专题2.4 第二章：一元二次函数、方程和不等式综合-新高一《数学》初升高衔接考点必杀50题（人教A版2019）解析版

第第页专题2.4第二章：一元二次函数、方程和不等式综合一、单选题1．下列结论正确的是（

）A．若，则 B．若，则C．若，则 D．若，则【答案】C【分析】根据不等式的性质，对四个选项一一验证：对于A：利用不等式的可乘性的性质进行判断；对于B：取进行否定；对于C：利用不等式的可乘性的性质进行证明；对于D：取进行否定.【详解】对于A：当时，若取，则有.故A不正确；对于B：当时，取时，有.故B不正确；对于C：当，两边同乘以，则.故C正确；对于D：当，取时，有.故D不正确.故选：C.【点睛】（1）多项选择题是2020年高考新题型，需要要对选项一一验证；（2）判断不等式成立的解题思路：①取特殊值进行否定；②利用不等式的性质直接判断.2．若，则下列不等式一定成立的是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】利用特殊值判断ABD，根据不等式的性质判断C；【详解】解：对于A：若，，显然满足，但是，故A错误；对于B：若，，显然满足，无意义，故B错误；对于C：因为，，所以，故C正确；对于D：若，，显然满足，但是无意义，故D错误；故选：C3．如果a>0，b>c>0，则下列不等式中不正确的是（

）A．－a＋b>－a＋c B．ab－ac>0C． D．【答案】C【分析】对于A，b>c两边同时加－a，不等号方向不变，故A正确；对于B，b>c两边同时乘以a，因为a>0，所以不等号方向不变，故B正确；对于C，若b＝2，c＝1，则，故C错误；对于D，根据不等式的性质可知正确.【详解】对于A，因为b>c，所以，故A正确；对于B，因为，b>c，所以，即，故B正确；对于C，若b＝2，c＝1，则，故C错误；对于D，因为，所以，故D正确．故选：C．【点睛】本题考查了不等式的性质，属于基础题.4．不等式的解集为（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】本题可将转化为，通过解即可得出结果.【详解】，即，，则，解得或，故不等式的解集为，故选：B.5．“”是“”的条件A．充分不必要B．必要不充分C．充要D．既不充分也不必要【答案】A【分析】可采用假设法证明，若能找出一个反例，则证明推导过程不成立【详解】由可得，当“”时，即，一定能推出“”，所以“”是“”的充分条件反过来，若，比如推不出，所以“”是“”的充分不必要条件答案选A【点睛】充分必要条件的判断，可采用赋值法，不重不漏去进行判断，若一眼能看出错误的，只需列举一个反例说明问题即可6．已知，则“”是“”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】由可利用基本不等式得到，而当可得到或，由此可判断结论【详解】解：当时，，当且仅当，即时取等号，当时，可得或，得或，所以“”是“”的充分不必要条件，故选：A【点睛】此题考查充分条件和必要条件的判断，考查了基本不等式，属于基础题.7．若不等式的解集为R，则实数a的取值范围是（）A． B．C． D．【答案】C【分析】考虑和两种情况，得到，解得答案.【详解】当时，，即，成立；当时，需满足：，解得.综上所述：.故选：C8．设，则下列不等式中一定成立的是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本题是选择题，可采用逐一检验，利用特殊值法进行排除，很快问题得以解决．【详解】∵b＜a，d＜c∴设b=﹣2，a=﹣1，d=2，c=4选项A，﹣1﹣4＞﹣2﹣2，不成立选项B，（﹣1）×4＞（﹣2）×2，不成立选项D，﹣1+2＞﹣2+4，不成立故选C．【点睛】本题主要考查了不等式的基本性质，特值法针对比较大小问题有奇效.9．若－4<x<1，则（

