期末复习（九）综合练习二-人教A版（2019）高中数学必修第一册

期末复习（九）一一综合练习二

一、单选题

丫-I-1

1.已知全集。=R,集合A={x|d-x-6,,0},8={*|二」>0},那么集合AC@2)=(

x-4

)

A.[x|-2„x<4}B.{x|3或%..4}C.{x|-2,,x<-l]D.{x|-lM3}

34

04

2.设〃=(—产，&=(-),c=log3(log34),则()

434

A.c<b<aB.a<b<cC.c<a<bD.a<c<b

3.若角a满足COS(2+C)=L则一半一=()

431+tana

4.函数y=cosx-g历（|兀|+1）的图象可能是（）

i

5.已知函数f(x)=加x+2%-6的零点位于区间(m-1,m)(mGZ)内,则27m+log(

)

A.1B.2C.3D.4

6.物体在常温下的温度变化可以用牛顿冷却规律来描述：设物体的初始温度是4C,经过

一定时间加加的温度是T°C,则T-7；=（4-I）。/"其中/（单位：°C）表示环境温度，

h（单位：加〃）称为半衰期.现有一份88℃的热饮，放在24℃的房间中，如果热饮降温到

40°C需要20而"，那么降温到32°C时，需要的时间为（）mi.

A.24B.25C.30D.40

x

7.已知函数/(%)=2017*+log2017心+1+x)-2017"则关于x的不等式

/(2淤3+)f£>的解集是（）

A.(-3,+oo)B.(-oo,-3)C.(f—1)D.(-l,+oo)

\log2x\,Q<x„4

8.已知函数/（%）=<2c70，，若a，b，c，d互不相同，且满足/（a）=/（b）

—x2—8xH-----,x>4

[33

=f（c）=f（d）,则"cd的取值范围是（）

A.(32,33)B.(32,34)C.(32,35)D.(32,36)

二、多选题

9.下列各式化简运算结果为1的是（）

B.Igyl2+hg5

A.log53xlog32xlog25

C.log册a?3>o且。，1)D.+3-(0.125尸

10.函数/(x)=sinx+括8$*的()

A.图象对称中心为（苛+而，0）（左eZ）

B.增区间为［一V+2后r,?+2公订伏eZ）

C.图象对称轴方程为*=一生+br,kwZ

3

D.最大值是2,最小值是-2

11.已知实数x,y,Z满足历x="=1,则下列关系式中可能成立的是()

Z

A.x>y>zB.x>z>yC.z>x>yD.z>y>x

12.已知函数若方程/(/(x))+a=O有6个不等实根，则实数。的可能

[x+l,x„0

取值是()

A.--B.0C.-1D.--

23

三、填空题

13.函数y=([)中菽的单调递增区间是：.

14.已知。>0,b>0,a+2b=l,贝!]—1—+^~取至！]最小值为__.

3a+4b〃+3。

72代

15.已知1£(0,5),(3G(―7T,—•—)9sinoc=fcos(3=--—,则a+2〃的值为

/+]

16.函数/(x)=/g:----(xwO,xeR),有下列命题：

|x|

①/(x)的图象关于y轴对称；

②/(x)的最小值是2；

③/(x)在(-8,0)上是减函数，在(0,+s)上是增函数；

@/(x)没有最大值.

其中正确命题的序号是—.(请填上所有正确命题的序号)

四、解答题

17.已知嘉函数7'(幻=广调+”+3(机€2)为偶函数，且在(0,+oo)上是增函数.

(1)求根的值，并确定了(X)的解析式；

(2)若gg)/。/X]aft/>且aw1)在区间[2,3]上为增函数,求实数a的取值集合.

18.已知函数/(%)=sinx+J5cos无+1.

(I)设a£[0,2i],且f(a)=1,求a的值；

(II)将函数y=f(2x)的图象向左平移三个单位长度，得到函数y=g(x)的图象.当

6

尤e上工二]时，求满足g(x),,2的实数x的集合.

