概率与统计高中数学 二轮复习2

概率及其计算

一、考纲解读

1.了解随机事件发生的不确定性、频率的稳定性、概率的意义、频率与概率的区

别。

2.了解两个互斥事件的概率的加法公式。

3.掌握古典概型及其概率计算公式。

4.了解随机数的意义，能运用模拟方法估计概率。

5.了解几何概型的意义。

二、命题趋势探究

1.本部分为高考必考内容，在选择题、填空题和解答题中都有渗透。

2.命题设置以两种概型的概率计算及运用互斥、对立事件的概率公式为核心内容,

题型及分值稳定，难度中等或中等以下.

三、知识点精讲

(-).必然事件、不可能事件、随机事件

在一定条件下：

①必然要发生的事件叫必然事件；

②一定不发生的事件叫不可能事件；

③可能发生也可能不发生的事件叫随机事件。

(-).概率

在相同条件下，做次重复实验，事件A发生次，测得A发生的频率为，当很大

时，A发生的频率总是在某个常数附近摆动，随着的增加，摆动幅度越来越小，

这时就把这个常数叫做A的概率，记作。对于必然事件A,；对于不可能事件A,

（三）.两个基本概型的概率公式

1、古典概型

条件：1、基本事件空间含有限个基本事件2、每个基本事件发生的可能性相同

p（A\_A包含基本事件数_card（N）

（产基本事件总数一cardQ）

2、几何概型

条件：每个事件都可以看作某几何区域。的子集A,A的几何度量（长度、面积、

体积或时间）记为〃L

P（A）=^-0

4c

（四）.互斥事件

1、互斥事件

在一次实验中不能同时发生的事件称为互斥事件。事件A与事件B互斥，则

P（AUB）=P（A）+P（B）

2、对立事件

事件A,B互斥，且其中必有一个发生，称事件A,B对立，记作8=4或4=与。

P（A）=l-p（A）

O

3、互斥事件与对立事件的联系

对立事件必是互斥事件，即“事件A,B对立“是"事件A,B互斥"的充分不必要

条件。

四、解答题总结

1.某兴趣小组有2名男生和3名女生，现从中任选2名学生去参加活动，则恰

好选中2名女生的概率为—.

2.从6男2女共8名学生中选出队长1人，副队长1人，普通队员2人组成4

人服务队，要求服务队中至少有1名女生，共有种不同的选法.（用数

字作答）

3.记函数./Xx）=J6+X-Y的定义域为O.在区间［T,5］上随机取一个数x,

则xw£）的概率是.

4.有三张卡片，分别写有1和2,1和3,2和3.甲，乙，丙三人各取走一张卡

片，甲看了乙的卡片后说：“我与乙的卡片上相同的数字不是2"，乙看了丙的卡

片后说：“我与丙的卡片上相同的数字不是1"，丙说：“我的卡片上的数字之和不

是5”，则甲的卡片上的数字是.

5.将2本不同的数学书和1本语文书在书架上随机排成一行，则2本数学书相

邻的概率为.

6.甲、己两名运动员各自等可能地从红、白、蓝3种颜色的运动服中选择1

种，则他们选择相同颜色运动服的概率为.

7.在3张奖券中有一、二等奖各1张，另1张无奖，甲、乙两人各抽取1张，

两人都中奖的概率是;

8.在区间［-2,4］上随机地取一个数尤，若无满足|x|V加的概率为乡，则机=.

9.从1,2,3,4这四个数中一次随机取两个数，则其中一个数是另一个的两倍

的概率为

答案：

1.5【解析】记2名男生分别为A,B,3名女生分别为a,h,c,则从中任

选2名学生有AB,Aa,Ah,Ac,Ba,Bb,Be,ab,ac,be,共10种情

3

况，其中恰好选中2名女生有"，ac,he,共3种情况，故所求概率为三.

10

2.660【解析】由题意可得：总的选择方法为：C：xC：xC；种方法，其中不满足

题意的选法有Q(种方法，则满足题意的选法有：

C；xCi<C-jcX，xC：=66。种.

