矩阵分析 课件全套 第1-7章 线性空间与线性变换 -矩阵的广义逆

矩阵分析矩阵理论是一门具有高度实用价值的数学理论。在现代工程技术中有广泛的应用。算法处理，系统工程，优化方法，现代控制理论，自动化技术，稳定性理论等，都与矩阵理论有着密切联系。矩阵理论在内容上也在不断更新和发展。本课程将介绍矩阵理论中最经典的一部分。它是线性代数课程的继续和深化。为了学好这门课程，希望同学们好好复习一下线性代数，特别向量、矩阵、二次型的相关内容。第1章线性空间与线性变换1.1线性空间1、线性空间的概念与性质定义1.1

设是一个非空集合，是一个数域，在集合

中定义两种运算：“加法”运算,“数乘”运算。如果对于这两种运算封闭，且这两种运算满足下列八条运算律：实数域复数域运算的结果是V中的元素则称为数域上的线性空间。(1)

加法交换律(2)

加法结合律

(3)

零元素

在中存在一个元素，使得对任意,都有(4)负元素

对于中任意元素都存在一个

元素使得(5)(6)数乘结合律(7)

数乘关于数分配率(8)数乘关于元素分配率例1

为实数域上的线性空间，为复数域上的线性空间。例2

复数域上的全体矩阵构成的集合为上的线性空间。按向量的加法和数乘运算按矩阵的加法和数乘矩阵线性空间向量空间（复矩阵空间）

例3

实数域上次数不超过的一元多项式

全体

构成实数域上的线性空间。例5

全体正实数的集合，定义加法与数乘：构成线性空间。

例4

闭区间上全体连续实函数组成的集合

构成实数域上的线性空间。按多项式的加法和数乘运算按函数的加法和数乘运算

例6

数域上全体维向量组成的集合，对于向量加法及如下定义的数乘运算不构成线性空间。(5)性质1：零元素是唯一的。性质2：任意元素的负元素是唯一的。性质3：性质4：定义1.2

设是数域上的线性空间，为中的一组元素,如果存在中一组数

使得则称可由线性表示，或是的线性组合。2、元素组的线性相关性定义1.3

如果存在中不全为零的数

使得则称线性相关；否则称线性无关。定义1.4

设是数域上的线性空间，若(I)中每个元素都可由(II)中元素线性表示,则称组(I)可由组(II)线性表示；若组(I)与组(II)可以互相线性表示，则称组(I)与组(II)等价。

是中两个元素组，元素组的极大无关组，秩等概念自行复习性质

元素组（当时）线性相关的充分必要条件是中至少有一个向量可由其余个元素线性表示。性质极大（线性）无关组性质：

含有零向量的向量组一定线性相关；整体无关部分无关；部分相关整体相关；如果含有向量多的向量组可以由含有向量少的向量组线性表出，那么含有向量多的向量组一定线性相关；向量组的秩是唯一的，但是其极大线性无关组并不唯一；如果向量组

(I)可以由向量组(II)线性表出，那么向量组(I)的秩向量组(II)的秩；等价的向量组秩相同。本节小结010203线性空间的概念线性空间的性质元素组的线性相关性注意：复习线性代数课程中对应的内容线性空间与向量空间的关系P26

：1;2;3;4预习：1.2节；1.3节本节作业1.2线性空间的基、维数与坐标定义1.51、基、维数与坐标零空间的维数规定为0；有限维线性空间无限维线性空间；线性空间的基不唯一。定义1.6方程解唯一在n维线性空间中，显然是的一个基，且，向量在这个基下的坐标就是它的分量。

例7

在线性空间中，求向量在基

下的坐标。

例8

解设在所给基下的坐标为则即于是解得,所以在所给基下的坐标为

。在线性空间中,设是第i行第j列元素为1，其余元素都为0的矩阵，则是的一个基，且，矩阵在这个基下的坐标就是它的元素()。

例9

*例10

取的简单基则在该基下的坐标分别为：可求得该向量组的秩为2，且是一个极大无关组。故矩阵组秩为2，且是一个极大无关组。求中矩阵组的秩和极大无关组。

例11

解定义1.7

设是数域上的n维线性空间，及是的两个基，且表示为2、基变换与坐标变换公式一个线性空间的基不是唯一的，线性空间中的元素在不同基下的坐标一般也不相同。将上式矩阵化可以得到下面的关系式：其中称上式为基变换公式，称矩阵P为由基到基的过渡矩阵，过渡矩阵P显然是可逆的。设由线性空间的基到基的过渡矩阵为P，中的元素在基下的坐标为，在基下的坐标为

