高中数学习题1：高中数学人教A版2019必修 第二册 直线与平面垂直的判定

8.6.2直线与平面垂直同步练习

一.单选题

1.下列条件中，能判断一条直线与一个平面垂直的是（）

A.这条直线垂直于该平面内的一条直线

B.这条直线垂直于该平面内的两条直线

C.这条直线垂直于该平面内的任何两条直线

D.这条直线垂直于该平面内的无数条直线

2.已知加和“是两条不同的直线，a和4是两个不重合的平面，那么下面给出

的条件中，一定能推出的是（）

A.aM。，且muaB.m!In,且鼠_L/yC.且尸

D./“_!_〃，且〃///?

3.如图，在棱长为2的正方体A3CO-ABCQ中，E是9的中点，尸是B与的

中点，则直线所与平面至8所成的角的正切值为（）

Dr

A.2>/5B.1C.x/5D.m

5

4.正三棱柱ABC-AAG的底面边长为1，侧棱长为亚，则4cl与侧面所

成的角为（）

A.30°B.45°C.60°D.90°

5.已知AABC所在的平面为a,/,m是两条不同的直线，ILAB,ILAC,mLBC,

mYAC,则直线/,m的位置关系是（）

A.相交B.异面C.平行D.不确定

6.如图平面aC平面夕=PQ、EG_L平面口,F"_L平面a,垂足分别为G、H,

为使PQ，G”，则需要增加一个条件是（)

A.£FJ_平面aB.£FJ_平面尸C.PQLGED.PQ1FH

7.如图所示的正方形SGGQ中，E,F分别是G0,G2G3的中点，现沿SE,SF,

所把这个正方形折成一个四面体，使G「G,,G?重合为点G,则有（）

A.SG_L平面EFGB.EG_L平面SEFC.GF_L平面SEFD.SG_L平面SEF

8.如图，当Aea,点Bea,点尸任a,PB±a»C是a内异于力和8的动点，

且PC_LAC,则动点C在平面a内组成的图形是（）

A.一条线段，但要去掉两个点B.一个圆，但要去掉两个点

C.两条平行直线D.半圆，但要去掉两个点

9.如图，在三棱锥P-/WC中，抬_L平面43C,ABYBC,PA=AB,。为依的

中点，则下列判断不正确的是（）

A.BC_L平面RU3B.ADYPCC.AD_L平面PBCD.PB_L平面4X7

10.如图，已知AABC是顶角为C=120。的等腰三角形，且AC=2,点。是钻的

中点.将MCZ）沿CD折起，使得AC_L3C,则此时直线BC与平面AC。所成角的

正弦值为（）

二.多选题

11.在棱长为2的正方体ABCO-AqCQ中，E,尸分别为45,AR的中点，则

（）

A.BD工BC

B.EF//平面DB]B

C.4G，平面4RC

D.过直线EF且与直线平行的平面截该正方体所得截面面积为72

12.在正方体A8CD-A4GA中，若点£,F,G分别为AB,BC,CQ的中点,

则（）

A.4力_L平面EFGB.CR//平面EFGC.AQ_L平面£FGD.AQ//平面EFG

13.如图所示，在四个正方体中，/是正方体的一条体对角线，点M,N,尸分

14.如图，长方体A8CD-A4CQ中，AB=BC=\,A4,=2,M为想的中点，过

片M作长方体的截面a交棱CG于N,贝人)

A.截面夕可能为六边形

B.存在点N,使得8N_L截面a

C.若截面a为平行四边形，则掇fN2

D.当N与C重合时，截面面积为亚

4

三.填空题

15.如图，直三棱柱A8C—44G中，侧棱长为2,AC=8C=1,ZACB=90°,D

是4月的中点，F是网上的动点，AB1，DF交于点、E,要使AgJ.平面CQF,

则线段B尸的长为.

16.已知在长方体ABCQ-A8c。中，AB=4,BC=3,CC,=3,则直线4始与平

面AC£4所成角的大小是.

17.如图所示，在正方体A88-A4Go中，M,N分别是棱例和A3上的点，

若B]M工MN,则NGA/N=度.

18.如图，在三棱柱A8C-A4G中，底面是以Z4BC为直角的等腰直角三角形,

侧棱底面ABC，AC=2a,BB、=3a,。是AG的中点，点F在线段A4,上，

当AF=时，b,平面8QF.

四.解答题

19.如图，在四面体A-3C£)中，ZBDC=90。,AC=BD=2,E,尸分别为4),

8c的中点，且历=虚.求证：①〃平面AC£>.

