新教材同步备课2024春高中数学第6章平面向量及其应用6.2平面向量的运算6.2.4向量的数量积第2课时向量数量积的运算律教师用书新人教A版必修第二册

第2课时向量数量积的运算律学习任务1．驾驭平面对量数量积的运算律及常用的公式．(逻辑推理)2．会利用向量数量积的有关运算律进行计算或证明．(数学运算)我们已经知道，许多运算都满意确定的运算律．例如，向量的加法满意交换律，数乘向量对加法满意支配律，即对随意向量a，b以及实数λ，有a＋b＝b＋a，λ(a＋b)＝λa＋λb．依据向量数量积的定义，探讨向量数量积的运算满意哪些运算律，并说明理由．学问点1向量数量积的运算律(1)a·b＝b·a．(2)(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)．(3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c．学问点2数量积运算的常用公式(1)(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2；(2)(a－b)2＝a2－2a·b＋b2；(3)(a＋b)·(a－b)＝a2－b2．1．思索辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)a·b＝b·c推不出a＝c． ()(2)对于向量a，b，c，等式(a·b)c＝(b·c)a都成立． ()[答案](1)×(2)×2．已知|a|＝3，|b|＝4，则(a＋b)·(a－b)＝________．[答案]－7类型1求数量积【例1】已知|a|＝6，|b|＝4，a与b的夹角为60°，求(a＋2b)·(a＋3b)．[解](a＋2b)·(a＋3b)＝a·a＋5a·b＋6b·b＝|a|2＋5a·b＋6|b|2＝|a|2＋5|a||b|cos60°＋6|b|2＝62＋5×6×4×cos60°＋6×42＝192．依据数量积的运算律，向量的加、减与数量积的混合运算类似于多项式的乘法运算．[跟进训练]1．已知两个单位向量e1，e2的夹角为π3，若向量b1＝e1－2e2，b2＝3e1＋4e2，则b1·b2＝________－6[由题设知|e1|＝|e2|＝1，且e1·e2＝12所以b1·b2＝(e1－2e2)·(3e1＋4e2)＝3e12-2e1·e2-8类型2与向量模有关的问题【例2】(源自人教B版教材)(1)已知|a|＝2，|b|＝1，〈a，b〉＝60°，求|a＋2b|；(2)已知|a＋b|＝|a－b|，求a·b．[解](1)由题意可知a2＝4，b2＝1，a·b＝2×1×cos60°＝1，所以|a＋2b|2＝(a＋2b)2＝a2＋4a·b＋4b2＝4＋4×1＋4×1＝12，因此|a＋2b|＝23．(2)由题意可知|a＋b|2＝|a－b|2，即(a＋b)2＝(a－b)2，因此a2＋2a·b＋b2＝a2－2a·b＋b2，因此a·b＝0．a·a＝a2＝|a|2或|a|＝a2，此性质可用来求向量的模，可以实现实数运算与向量运算的相互转化．[跟进训练]2．已知向量a与b夹角为45°，且|a|＝1，|2a＋b|＝10，求|b|．[解]因为|2a＋b|＝10，所以(2a＋b)2＝10，所以4a2＋4a·b＋b2＝10．又因为向量a与b的夹角为45°且|a|＝1，所以4×12＋4×1×|b|×22＋|b|2＝10整理得|b|2＋22|b|－6＝0，解得|b|＝2或|b|＝－32(舍去)．类型3与向量垂直、夹角有关的问题【例3】(1)已知非零向量m，n满意4|m|＝3|n|，m与n夹角的余弦值为13，若n⊥(tm＋n)，则实数t的值为(A．4 B．－4C．94 D．－(2)已知e1与e2是两个相互垂直的单位向量，若向量e1＋ke2与ke1＋e2的夹角为锐角，求k的取值范围．(1)B[由题意知，m·nmn＝所以m·n＝14|n|2＝14n因为n·(tm＋n)＝0，所以tm·n＋n2＝0，即14tn2＋n2＝0，所以t＝－4．(2)[解]∵e1＋ke2与ke1＋e2的夹角为锐角，∴(e1＋ke2)·(ke1＋e2)＝ke12+ke22＋(k2＋1)e1·e2＝2k当k＝1时，e1＋ke2＝ke1＋e2，它们的夹角为0°，不符合题意，舍去．综上，k的取值范围为k＞0且k≠1．[母题探究]将本例(2)中的条件“锐角”改为“钝角”，其他条件不变，求k的取值范围．