预备知识07 基本不等式（原卷版）-2024-2025初升高衔接资料（新高一暑假学习提升）

专题07预备知识七：基本不等式1、学会推导并掌握基本不等式，理解这个基本不等式的几何意义，并掌握定理中的不等号“≥”取等号的条件是：当且仅当这两个数相等2、基本不等式的推导与证明过程，提升逻辑推理的思维能力3、基本不等式的简单应用，理解积定与和定问题知识点一：基本不等式（一正，二定，三相等，特别注意“一正”，“三相等”这两类陷阱）基本不等式:,,（当且仅当时，取“”号）其中叫做正数，的几何平均数；叫做正数，的算数平均数．如果，有（当且仅当时，取“”号）特别的，如果,用分别代替,代入，可得：，当且仅当时，“”号成立.知识点二：利用基本不等式求最值①已知，是正数，如果积等于定值，那么当且仅当时，和有最小值；②已知，是正数，如果和等于定值，那么当且仅当时，积有最大值；知识点三：基本不等式链（其中，当且仅当时，取“”号）知识点四：三个正数的基本不等式如果，，，那么（当且仅当时，取“”号）对点特训一：对基本不等式的理解典型例题例题1．（23-24高一上·全国·课后作业）判断正误（正确的填“正确”，错误的填“错误”）（1）两个不等式与成立的条件是相同的.()（2）当时，.()（3）当时，.()（4）函数的最小值是2.()例题2．（23-24高一上·全国·课后作业）下列不等式的推导过程正确的是．①若，则；②若，则；③若，则.精练1．（多选）（23-24高一上·江苏南通·阶段练习）下列说法中正确的有（

）A．不等式恒成立B．存在实数,使得不等式成立C．若,,则D．若,且,则2．（23-24高一上·上海松江·期末）“”是“”的条件.（填“充分非必要”、“必要非充分”、“充分必要”、“既不充分也不必要”）对点特训二：利用基本不等式求最值角度1：和为定值求积的最值典型例题例题1．（23-24高一上·湖南娄底·期末）若，，且，则的最大值是（

）A． B． C． D．1例题2．（2024高二下·湖南株洲·学业考试）已知，则的最大值为（

）A． B．1 C． D．3例题3．（23-24高三上·四川雅安·期中）已知，，则“”是“”的（

）A．充分必要条件 B．充分不必要条件C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件精练1．（23-24高三上·湖北武汉·期末）已知正数，满足，则（

）A． B． C． D．2．（23-24高一上·北京·期中）已知，，，则xy的最大值是（）A． B． C． D．13．（23-24高一上·贵州六盘水·期末）已知，则的最大值为．角度2：积为定值求和的最值典型例题例题1．（23-24高二下·福建三明·阶段练习）若，则的最小值是（

）A． B． C．4 D．2例题2．（2024·甘肃定西·一模）的最小值为（

）A． B． C． D．例题3．（23-24高一上·上海·期末）函数（）的最小值是.精练1．（23-24高一上·重庆·期末）函数的最小值是（

）A．4 B．5 C． D．2．（23-24高一上·广东·期中）已知，则的最小值为（

）A．50 B．40 C．20 D．103．（23-24高一上·新疆·期末）的最小值为.角度3：常数代换法典型例题例题1．（2024高三上·全国·专题练习）若，，且，则的最小值为（

）A．2 B．3 C．4 D．5例题2．（23-24高一上·贵州黔南·阶段练习）已知且，则的最小值为（）A． B．8 C．9 D．10例题3．（23-24高二上·陕西西安·期中）已知且，则的最小值为（

）A． B．10 C．9 D．精练1．（23-24高一上·河南南阳·阶段练习）若，，则的最小值是（

）A．2 B．4 C．3 D．82．（2024·四川南充·二模）已知x，y是实数，，且，则的最小值为3．（2024·全国·模拟预测）已知，若，则的最小值为.角度4：凑配法典型例题例题1．（23-24高三上·陕西西安·阶段练习）函数的最小值为（

）A．2 B．5 C．6 D．7例题2．（23-24高一上·吉林·阶段练习）已知，则的最小值是（

）A．6 B．8 C．10 D．12例题3．（23-24高一上·陕西西安·期末）已知，则的最小值是.精练1．（23-24高一上·湖南衡阳·阶段练习）若，则的最小值为（

）A．-2 B．0 C．1 D．2．（23-24高一下·湖南株洲·阶段练习）已知，则的最小值为．3．（23-24高一上·北京·期中）已知，则当时，取最小值为．角度5：二次与二次（或一次）商式典型例题例题1．（23-24高一上·云南楚雄·阶段练习）函数的最小值是（

）A． B．3 C．6 D．12例题2．（23-24高二上·云南昆明·期末）函数的值域是.例题3．（23-24高三上·福建泉州·期中）函数在上的最大值为．精练1．（23-24高一·全国·课后作业）已知，则的最小值为．2．（2024高三·全国·专题练习）函数的最大值为.3．（2024高三·全国·专题练习）函数的最小值为．对点特训三：基本不等式在实际中的应用典型例题例题1．（23-24高一上·浙江杭州·期中）2023年8月29日，华为在官方网站发布了Mate60系列手机，全系搭载麒麟芯片强势回归，5G技术更是遥遥领先，正所谓“轻舟已过万重山”.发布后的第一周销量约达80万台，第二周的增长率为a，第三周的增长率为b，这两周的平均增长率为x（a，b，x均大于零），则（

