2025苏教版高一数学第1章 1.1 第1课时　集合的概念

2025苏教版高一数学1.1集合的概念与表示第1课时集合的概念1．通过实例了解集合的含义．(难点)2．掌握集合中元素的三个特性．(重点)3．体会元素与集合的“属于”关系，记住常用数集的表示符号并会应用．(重点、易混点)1．通过集合概念的学习，培养数学抽象素养．2．借助集合中元素的互异性的应用，培养逻辑推理素养．在生活与学习中，为了方便，我们经常要对事物进行分类．例如，图书馆中的书是按照所属学科等分类摆放的(如图所示)，作文学习可按照文体如记叙文、议论文等进行，整数可以分成正整数、负整数和零这三类……你能说出数学中其他分类实例吗？试着分析为什么要进行分类．知识点1元素与集合的概念(1)一般地，一定范围内某些确定的、不同的对象的全体组成一个集合．集合中的每一个对象称为该集合的元素，简称元．(2)集合中元素的特征：确定性、互异性、无序性．假如在军训时教官喊“全体高个子同学集合”，你会去集合吗？[提示]不去，不清楚自己是不是高个子．集合中的元素必须同时具备确定性、互异性、无序性．反过来一组对象若不具备这三个特性中任何一个，则这组对象不能构成集合．集合中元素的三个特性是判断一组对象能否构成集合的重要依据．1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)接近于－1的数可以组成集合． ()(2)一个集合中可以找到两个相同的元素． ()(3)组成集合的元素一定是数． ()[答案](1)×(2)×(3)×知识点2元素与集合1．元素与集合的表示(1)元素的表示：通常用小写拉丁字母a，b，c，…表示集合中的元素．(2)集合的表示：通常用大写拉丁字母A，B，C，…表示集合．2．元素与集合的关系(1)属于(符号：∈)，a是集合A中的元素，记作a∈A，读作“a属于A”．(2)不属于(符号：或eq\x\to(∈))，a不是集合A中的元素，记作aA或aeq\x\to(∈)A，读作“a不属于A”．2．已知集合A中有两个元素2和a－1且3∈A，则实数a＝________．4[由题意知a－1＝3，即a＝4．]知识点3常用数集及表示符号名称自然数集正整数集整数集有理数集实数集符号NN*或N＋ZQR3．用“∈”或“”填空．3.5________N；－4________Z；0.5________R；eq\r(2)________N*；eq\f(1,3)________Q．∈∈∈[因为3.5不是自然数，故3.5N；因为－4是整数，故－4∈Z；因为0.5是实数，故0.5∈R；因为eq\r(2)不是正整数，故eq\r(2)N*；因为eq\f(1,3)是有理数，故eq\f(1,3)∈Q．]类型1集合的概念【例1】(1)考察下列每组对象，能构成集合的是()①中国各地的美丽乡村；②直角坐标系中横、纵坐标相等的点；③不小于3的自然数；④截至2022年1月1日，参加一带一路的国家．A．③④ B．②③④C．②③ D．②④(2)下列说法中，正确的有________．(填序号)①单词book的所有字母组成的集合的元素共有4个；②集合M中有3个元素a，b，c，其中a，b，c是△ABC的三边长，则△ABC不可能是等腰三角形；③将小于10的自然数按从小到大的顺序排列和按从大到小的顺序排列分别得到不同的两个集合．(1)B(2)②[(1)①中“美丽”标准不明确，不符合确定性，②③④中的元素标准明确，均可构成集合，故选B．(2)①不正确．book的字母o有重复，共有3个不同字母，元素个数是3．②正确．集合M中有3个元素a，b，c，所以a，b，c都不相等，它们构成的三角形三边不相等，故不可能是等腰三角形．③不正确．小于10的自然数不管按哪种顺序排列，里面的元素都是0,1,2,3,4,5,6,7,8,9这10个数，集合是相同的，和元素的排列顺序无关．]判断一组对象为集合的依据1确定性：负责判断这组元素是否构成集合.2互异性：负责判断构成集合的元素的个数.3无序性：表示只要一个集合的元素确定，则这个集合也随之确定，与元素之间的排列顺序无关.eq\o([跟进训练])1．判断下列每组对象能否构成一个集合．