2023-2024学年浙江省湖州市高一（下）期末数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2023-2024学年浙江省湖州市高一（下）期末数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知a，b是两个单位向量，则下列结论正确的是(

)A.a=±b B.a/​/b C.2.已知复数z满足(1−i)z=3+i(i为虚数单位)，则z−在复平面内对应的点位于(

)A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限3.已知圆锥的母线长为22，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的底面半径为(

)A.3 B.2 C.24.设m，n是两条直线，α，β是两个平面，则下列命题为真命题的是(

)A.若m⊥α，n⊥β，m/​/n，则α⊥β

B.若α∩β=m，n/​/α，n/​/β，则m/​/n

C.若m⊂α，n⊂β，m/​/n，则α/​/β

D.若α⊥β，m/​/α，n/​/β，则m⊥n5.如图所示的频率分布直方图呈现右拖尾形态，则根据此图作出以下判断，正确的是(

)A.众数<中位数<平均数

B.众数<平均数<中位数

C.中位数<平均数<众数

D.中位数<众数<平均数6.在正方体ABCD−A1B1C1D1中，E是CA.0 B.12 C.3107.湖州东吴国际双子大厦是湖州目前已建成的第一高楼，也被称为浙北第一高楼，是湖州的一个壮观地标.如图，为测量双子大厦的高度CD，某人在大厦的正东方向找到了另一建筑物，其高AB约192m，在它们之间的地面上的点M(B,M,D共线)处测得建筑物顶A、大厦顶C的仰角分别为45°和60°，在建筑物顶A处测得大厦顶C的仰角为15°，则可估算出双子大厦的高度CD约为(

)

A.284m B.286m C.288m D.290m8.已知△ABC是锐角三角形，若sin2A−sin2B=sinBsinC，则A.(0,2) B.(2,3)二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.某学校为了丰富同学们的课外活动，为同学们举办了四种科普活动：科技展览、科普讲座、科技游艺、科技绘画.记事件A：只参加科技游艺活动；事件B：至少参加两种科普活动；事件C：只参加一种科普活动；事件D：一种科普活动都不参加；事件E：至多参加一种科普活动，则下列说法正确的是(

)A.A与D是互斥事件 B.B与E是对立事件

C.E=C∪D D.A=C∩E10.若复数z，w均不为0，则下列结论正确的是(

)A.|z+w|=|z|+|w| B.|z−w−|=|z−−11.如图，一张矩形白纸ABCD，AB=4，AD=42，E，F分别为AD，BC的中点，BE交AC于点M，DF交AC于点N.现分别将△ABE，△CDF沿BE，DF折起，且点A，C在平面BFDE的同侧，则下列命题正确的是(

)

A.当平面ABE/​/平面CDF时，AC/​/平面BFDE

B.当A，C重合于点P时，PD⊥平面PFM

C.当A，C重合于点P时，三棱锥P−DEF的外接球的表面积为24π

D.当A，C重合于点P时，四棱锥P−BFDE的体积为8三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.已知事件A和事件B相互独立，且P(A)=12，P(B)=34，则P(A13.已知向量a=(4,3)，b=(2,4)，则b在a上的投影向量的坐标是______．14.已知四面体A−BCD中，棱BC，AD所在直线所成的角为60°，且BC=4，AD=3，∠ACD=120°，则四面体A−BCD体积的最大值是______．四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

若某袋中有5个大小质地完全相同的球，其中2个红球、3个黄球.从中不放回地依次随机摸出2个球，记事件A=“第一次摸到红球”，事件B=“第二次摸到红球”．

(1)求P(A)和P(B)的值；

(2)求两次摸到的不都是红球的概率．16.(本小题15分)

在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，(2b−c)cosA=acosC．

(1)求A；

(2)若△ABC的面积为3，BC边上的高为1，求△ABC的周长．17.(本小题15分)

某学校组织“防电信诈骗知识”测试，随机调查400名学生，将他们的测试成绩(满分100分)的统计结果按[50,60)，[60,70)，…，[90,100]依次分成第一组至第五组，得到如图所示的频率分布直方图．