22

19.已知函数/(%)=—匚(％>0)

x+1

(1)求证：函数/(%)在(0,+oo)上为单调增函数；

(2)设g(x)=log2f(x),求g(x)的值域；

(3)对于(2)中函数g(%),若关于兀的方程|g(x)/+m|g(%)|+2m+3=0有三个不同的实

数解，求机的取值范围.

-%

20.已知函数/'(x)=3工+3-”,g(x)=|+log3(l+3).

(1)用定义证明：函数g(x)在区间(-8,0]上为减函数，在区间[0,+8)上为增函数；

(2)判断函数g(x)的奇偶性，并证明你的结论；

(3)若g(x),,3083/(尤)+。对一切实数％恒成立，求实数。的取值范围.

期末复习(九)一一综合练习二答案

1.解：由f-x-6,,0得一2别；3,则集合A={x|-2麴Jc3],

由---->0得(％+1)(X—4)>0，解得x>4或x<—l,

x-4

贝u集合3={%|x>4或％<—1},即毛5={%|-1张/4],

所以40|@3)={X1-1领k3],故选：D.

2.解：•「Q==Iog3(log34),

.­.0<(|)°-5<(1)°=1,gp0<a<1(1)0-4>(1)°=1,即6>1

log3(log34)<log3(log33)=log31=0,即c<0故c<a<Z?故选：C.

444

■x/5"।

3.解：因为cos(——Fa)=——(cosa-sina)=一,

423

7

可得cosa-sina=——,两边平方，可得2sinacosa=—,

39

sma

所以tan<7_cosa=sjn6ZCOS6Z=_Le故选：C.

1+tanasina18

1+^

cosa

4.解：根据题意，设/(%)=cosx-:加(|x|+1),

当％=0时，有/(0)=cos0—加1=1,排除C,

而/(-%)=cos(-x)-ln(\-x|+1)=cosx-^ln(\x\+X)-/(x),f(x)为偶函数，排除A,

当尤>e2-l时，则/'(x)<0,函数图象在x轴下方，排除。，

故选：B.

5.解：■：f(2)=ln2-2<0,f(3)=ln3>0,

/.f(x)=lnx+2x-6的存在零点x0G(2,3).

•・•/(%)=/nr+2x-6在定义域(0,+oo)上单调递增,

「./(%)=/nx+2x-6的存在唯一的零点不£(2,3).

则整数7〃=3.27"'+log3m=3+1=4故选：D.

.20

6.解:由题意可知40-24=(88-24)让尸，

2

11型

即一=(_/，解得。=10,

42

I-L

所以7-24=(88—24)0^)1。，

1-L1±1

当7=32时，代入上式得：32-24=(88-24)5-)10,即(5¥°=§，

所以工=3,即"30,

10

故选：C.

7.解：根据题意，对于/(X)=2017*+log/。心+1+x)-20-

2

其定义域为R,关于原点对称，/(-x)=2017*+log2017(7%+1-x)-2017"

=-(2017*+log2017(JP+l+x)—2017-)=_/(x)；

即函数/(x)为奇函数；

对于f(x)=2017*+log20I7(A/7+T+x)-2017-",分析易得其为增函数；

f(2x+3)+/(%)>0<=>f(2x+3)>—/(%)<=>f(2x+3)>/(—x)o2x+3>—x,

解可得x>-1；

即不等式/(2元+3)+/(%)>0的解集是(-l,+oo),

故选：D.

8.解：由题意，可画出函数/(x)图象如下:

由题意，•.•〃，b,c，d互不相同，.•.可不妨设avbvcvd.

♦:于(a)=f(b),由图象，可矢口一log2a=log2b.即：log2+log2b=0.

log2ab=0,ab=l.Xvf(a)=f(b)=f(c)=f(d),

二.依据图象，它们的函数值只能在。到2之间，.•.4vc<5,7Vd<8.