(1)不超过20的非负数；(2)方程x2－9＝0在实数范围内的解；(3)某校2021年在校的所有高个子同学；(4)eq\r(3)的近似值的全体．[解](1)对任意一个实数能判断出是不是“不超过20的非负数”，所以能构成集合．(2)能构成集合．(3)“高个子”无明确的标准，对于某个人算不算高个子无法客观地判断，因此不能构成一个集合．(4)“eq\r(3)的近似值”不明确精确到什么程度，因此很难判断一个数(如“2”)是不是它的近似值，所以不能构成集合．类型2元素与集合的关系【例2】(1)下列所给关系正确的个数是()①π∈R；②eq\r(3)∈R；③eq\r(6)Q；④0∈N*；⑤|－2|∈Z．A．2B．3C．4D．5(2)已知集合A含有三个元素2,4,6，当a∈A，有6－a∈A．则a的值为________．(1)C(2)2或4[(1)π是无理数，∴π∈R，故①正确．eq\r(3)是无理数，∴eq\r(3)∈R，②正确．eq\r(6)是无理数，∴eq\r(6)Q，③正确．0是自然数是非负整数，0∈N，故④错误．|－2|＝2∈Z，⑤正确．故选C．(2)集合A含有三个元素2,4,6且当a∈A，有6－a∈A．a＝2∈A,6－a＝4∈A，所以a＝2或者a＝4∈A,6－a＝2∈A，所以a＝4．综上所述，a＝2或4．]判断元素与集合关系的方法1直接法：如果集合中的元素是直接给出，只要判断该元素在已知集合中是否出现即可.2推理法：对于一些没有直接表示的集合，只要判断该元素是否满足集合中元素所具有的特征即可，此时应首先明确已知集合中的元素具有什么特征.eq\o([跟进训练])2．集合A中的元素x满足eq\f(6,3－x)∈N，x∈N，则集合A中的元素个数为________．3[∵eq\f(6,3－x)∈N，∴3－x＝1或3－x＝2或3－x＝3或3－x＝6，即x＝2或1或0或－3．又x∈N，故x＝0或1或2，即集合A中的元素个数为3．]类型3集合中元素的特性及应用【例3】已知集合A中含有两个元素1和a2，若a∈A，求实数a的值．若集合A中含有两个元素a，b，则a，b满足什么关系？若1∈A，则元素1与集合A中元素a，b存在怎样的关系？[提示]a≠b，a＝1或b＝1．[解]由题意可知，a＝1或a2＝a．(1)若a＝1，则a2＝1，这与a2≠1相矛盾，故a≠1．(2)若a2＝a，则a＝0或a＝1(舍去)．又当a＝0时，A中含有元素1和0满足集合中元素的互异性，符合题意．综上可知，实数a的值为0．[母题探究]1．(变条件)本例若去掉条件“a∈A”，其他条件不变，求实数a的取值范围．[解]由集合中元素的互异性可知a2≠1，即a≠±1．2．(变条件)已知集合A含有两个元素a和a2，若1∈A，求a的值．[解]若1∈A，则a＝1或a2＝1，即a＝±1．当a＝1时，集合A有重复元素，所以a≠1．当a＝－1时，集合A含有两个元素1，－1，符合集合中元素的互异性．所以a＝－1．由集合中元素的特性求解字母取值(范围)的步骤eq\o([跟进训练])3．已知集合A含有两个元素a－3和2a－1，若－3∈A，试求实数a的值．[解]因为－3∈A，所以－3＝a－3或－3＝2a－1．若－3＝a－3，则a＝0，此时集合A含有两个元素－3和－1．符合要求．若－3＝2a－1，则a＝－1，此时集合A含有两个元素－4，－3．符合要求．综上所述，a的值为0或－1．1．下列给出的对象中，能组成集合的是()A．一切很大的数B．好心人C．漂亮的小女孩D．方程x2－1＝0的实数根[答案]D2．下列结论不正确的是()A．0∈N B．eq\r(2)QC．0Q D．8∈ZC[0是有理数，故0∈Q，所以C错误．]3．若以集合A的四个元素a，b，c，d为边长构成一个四边形，则这个四边形可能是()A．梯形 B．平行四边形C．菱形 D．矩形A[由于a，b，c，d四个元素互不相同，故它们组成的四边形的四条边都不相等．]4．若集合A中的元素是由方程x2－2x－3＝0的解构成的，若集合A中的元素是a，b，则a＋b＝________．2[因为方程x2－2x－3＝0的解为3和－1，所以a＋b＝2．]5．已知集合A中有0，m，m2－3m＋2三个元素，且2∈A，求m的值．[解]由2∈A可知，若m＝2，则m2－3m＋2＝0．