20.如图，四棱锥P—/WC£>中，B4_L底面458,ABVAD,ACYCD,ZABC=ffiP,

PA=AB=BC,£是PC的中点.求证：

(I)CDA.AE;

(II)P£)_L平面ABE.

21.已知四棱锥P-49co的底面是边长为2的菱形，且Z/WC=60。，PA=PC=2,

PB=PD.

(I)若O是AC与的交点，求证：尸O_L平面ABCD;

(II)若点W是PD的中点，求异面直线4?与CW所成角的余弦值.

22.如图，在三棱柱ABC—4与£中，。为AB的中点，OE1AC,AC=CB,AB=AA,,

ZBAA,=60°.

(1)证明：ABV\C;

(2)若AB=CB=2,A、C=娓,证明：AC_L平面A.OE.

1.解：在A中，如果一直线与平面相交但不垂直时，

则该直线与该平面中也可能一条直线也垂直，故A错误；

在3中，这条直线垂直于平面内的两条平行直线，

则这条直线不一定垂直于平面，故8错误；

在C中，这条直线垂直于该平面内的任何两条直线，

则这条直线一定垂直于平面，故C正确；

在。中，这条直线垂直于该平面内的无数条平行直线，

则这条直线不一定垂直于这个平面，故。错误.

故选：C.

2.解：对于A,由a/力，且相ua,得到机//力，故A错误；

对于8,由〃，力，知〃垂直于平面力内的任意直线，

再由m//〃，得m垂直于平面△内的任意直线，.故5正确;

对于C,由加J_〃，且〃u£,得机与/?相交、平行或mu£,故C错误;

对于。，由机，〃，且〃//夕，得加与£相交、平行或故。错误.

故选：B.

3.解：连接3£,

•1•BBi±平面ABCD,

ZFEB为直线EF与平面ABCD所成的角，

-,-AE=\,AB=2,;.BE=&

4.解：取A声中点£),连结G。，AD,

•••正三棱柱48C-AB。的底面边长为1，侧棱长为V2,

44，CQJ.A4,,

A^r)M=A，..CQ_L平面AB4A,

NZMG是ACt与侧面A明A所成的角,

-.■QD1AD,C|C=J：_(g)2=#,

AC1+(0)2=G>

.­.ZDAC,=30°,

AC,与侧面ABB^所成的角为30。.

故选：A.

5.解：-.-lA-AB,IVAC,AB<za,ACca,且A8nAe=A,

「./_La,

同理可证相」a,

:.l//tn.

直线，，机的位置关系是平行.

故选：C.

6.解：由平面aC平面〃=PQ、EGJ_平面a,平面a,垂足分别为G、H,

知：

在AW，£F_L平面a,EF〃EG"FH,与题意不符,故A错误：

在3中，£F_L平面力，则EFJ.PQ,EG工PQ,且EF0|EG=E,

PQ1,平面EFHG,•.•GHu平面EFHG,；.PQVGH,故3正确；

在C中，由平面aC平面夕=PQ、EGJL平面a,能得到PQ_LGE,故C错误；

在力中，由平面&C平面尸=尸。，"7_L平面a,能得至UPQ_LF»,故。错误.

故选：B.

7.解：如图所示

sG

\

E

•.•始终有SG_LG|E,SG3±G3F,.-.SG1GE,SG1GF

又G£p|GF=GSG_L平面EFG.

故选：A.

8.解：-.PBA.a,:.PBA.AC,

又•.•PC_LAC,.'.AClffiPBC,:.BCA.AC,

动点C在平面a内的轨迹是以AB为直径的一个圆，但要去掉A、B两个点.

9.解：•.♦以_L平面ABC,8Cu平面A8C,

:.PArBC,又A8_L8C,AB,/^u平面MB且A8p|PA=A,

平面故A正确，

由3CJ_平面/由，4)u平面RIS,^BCA.AD,

又必=他，D是PB的中点，..ADA.PB,

又PBCBC=B,PB,BCu平面PBC,

r.AOJL平面P8C,PCu平面P8C,:.AD±PC,故B,C正确,

由BCJ_平面RY,Pfiu平面RLB,得BC_LPB，

因为BC与8不平行，因此P3与CD不垂直，

从而PB不与平面相＞C垂直，。错误，

故选：D.

10.解：如图•・•8_LA£>,CD工DB,.-.CDV^\ADB.

过8作于H,易得8"_1面4兀，

:.ZBCH就是直线3c与平面ACD所成角.