(1)求如图中x的值；

(2)估计参与这次测试学生的成绩的平均数(同一组中的数据用该组区间的中点值为代表)和第60百分位数；

(3)现从以上第三组、第四组和第五组中参与测试的学生用分层随机抽样的方法选取15人，担任学校“防电信诈骗知识”的宣传员.若这15名学校宣传员中来自第三组学生的测试成绩的平均数和方差分别为75和5，来自第四组学生的测试成绩的平均数和方差分别为85和10，来自第五组学生的测试成绩的平均数和方差分别为93和5.2，据此估计这次第三组、第四组和第五组所有参与测试学生的成绩的方差．18.(本小题17分)

如图，在四棱台ABCD−A1B1C1D1中，底面ABCD为菱形，且∠ABC=60°，AA1=BB1=CC1=1，侧棱BB1与底面ABC所成角的正弦值为63.若球O与三棱台ABC−A1B19.(本小题17分)

已知函数f(x)=|x−1x|−(x−a)，a∈R．

(1)写出函数f(x)的单调区间；

(2)若函数f(x)有两个不同零点，求实数a的取值范围；

(3)已知点A(x1,2)，B(x2,2)是函数参考答案1.D

2.D

3.B

4.B

5.A

6.D

7.C

8.B

9.ABC

10.BCD

11.AC

12.1813.(1614.3215.解：(1)将两个红球编号为1，2，三个黄球编号为3，4，5，

第一次摸球时有5种等可能的结果，对应第一次摸球的每个可能结果，

第二次摸球时都有4种等可能的结果，

将两次摸球的结果配对，组成20种等可能的结果，

第一次摸到红球的可能结果有8种，即A={(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(2,1)，(2,3)，(2,4)，(2,5)}，

∴P(A)=820=25．

第二次摸到红球的可能结果也有8种，即B={(2,1)，(3,1)，(4,1)，(5,1)，(1,2)，(3,2)，(4,2)，(5,2)}，

∴P(B)=820=25．

(2)事件AB=”两次摸到都是红球“包含2个可难结果，即AB={(1,2)，(2,1)}，

16.解：(1)因为(2b−c)cosA=acosC，

由正弦定理，得(2sinB−sinC)cosA=sinAcosC，

即2sinBcosA=sinAcosC+sinCcosA=sin(A+C)=sinB，

因为在△ABC中，sinB≠0，

所以cosA=12．

又因为0<A<π，所以A=π3；

(2)因为△ABC的面积为3，BC边上的高为1，

所以12bcsinA=12a×1=3，得a=23．

即12bc×32=3，所以bc=417.解：(1)由题意得(x+0.015+0.02+0.03+0.025)×10=1，解得x=0.01．

(2)参与测试学生的成绩平均数为：

u−=10×(55×0.01+65×0.015+75×0.02+85×0.03+95×0.025)=79.5，

第60百分位数为80+0.6−0.450.75−0.45×10=85．

(3)设第三组，第四组，第五组测试学生成绩的平均数和方差分别为x3−，x4−，x5−，s32，s42，s52，

且三组的频率之比为4：6：5，

18.解：(1)证明：设A1C1与B1D1、AC与BD分别交点E，F，连接EF，

因为底面ABCD为菱形，所以AC⊥BD，

在等腰梯形A1C1CA中，因为E，F为底边中点，

所以AC⊥EF，又EF与BD相交，

∴AC⊥平面B1D1DB；

(2)由(1)可知平面ABCD⊥平面B1D1DB，又平面ABCD∩平面B1D1DB=BD，

过点B1作B1H⊥BD于H，则B1H⊥平面ABCD，再作HG⊥BC于G，

则由三垂线定理得B1G⊥BC，则∠B1GH是二面角B1−BC−A的平面角，

因为B1H⊥平面ABCD，故∠B1BH是侧棱BB1与底面ABC所成角，

所以sin∠B1BH=63，

在Rt△B1BH中，B1H=BB1sin∠B1BH=63，BH=BB1cos∠B1BH=33，

在Rt△BGH，GH=BHsin30°=36，

在Rt△B1GH中，tan∠B1GH=B1HGH=6336=219.解：(1)f(x)=|x−1x|−(x−a)=−1x+a,−1<x<0,x>0−2x+1x+a,x≤−1,0<x≤1，

则f(x)的单调递增区间是(−1,0)，(1,+∞)，

单调递减区间是(−∞−1)，(0,1)．

(2)函数f(x)在(−∞,−1)单调递减，在(−1,0)单调递增，

故f(x)在(−∞,0)的最小值为f(−1)=a+1，

同理，f(x)在(0