）A．有最小值1 B．有最大值1C．有最小值－1 D．有最大值－1【答案】D【分析】先将转化为，根据－4<x<1，利用基本不等式求解.【详解】又∵－4<x<1，∴x－1<0．∴－(x－1)>0．∴．当且仅当x－1＝，即x＝0时等号成立．故选：D【点睛】本题主要考查基本不等式的应用，还考查了转化求解问题的能力，属于基础题.10．若，则下列不等式中一定成立的是（）A． B．C． D．【答案】D【分析】根据特殊值可排除选项ABC，即可求解.【详解】取特值，例如，可知A错误；C错误；取，可知B错误；由可得，两边同除以可得，故D正确.故选：D11．设p：0＜x＜1，q：（x﹣a）[x﹣（a+2）]≤0，若p是q的充分而不必要条件，则实数a的取值范围是（

）A．[﹣1，0] B．（﹣1，0）C．（﹣∞，0]∪[1+∞，） D．（﹣∞，﹣1）∪（0+∞，）【答案】A【分析】先化简命题q，再根据p是q的充分而不必要条件，由a≤0，且2+a≥1求解.【详解】命题q：：（x﹣a）[x﹣（a+2）]≤0，即a≤x≤2+a．因为p是q的充分而不必要条件，所以a≤0，且2+a≥1，解得﹣1≤a≤0.故选：A．【点睛】本题主要考查逻辑条件的应用，属于基础题.12．已知不等式的解集为，则不等式的解集为（

）A． B．或C． D．或【答案】A【分析】根据不等式的解集求出、和的关系，代入不等式中，化简求出不等式的解集．【详解】解：不等式的解集为，方程的实数根为和2，且；，解得，；则不等式变为，即，解得：，所求不等式的解集为．故选：．【点睛】本题考查了一元二次不等式的解法与应用问题，属于基础题．13．下列命题中，既是全称量词命题又是真命题的是（

）A．矩形的两条对角线垂直 B．对任意a，b，都有a2+b2≥2（a﹣b﹣1）C．x，|x|+x=0 D．至少有一个x，使得x2≤2成立【答案】B【分析】根据全称量词和特称量词命题的定义判断，全称量词命题要为真命题必须对所以的成立，对选项逐一判断即可.【详解】A选项为全称量词命题，却是假命题，矩形的两条对角线相等，并不垂直，故A错误.C,D选项是特称量词命题，故错误.B选项是全称量词命题，用反证法证明，因为所以对,,故B正确.故选:B.14．若正实数，满足，则的最小值是（

）A．48 B．56 C．64 D．72【答案】C【解析】利用均值不等式可得，从而得出答案.【详解】由，即，即当且仅当,即时，取得等号.故选：C【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方，这时改用勾型函数的单调性求最值.15．关于x的不等式的解集是（

）A．) B． C． D．【答案】B【分析】根据分母的特征和分母不为零的要求，将原不等式转化为，求解即得.【详解】由题意，原不等式的解等价于不等式组的解，解得，所以原不等式的解集为.故选：B.【点睛】本题考查高次不等式的解法，转化为二次不等式（组）是关键，属基础题.16．下列结论正确的是（

）A．当时，的最小值为 B．当时，C．当时无最大值 D．当且时，【答案】B【分析】根据函数的单调性，结合基本不等式的性质逐一判断即可.【详解】对于A，在[2，+∞）上单调递增，所以x=2时，函数的最小值为，故A错误；对于B，当时，，当且仅当x=1时，等号成立，故B成立；对于C，在（0，2]上单调递增，所以x=2时，函数取得最大值，故C不成立；对于D，当时，，，结论不成立；故选：B【点睛】本题考查了函数单调性的应用，考查了基本不等式的性质应用，考查了数学运算能力.17．若a，b都是正数，则的最小值为（