，则有坐标变换公式定理1.1或证设及是线性空间的两个基，求

例12

解由即从而(1)由基到基的过渡矩阵；(2)已知向量x在基下的坐标为，求x在基下的坐标。(1)设及是线性空间的两个基，求

例12

解向量x在基下的坐标为(1)由基到基的过渡矩阵；(2)已知向量x在基下的坐标为，求x在基下的坐标。(2)在线性空间中，求在基下的坐标。

例13

解取的简单基，则在简单基下坐标为。设简单基到基的过渡矩阵为P，则所以在基下的坐标为在线性空间中取定两个基(I)：

及(II)：求由基(I)到基(II)的过渡矩阵。

例14

解设，取的简单基，则可求得其中于是故

*例15

本节小结0102线性空间的基、维数、坐标的概念过渡矩阵、基变换、坐标变换公式注意：复习向量在给定基下坐标的含义理解过渡矩阵求法03利用公式求坐标P27

：5;6;7;8预习：1.3节；1.4节本节作业定义1.8

设是数域上的线性空间，是的一个非空子集。如果对于中所定义的加法与数乘运算也构成数域上的线性空间，则称为的线性子空间，简称子空间。1.3线性子空间1、子空间的概念平凡子空间(假子空间)

:非平凡子空间(真子空间)定理1.2

线性空间的非空子集是的子空间的充分必要

条件是：对于中定义的加法与数乘运算封闭，即(1)如果

则(2)如果

则证必要性是显然的。下证充分性。已知W对于V的加法与数乘运算封闭。由于W中的元素均是V中的元素，所以线性空间定义中的运算律(1)、(2)、(5)~(8)均成立。又设，由于故运算律(3)与(4)也成立，故W是一个线性空间。证毕。例16

取线性空间的子集

，

证明是的子空间，并求其维数。证因为所以非空。对任意有从而即又对有即故是的子空间。取中的个矩阵容易证明该矩阵组线性无关，且对任意有故定理1.3

设是数域上的线性空间，在中任意取定m个元素，构造子集则是的子空间，称为由元素组生成的子空间，记为证由于所以非空。对任意，有由于故W是V的子空间。证毕。定理1.3

设是数域上的线性空间，在中任意取定m个元素，构造子集则是的子空间，称为由元素组生成的子空间，记为有限维线性空间是由它的基生成的子空间结论1

的维数等于元素组的秩，且的极大无关组是该生成子空间的基。结论2

设和是线性空间

V的两组元素，若可由线性表示，则。若与等价，则例17

设求的基与维数。解将矩阵化为阶梯形矩阵，即可知线性无关，且所以为的基，.例18

在线性空间中，求由矩阵

生成的子空间的基与维数。解例11中已求得矩阵组的秩为2，且是一个极大无关组,故的维数为2，且是它的一个基。定理1.4

（基的扩充定理）线性空间的m维子空间W

的任何一个基都可以扩充成V的一个基。证设是W的一个基，对维数差作归纳法。当时，，此时已是V的一个基。假定时定理成立，考虑的情形。因为且线性无关，但又不是V的基，故有且不能由线性表示，因而线性无关。由于是V的m+1维子空间，且由归纳假设知可以扩充成V的基，故可以扩充成V的基。定义1.9

设是数域

上的线性空间，是的两个子空间，记称为与

的交空间。记称为与的和空间。2、子空间的交与和、直和是的子空间是的子空间不一定是的子空间是的子空间证由得,所以非空。其次，对任意,有且，而是子空间，所以，，从而

；又对任意，有且从而，即构成的子空间。同样地，对任意，有即构成的子空间。对任意,有，其中因为所以非空。是的子空间证从而；由于是子空间,所以不一定是的子空间令,因为设取使线性无关。反例即所以但对加法不封闭，不是子空间。例19

设与是数域

上线性空间V的两个元素组，则证由子空间和的定义，有例20

设的两个子空间为解将表示为生成子空间。容易求得方程试将表示为生成子空间，并求它的一个基与维数。的基础解系为：解它们对应着的一个基于是，根据例19，有对应的向量为容易求得的一个极大无关组为所以矩阵的极大无关组为，它们即的一个基，且。定理1.5

