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第7章矩阵的广义逆7.1矩阵的{1}逆1矩阵的广义逆定义7.1

设，若存在，使得下列

AGA=A;

GAG=G;(AG)H=AG;(GA)H=GA.的某几个成立，则称矩阵G为矩阵A的广义逆。若4条均满足，记为A+，简记为M-P广义逆或加号逆(Moore-Penrose)其他逆的记号注：定理7.1设且有和n阶置换矩阵P，则对任意nm阶矩阵属于A的{1}逆，当L=0时，属于{1，2}逆注意维数2矩阵的{1}逆例7.1已知求解：A的Hermite标准形H和所用的变换矩阵S为取四阶置换矩阵则：定理7.2设则推论

证

令直接验证AGA=A即可。另一方面，若G为A的一个{1}逆，设带入AGA=A即可定理7.33矩阵{1}逆的应用定理7.4A，B，D的阶数适当，则通解为

(Y适当阶数的任意矩阵)（7.2）推论1推论2

例7.2

用广义逆矩阵求解线性方程组解

令例7.1已求得容易验证所以线性方程组有解，且通解为本节小结010203矩阵的广义逆矩阵的{1}逆{1}逆在方程组中的应用P134

：1预习：7.2节本节作业第7章矩阵的广义逆7.2矩阵的加号逆1矩阵的加号逆的计算定义设，若存在，使得

AGA=A;

GAG=G;(AG)H=AG;(GA)H=GA.则称矩阵G为矩阵A的Moore-Penrose广义逆，记为A+，简记为M-P广义逆或加号逆。定理7.5

设则A的加号逆存在且唯一。若奇异值分解为则加号逆为证

设若r=0,则零矩阵为A的加号逆。若由定理4.16，存在m阶酉矩阵U和n阶酉矩阵V，使得易验证G满足四个Penrose方程。再验证唯一性。设满足四个Penrose方程，则，定理7.6

求A的满秩分解：求矩阵的M-P广义逆的方法：A=FG则推论当rankA=m当rankA=n证：用定义即可例7.3

求矩阵的加号逆解：A的满秩分解为则2矩阵加号逆的性质定理7.7：设，则(1)(A+)+=A;(2)(A+)H=(AH)+;(3)(A)+=

+A+;(4-5)rankA=rankA+=rankA+A=rankAA+;(6)A+=(AHA)+AH=AH(AAH)+;(7)(AHA)+=A+(AH)+；(AAH)+=(AH)+A+(8)若UHU=Im，VHV=In，则(UAV)+=VHA+UH;(9)AA+=ImrankA=m.（10）A+A=InrankA=n.3矩阵加号逆的应用在实际问题中，当线性方程组有解时，常需求出线性方程组的无穷多个解中2-范数最小的解，即极小范数解。定理7.8设，若线性方程组Ax=b是相容的，则唯一极小范数解其通解是则当且仅当即rankA=n时解唯一。定理7.9设，则方程组Ax=b的全部最小二乘解是定义设，若存在，使得则称是方程组Ax=b的最小二乘解。极小范数最小二乘解推论1

设，则是矛盾方程组的最小二乘解的充分必要条件是，是方程组的解。推论2

设，则是矛盾方程组的最小二乘解的充分必要条件是，是方程组

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