3.-【解析】由6+》-炉20,解得_2〈尤<3,根据几何概型的计算公式得概

9

率为

3-(-2)=5

5-(-4)-9'

4.1和3【解析】为方便说明，不妨将分别写有1和2,1和3,2和3的卡片记

为A,B,C从丙出发，由于丙的卡片上的数字之和不是5,则丙只可能是卡片

A或B,无论是哪一张，均含有数字1,再由乙与丙的卡片上相同的数字不是1

可知，乙所拿的卡片必然是C,最后由甲与乙的卡片上相同的数字不是2,知甲

所拿的卡片为B,此时丙所拿的卡片为A.

2

5.-【解析】设2本数学书分别为A、B,语文书为G,则所有的排放顺序有

3

ABC、ACB、BAC、BCA、CAB、CBA,共6种情况，其中数学书相邻的有ABC、

42

BAC、CAB、CBA,共4种情况，故2本数学书相邻的概率P.

63

6.-【解析】甲、乙两名运动员各自等可能地从红、白、蓝3种颜色的运动服

3

中选择1种的所有可能情况为（红，白），（白，红），（红，蓝），（蓝，红），（白，

蓝），（蓝，白），（红，红），（白，白），（蓝，蓝），共9种，他们选择相同颜色

运动服的所有可能情况为（红，红），（白，白），（蓝，蓝），共3种.故所求概

率为P=—•

3

7.1【解析】设3张奖券中一等奖、二等奖和无奖分别为“,0,c,甲、乙两人

各抽取一张的所有情况有必,公、,儿,儿、,以,仍共六种，其中两人都中奖的情况有

心儿共2种，所以概率为:

8.3【解析】由几何概型，得加一（-2）=「，解得加=3.

4-（-2）6

9.；【解析】从1,2,3,4这四个数中一次随机取两个数，基本事件为：{1,2},

{1,3},{1,4},{2,3},{2,4},{3,4},共6个，符合“一个数是另一个数的两倍”的

基本事件为{1,2},{2,4}共2个，所以概率为g.