（维数定理）设是数域上的线性空间，是的两个子空间，则

证设只需证明如果取的一个基，它可以扩充为的一个基也可以扩充成的一个基即所以由上式第一个等号知，由第二个等号知，于是，故可令定理1.5

（维数定理）设是数域上的线性空间，是的两个子空间，则

证因此，只需证明线性无关即可。设令因此定理1.5

（维数定理）设是数域上的线性空间，是的两个子空间，则

证即由于线性无关，所以因而，从而由于线性无关，又可得这就证明了线性无关，定理1.5

（维数定理）设是数域上的线性空间，是的两个子空间，则

证因而它是的一个基，的维数是如果，即，取的基和的基，同样可证是的基。即证明了维数公式。证毕。定义1.10

设是线性空间的两个子空间，若

，则称的和空间是直和，记为。定理1.6

设是线性空间的两个子空间，下列命题等价(1)是直和;(2)中每个元素分解为

的方法是唯一的；若

是的基，

是的基，则

是的基；(4)定理1.6

设是线性空间的两个子空间，下列命题等价(1)是直和;(2)中每个元素分解为

的方法是唯一的；证设是直和，则。若的分解式不唯一，于是有其中，从而。但所以这与矛盾，故(2)成立。令则假设它们线性相关，则内存在不全为零的数定理1.6

设是线性空间的两个子空间，下列命题等价(2)中每个元素分解为

的方法是唯一的；若

是的基，

是的基，则

是的基；证显然只需证元素组线性无关。使得因此有两种不同的分解式，此与(2)矛盾，故(3)成立。定理1.6

设是线性空间的两个子空间，下列命题等价(1)是直和;若

是的基，

是的基，则

是的基；(4)证由(3)可知于是有(4)成立。由维数定理可得因此。证毕。例

三维线性空间的三个子空间：则不是直和，因为中有向量分解式不唯一：但是直和，因为当有若还有另一种表示方法易知，故中每个向量分解式唯一，从而是直和。交与和、直和等概念可以推广到多个子空间的情形。若一个线性空间可分解成若干个子空间的直和，那么对整个线性空间的研究可以归结为对若干个较简单的子空间的研究。本节小结010203子空间的概念与判定方法子空间的判定方法子空间的交、和、直和的概念注意：理解基的扩充定理含义理解维数定理P27

：10;11;13预习：1.4节本节作业定义1.11

设与是任意两个非空集合，如果按某一规则，使对于每个，都有一个确定的元素与之对应，则称为集合到的一个映射，记为。与的对应记为，称为在映射下的像，而称为在映射下的一个原像。如果对任意，当时，有，则称是单射（或一对一的）；如果对任意

都有使得，则称是满射（或映上的）；如果既是单射又是满射，则称是双射（或一一对应的）。由集合

S到

S自身的映射称为S上的一个变换。1.4线性变换1、线性映射的概念函数是映射的一个特殊情形.例21

是全体整数的集合，是全体偶数的集合，定义

则是

到的一个映射，它是一一对应的。例22

对任意，定义，因为不同的矩阵行列式可以相等，所以不是到的单射；对于任意实数，一定存在一个对角阵使所以是到的一个满射。例23

记是数域

上的次数不超过n的多项式全体，设映射，对任意是线性映射，即多项式求导运算是线性映射。定义1.12

设是与的一个映射，如果对任意和

，都有则称是到的一个线性映射。定义1.13

线性空间到自身的线性映射称为的线性变换。即：是数域

上的线性空间，是

到自身的一个映射，如果对任意和，都有

则称是

的一个线性变换。2、线性变换的概念与性质例24

线性空间的恒等变换（或单位变换）和零变换：

都是线性变换。例25

设是数域

上的线性空间,变换即不难验证，是的一个线性变换，称此变换为倍数变换（或放大变换）。例26

由关系式

确定的变换是坐标系绕原点沿逆时针方向旋转角的旋转变换，不难验证，旋转变换是线性变换。例27

在线性空间中，求证微分的变换

是一个线性变换。例28

在线性空间中，求证积分的变换

是一个线性变换。例29

取定矩阵定义的变换

由于对任意

有可见，当时,不是线性变换；当时,是线性变换。性质(1);若

则

(3)线性相关的元素组经过线性变换后，仍保持线性相关；

若线性相关，则存在不全为零的数

使于是故也线性相关。线性变换能将线性无关的元素组变成线性相关的元素组。零变换(4)如果线性变换是一个单射（或一对一的），线性无关的元素组经过线性变换后，仍保持线性无关。若线性无关，设则有，由于是单射，从而由线性无关知，故也线性无关。(3)线性相关的元素组经过线性变换后，仍保持线性相关；

性质(1);若

则

定义1.14

设是数域上的

n维线性空间，是的一个基，是的线性变换，基的像可以唯一地由基线性表示为

称矩阵

为在基下的矩阵。3、线性变换的矩阵例定理1.7

设线性空间的线性变换

T在基下的矩阵为A，如果中元素在基下的坐标为

在基下的坐标为则证根据定理的假设，有所以定理1.7

设线性空间的线性变换

T在基下的矩阵为A，如果中元素在基下的坐标为

在基下的坐标为则证由元素坐标的唯一性，得证毕。例30

在中线性变换T将基变为求：(1)