­.AC=BC=2,ZACB=\2O°,:.AD=DB=6,CD=\.

折叠后，.AC±BC,AB=2>/2.

在AADB中，设AB边上的高为〃，人=JA£>2_（；AB）2=1

由ABxh=ADxBH=BH,在RMHC中,sinZBCH=—=—

73BC3

11.解：对于A,•.•BC〃A。，二幺0台是或）与qC所成角（或所成角）的补角,

,.•AD=BD=AB,..4,08=60。，.•.应>与8c不垂直，故A错误；

对于3,取4）中点G,连接FG,EG,则EG//BD,FGHBB,,

EGQFG=G,=B,平面EFG//平面DB、B,

♦.•Efu平面EEG,.・.£F//平面/加3,故3正确；

对于C,•;入口,A4,1BtD],4孰「|714|=4，A©、"4平面

BR1平面AAG,AC,u平面ACtJ.BQ,

同理AG_LBC，

,BQ、qCu平面BQC,:.AC{B]DtC,故C正确;

对于O,取4声中点“，连接F”、EH,

则F”//8Q,GF//BB,,

vF/7QGF=F,BQ=片，平面E7/FG//平面BBRD,

BRu平面BBQQ,EFu平面EHFG,

过直线切且与直线BQ平行的平面截该正方体所得截面为矩形EHFG,

:GF=2,GE=~BD=-y/4+4=>/2,

22

.­•过直线EF且与直线平行的平面截该正方体所得截面面积为5=272,故。

错误.

故选：BC.

13.解：对于4).根据正方体的性质可得：/_LMN,/_LMP,可得/_L平面MNP.

而BC无法得出/J_平面MNP.

故选：AD.

14.解：长方体A8CO-ABCQ中，AB=BC=\,7tAi=2,M为A4,的中点，过耳M

作长方体的截面a交棱CGT-N,

设N。为CG的中点，根据点N的位置的变化分析可得,

当掇EN2时，截面a为平行四边形,

当O<CN<1时、截面a为五边形，

当CN=O,即点N与点C重合时，截面a为梯形，故选项A错误，选项C正确;

设8N_L截面a,因为BMua,所以BN_L耳M,

所以N只能与C重合才能使BN±B.M,

因为助V不垂直平面用CQM,故此时不成立，故选项3错误;

因为当N与C重合时，截面a为梯形，

如图（2）所示，过“作W垂直于BQ于点M，，

4L

设梯形的高为〃，B,M'=x,

贝!J由平面几何知识可得层=（四）272=（4）2—（4一幻2,解得工=型，人

所以截面a的面积为gx（6+乎）5=乎，故选项。正确.

故选：CD.

15.答案为:

2

16.解：/

如图，在上底面作于E,连接他,

易知NE44即为用与平面ACC0所成的角,

利用所给数据，求得做=5,E4="

.EB112.12

sinZ7.CESAT>B.=——L=—,Z.EAB.-arcsin——,

11

ABt2525

故答案为：arcsin—.

25

17.解：在正方体AB8-A4GA中，M，N分别是棱例和上的点,

B.M1MN,又MNLBG,,

.♦.M7V1.平面线CM,MN±MC,,:."MN=9。度.

故答案为：90.

18.解：由已知得A用=耳&，又。是AG的中点,

所以又侧棱AA_1_底面筋。,

可得侧棱AA，平面48。，又BQu平面A4G，

所以因为AA「|Aa=A，

所以8Q_L平面44℃，

又CFu平面AACC，所以8Q_LC产，

故若B_L平面BQF,则必有CF_LDF.

设A尸=x(0cx<3a),则。尸2=丁+4。2,

DF2=a2+(3a-x)2,又CD2=a?+9^=10a2,

所以10/=x2+4/+cr+(3a-x)2,

解得x=a或2a.

故答案为：。或2a.

19.证明：取CD的中点为G,连结EG、FG,

：F,G分别为BC,8的中点，:.FG//BD,

又E为仞的中点，AC=BD=2,

:.EG=FG=1,

■：EF=42,EF-=EG2+FG2,:.EG±FG,

:.BDVEG,

•/ZfiDC=90°,/.BD±CD,

EG^CD=G,8£)_L平面ACD.

20.证明：(I)•.•抬_L底而ABC£),:.PAYCD,又ACJ_CD,PA^\AC=A,

故C£)_L平面PAC.

又AEu平面"C,:.CD±AE.

(II)由题意：AB1AD,

：.ABL^^PAD,从而AB_LP£>.

乂AB=BC,