）A．7 B．8 C．9 D．10【答案】C【分析】将目标式展开，利用基本不等式即可求得其最小值.【详解】因为a，b都是正数，所以＝5＋＋≥5＋2＝9，当且仅当b＝2a＞0时取等号．故选：.【点睛】本题考查利用基本不等式求和的最小值，属基础题.18．若不等式恒成立，则实数的取值范围是A． B．C． D．【答案】C【分析】先将不等式化为，由基本不等式求出的最小值，从而可求出结果.【详解】原不等式转化为，又，则，当且仅当，即时等号成立，则根据恒成立的意义可知，解得.故选C【点睛】本题主要考查由不等式恒成立求参数的问题，熟记基本不等式即可，属于常考题型.19．已知关于x的不等式的解集为或，则下列结论正确的是（）A．a<0 B．C． D．的解集是【答案】D【分析】由已知，是方程的两个根且，由此确定的关系，并由此判断A，B，C，再化简不等式求其解.【详解】因为不等式的解集为或，，所以且，是方程的两个根，所以，，所以，，因为，所以A错，因为，，所以，所以C错，因为，，，所以，B错，因为，，所以可化为，所以，方程的解为或，所以不等式的解集是，故选：D.20．如图在北京召开的第24届国际数学家大会的会标，会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去像一个风车，代表中国人民热情好客．我们教材中利用该图作为一个说法的一个几何解释，这个说法正确的是（

）A．如果,那么 B．如果,那么C．对任意正实数和，有，当且仅当时等号成立 D．对任意正实数和，有,当且仅当时等号成立【答案】C【分析】观察图形,设直角三角形的长直角边为,短直角边为,由4个三角形的面积和与大正方形的面积的大小关系,得到,并判明何时取等即可【详解】通过观察,可以发现这个图中的四个直角三角形是全等的,设直角三角形的长直角边为,短直角边为,如图,整个大正方形的面积大于等于4个小三角形的面积和,即,即.当时,中间空白的正方形消失,即整个大正形与4个小三角形重合.其他选项通过该图无法证明,故选C【点睛】本题考查均值定理的几何法证明,考查数形结合,属于基础题二、多选题21．下列结论成立的是（

）A．若，则B．若，，则C．若，，则D．若，则【答案】CD【分析】对于A，运用举反例的方法，可判断；对于B，由只有不等式同向才有可加性可判断；对于C，由，得，根据不等式的同向可加性可判断；对于D，由，得，根据不等式的正数同向可乘性可判断.【详解】对于A，取，，，此时，但，故A不成立；.对于B，，，，得不出，故B不成立；对于C，，，又，，故C成立；对于D，，，，即，故D成立.故选:CD.【点睛】本题考查运用不等式的性质判断不等式是否成立，关键在运用不等式的性质时，需严格满足所需的条件，属于基础题.22．已知，，则下列正确的是（

）A． B． C． D．【答案】AB【解析】根据不等式的性质，逐项判断，即可得出结果.【详解】因为，，所以，，则，，，即，，，则；故AB正确，CD错.故选：AB.23．下列说法正确的是（

）A．若，则 B．若，则C．若，则 D．若，则【答案】AC【分析】对各选项逐一通过作差，不等式的性质或者举特例即可确定对应选项的正确性而得解.【详解】对于A，因，则，即，A正确；对于B，时，取，则，即不成立，B不正确；对于C：因，则，于是有，C正确；对于D，，当时，，即不成立，D不正确.所以说法正确的是只有选项AC.故选：AC24．已知正实数a，b满足a＋b＝2，下列式子中，最小值为2的有（

）A．2ab B．a2＋b2 C．＋ D．【答案】BCD【分析】利用基本不等式“一正二定三相等”的步骤进行判断﹒【详解】∵a，b＞0，∴2＝a＋b≥，∴0＜ab≤1，当且仅当a＝b＝1时等号成立．由ab≤1，得2ab≤2，∴2ab的最大值为2，A错误；a2＋b2＝(a＋b)2－2ab≥4－2＝2，B正确；≥2，C正确；≥2，D正确．故选：BCD．25．已知方程的解集为，方程的解集为，，则（