T在基下的矩阵；(2)向量及在基下的坐标。解设T在基下的矩阵为A，即又故从而(1)

解设，即解得所以在基下的坐标为设在基下的坐标为，则

(2)

例30

在中线性变换T将基变为求：(1)

T在基下的矩阵；(2)向量及在基下的坐标。例31

设的线性变换为取的基则

T在此基下的矩阵为

如果取的基则有

T

在基下的矩阵为线性变换所对应的矩阵与所取的基有关定理1.8

设和为线性空间的两个基，且由基到基的过渡矩阵为P，中的线性变换

T在这两个基下的矩阵分别为A和B，则即同一线性变换在不同基下的矩阵是相似的，且相似变换矩阵就是两个基之间的过渡矩阵。证根据定理的假设，有于是证毕。由于线性变换T在这个基下的矩阵是唯一的，故。例32

在中,线性变换为微分运算D,求D在基

下的矩阵。解取的简单基则设D在简单基下的矩阵为A,由得

设由简单基到基的过渡矩阵为P，由得，例32

在中,线性变换为微分运算D,求D在基

下的矩阵。解取的简单基则设D在简单基下的矩阵为A,由得

设由简单基到基的过渡矩阵为P，由得，所以D在此基下的矩阵为例33

设的线性变换

T把基变为基

分别求T在两个基下的矩阵。解取的简单基则有

其中

于是其中即T在基下的矩阵为P，又有

故T在基下的矩阵也是P。例33

设的线性变换

T把基变为基

分别求T在两个基下的矩阵。解由假设有，从而例34

给定的一个基及线性变换其中

求

T在基下的矩阵。解设即

解得，即为在基下的坐标。法(1)

解同理在基下的坐标分别为

于是T在基下的矩阵法(1)

例34

给定的一个基及线性变换其中

求

T在基下的矩阵。解取的简单基设由基到基的过渡矩阵为

P

则即得法(2)

例34

给定的一个基及线性变换其中

求

T在基下的矩阵。解而同理可得则T在简单基下的矩阵为

法(2)

例34

给定的一个基及线性变换其中

求

T在基下的矩阵。解而同理可得则T在简单基下的矩阵为于是T在基下的矩阵为法(2)

例34

给定的一个基及线性变换其中

求

T在基下的矩阵。例35

密码学以研究秘密通信为目的。密码法是信息编码与解码的技巧，其中的一种是使用线性变换的方法。先在不同字母与数字间建立一一对应关系，例如如要发信息“design”，使用上述代码，则明码为4,5,19,9,7,14，它可以写成向量现选取一可逆矩阵

定义线性变换则

在此变换下原明码就变成了密码31,14,13,51,21,25,收到此信息后利用逆变换进行解码，即可以得到原信息。abcdefghijkl

mnopqrstuvwxyz123456789101112

13141516171819202122232425264、线性变换矩阵的化简例36

已知的线性变换求的一个基，使

T在该基下的矩阵为对角矩阵。解由于所以T在基下的矩阵为可求得使由得的基且

T在基下的矩阵为对角阵。注：对于任一线性变换

T，并不是总能找到线性空间的一个基，使得

T在该基下的矩阵为对角矩阵。

为了使得线性变换在基下的矩阵尽可能简单，可考虑线性变换在某个基下的矩阵为Jordan矩阵的问题，这是第三章将要介绍的内容。本节小结010203线性映射、线性变换的概念与判定线性变换的性质线性变换的矩阵及其化简注意：熟练线性变换的判定方法同一线性变换在不同基下的矩阵的关系P28：14;15;17复习本章本节作业第2章内积空间线性空间中，元素间的运算只有加法和数乘，统称线性运算。上的内积空间（即酉空间）以及酉变换等也给出简单介绍。但是，三维几何空间作为一个线性空间，长度、向量夹角等度量概念在线性空间的理论中都未得到反映，而这些度量性质在很多实际问题中是很关键的。因此有必要在一般的线性空间中引进内积运算，从而导出内积空间的概念。中诸如向量本章重点讨论实数域上的内积空间（即欧氏空间），以及几种重要的线性变换，包括正交变换、对称变换等。同时，对复数域2.1欧氏空间1、欧氏空间的概念与性质定义2.1

设V是实数域R

上的线性空间，如果对于V中任意则称，当且仅当两个元素都有一个实数与之对应，记为，且满足下列条件：（1）（2）（3）（4）时等号成立，的内积。定义了内积的实线性空间V为与称为欧几里得空间（简称欧氏空间），也称为实内积空间。例2.1