根据二次函数的对称性，可知：c+d=2x6=12.abed=cd=cQ；12—c)=—c2+12c,

(4<c<5)则可以将Med看成一个关于c的二次函数.由二次函数的知识，可知：

-/+12°在4<。<5上的值域为(32,35).，M〃的取值范围即为(32,35).故选：C.

9.解:A：原式常嘴x,=L

B：原式=g/g2+g/g5=；/g(2x5)=；；

C：原式=2/g厂a=2x2=4；

D：原式=3—8、=3-2=1.

故选：AD.

10.解：,函数/(%)=sinK+J5cosx=2sin(x+g),

0-TT-077-

^x=—+k7T,求得/(x)=0,可得函数的图象对称中心为(飞-+Qr,0)伏eZ),故A正

确;

、1/__IT--i/Tr-r\TC_7T__TC_,__

当X£[------F2匕T，----F2k77l](k£Z)，XH£[------F2左乃，---F2左乃](左7£Z)，

66322

/(%)单调递增，故5正确;

当工=一耳+左万，keZ,/(x)=2sin匕r=0,不是最值，

故十=一四+左下，ZeZ不是函数的图象的对称轴，故C错误；

3

显然，函数/(x)的最大值为2,最小值为-2,故。正确，

故选：ABD.

11.解：实数X,y,Z满足=',

Z

画出图象，分别作出与X轴平行且与三个函数图象相交的直线.

由最下面的直线与函数图象的交点可得：z>x>y；

由中间的直线与函数图象的交点可得：x>z>y；

由最上面的直线与函数图象的交点可得：x>y>z.

则下列关系式中可能成立的是ABC.

故选：ABC.

12.解：对于A：当°=一;时，/(/(x))=1,

1l1

故/(x)=-4，/(x)=4e>f(x)=T，

2\e

故方程/(/(x))+。=0有6个不等实根；

对于B：当。=0时，/(/(%))=0,

故7(x)=-l，/(x)=1)故x=-2，x=-,x=e,

e

故方程/(/(%))+，=。有3个不等实根；

对于。：当a=-1时，/(/(%))=1,

故/(%)=0，/(%)=e，/(x)=—,故尤=-1,x=1,x=ee,x=—,且/(%)=，有3个方艮,

eeee

故方程/(/(%))+a=。有7个不等实根；

对于D：当a=-g时，/(/(%))=|­

故/(X)=,/(X)=&，/(X)=-X，

3Qe

故方程/(/(^))+a=0有6个不等实根；

故选：AD.

13.解：令t=I-x2+x+2=1Tx—2)(x+1)=卜x—g)2+1，

1Q11

；.y=(yI®0,-哪2,故/的减区间为g,2],.•.函数y的增区间为耳，2],

14.解：,/«>0,Z?>0,a+2b=1,/.5a+10b=5,

/.(3a+4b)+2(。+3b)=5，

即1[(3a+4b)+2(a+3b)]=1

1、1「/c小~C7、r1/2(。+3Z?)3。+4b3+2"\/5

------)x—[(3tz+4b)+2(。+3b)]=—(―-----——-F

3(7+4/?a+3b553a+4Z?a+3b5

.•・3々+4》=血m+3b)取到最小值豆|也

故答案为：红I也

15.解：由于a£(0,工)，sina=X2

210

所以cosa=-sin2a二舟,且/?£(—匹一1)，cos/7

所以sin尸u—Jl—cos?1=一-—.所以tana==7,tan〃=sin/?_1

5cosacosP2

由于a6(0,—);/3e(―%,—■—)>所以a+2£e(-2兀,—■—),

7+4

/c八、tana-tan2£57r

tan(6Z+2/3)=------------____3_=一1,所以0+24=--—.