）A． B．C． D．【答案】AD【分析】根据题意，得到求出，分别求出两集合，再由集合的混合运算，即可得出结果.【详解】因为，将代入方程，得，解得，则方程为，解得或，所以；方程为，解得或，所以；所以，，．故选：AD．【点睛】本题主要考查由集合的交集求参数，以及集合的混合运算，属于常考题型.26．已知函数（），则该函数的（

）．A．最小值为3 B．最大值为3C．没有最小值 D．最大值为【答案】CD【分析】先由基本不等式得到，再转化得到（），最后判断选项即可.【详解】解：因为，所以，，由基本不等式：，当且仅当即时，取等号.所以，即，所以（），当且仅当即时，取等号.故该函数的最大值为：，无最小值.故选：CD【点睛】本题考查利用基本不等式求最值，是基础题.27．设正实数、满足，则下列说法中正确的是（

）A． B．的最大值为C．的最小值为 D．的最小值为【答案】ABD【分析】利用不等式的性质以及指数函数的性质可判断A选项的正误，利用基本不等式可判断BCD选项的正误.【详解】对于A选项，因为正实数、满足，则，，故，A对；对于B选项，由基本不等式可得，当且仅当时，等号成立，B对；对于C选项，由基本不等式可得，因为，故，当且仅当时，等号成立，C错；对于D选项，，可得，当且仅当时，等号成立，D对.故选：ABD.28．已知，则（

）A． B．C． D．【答案】BC【解析】根据不等式的性质，逐一判断即可．【详解】解：，A错误，比如，，不成立；B，成立；C，由，故C成立，D，，故D不成立，故选:BC.【点睛】本题考查不等式比较大小，常利用了作差法，因式分解法等．29．已知函数，则（

）A．函数有两个不同的零点B．函数在上单调递增C．当时，若在上的最大值为8，则D．当时，若在上的最大值为8，则【答案】ACD【分析】根据判别式判断A选项的正确性，根据二次函数的开口和对称轴判断B选项的正确性.利用换元法，结合二次函数的性质，判断CD选项的正确性.【详解】因为二次函数对应的一元二次方程的判别式，所以函数有两个不同的零点，A正确；因为二次函数图象的对称轴为，且图象开口向上，所以在上单调递增，B不正确；令，则.当时，，故在上先减后增，又，故最大值为，解得（负值舍去）.同理当时，，在上的最大值为，解得（负值舍去）.故C，D正确.故选：ACD．【点睛】本小题主要考查二次函数有关性质，考查指数型复合函数的性质，属于中档题.30．若关于x的一元二次方程有实数根，且，则下列结论中正确的说法是（