实向量空间定义容易验证，它满足内积的四个条件，称为在同一个线性空间中引入不同的内积，则认为构成了不同的欧氏空间。例如，在实

n维向量构成的集合V中，定义或则它们都是V的内积。（A是n阶正定矩阵）中的向量在引入上述内积后，向量空间的标准内积。就是一个欧氏空间。

例2.2实矩阵空间

例2.3实连续函数线性空间定义

按此内积构成欧氏空间，定义按此内积构成欧氏空间，称为中的矩阵为矩阵对角线所有元素之和，称为的迹的标准内积。称为中的函数的标准内积。欧氏空间的内积基本性质：（1）（2）（3）（4）（5）当且仅当柯西-施瓦兹（Cauchy-Schwarz）不等式中，中，线性相关时等号成立。定义2.2设V是

n维欧氏空间，2、度量矩阵称

n阶方阵是V的一个基，（其中）为基的度量矩阵或Gram矩阵。任取

n维欧氏空间V中两个元素，设在V的下的坐标分别为和，则由内积的性质得基（2.4）度量矩阵性质：性质1度量矩阵是正定的。证

设是

n维欧氏空间V的一个基，由于所以度量矩阵是实对称矩阵。，它在基下的坐标为由式（2.4）得，故度量矩阵是正定的。又对任意非零元素性质2设和是欧氏空间V的的度量矩阵为

A，基的度量矩阵为

B，又设则两个基，且基证

设得故于是，由例2.4设欧氏空间中的内积为（1）求基的度量矩阵；（2）求与的内积。解

（1）设基的度量矩阵为所以基的度量矩阵（2）在基下的坐标分别为由式（2.4）知，本节小结0102欧氏空间的概念与性质度量矩阵注意：几个常用欧氏空间的标准内积欧氏空间与线性空间的关系P43：1;2预习：2.2节本节作业2.2标准正交基1、元素的长度与夹角定义2.3

设V是欧氏空间，对任意，称非负实数为的长度（或范数，模），记作如果，则称为单位元素。，则元素是一个单位元素。

单位化例如，中的向量，其长度为中的矩阵其长度为中的函数，其长度为如果定理2.1设V是欧氏空间，对任意和，有（1）非负性

，当且仅当时，（2）齐次性

（3）三角不等式（4）Cauchy-Schwarz不等式当且仅当线性相关时等号成立。证（4）由Cauchy-Schwarz不等式即得；（3）根据Cauchy-Schwarz不等式，于是定义2.4设为欧氏空间V的两个非零元素，与的夹角定义为对任意，如果，则称与正交（或垂直），记为例2.5在中，试证明三角函数组是两两正交的，但它们不是单位元素。证

可求得因此函数组两两正交。又有所以它们不是单位元素。2、标准正交基定理2.2设是欧氏空间V中两两正交的证

设有一组实数，使得两边与作内积，有利用，得又因非零，所以，故有即线性无关。非零元素组，则它线性无关。定义2.5在

n维欧氏空间中，由

n个两两正交的元素组成的中，是一个标准正交基；中，n维单位坐标向量是一个标准正交基；中，是一个标准正交基。基称为正交基，由单位元素组成的正交基称为标准正交基。Gram-Schmidt正交化设是

n

维欧氏空间V的一个基，（1）正交化（2）单位化即为

n维欧氏空间V的一个标准正交基。试由的基出发构造一个标准正交基。解

首先利用Gram-Schmidt方法将正交化，即例2.6在中定义内积再将单位化，得则为的一个标准正交基。例2.7线性空间，对V中任意，定义内积试写出线性空间V的一个标准正交基。解