[解]∵e1＋ke2与ke1＋e2的夹角为钝角，∴(e1＋ke2)·(ke1＋e2)＝ke12+ke22＋(k2＋1)e1·e2＝2k当k＝－1时，e1＋ke2与ke1＋e2方向相反，它们的夹角为π，不符合题意，舍去．综上，k的取值范围是k＜0且k≠－1．求两向量夹角的方法(1)一般是利用夹角公式：cosθ＝a·(2)留意：数量积大于0说明不共线的两向量的夹角为锐角，数量积等于0说明两向量的夹角为直角，数量积小于0且两向量不共线时两向量的夹角为钝角．[跟进训练]3．已知非零向量a，b满意a＋3b与7a－5b相互垂直，a－4b与7a－2b相互垂直，求a与b的夹角．[解]由已知条件得a即7②－①得23b2－46a·b＝0，∴2a·b＝b2，代入①得a2＝b2，∴|a|＝|b|，∴cosθ＝a·bab＝∵θ∈[0，π]，∴θ＝π31．已知向量a，b满意|a|＝1，a·b＝－1，则a·(2a－b)＝()A．4 B．3C．2 D．0B[∵|a|＝1，知a2＝|a|2＝1，又a·b＝－1，∴a·(2a－b)＝2a2－a·b＝2－(－1)＝3．]2．已知a，b方向相同，且|a|＝2，|b|＝4，则|2a＋3b|＝()A．16 B．256C．8 D．64A[∵|2a＋3b|2＝4a2＋9b2＋12a·b＝16＋144＋96＝256，∴|2a＋3b|＝16．]3．已知a⊥b，|a|＝2，|b|＝3，且3a＋2b与λa－b垂直，则实数λ等于()A．32 B．－C．±32 D．A[∵3a＋2b与λa－b垂直，∴(3a＋2b)·(λa－b)＝3λa2＋(2λ－3)a·b－2b2＝3λa2－2b2＝12λ－18＝0，∴λ＝32．4．已知向量a，b满意|a|＝2，|b|＝1，a·b＝1，则向量a与a－b的夹角为________．π6[|a－b|＝a-b2＝设向量a与a－b的夹角为θ，则cosθ＝a·a-ba又θ∈[0，π]，所以θ＝π6．回顾本节学问，自主完成以下问题：1．向量的数量积满意哪些运算律？[提示](1)a·b＝b·a．(2)(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)．(3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c．2．向量的夹角与其数量积之间存在什么关系？[提示]向量a，b的夹角为锐角，得到a·b>0；反之，a·b>0不能说明a·b的夹角为锐角，因为a，b夹角为0°时也有a·b>0．同理，向量a，b的夹角为钝角，得到a·b<0；反之，a·b<0不能说明a，b的夹角为钝角，因为a，b夹角为180°时也有a·b<0．课时分层作业(六)向量数量积的运算律一、选择题1．已知单位向量a，b，则(2a＋b)·(2a－b)的值为()A．3 B．5C．3 D．5C[由题意得(2a＋b)·(2a－b)＝4a2－b2＝4－1＝3．]2．已知平面对量a，b满意a·(a＋b)＝3且|a|＝2，|b|＝1，则向量a与b的夹角为()A．π6 B．C．2π3 DC[设向量a与b的夹角为θ．因为a·(a＋b)＝a2＋a·b＝4＋2cosθ＝3，所以cosθ＝－12，又因为θ∈[0，π]，所以θ＝2π3．已知|a|＝|b|＝1，a与b的夹角是90°，c＝2a＋3b，d＝ka－4b,c与d垂直，则k的值为()A．－6 B．6C．3 D．－3B[因为c与d垂直，所以c·d＝0，所以(2a＋3b)·(ka－4b)＝0，所以2ka2－8a·b＋3ka·b－12b2＝0，所以2k＝12，所以k＝6．]4．(2024·全国乙卷)已知向量a，b满意|a|＝1，|b|＝3，|a－2b|＝3，则a·b＝()A．－2 B．－1C．1 D．2C[∵|a－2b|2＝|a|2－4a·b＋4|b|2，又∵|a|＝1，|b|＝3，|a－2b|＝3，∴9＝1－4a·b＋4×3＝13－4a·b，∴a·b＝1．故选C．]5．(多选)设a，b，c是随意的非零向量，且它们相互不共线，则下列结论正确的是()A．a·c－b·c＝(a－b)·cB．(b·c)·a－(c·a)·b不与c垂直C．|a|－|b|＜|a－b|D．