这与m2－3m＋2≠0相矛盾．若m2－3m＋2＝2，则m＝0或m＝3，当m＝0时与m≠0相矛盾．当m＝3时，集合中含有3个元素0,2,3．故m的值为3．回顾本节知识，自我完成以下问题．1．元素与集合是怎样定义的？它们之间的关系是什么？[提示]一般地，一定范围内某些确定的、不同的对象的全体组成一个集合．集合中的每一个对象称为该集合的元素．元素与集合之间为属于(或不属于)关系．2．利用集合中元素的特性解题时应注意什么？[提示]不要忽视集合中元素的互异性．第2课时集合的表示1．掌握集合的两种常用表示方法(列举法和描述法)．(重点、难点)2．通过实例选择自然语言、图形语言、集合语言(列举法或描述法)描述不同的具体问题，感受集合语言的意义和作用．3．了解集合相等的概念，并能用于解决问题．(重点)1．通过学习描述法表示集合的方法，培养数学抽象的素养．2．借助描述法转化为列举时的运算，培养数学运算的素养．集合是数学中最基本的语言，在今后的数学中，我们都要用到它，要研究集合要在集合的基础上研究其他问题，首先要表示集合，为此我们来学习集合的表示方法．当集合中元素较少时，如何直观地表示集合？当集合中的元素具有一定的规律性，又该如何直观地表示集合？当集合中的元素具有一定的规律性，又该如何表示这类集合？知识点1集合的表示方法表示方法定义一般形式列举法将集合的元素一一列举出来，并置于花括号“{}”内{a1，a2，…，an，…}描述法将集合的所有元素都具有的性质(满足的条件)表示出来{x|p(x)}Venn图法用一个封闭曲线围成的平面区域的内部表示一个集合(1)中国的五岳组成的集合适合用什么方法表示？如何表示？(2)不等式x－2<1的解集中的元素有什么共同特征？[提示](1)列举法，表示为{泰山，华山，衡山，恒山，嵩山}．(2)元素的共同特征为x∈R，且x<3．列举法通常适用于元素个数有限的集合．若集合中的元素有无限个，但有一定的规律性也可用列举法．描述法通常适用于元素个数较多而元素的排列又不呈现明显规律的集合，或者根本就不能一一列举的集合．1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)0与{0}表示的是同一个集合． ()(2)方程(x－1)2·(x－2)＝0的所有解的集合可表示为{1,2}． ()(3)集合A＝{x|x>5，x∈N}是用描述法表示的一个集合． ()[答案](1)×(2)√(3)√知识点2集合的分类(1)集合的分类有限集含有有限个元素的集合无限集含有无限个元素的集合空集不含任何元素的集合，记作∅(2)集合相等如果两个集合所含的元素完全相同(即A中的元素都是B的元素，B中的元素也都是A的元素)，那么称这两个集合相等．2．(1)集合{1,2,3}与{3,2,1}________相等集合．(填“是”或“不是”)(2)若集合{1，a}与集合{2，b}相等，则a＋b＝________．(1)是(2)3[(1)集合{1,2,3}与{3,2,1}元素完全相同，故两集合是相等集合．(2)由于{1，a}＝{2，b}，故a＝2，b＝1，∴a＋b＝3．]类型1用列举法表示集合【例1】用列举法表示下列集合：(1)不大于10的非负偶数组成的集合A；(2)小于8的质数组成的集合B；(3)方程x2－x－2＝0的实根组成的集合C．[解](1)不大于10的非负偶数有0,2,4,6,8,10．所以A＝{0,2,4,6,8,10}．(2)小于8的质数有2,3,5,7，所以B＝{2,3,5,7}．(3)方程x2－x－2＝0的实根为2，－1，所以C＝{2，－1}．用列举法表示集合的步骤1求出集合的元素；2把元素一一列举出来，且相同元素只能列举一次；3用花括号括起来.提醒：二元方程组的解集，函数图象上的点构成的集合都是点的集合，一定要写成实数对的形式，元素与元素之间用“,”隔开.如{2,3，5,－1}.eq\o([跟进训练])1．用列举法表示下列给定的集合：(1)大于1且小于6的整数组成的集合A；(2)方程x2－9＝0的实数根组成的集合B；(3)一次函数y＝x＋2与y＝－2x＋5的图象的交点组成的集合D．[解](1)因为大于1且小于6的整数包括2,3,4,5，所以A＝{2,3,4,5}．