取线性空间V的一个简单基根据所定义的内积，易知它们两两正交，再将其单位化得即为V的一个标准正交基。矩阵这是因为充分必要条件是它的Gram矩阵，也就是度量矩阵

A是单位矩阵。定理2.3n维欧氏空间V

中的基是标准正交基中元素的坐标可以通过内积表示。事实上，设，用即得的坐标事实上，设则与等式两边作内积，是的一个标准正交基，欧氏空间在标准正交基下，n

维欧氏空间的内积等于对应坐标乘积之和。定理2.4在欧氏空间中，（1）两个标准正交基间的过渡矩阵是正交矩阵，即过渡矩阵

A满足证（1）设及是标准正交基，且有其中，则有即的坐标恰为

A的第

i

列，于是即的两个（2.5）一个基是标准正交基，则另一个也是标准正交基。（2）如果两个基之间的过渡矩阵是正交矩阵，且其中证

设及是且式（2.5）成立，其中

A是正交矩阵。如果的两个基，是标准正交基，则即是标准正交基。反之，若是标准正交基，由于且仍是正交矩阵，同前可证得也是标准正交基。（3）矩阵

A为正交矩阵的充分必要条件为列向量组为单位正交向量组。证

由（1）的证明过程即知。本节小结0102元素的长度与夹角标准正交基P43：3;4;5;6;7预习：2.3节本节作业2.3

正交变换与对称变换1、正交变换定义2.6如果欧氏空间V的线性变换

T保持内积不变，即对，都有，则称

T为正交变换。例2.8平面旋转变换（平面围绕坐标原点按逆时针方向旋转角）就是欧氏空间的一个正交变换。这是因为，对中任意向量和，有所以

T是正交变换。任意例2.9

设

A是

n阶正交矩阵，的线性变换是正交变换。这是因为，对任意，有定理2.5

设

T是

n维欧氏空间V的线性变换，则下列命题等价：（1）T是正交变换；（2）T保持元素的长度不变，即对任意，有（3）T把V的标准正交基仍变为标准正交基；（4）T在V的任一标准正交基下的矩阵为正交矩阵。证

（1）（2），有（2）（1），有将上式两边展开，得由于代入上式得即

T是正交变换。T是正交变换，对任意T保持内积不变，则对任意（1）（3）T是正交变换，设标准正交基，则有于是是标准正交基。（3）（1）如果和都是V的标准正交基，任取，有于是即

T是正交变换。（3）（4）及（4）（3）由定理2.4即得。是V的例2.10

设T是欧氏空间的线性变换，对任意恒等变换是一个正交变换。事实上，即由定理2.5知

T是一个正交变换。2、对称变换定义2.7设

T是欧氏空间V的线性变换，如果对任意都有，则称

T为对称变换。定理2.6n维欧氏空间V的线性变换

T是对称变换充分必要证

设是V的标准正交基，且其中，则有于是条件是它在

V的任一标准正交基下的矩阵是实对称矩阵。如果

T是对称变换，则有于是对任意，有从而

A是实对称矩阵。反之，若

A是实对称矩阵，则有且即

T为对称变换。推论

设

T

是

n

维欧氏空间V的对称变换，则存在V的证

取V的标准正交基，且设其中

A是实对称矩阵。由于存在正交矩阵

Q，使得其中是对角矩阵，令则由定理2.4知，是V的标准正交基，且

T在该基下的矩阵为标准正交基，使

T在该基下的矩阵为对角矩阵。

例2.10

设是欧氏空间V中一个单位元素，定义证明：（1）T是线性变换；（2）T是正交变换；（3）T是对称变换。证

（1）对任意，有故

T是线性变换。对任意（2）对任意，有故

T是正交变换。（3）对任意，有因此故

T是对称变换。本节小结0102正交变换对称变换P44：8;9预习：2.4节本节作业2.4酉空间1、酉空间与酉矩阵定义2.8如果设复数域

C，复矩阵欧氏空间针对实数域上的线性空间讨论，而酉空间是欧氏空间在复数域上的推广。定义其共轭矩阵为，其中是定义矩阵A的共轭转置矩阵为，即的共轭复数。复共轭转置矩阵性质：（A

，B是复矩阵，）（1）（2）（3）（4）（5）

当

A可逆时，定义2.9如果方阵

A满足如果方阵

A满足，则称

A为反Hermite矩阵。例如，为一个二阶Hermite矩阵；为一个二阶反Hermite矩阵。，则称

A为一个Hermite矩阵。定义2.10方阵

A满足，称

A为一个酉矩阵。当

A为实矩阵时，酉矩阵

A也就是正交矩阵。例如，为一个三阶酉矩阵。定义2.11设V是复数域

C上的线性空间，如果对于V中，都有一复数与之对应，记为且它满足下列条件:（1）（2）（3）（4），当且仅当时等号成立，则称为与的内积。定义了内积的复线性空间V称为酉空间，也称为复内积空间。任意两个元素

对复线性空间中的向量定义则它是内积，按此内积构成酉空间。对复线性空间中的矩阵规定则它是内积，按此内积构成酉空间。称为的共轭转置酉空间的内积有如下基本性质：（1）（2）（3）（4）（5）

