2023-2024学年云南省昆明八中高二（下）月考数学试卷（二）（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2023-2024学年云南省昆明八中高二（下）月考数学试卷（二）一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.设集合U={x∈Z|x2≤4}，A={1,2}，则∁A.[−2,0] B.{0} C.{−2,−1} D.{−2,−1,0}2.已知z=(1+i)41−i，则zA.2i B.−2i C.−2 D.23.已知sin(π3−α)=1A.58 B.−78 C.−4.已知圆O：x2+y2=5，直线l经过点(1,2)，且l与圆O相切，则A.x+2y−5=0 B.x−2y+3=0 C.2x−y=0 D.2x+y−4=05.已知F1，F2为双曲线x24−y23=1的左，右焦点，过点F2A.2 B.3 C.4 D.6.球面被平面所截得的一部分叫做球冠(如图).球冠是曲面，是球面的一部分.截得的圆叫做球冠的底，垂直于截面的直径被截得的一段叫做球冠的高.阿基米德曾在著作《论球与圆柱》中记录了一个被后人称作Aretiintedes′Hat−Box Tℎeorem”的定理：球冠的表面积=2πRℎ(如右上图，这里的表面积不含底面的圆的面积).某同学制作了一个工艺品，如右下图所示.该工艺品可以看成是一个球被一个棱长为4的正方体的六个面所截后剩余的部分(球心与正方体的中心重合)，即一个球去掉了6个球冠后剩下的部分.若其中一个截面圆的周长为2π，则该工艺品的表面积为(

)

A.20π B.(245−34)π C.16π7.已知函数f(x)=2xlnx−ax2，若对任意的x1，x2∈(0,+∞)，当x1>xA.[12e,+∞) B.[1,+∞) C.[8.给定一个正整数n(n≥3)，从集合Ω={1,2,3,⋯,n}中随机抽取一个数，记事件A=“这个数为偶数”，事件B=“这个数为3的倍数”.下列说法正确的是(

)A.若n=6k，k∈N∗，则至少存在一个n，使事件A和事件B不独立

B.若n≠6k，k∈N∗，k∈N∗，则存在无穷多个n，使事件A和事件B独立

C.若n为奇数，则至少存在一个n，使事件A和事件B独立

D.若n为偶数，则对任意的二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<π2)的部分图象如图所示，下列说法正确的是(

)A.ω=2

B.函数y=f(x−π6)为偶函数

C.函数y=f(x)的图象关于直线x=−5π12对称

D.函数y=f(x)

10.在正方体ABCD−A1B1C1D1A.∠EBF为钝角

B.AD1⊥A1C

C.ED/​/平面B1D11.直线l经过抛物线C：y2=4x的焦点，且与抛物线C相交于A(x1,yA.x1x2=1，y1y2=−4 B.直线l的斜率为1时，AB=22

C.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.(x−1x13.数论领域的四平方和定理最早由欧拉提出，后被拉格朗日等数学家证明.四平方和定理的内容是：任意正整数都可以表示为不超过四个自然数的平方和，例如正整数12=32+12+12+12=22+14.函数f(x)=cosπx,0<x<ax2−4ax+8,x≥a，当a=1时，f(x)的零点个数为

；若f(x)恰有4个零点，则a四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

某公司为招聘新员工设计了一个面试方案：应聘者从6道备选题中一次性随机抽取3道题，按照题目要求独立完成．规定：至少正确完成其中2道题便可通过．已知6道备选题中应聘者甲有4道题能正确完成，2道题不能完成；应聘者乙每题正确完成的概率都是23，且每题正确完成与否互不影响．

(Ⅰ)求甲恰好正确完成两个面试题的概率；

(Ⅱ)求乙正确完成面试题数η的分布列及其期望．16.(本小题15分)

如图，三棱锥A−BCD中，DA=DB=DC，BD⊥CD，∠ADB=∠ADC=60°，E为BC中点．

(1)证明BC⊥DA；

(2)点F满足EF=DA，求二面角D−AB−F的正弦值．17.(本小题15分)

数列{an}的前n项和Sn满足Sn=nan+1−n2−n(n∈N∗)18.(本小题17分)

已知函数f(x)=lnx−axex．

(1)当a=1时，证明：f(x)有且仅有一个零点；

(2)当x>0时，f(x)≤x恒成立，求a的取值范围；

(3)证明：19.(本小题17分)

已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左右顶点分别为A1和A2，离心率为32，且经过点P(−2,3)，过点P作PH垂直x轴于点H.在x轴上存在一点A(异于H)，使得|AA2||AA1|=|HA2||HA1|．

(Ⅰ)求椭圆C的标准方程；

(Ⅱ)判断直线参考答案1.D

2.D

3.B

4.A

5.D

6.B

7.C

8.B

9.ACD

10.BCD

11.AD

12.15

13.28

14.1

；；(315.解：(Ⅰ)甲恰好完成两道题的概率P1=12C42CC63=35，

(Ⅱ)设乙正确完成面试的题数为η，则η取值分别为0，1，2，3，

η0123P16128E(η)=0×12716.证明：(1)连接AE，DE，

∵DB=DC，E为BC中点．

∴DE⊥BC，

又∵DA=DB=DC，∠ADB=∠ADC=60°，

∴△ACD与△ABD均为等边三角形，

∴AC=AB，

∴AE⊥BC，AE∩DE=E，

∴BC⊥平面ADE，

∵AD⊂平面ADE，

∴BC⊥DA．

(2)解：设DA=DB=DC=2，

∴BC=22，

∵DE=AE=2，AD=2，

∴AE2+DE2=4=AD2，

∴AE⊥DE，

又∵AE⊥BC，DE∩BC=E，

∴AE⊥平面BCD，

以E为原点，建立如图所示空间直角坐标系，

D(2,0,0)，A(0,0,2)，B(0,2,0)，E(0,0,0)，

∵EF=DA，

∴F(−2,0,2)，

∴DA=(−2,0,2)，AB=(0,2,−2)，AF=(−2,0,0)，

设平面DAB与平面ABF的一个法向量分别为17.证明：(1)由题意Sn=nan+1−n2−n(n∈N∗)①，

则当n≥2时，Sn−1=(n−1)an−(n−1)2−(n−1)②，

①−②，得an=nan+1−(n−1)an−2n，整理得nan=nan+1−2n，

即an+1−an=2；

当n=1时,S1=a1=1×a18.(1)证明：当a=1时，f(x)=lnx−xex，则f(x)=1x−1−xex=ex−x+x2xex．

令g(x)=ex+x2−x，则g′(x)=ex+2x−1>0在(0,+∞)上恒成立，则g(x)在(0,+∞)上单调递增，

则g(x)>g(0)=1，故f′(x)>0在(0,+∞)上恒成立，f(x)在(0,+∞)上单调递增．

因为f(1)=−1e<0，f(e)=1−eex>0，所以根据零点存在定理可知，f(x)有且仅有一个零点．

(2)解：当x>0时，f(x)≤x等价于a≥exlnx−xexx，

令ℎ(x)=exlnx−xexx，则ℎ′(x)=(x−1)(lnx−x−1)exx2，令φ(x)=lnx−x−1，则φ′(x)=1−xx，

当x∈(0,1)时，φ′(x)>019.解：(Ⅰ)因为椭圆C的离心率为32，

所以e2=1−b2a2=34，①

又点P在椭圆C上，

所以4a2+3b2=1，②

联立①②，

解得a2=16b2=4，

则椭圆C的标准方程为x216+y24=1；

(Ⅱ)不妨设A(x,0)，

因为AA2：AA1=HA2：HA1，

所以|x