矩阵分析 课件 第6章 矩阵函数

第6章矩阵函数6.1矩阵的微分与积分1函数矩阵的微分与积分A(t)关于纯变量t的积分为定义6.1

以变量的函数为元素的矩阵称为函数矩阵，其中都是变量的函数。若每个在上连续、可微、可积，在上是连续、可微、可积的。当可微时，规定其导数为或

则称例6.1求下述函数矩阵对变量t的导数解：例6.2

设，求解：（A(t)可以纯量函数，也可以为函数矩阵）定理6.1求导法则定理6.2

设与是区间，A与B是适当阶数的常数矩阵，则积分法则上适当阶数的可积矩阵，2数量函数对矩阵变量的导数定义6.2设是阶变量矩阵，设为mn元可微的数量函数，定义函数f(X)关于变量矩阵X的导数为梯度变量矩阵为m维向量，则函数f（X）关于X的导数，即为f对X的梯度，即例6.3

设矩阵解

所以例6.4

设矩阵解

所以又所以都为n维向量，例6.5

因为解

所以3矩阵值函数对矩阵变量的导数定义6.3设

是阶变量矩阵，设为的矩阵函数，定义函数F(X)关于变量矩阵X的导数为其中例6.6

设求解

例6.7解

因为所以为n维列向量，例6.8解

本节小结010203函数矩阵的微分与积分数量函数对矩阵变量的导数矩阵值函数对矩阵变量的导数P125

：1;2;3;4预习：6.2节本节作业第6章矩阵函数6.2矩阵序列的极限1矩阵序列的极限设是向量空间中的无穷序列，记为的(i,j)元记为定义6.4

设为矩阵序列，若极限均存在，则称矩阵序列{}收敛于矩阵A，记为否则，称为发散序列例的极限为例向量序列所以定理6.3（任一种矩阵范数）先取证明范数所以的充分必要条件是又由范数的等价性知故的充分必要条件是推论证明矩阵序列的性质

2收敛矩阵

定理6.4定义6.5收敛矩阵证明（必要性）已知为收敛矩阵，则由谱半径的性质，有即有故（充分性）已知则存在正数，使得，根据定理5.12，存在矩阵范数，使得从而由得，故推论例6.9判断下列矩阵是否为收敛矩阵（1）可求得（2）因为，所以A是收敛矩阵。，所以A是收敛矩阵。本节小结0102矩阵序列的极限收敛矩阵P125

：5-6预习：6.3节本节作业第6章矩阵函数6.3矩阵级数与幂级数1矩阵级数定义6.6例6.10

已知的敛散性。研究矩阵级数解

因为所以定义6.7就是绝对收敛的级数。定理6.5定理6.62矩阵幂级数的矩阵级数称为矩阵幂级数。定义6.8定理6.7推论例6.11

讨论下列级数的收敛性解

令可求得A的特征值为于是的收敛半径为6故幂级数绝对收敛定理6.8例6.12

已知，判断矩阵幂级数的敛散性。若收敛，试求其和。解

可求得所以，收敛。且例6.13

判断敛散性解

记则

而幂级数和都收敛所以矩阵原幂级数收敛本节小结0102矩阵级数幂级数P125

：7-9预习：6.4节本节作业第6章矩阵函数6.4矩阵函数1定义定义6.9设幂级数的收敛半径为R，其和函数为f(z)，即定义方阵函数如果把矩阵函数的变元A换成At，其中t为参数，则相应得到含参数的矩阵函数。常见的方阵函数含参的方阵函数若，则（t为参数）2计算方法3.用Jordan标准形计算法1.利用H—C定理2.利用相似对角化4.待定系数法利用H—C定理

例6.14解由Cayley-Hamilton定理知从而故例6.15解所以即从而利用相似对角化条件：可对角化方法：

例6.16解所以对应的特征向量为从而对应的特征向量为故用Jordan标准形计算法例6.17

设求解特征矩阵的行列式因子是于是A的不变因子为故A的Jordan标准形为下面求P，使那么定理6.9

设是A的n个特征值，则矩阵函数的特征值为待定系数法由下列条件确定为的代数重数利用特征（最小）多项式+H—C定理Step1Step2Step3思想：例6.18解设解得则由故由解得故例6.19设可依次求得解得解设例6.20计算设可依次求得解可求得最小多项式3性质（1）（2）定理6.10证（2）提示：定理6.11若则推论定理6.12定理6.13提示：定理6.14本节小结0102矩阵函数的定义与常见的矩阵函数矩阵函数的计算方法02矩阵函数的性质P125

：10-13预习：6.5节本节作业第6章矩阵函数6.5

矩阵函数在微分方程组中的应