗b+c=6．（2020·江苏·南通一中高一阶段练习）已知2a=3b=m且1A．6 B．6 C．12 D．367．（2022·河北·高三阶段练习）已知b>1，且log2a=logbA．4 B．8 C．16 D．328．（2022·江苏·泗阳县实验高级中学高三阶段练习）如图，某池塘里浮萍的面积y（单位：m2）与时间t（单位：月）的关系为y=aA．浮萍每月的增长率为3B．浮萍每月增加的面积都相等C．第4个月时，浮萍面积超过80D．若浮萍蔓延到2m2、4m9．（2022·安徽·高三阶段练习）双碳，即碳达峰与碳中和的简称，2020年9月中国明确提出2030年实现“碳达峰”，2060年实现“碳中和”.为了实现这一目标，中国加大了电动汽车的研究与推广，到2060年，纯电动汽车在整体汽车中的渗透率有望超过70%，新型动力电池随之也迎来了蓬勃发展的机遇.Peukert于1898年提出蓄电池的容量C（单位：A⋅h），放电时间t（单位：h）与放电电流I（单位：A）之间关系的经验公式C=In⋅t，其中n=log322A．28h B．28.5h C．29h D．29.5h10．（2022·全国·高一单元测试）计算(1)log(2)lg8+lg125lg11．（2021·湖北·襄阳五中高一期中）（1）求值(2（2）设2x=3【考点4：换底公式及其应用】【知识点：换底公式】logab＝eq\f(logcb,logca)(a>0，且a≠1，c>0，且c≠1，b>0)；1．（2022·江西·修水中等专业学校高三阶段练习）log52．（2022·重庆巴蜀中学高三开学考试）化简183．（2022·江苏·矿大附中高一阶段练习）若实数a，b，c满足3a=4，4b=5，4．（2022·湖南益阳·高二阶段练习）已知a>0，b>0，ln(2a+1)ln2+5．（2022·福建·高三阶段练习）已知a=log23，3b=5A．a+aba+1 B．aa+16．（2022·山东·临沂二十四中高一阶段练习）1614年苏格兰数学家纳皮尔在研究天文学的过程中为了简化计算而发明了对数方法；1637年法国数学家笛卡尔开始使用指数运算；1770年瑞士数学家欧拉发现了指数与对数的互逆关系，指出：对数源于指数，对数的发明先于指数．若5x=2，lg2≈0.3010，则xA．0.431 B．0.430 C．0.429 D．2.3227．（2022·河南·高三阶段练习（文））“学如逆水行舟，不进则退；心似平原跑马，易放难收．”《增广贤文》是勉励人们专心学习的．如果每天的“进步”率都是1％，那么一年后是(1+1%)365=1.01365；如果每天的“退步”率都是1％，那么一年后是A．15天 B．17天 C．19天 D．21天8．（2022·山东·乳山市银滩高级中学高三阶段练习）深度学习是人工智能的一种具有代表性的实现方法，它是以神经网络为出发点的，在神经网络优化中，指数衰减的学习率模型为L=L0DGG0，其中L表示每一轮优化时使用的学习率，L0表示初始学习率，D表示衰减系数，G表示训练迭代轮数，G0表示衰减速度.已知某个指数衰减的学习率模型的初始学习率为0.5，衰减速度为18，且当训练迭代轮数为18时，学习率衰减为0.4，则学习率衰减到A．72 B．74 C．76 D．78专题4.3对数TOC\o"1-3"\h\z\t"正文,1"【考点1：对数的概念判断与求值】 1【考点2：指数式与对数式的互化】 3【考点3：对数的运算性质】 5【考点4：换底公式及其应用】 10【考点1：对数的概念判断与求值】【知识点：对数的概念】如果ax＝N(a>0，且a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作x＝logaN，其中a叫做对数的底数，N叫做真数，logaN叫做对数式.1．（2022·全国·高一课时练习）（1）对数的概念一般地，如果ax=N（a>0，且a≠1），那么数x叫做以a为底N的对数，记作x=___________，其中a叫做对数的___________，（2）对数的基本性质①当a>0，且a≠1时，ax②负数和0没有对数．③特殊值：1的对数是___________，即loga1=___________（a>0，且a≠1）；底数的对数是1，即logaa=1（（3）常用对数与自然对数名称定义记法常用对数以_________为底的对数叫做常用对数______自然对数以无理数e=2.71828⋅⋅⋅为底的对数称为自然对数______【答案】