）A．当时，， B．C．当时， D．当时，【答案】ABD【分析】根据题意得，函数与图象有两个交点，进而数形结合即可得答案.【详解】解：A中，时，方程为，解为：，，所以A正确；B中，方程整理可得：，由不同两根的条件为：，所以，所以B正确.当时，在同一坐标系下，分别作出函数和的图像，如图，可得，所以C不正确，D正确，故选：ABD.【点睛】关键点点睛：本题考查根据一元二次方程的实数根求参数问题，解题的关键是将问题转化为函数与图象有两个交点问题，进而数形结合解决.考查数形结合思想和化归转化思想，是中档题.三、填空题31．给出下列命题：①若，则；②若，则a+b；③若，则；④若，则；⑤若，则；其中正确的命题有________.(将正确的序号填在此处)【答案】③④⑤【分析】①举例判断；②举例判断；③利用基本不等式判断；④利用作差法判断；⑤利用作差法判断.【详解】①当时，，故错误；②当时，a+b，故错误；③因为，所以，则，因为，等号不成立，故，故正确；④因为，所以，故，故正确；⑤因为，则，故，故正确；故答案为：③④⑤32．如图建造一个容积为16，深为2，宽为2的长方体无盖水池，如果池底的造价为120元/，池壁的造价为80元/，则水池的总造价为___________元.【答案】2880【解析】求出水池的长，得出各面的面积即可得出总造价．【详解】解：水池的长为，水池的底面积为，水池的侧面积为，水池的总造价为元．故答案为：2880.33．若关于的不等式的解为非空集合，则实数的取值范围为_______.【答案】【分析】根据的正负或0分类讨论．【详解】当时，原不等式为：，即，符合题意.当时，原不等式为一元二次不等式，显然也符合题意.当时，只需，解得，综上，的取值范围为.故答案为：.34．下列结论中①函数有最大值②函数有最大值③若，则正确的序号是_____________.【答案】①③【分析】根据一元二次函数的性质可判断①，利用基本不等式可判断②③.【详解】解：函数，函数图象开口向下，对称轴为，故当时取到最大值，故①正确；函数，因为，所以，所以，当且仅当，即时，等号成立，故②错误；因为，则，当且仅当，即时等号成立，故③正确．故答案为：①③.35．某公司在甲、乙两地同时销售一种品牌车，利润（单位：万元）分别为和，其中为销售量（单位：辆）.若该公司在两地共销售辆，则能获得的最大利润为________万元.【答案】120【分析】设在甲地销售量,则在乙地销售为,再列出利润函数求最大值即可.【详解】设在甲地销售量,则在乙地销售为,则利润为因为二次函数对称轴为,故当时均取得最大值.故答案为120【点睛】本题主要考查方程的思想以及二次函数的最值问题.36．不等式的解集为（用区间表示）__________.【答案】【分析】移项整理，可得，根据分式不等式的解法，即可求得答案.【详解】原式，可化为，即，所以，可等价为，所以，即不等式解集为.故答案为：37．下列命题中：①若，则的最大值为；②当时，；③的最小值为；④当且仅当均为正数时，恒成立.其中是真命题的是__________．(填上所有真命题的序号)【答案】①②【分析】根据均值不等式依次判断每个选项的正误，得到答案.【详解】①若，则的最大值为，正确②当时，，时等号成立，正确③的最小值为，取错误④当且仅当均为正数时，恒成立均为负数时也成立.故答案为①②【点睛】本题考查了均值不等式，掌握一正二定三相等的具体含义是解题的关键.38．方程的两个根均大于2,则的取值范围是__________【答案】【分析】可将方程转化成函数，画出大致图像，再根据二次函数性质进行求解【详解】如图所示：必须同时满足以下三个条件：①②对称轴③联立解得【点睛】方程与函数可进行等价转化，必要的时候可结合二次函数图像进行求解39．函数，若，使得，则的取值范围是______．【答案】【解析】由题意可知，若，使得，即在上的值域要包含在上的值域，由此在对进行分类讨论，即可求出结果.【详解】若，使得，即在上的值域要包含在上的值域，又在上.①当时，单调递减，此时，解得；②当时，，显然不满足题设；③当时，单调递增，此时，解得.综上:的取值范围为.故答案为:【点睛】本题考查双变量等式中任意、存在问题求参数的取值范围，重点考查函数的值域，转化与化归的思想，属于中档题型.40．若，，且，则最小值是_____．