1-tanatan2/?1-7x4

3

16.解：①/(一%)=/g'+1=/(%)，/.函数/(%)是偶函数，f(x)的图象关于y轴对称，故

①正确;

丫2-L11丫2_|_1

②-------=1%1+——..2,:.于(x)=lg-----..lg2,「./(%)的最小值是/g2,故②不正确;

|冗|\x\\x\

2

x_i_11

③函数g(x)=-------=|x|+——在(0,1)上是减函数，在(-1,0),(1,y)上是增函数，

\x\|x|

丫2+]

故函数/(x)=/g-------在(0,1)上是减函数，在(-1,0),(1,+8)上是增函数，故③

|x|

不正确;

④由③知，/(X)没有最大值，故④正确

故答案为：①④

17.解：(1)・・•塞函数/(%)=%―+加+3(根£2)为偶函数，且在(0,+8)上是增函数.

-2"+租+3为偶数，解得相=i,此时/(无)=/.

一2,犷+机+3>0

2

(2)由(1)可知：g(x)=loga(x-ax)(a>0,«1).

x2-ax>0,x(x-a)>0,/.0>犬或%>a,函数g(x)的定义域为｛%|Q<X或x<0｝，

2

且g(x)=loga[(x-y-曰.

①当a>1时，g(〃)=log。〃在区间(0,+oo)上单调递增，

•.•已知函数g(x)在区间[2,3]上为增函数，

2

且函数丁=(彳一|)2-?在区间弓,0上单调递增，

a入.

一„2，a,4,

2

*:a>\,，1<%4.

②当0<a<1时，g(〃)=log.a在区间(0,^o)上单调递减，

•.•已知函数g(尤)在区间[2,3]上为增函数，

2

当满足函数y=(x-殳2_?在区间(0日上单调递减时适合要求，

?.3„—,解得a.6,而0<a<l,故无解.

2

综上可知:实数a的取值集合是｛a|l〈&4｝.

i=]兀

18.解：(I)由/(%)=sinx+“3cosx+l=2(/sinx+^-cosx)+1=2sin(%+1)+1,

jrJT2、S

由/(a)=2sin(a+?+l=l,得5皿。+§)=0,又。£[0,2TT],得a=或1;r.

jrjr2万

(II)由题知，g(x)=/(2(x+-))=/(2x+-)=2sin(2x+一)+1,

633

24i

由g(%),,2,得sin(2xH---)„—，

32

--+2左通©x+——+2左肛keZ,

636

V--M--Mx+——,

22333

/.--Wx+—或去融x+二—,

336633

/.或2瓢

24122

即所求X的集合为{x|—二都c或2领k-}.

24122

19.(1)证明：/(工)=±±=2—-—,

x+1x+1

设%，％是Q+°°)上的任意两个数，且玉<%，…(2分)

222(%1~%2)...(4分)

则/(不)-/氏)=(2---------)-(2---------)=-

xt+1x2+1为+1X2+1(玉+1)(々+1)

♦.♦占<x,，:.xl-x2<0,"),、<o,BP/(^)</(x2)

(%1+l)(x2+1)

.•./(%)在(0,+8)上为增函数，...(6分)

Or9

(2)W：/(%)=3=2—-—,

x+1x+1

7

因为%>0,所以x+l>l,所以0<——<2,即0v“x)<2…(8分)

x+1

又因为x>0时，/(x)单调递增，y=log2f单调递增,

所以y=log2，(无)单调递增，所以g(x)值域为(-8,1)…(10分)

(3)解:由(2)可知y=|g(x)|大致图象如图所示，

设|g(x)|=f,则|g(x)|2制跃期妥加36有三个不同的实数解，即为产+制+2租+3=0

有两个根，且一个在(0,1)上，一个在口，+8)上，(r=0时，只有一个交点，舍去)

设/?«)=产+〃叶+2机+3…(12分)

①当有一个根为1时，h(1)=12+m+2m+3=0,m=——,此时另一根为1适合题意；…

33

(13分)

/z(0)>0彳?12根+3>0

②当没有根为1时,h(T)<0寸+机+2m+3<0

1

20.解：(1)vg(x)=j+log3(l+3-),

设元],x2G(-00,0],且X,<%2，

-e-g(玉)_g(/)=j+/°g3(l+3—log3(1+3巧)

xi+x2

=g+=皿西养=]=皿3'，+3­

2J3