(2)方程x2－9＝0的实数根为－3,3，所以B＝{－3,3}．(3)由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝x＋2，,y＝－2x＋5，))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝1，,y＝3，))所以一次函数y＝x＋2与y＝－2x＋5的交点为(1,3)，所以D＝{(1,3)}．类型2用描述法表示集合【例2】用描述法表示下列集合：(1)正偶数集；(2)被3除余2的正整数集合；(3)平面直角坐标系中坐标轴上的点组成的集合．[解](1)偶数可用式子x＝2n，n∈Z表示，但此题要求为正偶数，故限定n∈N*，所以正偶数集可表示为{x|x＝2n，n∈N*}．(2)设被3除余2的数为x，则x＝3n＋2，n∈Z，但元素为正整数，故n∈N，所以被3除余2的正整数集合可表示为{x|x＝3n＋2，n∈N}．(3)坐标轴上的点(x，y)的特点是横、纵坐标中至少有一个为0，即xy＝0，故平面直角坐标系中坐标轴上的点的集合可表示为{(x，y)|xy＝0}．利用描述法表示集合的关注点1写清楚该集合代表元素的符号.例如，集合{x|x<1，x∈R}不能写成{x<1}.2所有描述的内容都要写在花括号内.例如，{x|x＝2k}，k∈Z，这种表达方式就不符合要求，需将k∈Z也写进花括号内，即{x|x＝2k，k∈Z}.3不能出现未被说明的字母.4在通常情况下，集合中元素的所属范围为实数集时可以省略不写.例如，方程x2－2x＋1＝0的实数解集可表示为{x|x2－2x＋1＝0，x∈R}，也可写成{x|x2－2x＋1＝0}.eq\o([跟进训练])2．用描述法表示下列集合：(1)函数y＝－2x2＋x图象上的所有点组成的集合；(2)不等式2x－3<5的解组成的集合；(3)如图中阴影部分的点(含边界)的集合；(4)3和4的所有正的公倍数构成的集合．[解](1)函数y＝－2x2＋x的图象上的所有点组成的集合可表示为{(x，y)|y＝－2x2＋x}．(2)不等式2x－3<5的解组成的集合可表示为{x|2x－3<5}，即{x|x<4}．(3)图中阴影部分的点(含边界)的集合可表示为eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x，y\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(0≤x≤\f(3,2)，0≤y≤1))))．(4)3和4的最小公倍数是12，因此3和4的所有正的公倍数构成的集合是{x|x＝12n，n∈N*}．类型3集合表示法的综合应用【例3】集合A＝{x|kx2－8x＋16＝0}，若集合A中只有一个元素，求实数k的值组成的集合．[解](1)当k＝0时，方程kx2－8x＋16＝0变为－8x＋16＝0，解得x＝2，满足题意；(2)当k≠0时，要使集合A＝{x|kx2－8x＋16＝0}中只有一个元素，则方程kx2－8x＋16＝0有两个相等的实数根，所以Δ＝64－64k＝0，解得k＝1，此时集合A＝{4}，满足题意．综上所述，k＝0或k＝1，故实数k的值组成的集合为{0,1}．[母题探究]1．(变条件)本例若将条件“只有一个元素”改为“有两个元素”，其他条件不变，求实数k的值组成的集合．[解]由题意可知，方程kx2－8x＋16＝0有两个不等实根，故k≠0，且Δ＝64－64k>0，即k<1，且k≠0．所以实数k组成的集合为{k|k<1，且k≠0}．2．(变条件)本例若将条件“只有一个元素”改为“至少有一个元素”，其他条件不变，求实数k的取值范围．[解]由题意可知，方程kx2－8x＋16＝0至少有一个实数根．①当k＝0时，由－8x＋16＝0得x＝2，符合题意；②当k≠0时，要使方程kx2－8x＋16＝0至少有一个实数根，则Δ＝64－64k≥0，即k≤1，且k≠0．综合①②可知，实数k的取值范围为{k|k≤1}．1．若已知集合是用描述法给出的，读懂集合的代表元素及其属性是解题的关键，如例3集合A中的元素就是所给方程的根，由此便把集合的元素个数问题转化为方程的根的个数问题．