【答案】13【分析】由题得，进而，结合基本不等式求解即可【详解】由题得，故又，当且仅当x=8,y=5,等号成立故答案为13【点睛】本题考查基本不等式求最值，考查换元思想，准确计算变形是关键，是中档题四、解答题41．为何值时，关于的方程的两根：（1）为正数根；（2）为异号根且负根绝对值大于正根；（3）都大于1；（4）一根大于2，一根小于2；（5）两根在0，2之间.【答案】（1）或；（2）；（3）；（4）；（5）或【分析】设函数由题意可得，方程有两根设为，由判别式、韦达定理和根的分布情况即可求出结果.【详解】设函数由题意可得，方程有两根设为，对称轴，解得或（1）由题意可得或（2）由题意可得（3）由题意可得（4）由题意可得（5）由题意可得或42．不等式（1）若不等式的解集为，求的值；（2）若不等式的解集为R，求的取值范围．【答案】（1）；（2）【详解】分析：（1）由一元二次不等式的解集和其对应一元二次方程的根的关系可得.（2）由二次函数的图像可知，不等式的解集为R当且仅当二次项系数小于0，判别式小于0.详解：(1)不等式的解集是或方程的两个根为-3,-2,(2):①k=0时，显然不满足题意②时，解得，综上：点睛：本题考查了一元二次不等式的解法，已知不等式的解集求参数的值或参数的取值范围，解题时注意讨论，熟练掌握一元二次不等式的解法是解题的关键．43．（1）已知，求证：>．（2）已知，求证：．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析．【分析】（1）由条件可得，，然后可得，然后可证明；（2）由条件可得，，，然后利用基本不等式证明即可.【详解】（1）∵，∴∵，∴，又∵，∴，∴，又，∴>（2）因为所以，同理所以(当且仅当时等号成立)44．设，均为正实数，求证：．【答案】证明见解析.【分析】两次应用基本不等式即可得．【详解】由于，均为正实数，∴，当且仅当，即时，等号成立．又∵，当且仅当时，等号成立，∴，当且仅当，即时，等号成立．【点睛】本题考查用基本不等式证明不等式，注意等号成立的条件，特别是求最值时，如果多次应用基本不等式，则等号需要同时成立才能最值．45．已知，．（1）当时，求；（2）当时，若，求实数a的取值范围．【答案】（1）；（2）.【分析】（1）解不等式求得集合，由并集定义可求得结果；（2）由并集结果可确定，根据包含关系可构造不等式组求得结果.【详解】（1）由得：，则；当时，由得：，则；；（2）若，则，当时，，又，则，解得：，实数的取值范围为.46．已知函数.（1）若，试求函数的最小值；（2）对于任意的，不等式成立，试求a的取值范围.【答案】（1）最小值为；（2）.【分析】（1）由．利用基本不等式即可求得函数的最小值；（2）由题意可得不等式成立”只要“在恒成立”．不妨设，则只要在[0，2]恒成立．结合二次函数的图象列出不等式解得即可．【详解】解：（1）依题意得.因为x>0，所以.当且仅当，即时，等号成立.所以.故当时，的最小值为.（2）因为，所以要使得“任意的，不等式成立”，只要“在上恒成立”.不妨设，则只要在上恒成立.所以即解得.所以a的取值范围是.【点睛】本题主要考查了基本不等式的应用，以及恒成立问题等，考查学生的运算求解能力，属于中档题．47．2022年冬天新冠疫情卷土重来，我国大量城市和地区遭受了奥密克戎新冠病毒的袭击，为了控制疫情，某单位购入了一种新型的空气消毒剂用于环境消毒，已知在一定范围内，每喷洒1个单位的消毒剂，空气中释放的浓度单位：毫克/立方米随着时间单位：小时变化的关系如下：当时，；当时，若多次喷洒，则某一时刻空气中的消毒剂浓度为每次投放的消毒剂在相应时刻所释放的浓度之和.由实验知，当空气中消毒剂的浓度不低于毫克/立方米时，它才能起到杀灭空气中的病毒的作用.(1)若一次喷洒4个单位的消毒剂，则有效杀灭时间可达几小时？(2)若第一次喷洒2个单位的消毒剂，6小时后再喷洒个单位的消毒剂，要使接下来的4小时中能够持续有效消毒，试求a的最小值.精确到，参考数据：取【答案】(1)8(2)1.6【分析】（1）根据喷洒4个单位的净化剂后浓度为，由求解；（2）得到从第一次喷洒起，经小时后，浓度为，化简利用基本不等式求解.【详解】（1）解：因为一次喷洒4个单位的净化剂，所以其浓度为，当时，，解得，此时，当时，，解得，此时，综上，所以若一次喷洒4个单位的消毒剂，则有效杀灭时间可达8小时；（2）设从第一次喷洒起，