(3a＋2b)·(3a－2b)＝9|a|2－4|b|2ACD[依据向量数量积的支配律知A正确；因为[(b·c)·a－(c·a)·b]·c＝(b·c)·(a·c)－(c·a)·(b·c)＝0，所以(b·c)·a－(c·a)·b与c垂直，B错误；因为a，b不共线，所以|a|，|b|，|a－b|组成三角形三边，所以|a|－|b|＜|a－b|成立，C正确；D正确．故选ACD．]二、填空题6．已知向量a，b满意|a|＝1，|b|＝2，a·(a－2b)＝0，则|a＋b|＝________．6[∵a·(a－2b)＝0，∴a2－2a·b＝0．∵|a|＝1，|b|＝2，∴a·b＝12∴|a＋b|＝a2+2a·b+7．(2024·全国甲卷)设向量a，b的夹角的余弦值为13，且|a|＝1，|b|＝3，则(2a＋b)·b＝________11[设a与b的夹角为θ，因为a与b的夹角的余弦值为13，即cosθ＝13，又|a|＝1，|b|＝3，所以a·b＝|a|·|b|cosθ＝1×3×13＝1，所以(2a＋b)·b＝2a·b＋b2＝2a·b＋|b|2＝2×1＋32＝8．已知向量a，b满意|a|＝5，|b|＝3，且b⊥(a－b)，则a，b夹角的余弦值为________，设a在b方向上的投影向量为λb，则λ＝________．351[∵b⊥(a－b)，∴b·(a－b)＝0⇒b·a－b2＝0⇒b·a＝b2∴cos〈a，b〉＝a·bab＝b2由a在b方向上的投影为|a|cos〈a，b〉＝3，知a在b方向上的投影向量为3·bb即3·bb＝λb，解得λ＝1．三、解答题9．已知平面对量a，b，若|a|＝1，|b|＝2，且|a－b|＝7．(1)求a与b的夹角θ；(2)若c＝ta＋b，且a⊥c，求t的值及|c|．[解](1)由|a－b|＝7，得a2－2a·b＋b2＝7，所以1－2×1×2×cosθ＋4＝7，所以cosθ＝－12又θ∈[0，π]，所以θ＝2π(2)因为a⊥c，所以a·(ta＋b)＝0，所以ta2＋a·b＝0，所以t＋1×2×-12＝0，所以t＝所以c＝a＋b，c2＝a2＋2a·b＋b2＝1＋2×1×2×-12＋4＝3．所以|c|＝10．若|a＋b|＝|a－b|＝2|a|，则向量a－b与b的夹角为()A．π6 B．C．2π3 DD[由|a＋b|＝|a－b|可得a·b＝0，由|a－b|＝2|a|可得3a2＝b2，所以|b|＝3|a|，设向量a－b与b的夹角为θ，则cosθ＝a-b·ba-bb＝-b22a·3a＝－11．如图，四边形ABCD是边长为2的菱形，∠BAD＝60°，E，F分别为BC，CD的中点，则AE·EF＝()A．12 B．－C．32 D．－D[∵E，F是菱形ABCD中边BC，CD的中点，∴AE＝AB＋12AD，EF＝1又|AB|＝|AD|＝2，且〈AB，AD〉＝∴AE·EF＝AB+12＝14AB·AD＋14|AD|2－12＝14|AB|·|AD|·cos60°＋14×22－12＝－12．12．(多选)已知正△ABC的边长为2，设AB＝2a，BC＝b，则下列结论正确的是()A．|a＋b|＝1 B．a⊥bC．(4a＋b)⊥b D．a·b＝－1CD[分析知|a|＝1，|b|＝2，a与b的夹角是120°，故B结论错误；∵(a＋b)2＝|a|2＋2a·b＋|b|2＝3，∴|a＋b|＝3，故A结论错误；∵(4a＋b)·b＝4a·b＋b2＝4×1×2×cos120°＋4＝0，∴(4a＋b)⊥b，故C结论正确；a·b＝1×2×cos120°＝－1，故D结论正确．]13．已知|a|＝|b|＝|c|＝1且满意3a＋mb＋7c＝0，其中a，b的夹角为60°，则实数m＝________．5或－8[因为3a＋mb＋7c＝0，所以3a＋mb＝－7c，所以(3a＋mb)2＝(－7c)2，即9＋m2＋6ma·b＝49，又a·b＝|a||b|cos60°＝12所以m2＋3m－40＝0，解得m＝5或m＝－8．]14．已知e1，e2是夹角为60°的两个单位向量．若a＝3e1＋2e2，b＝te1＋2e2，其中t∈R，若a，b的夹角为锐角，求实数t的取值范围．[解]因为a，b的夹角为锐角，所以a·b>0，且a，b不共线，当a·b>0时，(3e1＋2e2)·(te1＋2e2)＝3te12+6+2te1·e2+4e22＝3当a，b共线时，存在唯一的实数λ，使a＝λb，即3e1＋2e2＝λ(te1＋2e2)，所以3=λt解得λ=1，t=3，所以当t≠3时，a综上，t的取值范围为t>－74且t≠3即t的取值范围为-74，15．已知平面上三个向量a，b，c的模均为1，它们相互之间的夹角