logaN

底数

真数

x=loga【解析】略2．（2021·江苏省江阴市第一中学高一期中）使式子log(3x−1)(3−x)有意义的x的取值范围是（A．x>3 B．x<3 C．13<x<3 D．1【答案】D【分析】对数函数中，底数大于0且不等于1，真数大于0，列出不等式，求出x的取值范围.【详解】由题意得：3x−1>03x−1≠13−x>0，解得：13故选：D3．（2022·江苏省南通中学高一阶段练习）已知对数式loga+124−a有意义，则aA．−1,4 B．−1,0C．−4,0∪0,1 【答案】B【分析】由对数式的意义列不等式组求解可得.【详解】由loga+124−a有意义可知a+1>0a+1≠12所以a的取值范围为−1,0∪故选：B4．（2023·全国·高三专题练习）已知函数fx=log2x,A．−1 B．33 C．3 D．【答案】C【分析】根据题中函数表达式代入求解即可.【详解】因为f1所以ff故选：C5．（2022·天津市红桥区教师发展中心高一期末）有以下四个结论：①lglg10=0；②lnlge=0；③若10=lgx，则A．①② B．②④C．①③ D．③④【答案】A【分析】根据对数的定义即可求得答案.【详解】由对数定义可知，lglg10=对③，10=lgx⇒x=10故选：A.6．（2022·重庆·巫山县官渡中学高二阶段练习）(多选)下列说法正确的有（

）A．零和负数没有对数B．任何一个指数式都可以化成对数式C．以10为底的对数叫做常用对数D．以e为底的对数叫做自然对数【答案】ACD【分析】根据对数的定义即可判断答案.【详解】由对数的定义可知A,C,D正确；对B，当a>0且a≠1时，ax故选：ACD.7．（2021·全国·高一课时练习）若log1+k1−k有意义，则实数【答案】−1,0【分析】结合对数性质建立不等关系，即可求解.【详解】若log1+k1−k有意义，则满足1+k>01+k≠1故答案为：−1,08．（2021·全国·高一课前预习）求下列各式的值：(1)log5(2)log2【答案】(1)2；(2)−4.【分析】根据对数的定义及指对数式的互化即可求得答案.(1)设x=log525，则5(2)设x=log2116，则【考点2：指数式与对数式的互化】【知识点：指数式与对数式的互化】1、ax＝N⇔x＝logaN；2、loga1＝0，logaa＝1，aloga1．（2022·贵州·黔西南州金成实验学校高三阶段练习）方程4x【答案】x【分析】将原方程化为2x【详解】原方程即为2x2-2∵2x>0，所以，2故答案为：x=log2．（2022·浙江丽水·高三竞赛）函数f(x)满足f(2【答案】log【分析】结合已知条件求出f(x)的解析式，然后利用f【详解】令t=2x由f(2x即f(x)=(log从而f(5)=(log故实数a的值为log2故答案为：log23．（2022·全国·高一课时练习）（多选）下列指数式与对数式互化正确的一组是（

）A．100=1与lg1=0 B．C．27−13=13与【答案】ACD【分析】根据指数式、对数式的概念进行相互转化.【详解】对于选项A，指数式100=1化为对数式为对于选项B，指数式912=3对于选项C，指数式27−13对于选项D，指数式51=5化为对数式为故选：ACD.4．（2022·浙江·高三开学考试）牛顿曾经提出了常温环境下的温度冷却模型：θ=θ1−θ0e−kt+θ0，其中t为时间（单位：min),θ0为环境温度，θ1为物体初始温度，θ为冷却后温度.假设在室内温度为A．10min B．20min C．40min【答案】B【分析】根据已知条件，将已知数据代入即可求解k=ln220，进而将θ0=20，θ1【详解】由题意可得，θ0=20，θ1=100，θ=60，80e−20k+20=60故−20k=−ln2，解得故当θ0=20，θ1=6将其代入θ=(θ1−θ0故选：B5．（2021·甘肃·高台县第一中学高一期中）酒驾是严重危害交通安全的违法行为，为了保障交通安全，根据国家有关规定：100mL血液中酒精含量达到20∼79mg的驾驶员即为酒后驾车，80mg及以上定义为醉酒驾车．假设某驾驶员喝了一定量的酒后，其血液中的酒精含量上升了1mg/mL．如果在停止喝酒以后，他血液中酒精含量会以每小时30%的速度减少，那么他至少经过___________个小时才能驾驶．（结果保留整数，参考数据log0.7【答案】5【分析】由题意可得y=100【详解】设x个小时后100ml血液中酒精含量为ymg则y=100×(1-30%)当y=100×0.所以该驾驶员至少经过5个小时才能驾驶．故答案为：5.【考点3：对数的运算性质】【知识点：对数的运算性质】运算法则loga(M·N)＝logaM＋logaNa>0，且a≠1，M>0，N>0logaeq\f(M,N)＝logaM－logaNlogaMn＝nlogaM(n∈R)重要推论(1)；(2)logab＝eq\f(1,logba)，推广logab·logbc·logcd＝logad.1．（2017·湖南·武冈市教育科学研究所高二学业考试）求值(lg5)2【答案】1【分析】利用对数的运算性质求解即可.【详解】原式=lg故答案为：12．（2022·北京·杨镇第一中学高三阶段练习）2log【答案】-【分析】结合指数幂、对数运算法则化简求值【详解】原式=3．（2022·天津市南开区南大奥宇培训学校高三阶段练习）计算：log2.5【答案】1【分析】由对数的运算法则和运算性质直接求解；【详解】log=log=2+lg1＝2-3+=1；故答案为：1.4．（2020·江苏·南通一中高一阶段练习）已知a>0，且a≠1，下列说法不正确的是（