）A． B．C． D．例题2．（22-23高一上·广东广州·期中）港珠澳大桥通车后，经常往来于珠港澳三地的刘先生采用自驾出行．由于燃油的价格有升也有降，现刘先生有两种加油方案，第一种方案：每次均加升的燃油；第二种方案，每次加元的燃油．(1)分别用表示刘先生先后两次加油时燃油的价格，请你计算出每种加油方案的均价；(2)选择哪种加油方案比较经济划算？请你给出证明．例题3．（21-22高一上·吉林白山·期末）某工厂分批生产某产品，生产每批产品的费用包括前期的准备费用､生产过程中的成本费用以及生产完成后产品的仓储费用.已知生产每批产品前期的准备费用为800元，成本费用与产品数量成正比，仓储费用与产品数量的平方成正比.记生产件产品的总费用为y元.当时，成本费用为3000元，仓储费用为450元.(1)求y关于x的函数解析式；(2)试问当每批产品生产多少件时平均费用最少？平均费用最少是多少？精练1．（23-24高一上·河北·阶段练习）一家商店使用一架两臂不等长的天平称黄金.一位顾客到店里购买10g黄金，售货员先将5g的砝码放在天平左盘中，取出一些黄金放在天平右盘中使天平平衡；再将5g的砝码放在天平右盘中，再取出一些黄金放在天平左盘中使天平平衡；最后将两次称得的黄金交给顾客.你认为顾客购得的黄金10g.（填“大于”“小于”“等于”“不确定”）附：依据力矩平衡原理，天平平衡时有，其中，分别为左右盘中物体质量，，分别为左右横梁臂长.2．（22-23高二上·广西南宁·开学考试）一家货物公司计划租地建造仓库储存货物，经过市场调查了解到下列信息：每月土地占地费（单位：万元）与仓库到车站的距离x（单位：）成反比，每月库存货物费（单位：万元）与x成正比；若在距离车站处建仓库，则和分别为2万元和8万元，这家公司应该把仓库建在距离车站多少千米处，才能使两项费用之和最小？并求出该值．3．（23-24高一·全国·课后作业）某公司为一家制冷设备厂设计生产一种长方形薄板，其周长为4米，这种薄板须沿其对角线折叠后使用．如图所示，为长方形薄板，沿折叠后，交于点.当的面积最大时最节能．（1）设米，用表示图中的长度，并写出的取值范围；（2）若要求最节能，应怎样设计薄板的长和宽？对点特训四：与基本不等式有关的恒成立问题典型例题例题1．（23-24高一上·福建厦门·阶段练习）“对所有，不等式恒成立”的充分不必要条件是（

）A． B． C． D．例题2．（多选）（23-24高一下·湖南株洲·开学考试）若对于任意，恒成立，则实数的取值可以是（

）A． B． C． D．例题3．（23-24高一上·四川成都·阶段练习）设，，若，且不等式恒成立，则的取值范围是.精练1．（2024高一·全国·专题练习）若关于x的不等式对任意实数x＞0恒成立，则实数a的取值范围为（）A．{a|﹣1≤a≤4} B．{a|a≤﹣2或a≥5} C．{a|a≤﹣1或a≥4} D．{a|﹣2≤a≤5}2．（2024高三·全国·专题练习）当时，不等式恒成立，则的取值范围是（

）A． B． C． D．3．（23-24高二上·福建厦门·期中）若对有恒成立，则的取值范围是一、单选题1．（22-23高一上·江苏宿迁·阶段练习）若，则的最小值是（

）A． B． C． D．2．（23-24高一上·山东青岛·期末）已知x，y为正实数，则的最小值为（

）A．1 B． C．2 D．3．（20-21高一下·内蒙古赤峰·期末）若，且，则的最小值是（

）A． B． C．2 D．4．（23-24高一下·福建南平·期中）已知，，，则的最小值为（

）A．2 B．1 C． D．5．（23-24高一上·陕西延安·阶段练习）当时，不等式恒成立，则实数a的取值范围是（

）A． B． C． D．6．（23-24高一下·四川眉山·开学考试）阿基米德有这样一句流传很久的名言：“给我一个支点，我就能撬起整个地球！”这句话说的便是杠杆原理，即“动力×动力臂=阻力×阻力臂”．现有一商店使用两臂不等长的天平称黄金，一位顾客到店里购买黄金，售货员先将的砝码放在天平左盘中，取出黄金放在天平右盘中使天平平衡；再将的砝码放在天平右盘中，取黄金放在天平左盘中使天平平衡，最后将称得的黄金交给顾客，则下列选项正确的是（

）A． B． C． D．以上选项都有可能7．（23-24高三下·浙江·阶段练习）已知实数x，y满足，且，则的最小值为（

）A． B．8 C． D．8．（2023·河南信阳·模拟预测）若，则函数有（

）A．最小值1 B．最大值1 C．最小值 D．最大值二、多选题9．（2024高三·全国·专题练习）【多选题】下列命题中，为真命题的有（

）A． B．C． D．三、填空题10．（2024·