2．在学习过程中要注意数学素养的培养，如本例中用到了等价转化思想和分类讨论的思想．eq\o([跟进训练])3．已知集合A＝{x|ax2－3x＋1＝0，a∈R}．若集合A中有两个元素，求实数a的取值范围．[解]集合A中有两个元素，即关于x的方程ax2－3x＋1＝0有两个不相等的实数根．∴a≠0，且Δ＝(－3)2－4a>0，解得a<eq\f(9,4)且a≠0．类型4集合相等【例4】(1)集合A＝{x|x3－x＝0，x∈N}与B＝{0,1}________相等集合．(填“是”或“不是”)(2)若集合A＝{1，a＋b，a}，集合B＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(0，\f(b,a)，b))且A＝B，则a＝________，b＝________．[思路点拨](1)解出集合A，并判断与B是否相等；(2)找到相等的对应情况，解方程即可．(1)是(2)－11[(1)x3－x＝x(x2－1)＝0，∴x＝±1或x＝0．又x∈N，∴A＝{0,1}＝B．(2)由题意知，a≠0，故a＋b＝0，∴b＝－a．∴eq\f(b,a)＝－1，∴a＝－1，b＝1．]已知集合相等求参数，关键是根据集合相等的定义，建立关于参数的方程组，求解时还要注意集合中元素的互异性.eq\o([跟进训练])4．已知集合A＝{a，a＋b，a＋2b}，B＝{a，ax，ax2}．若A＝B，求实数x的值．[解]若eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＋b＝ax，,a＋2b＝ax2，))消去b，则a＋ax2－2ax＝0，∴a(x－1)2＝0，即a＝0或x＝1．当a＝0时，集合B中的元素均为0，故舍去；当x＝1时，集合B中的元素均为a，故舍去．若eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＋b＝ax2，,a＋2b＝ax，))消去b，则2ax2－ax－a＝0．又∵a≠0，∴2x2－x－1＝0，即(x－1)(2x＋1)＝0．又∵x≠1，∴x＝－eq\f(1,2)．经检验，当x＝－eq\f(1,2)时，A＝B成立．综上所述，x＝－eq\f(1,2)．1．下列四个集合中，是空集的为()A．{0} B．{x|x>8，且x<5}C．{x|x2－1＝0，x∈N} D．{x|x>4}B[满足x>8且x<5的实数不存在，故{x|x>8，且x<5}＝∅．]2．(多选题)方程组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y＝3，,x－y＝－1))的解集可表示为()A．eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x，y\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y＝3，,x－y＝－1))))))B．eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x，y\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝1，,y＝2))))))C．{1,2} D．{(1,2)}ABD[方程组的解应为有序数对，故A、B、D正确．]3．用描述法表示不等式3x＋2>5的解集为________．{x|x>1}[由不等式3x＋2>5得x>1，用描述法可表示为{x|x>1}．]4．已知M＝{2，a，b}，N＝{2a,2，b2}，且M＝N，则a＋b＝________．1或eq\f(3,4)[∵M＝N，则有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝2a，,b＝b2))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝b2，,b＝2a，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝0，,b＝1))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝\f(1,4)，,b＝\f(1,2)，))∴a＋b＝1或eq\f(3,4)．]