Cauchy-Schwarz不等式仍成立，即这是因为，或当且仅当线性相关时等号成立。与欧氏空间一样，定义元素的长度为满足的元素为单位元素。酉空间中的内积一般是复数，元素间不易定义夹角，满足时，与正交（或垂直）。在

n维酉空间中，同样可以定义正交基和标准正交基。定理2.7任意一组线性无关的元素可以用Gram-Schmidt定理2.8两个标准正交基间的过渡矩阵是酉矩阵。但仍可引入正交等概念，即当正交化方法将其正交化，并扩充成标准正交基。称2、酉变换与Hermite变换定义2.12设

T是酉空间V上的线性变换，如果对于V中任意，都有则称

T为V上的酉变换。如果线性变换

T满足则称

T为V上的Hermite变换。的矩阵是Hermite矩阵。定理2.10设

T是

n维酉空间V的Hermite变换，则存在V的元素定理2.9设

T是

n维酉空间V的线性变换，则

T是酉变换充分必要条件是，T在V的标准正交基下的矩阵是酉矩阵；T是Hermite变换的充分必要条件是，T在V的标准正交基下标准正交基，使

T在该基下的矩阵为实对角矩阵。本节小结0102酉空间与酉矩阵酉变换与Hermite变换复习：

第2章预习：3.1节本节作业第3章矩阵的Jordan标准形可以将对角矩阵看作是与可对角化矩阵相似的标准形。矩阵及其相关的一些性质。在线性代数中，讨论了矩阵相似于对角矩阵的条件，本章引入Jordan标准形的概念，得到不可对角化的但是，那些不可对角化的矩阵相似于什么样的标准形呢？矩阵相似于Jordan矩阵即Jordan标准形。首先讨论3.1不变因子、初等因子与行列式因子1、不变因子与初等因子定义3.1若矩阵

A的元素为的复系数多项式，矩阵，记作例如，一般的数字矩阵也可以视为矩阵。定义3.2以下三类变换称为矩阵的初等变换：（1）互换两行（列）；（2）某行（列）乘非零常复数

k；（3）某行（列）乘多项式后加到另一行（列）。则该矩阵就称为定义3.3如果矩阵经过有限次初等变换后可变成则称与等价，记为定理3.1若矩阵与等价，则，但反之不然。定义3.4秩为

r的矩阵是首项系数为1（首一）的多项式，并且则称矩阵是一个Smith标准形。定理3.2如果矩阵，并且那么矩阵一定与一个Smith标准形等价。定义3.5如果与Smith标准形等价，则称的对角线元素为的不变因子（或不变因式）。记的分解形式（其中互不相同，）中所有指数大于0的因子称为的初等因子。定理3.3若矩阵证

将的所有初等因子按不同的一次因子分类，此表中共有

r列（每列中的因子个数可能不同，空白处可以用就是的第

i个不变因子的不变因子确定，的初等因子被唯一确定；反过来，若的秩与所有的初等因子则不变因子也被唯一确定。则确定，并按各因子的幂从小到大排列：数1补上）。在第

i列上的各式之积例3.1将矩阵并求不变因子和初等因子。解即得的Smith标准形，初等因子化成Smith标准形，不变因子定义3.6设2、行列式因子矩阵的秩为

r，对任意必存在非零的

k阶子式，称的全部非零

k阶子式为的

k阶行列式因子。定理3.4等价的矩阵具有相同的秩和相同的各阶行列式因子。推论设是秩为

r的阶矩阵，则的行列式因子其中是的不变因子。的首一最大公因式于是定理3.5矩阵的Smith标准形是唯一的。证

由定理3.4和推论可知，的不变因子由行列式因子唯一确定，因此，的Smith标准形唯一。

例3.2将矩阵化为Smith标准形。的解的各阶行列式因子为：的不变因子为：的Smith标准形为定理3.6两个矩阵等价的充分必要条件为它们证

由定理3.4推论，不变因子与行列式因子是相互确定的。必要性即为定理3.4的内容；再由定理3.5，若矩阵与有相同的不变因子，和同一个Smith标准形等价，所以与等价。定理3.7设矩阵为分块对角矩阵，与的初等因子的全体构成初等因子。具有相同的行列式因子，或具有相同的不变因子。则所以则的全体例3.3求的初等因子和不变因子。解法一的不变因子为初等因子为：解法二

因为对角线上各元素的初等因子就是的初等因子，不变因子为：的行列式因子是一个对角矩阵，根据定理3.7，即本节小结0102不变因子与初等因子行列式因子P66：1;2;3预习：3.2节本节作业3.1Jordan标准形1、Jordan标准形的定义定义3.7形如的方阵叫作阶Jordan块。特别的，一阶方阵叫作一阶Jordan块。定义3.8由若干个Jordan块组成的分块对角矩阵其中为阶Jordan块，时，这个矩阵叫作n阶Jordan标准形，记为