）A．若M=N，则logaM=logaNC．若logaM2=logaN【答案】ACD【分析】AD可举出反例；C选项可推导出M=N或M=−N；B选项，根据y=logax【详解】若M=N≤0，则loga因为logaM=logaN因为logaM2=logaN若M=N=0，则loga故选：ACD5．（2021·江苏省灌南高级中学高一期中）定义两个实数间的一种新运算“*”：x∗y=lg10x+10y，x，y∈R.对于任意实数A．a∗b=b∗a C．a∗b+c=【答案】ABD【分析】首先根据题中所给的条件，利用新定义运算法则，分别求相应的量，逐个验证是否正确，从而选出正确的结果.【详解】根据运算法则，a*b=lg所以a∗b=可知a*b*所以a*a*a∗c+所以a∗b+a+所以a*b故选：ABD.6．（2020·江苏·南通一中高一阶段练习）已知2a=3b=m且1A．6 B．6 C．12 D．36【答案】A【分析】指数式改写为对数式，由换底公式与对数运算法则计算可得．【详解】由2a=3b=m1a+1b=故选：A．7．（2022·河北·高三阶段练习）已知b>1，且log2a=logbA．4 B．8 C．16 D．32【答案】D【分析】利用指数函数、对数函数的性质和运算法则，结合基本不等式直接求解.【详解】因为log2a=logb4，所以12log2a=logb4log2则ab≥16，2a当且仅当a=b=4时，等号均成立．故选：D．8．（2022·江苏·泗阳县实验高级中学高三阶段练习）如图，某池塘里浮萍的面积y（单位：m2）与时间t（单位：月）的关系为y=aA．浮萍每月的增长率为3B．浮萍每月增加的面积都相等C．第4个月时，浮萍面积超过80D．若浮萍蔓延到2m2、4m【答案】CD【分析】先根据图象，代入点1,3，求出函数解析式，进而求出前3个月的浮萍面积，判断出AB选项，计算出第4个月的浮萍面积，判断出C正确；解出t1=log3【详解】由图可知，函数过点1,3，将其代入解析式，a=3故y=A选项，取前3个月的浮萍面积，分别为3m2，9m2，27故增长率逐月增大，A错误；从前3个月浮萍面积可看出，每月增加的面积不相等，B错误；第4个月的浮萍面积为81m2，超过了80m令3t1=2，3解得：t1t1故选：CD9．（2022·安徽·高三阶段练习）双碳，即碳达峰与碳中和的简称，2020年9月中国明确提出2030年实现“碳达峰”，2060年实现“碳中和”.为了实现这一目标，中国加大了电动汽车的研究与推广，到2060年，纯电动汽车在整体汽车中的渗透率有望超过70%，新型动力电池随之也迎来了蓬勃发展的机遇.Peukert于1898年提出蓄电池的容量C（单位：A⋅h），放电时间t（单位：h）与放电电流I（单位：A）之间关系的经验公式C=In⋅t，其中n=log322A．28h B．28.5h C．29h D．29.5h【答案】A【分析】根据题意求出蓄电池的容量C，再把I=15A【详解】由C=Ilog322tI=15时，C=15∴t故选：A.10．（2022·全国·高一单元测试）计算(1)log(2)lg8+lg125lg【答案】(1)132；(2)【分析】（1）根据对数的运算性质求解，（2）根据对数的运算性质和换底公式求解.（1）log==3（2）原式＝lg(8×11．（2021·湖北·襄阳五中高一期中）（1）求值(2（2）设2x=3【答案】（1）87；（2）1.【分析】（1）利用分数指数幂的运算性质和对数的运算性质求解即可，（2）依题意有x=log272,y=【详解】（1）(=2（2）依题意有x=log所以3x【考点4：换底公式及其应用】【知识点：换底公式】logab＝eq\f(logcb,logca)(a>0，且a≠1，c>0，且c≠1，b>0)；1．（2022·江西·修水中等专业学校高三阶段练习）log5【答案】6【分析】通过换底公式简化对数，然后进行计算.【详解】log54=lg4lg5log故答案为:62．（2022·重庆巴蜀中学高三开学考试）化简18【答案】1【分析】根据指数幂的运算以及对数的运算，即可求得答案.【详解】18故答案为：13．（2022·江苏·矿大附中高一阶段练习）若实数a，b，c满足3a=4，4b=5，【答案】2【分析】先把指数式化为对数式，再利用换底公式进行计算.【详解】因为3a=4，4b所以a=log故abc=log由换底公式可得：abc=log故答案为：24．（2022·湖南益阳·高二阶段练习）已知a>0，b>0，ln(2a+1)ln2+【答案】29【分析】利用换底公式和对数计算公式进行化简，得到2a+13b+1【详解】原式化简log2∴2a+13b+1a+2b=1当且仅当a=52，b=7