5．已知集合A＝{x|y＝x2＋3}，B＝{y|y＝x2＋3}，C＝{(x，y)|y＝x2＋3}，它们三个集合相等吗？试说明理由．[解]三个集合不相等，这三个集合都是描述法给出的，但各自的意义不一样．集合A表示y＝x2＋3中x的范围，x∈R，∴A＝R，集合B表示y＝x2＋3中y的范围，B＝{y|y≥3}，集合C表示y＝x2＋3上的点组成的集合．回顾本节知识，自我完成以下问题．1．集合常用的表示方法有哪些？各有什么特点？[提示]列举法、描述法．列举法通常适用于元素个数较少或元素有规律的集合．描述法通常适用于元素个数较多或无规律的集合．2．对集合的表示有什么要求？[提示]要根据集合元素的特点，选择适当的方法表示集合．一般要符合最简原则．3．通过本节课培养了哪些核心素养和思想方法？[提示]培养数学运算素养和逻辑推理素养．思想方法有等价转化和分类讨论的思想．1.2子集、全集、补集第1课时子集、真子集1．理解集合间包含与相等的含义，能识别给定集合间是否有包含关系．(重点)2．能通过分析元素的特点判断集合间的关系．(难点)3．能根据集合间的关系确定一些参数的取值．(难点、易错点)1．通过对集合之间包含与相等的含义以及子集、真子集概念的理解，培养数学抽象素养．2．借助子集和真子集的求解，培养数学运算素养．如果一个班级中，所有同学组成的集合记为S，而所有女同学组成的集合记为F，你觉得集合S和F之间有怎样的关系？你能从集合元素的角度分析它们的关系吗？知识点1子集的概念及其性质(1)子集定义如果集合A的任意一个元素都是集合B的元素(若a∈A，则a∈B)，那么集合A称为集合B的子集符号表示A⊆B(或B⊇A)读法集合A包含于集合B(或集合B包含集合A)图示(2)子集的性质①A⊆A，即任何一个集合是它本身的子集．②∅⊆A，即空集是任何集合的子集．③若A⊆B，B⊆C，则A⊆C，即子集具备传递性．(3)集合相等若A⊆B且B⊆A，则A＝B．1．(1)任何两个集合之间是否一定有包含关系？(2)符号“∈”与“⊆”有何不同？[提示](1)不一定，如集合A＝{1,2}与B＝{3,4}这两个集合之间没有包含关系．(2)符号“∈”表示元素与集合间的关系；而“⊆”表示集合与集合之间的关系．不能把“A⊆B”理解为“A是B中部分元素组成的集合”，因为集合A可能是空集，也可能是集合B．1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)空集中只有元素0，而无其余元素． ()(2)任何一个集合都有子集． ()(3)若A＝B，则A⊆B且B⊆A． ()(4)若a∈A，则{a}⊆A． ()[答案](1)×(2)√(3)√(4)√知识点2真子集的概念与性质(1)真子集的概念如果A⊆B，并且A≠B，那么集合A称为集合B的真子集，记为AB或BA，读作“A真包含于B”或“B真包含A”．(2)性质①∅是任一非空集合的真子集．②若AB，BC，则AC．2．{0}与∅相等吗？[提示]不相等．{0}表示一个集合，且集合中有且仅有一个元素0；而∅表示空集，其不含有任何元素，故{0}≠∅．2．集合A＝{x|0≤x<2，x∈N}的真子集的个数为________．3[集合A＝{0,1}，其真子集分别为∅，{0}，{1}，共3个．]类型1确定集合的子集、真子集【例1】设A＝{x|(x2－16)(x2＋5x＋4)＝0}，写出集合A的子集与真子集．[解]由(x2－16)(x2＋5x＋4)＝0，得(x－4)(x＋1)(x＋4)2＝0，解方程得x＝－4，或x＝－1或x＝4，故集合A＝{－4，－1,4}．由0个元素构成的子集为：∅；由1个元素构成的子集为：{－4}，{－1}，{4}；由2个元素构成的子集为：{－4，－1}，{－4,4}，{－1,4}；由3个元素构成的子集为：{－4，－1,4}；故集合A的子集为：∅，{－4}，{－1}，{4}，{－4，－1}，{－4,4}，{－1,4}，{－4，－1,4}共8个子集．