2023-2024学年重庆外国语学校高一（下）月考数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2023-2024学年重庆外国语学校高一（下）月考数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.若cos(π2+2α)−4sinA.−2 B.−12 C.2 2.已知a，b是夹角为120°的两个单位向量，若向量a+λb在向量a上的投影向量为2a，则λ=A.−2 B.2 C.−233.已知α，β∈(0,π)，sin(α−β)=56，tanαtanβA.56π B.π C.764.已知非零向量a,b满足：向量a−b与向量b垂直，且向量a−4b与向量a垂直，则aA.π6 B.π4 C.π35.设向量a与b的夹角为θ，定义a⊕b=|asinθ+bcosθ|.已知向量a为单位向量，|A.22 B.2 C.6.如图，这是一半径为4.8m的水轮示意图，水轮圆心O距离水面2.4m，已知水轮每60s逆时针转动一圈，若当水轮上点P从水中浮出时(图中点P0)开始计时，则(

)

A.点P距离水面的高度ℎ(m)与t(s)之间的函数关系式为ℎ=4.8sin(π30t−π6)

B.点P第一次到达最高点需要10s

C.在水轮转动的一圈内，有10s的时间，点P距离水面的高度不低于4.8m

D.7.在锐角△ABC中，若sinA=2sinBsinC，则tanAtanBtanC的最小值为(

)A.4 B.6 C.8 D.108.正方形ABCD的边长为6，点E，F分别在边AD，BC上，且DE=EA，CF=2FB，如果对于常数λ，在正方形ABCD的四条边上(不含顶点)有且只有6个不同的点P，使得PE⋅PF=λ成立，那么λ的取值范围为A.(−3,−14) B.(−3,3) C.(−二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.下列说法不正确的是(

)A.若a≠0,b≠0,a//b，则a与b的方向相同或者相反

B.若a，b为非零向量，且a|a|=b|b|，则a与10.如图，顺次连接正五边形ABCDE的不相邻的顶点，得到五角星形状，则以下说法正确的是(

)A.AG+DE=0

B.AF⋅AJ11.设函数f(x)=cos((ωx−2π5)+3π2)(ω>0)，若f(x)的图象与直线y=−1A.ω的取值范围是[1920,3920)

B.f(x)在[0,2π]上有且仅有2个零点

C.若f(x)的图象向右平移π12个单位长度后关于y轴对称，则ω=65

D.若将f(x)三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.如图，动点P、Q从点A(4,0)出发沿圆周运动，点P按逆时针方向每秒钟转π3弧度，点Q按顺时针方向每秒钟转π6弧度，则P、Q第一次相遇时Q点走过的弧长为______．

13.设向量a、b满足|a|=1，|b|=2，且a、b的夹角为60°，若向量7a+2tb14.已知向量a,b满足|b|=2，a与b的夹角为60°，则当实数λ变化时，四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

计算求值：

(1)已知α、β均为锐角，sinα=17，cos(α+β)=5314，求sinβ16.(本小题15分)

已知a，b的夹角为60°，且|a|=1,|b|=2，设m=3a−b，n=ta+2b．

(1)若m⊥n，求实数t的取值；

(2)t=2时，求m17.(本小题15分)

已知m>0，n>0，如图，在△ABC中，点M，N满足AM=mAB，AN=nAC，D是线段BC上一点，BD=13BC，点E为AD的中点，且M，N，E三点共线．

(1)若点O满足2AO=OB+18.(本小题17分)

设函数f(x)=sin(2x−π6)+2cos2x−1(x∈R)．

(1)求函数f(x)的最小正周期；

(2)若不等式f2(x)+2acos(2x+π6)−2a−2<0对任意x∈(−π12,π6)时恒成立，求实数a应满足的条件；

19.(本小题17分)

如图，设Ox，Oy是平面内相交成θ角的两条数轴，e1，e2分别是与x轴、y轴同方向的单位向量．若向量OP=xe1+ye2，则把有序数对(x,y)叫做OP在斜坐标系Oxy中的坐标．

(1)若a=(1,2),b=(2,λ)，a/​/b，求λ；

(2)若θ=60°，a=(1,2)，b=(−1,1)，求a在b

参考答案1.C

2.A

3.C

4.C

5.C

6.D

7.C

8.C

9.CD

10.ABD

11.AC

12.8π313.(−7,−14.315.解：(1)α、β均为锐角，则0<α+β<π，

所以sin(α+β)=1−cos2(α+β)=1−(5314)2=1114，

cosα=1−sin2α=16.解：∵a，b的夹角为60°，且|a|=1,|b|=2，

∴a⋅b=|a||b|cos60°=1×2×12=1．

(1)由m⊥n，得m⋅n=(3a−b)⋅(ta+2b)=3t|a|2+(6−t)a⋅b−2|b|2

=3t+6−t−8=0，解得t=1；

(2)t=217.证明：(1)∵BD=13BC，

∴AD=AB+BD=AB+13(AC−AB)=23AB+13AC=13AB+16AC，

∵2AO=OB+OC，

∴2AO=OA+18.解：(1)f(x)=sin(2x−π6)+2cos2x−1=32sin2x−12cos2x+cos2x=32sin2x+12cos2x=sin(2x+π6)，

则函数f(x)的最小正周期T=2π2=π；

(2)设t=cos(2x+π6)，由x∈(−π12,π6)，可得2x+π6∈(0,π2)，则t∈(0,1)，

不等式f2(x)+2acos(2x+π6)−2a−2<0对任意x∈(−π12,π6)时恒成立，

即为−t2+2at−2a−1<0对t∈(0,1)恒成立，

即有2a>1+t2t−1=(t−1)+2t−1+2，

设g(t)=(t−1)+2t−1+2在(0,1)递减，可得g(t)∈(−∞,−1)，

所以2a≥−1，即a≥−1