J或当定理3.8如果任意若不计

J中的Jordan块的排列顺序，则

J由A唯一确定。Jordan标准形

J相似，则Jordan标准形

J的对角元素就是

A的特征值。对角矩阵也是一个Jordan矩阵，它的每个Jordan块是一阶的。Jordan矩阵特征值恰是对角线元素，对角线上方的次对角线的的元素可能为1或0。在Jordan标准形

J中，不同Jordan块的对角元素Jordan块本身就是一个Jordan矩阵。可能相同也可能不同。因为相似矩阵有相同的特征值，因此，若矩阵

A与一个都与一个Jordan标准形

J相似，（ⅰ）特征向量法2、Jordan标准形的计算Step1求特征值及其代数重数，Step2对每个特征值，确定其对应的Jordan块。是

A的单特征值，则只对应一个一阶Jordan块如果是

A的重特征值，计算的几何重数则共对应个以的Jordan块，这些Jordan块的阶数Step3A的所有特征值对应的所有Jordan块构成的Jordan矩阵设

A的互不相同的特征值为

代数重数指特征值的重数如果之和等于即为

A的Jordan标准形。

几何重数指特征值对应线性无关的特征向量的个数几何重数小于等于代数重数。为对角元素例3.4如果求下列矩阵的Jordan标准形：（1）解

可求得

A特征值为特征值只有一个线性无关的特征向量故

A的Jordan标准形为（2）A的特征值为由可知以为特征值的Jordan块有阶数之和为3。注：当矩阵

A的某一特征值重数较高时，对应的Jordan块的解个，这两个Jordan块中，一个一阶块，一个二阶块，故阶数可能无法确定。例3.4如果求下列矩阵的Jordan标准形：（ⅱ）初等变换法Step1

求出的全部初等因子为Step2对每个初等因子，确定其对应的Jordan块

Step3

A的所有初等因子对应的所有Jordan块构成的Jordan矩阵注：上述Step1中，可能有相同的。且当任意一个

n阶复矩阵

A可以对角化的充分必要条件为的初等因子全是一次的。即为

A的Jordan标准形。时，例3.5求下列矩阵的Jordan标准形：（1）解初等因子为则

A的Jordan标准形为（2）因此的初等因子为所以

A的Jordan标准形解例3.5求下列矩阵的Jordan标准形：（ⅲ）行列式因子法求

A的Jordan标准形。Step1

求的

n个行列式因子Step2

根据定理3.4推论，求的不变因子；Step3

求

A的全部初等因子和Jordan标准形。行列式因子法是利用行列式因子与初等因子的关系例3.6求下列矩阵的Jordan标准形：解选取计算得的一个三阶子式由于，所以从而于是

A的不变因子为即

A的初等因子为故A的Jordan标准形为（1）例3.6求下列矩阵的Jordan标准形：（2）解不变因子为初等因子为故A的Jordan标准形为A的行列式因子为3、相似变换矩阵

A与Jordan标准形

J相似，即存在一个可逆矩阵

P，那么如何求矩阵

P呢？通过求解线性方程组就可以求出

P.Step1

将

P按列分块写成，则有Step2

由于J的对角线元素为

A的特征值，对角线上方平行线可化为如下方程组的形式：即其中或1Step3

依次求解这些方程即可求得使得上元素为0或1，因此例3.7求的Jordan标准形

J，并求出可逆矩阵

P，解可求得

A的Jordan标准形为令，由可得即分别求解三个方程可得，可选取所以，使得例3.8求的Jordan标准形

J，并求出可逆矩阵

P，使得解可求得

A的Jordan标准形为令，由可得即即为特征值的两个线性无关的特征向量，的通解为若令，方程无解。若令，方程依然无解。由于方程组设再代入由可知时方程有解。不妨取，即可求得的解为可取，故所用的相似变换矩阵为注：从例3.7和例3.8可知，相似变换

P不是唯一的。Jordan标准形的幂设其中则计算的关键是计算定理3.9阶Jordan块的

k次幂，其中多项式特别的，当为2阶Jordan块时，设多项式，则当为3阶Jordan块时，由定理3.9，例3.9已知解在例3.4中，已求得

A的Jordan标准形通过求解方程组，可得相似变换矩阵于是求本节小结0102Jordan标准形的定义Jordan标准形的计算P66：4;5预习：3.3节本节作业03相似变换3.3Cayley-Hamilton定理与最小多项式1、Cayley-Hamilton定理设是复数域

C上关于的多项式对称为矩阵

A

的多项式。定理3.10设为一多项式，为对应的特征向量为则为的特征值，对应的特征向量仍为并且，如果，则的任意特征值，定理3.