真子集为：∅，{－4}，{－1}，{4}，{－4，－1}，{－4,4}，{－1,4}共7个．确定子集、真子集的关键点和规律1．有限集的子集的确定问题，求解关键有三点：(1)确定所求集合；(2)合理分类，按照子集所含元素的个数依次写出，一般按元素从少到多的顺序逐个写出满足条件的集合；(3)注意两个特殊的集合，即空集和集合本身．2．与子集、真子集个数有关的三个结论假设集合A中含有n个元素，则有：(1)A的子集的个数为2n个；(2)A的真子集的个数为2n－1个；(3)A的非空真子集的个数为2n－2个．eq\o([跟进训练])1．已知集合M满足{1,2}M⊆{1,2,3,4,5}，写出集合M所有的可能情况．[解]由题意可以确定集合M必含有元素1,2，且至少含有元素3,4,5中的一个，因此依据集合M的元素个数分类如下：含有3个元素：{1,2,3}，{1,2,4}，{1,2,5}；含有4个元素：{1,2,3,4}，{1,2,3,5}，{1,2,4,5}；含有5个元素：{1,2,3,4,5}．故满足条件的集合M为{1,2,3}，{1,2,4}，{1,2,5}，{1,2,3,4}，{1,2,3,5}，{1,2,4,5}，{1,2,3,4,5}．类型2集合关系的判断【例2】指出下列各对集合之间的关系：(1)A＝{－1,1}，B＝{x|x2＝1，x∈N}；(2)A＝{－1,1}，B＝{(－1，－1)，(－1,1)，(1，－1)，(1,1)}；(3)P＝{x|x＝3n－1，n∈Z}，Q＝{x|x＝3n＋2，n∈Z}；(4)A＝{x|x是等边三角形}，B＝{x|x是三角形}；(5)A＝{x|－1<x<4}，B＝{x|x－5<0}．[解](1)用列举法表示集合B＝{1}，故BA．(2)集合A的代表元素是数，集合B的代表元素是实数对，故A与B之间无包含关系．(3)∵P表示3的整数倍少1的数构成的数集，Q表示3的整数倍多2的数构成的数集，∴P＝Q．(4)等边三角形是三边相等的三角形，故AB．(5)集合B＝{x|x<5}，用数轴表示集合A，B，如图所示，由图可发现AB．判断集合关系的方法1观察法：一一列举观察.2元素特征法：首先确定集合的元素是什么，弄清集合元素的特征，再利用集合元素的特征判断关系.3数形结合法：利用数轴或Venn图.提醒：若A⊆B和AB同时成立，则AB更能准确表达集合A，B之间的关系.eq\o([跟进训练])2．判断下列各组中集合之间的关系：(1)A＝{x|x是12的约数}，B＝{x|x是36的约数}；(2)A＝{x|x是平行四边形}，B＝{x|x是菱形}，C＝{x|x是四边形}，D＝{x|x是正方形}．[解](1)因为若x是12的约数，则必定是36的约数，反之不成立，所以AB．(2)由图形的特点可画出Venn图如图所示，从而DBAC．类型3集合之间的包含关系【例3】已知集合A＝{x|－2≤x≤5}，B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}．若BA，求实数m的取值范围？集合B中的元素有何特点？可能为空集吗？m满足什么条件时B＝∅？[提示]集合B中的元素不确定，随m的变化而变化.B可能为空集.,当m＋1>2m－1时B＝∅.[解](1)当B＝∅时，由m＋1>2m－1，得m<2．(2)当B≠∅时，如图所示．∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＋1≥－2，,2m－1<5，,2m－1≥m＋1))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＋1>－2，,2m－1≤5，,2m－1≥m＋1，))解这两个不等式组，得2≤m≤3．综上可得，m的取值范围是{m|m≤3}．[母题探究]1．(变条件)若本例条件“A＝{x|－2≤x≤5}”改为“A＝{x|－2<x<5}”，其他条件不变，求m的取值范围．[解](1)当B＝∅时，由m＋1>2m－1，得m<2．(2)当B≠∅时，如图所示，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＋1>－2，,2m－1<5，,m＋1≤2m－1，))解