统计与统计案例

一、考纲解读

1.理解随机抽样的必要性和重要性。

2.会用简单随机抽样方法从总体中抽取样本；了解分层抽样和系统抽样方法。

3.了解分布的意义和作用，会列频率分布表，会画出频率分布直方图、频率折线

图、茎叶图，理解它们各自的特点。

4.理解样本数据标准差的意义和作用，会计算数据标准差。

5.能从样本的频率分布估计总体分布，会用样本的基本数字牲估计总体的基本

数字特征，理解用样本估计总体的思想。

6.会用随机抽样的基本方法和样本估计总体的思想解决一些简单的实际问题。

7.会作两个有关联变量的数据的散点图，会利用散点图认识变量间的相关关系。

8.了解最小二乘法的思想，能根据给出的线性回归方程系数公式建立线性回归

方程。

9.了解常见的统计方法，并能应用这些方法解决一些实际问题。

（1）独立性检验

了解独立性检验（只要求2x2列联表）的基本思想、方法及其简单应用。

（2）回归分析

了解回归分析的基本思想、方法及其简单应用。

二、命题趋势探究

1.本节内容是高考必考内容，以选择题、填空题为主。

2.命题内容为：（1）三种抽样（以分层抽样为主）；（2）频率分布表和频率分布直方图

的制作、识图及运用。（1）（2）有结合趋势，考题难度中下。

3.统计案例为新课标教材新增内容，考查考生解决实际问题的能力。

三、知识点精讲

（-）.抽样方法

三种抽样方式的对比，如表17所示。

类型共同点各自特点相互关系使用范围

简单随机抽样抽样过程都从总体中随机逐个总体容量较

是不放回抽抽取小

样，每个个体

系统抽样总体均分几段，每段第一段简总体中的个

被抽到的机

会均等，总体T个，单随机抽体个数较多

容量N,样本样

第一段取a\,

容量n,每个

个体被抽到第二段取©+T,

的概率P=2

N第三段取a\+2T,

将总体分成〃层，每每层按简总体由差异

层按比例抽取单随机抽明显的几部

分层抽样

样或系统分组成

抽样

(-).样本分析

⑴样本平均值：X=^±XiO

(2)样本众数：样本数据中出现次数最多的那个数据。

⑶样本中位数：将数据按大小排列，位于最中间的数据或中间两个数据的平均数。

(4)样本方差：?=-^(x,.-x)2。

众数、中位数、平均数都是描述一组数据集中趋势的量，方差是用来描述一组数

据波动情况的特征数。

(三).频率分布直方图的解读

(1)频率分布直方图的绘制

①由频率分布表求出每组频数修；

②求出每组频率？=乜(〃为样本容量)；

N

③列出样本频率分布表；

④画出样本频率分布直方图，直方图横坐标表示各组分组情况，纵坐标为每组频

率与组距比值，各小长方形的面积即为各组频率，各小长方形的面积总和为lo

(2)样本估计总体

步骤：总体一抽取样本一频率分布表T频率分布直方图-估计总体频率分布。

样本容量越大，估计越精细，样本容量无限增大，频率分布直方图无限无限趋近

概率分布密度曲线。

(3)用样本平均数估计总体平均数，用样本标准差估计总体标准差。

公式：aX+b-ax+b,s2(aX+b')=a2s2(X)。

(四).线性回归

线性回归是研究不具备确定的函数关系的两个变量之间的关系(相关关系)的方

法。

对于一组具有线性相关关系的数据(用,yi),(及,)2),…，(X",y")，其回归方程y=Rx+a

的求法为

S(占一项％一y)E%必-nxy

b=^-----——.....—

XV~nX

1=1/=1

a=y-bx

其中，x=,(x,y)称为样本点的中心。

步骤：画散点图，如散点图中的点基本分布在一条直线附近，则这条直线叫这两

个变量的回归直线，直线斜率Z>0,称两个变量正相关；M0,称两个变量负相

关。

(五).独立性

独立性检验是判断两个分类变量是否存在相关关系的案例分析方法。

步骤为列出2x2列联表(如表18所示)，求出犬=------n(ad-hcy------,并判

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

断：

表18

AiA2合计

B\aca+c

B2bdb+d

合计a+bc+dn=a+h+c+d

若旅>1。828,有99.9%把握称“A取4或4”对“8取B,毛”有关系;

若10.8282心〉6.635,有99%把握称“A取4或A/对“8取B,毛”有关系;

若6.635>^2>3.841,有95%把握称“A取4或A2”对“8取B\,有关系；

若^<3.841,没有把握称A与8相关。

四、解答题总结

核心考点一:统计初步

1.某公司有大量客户，且不同龄段客户对其服务的评价有较大差异.为了解客

户的评价，该公司准备进行抽样调查，可供选择的抽样方法有简单随机抽样、分

层抽样和系统抽样，则最合适的抽样方法是.

2.已知5位裁判给某运动员打出的分数的茎叶图如图所示，那么这5位裁判打

出的分数的平均数为.

899

9011

3.某工厂生产甲、乙、丙、丁四种不同型号的产品，产量分别为200,400,300,

100件，为检验产品的质量，现用分层抽样的方法从以上所有的产品中抽取60件

进行检验，则应从丙种型号的产品中抽取件.

4.某网店统计了连续三天售出商品的种类情况：第一天售出19种商品，第二天

售出13种商品，第三天售出18种商品；前两天都售出的商品有3种，后两天都

售出的商品有4种，则该网店

①第一天售出但第二天未售出的商品有种；

②这三天售出的商品最少有种.

5.已知样本数据再，X”的均值亍=5,则样本数据2西+1,2%+1，…,

2土+1的均值为

6.某电子商务公司对10000名网络购物者2014年度的消费情况进行统计，发现

消费金额(单位：万元)都在区间［0.3,0.9］内，其频率分布直方图如图所示.

(1)直方图中的4=.

(2)在这些购物者中，消费金额在区间［().5,0.9］内的购物者的人数为.

7.为了了解一片经济的生长情况，随机抽测了其中60株树木的底部周长(单位：

cm),所得数据均在区间［80,130］上，其频率分布直方图如图所示，则在抽测的

60株树木中，有株树木的底部周长小于100cm.

8.某大学为了解在校本科生对参加某项社会实践活动的意向，拟采用分层抽样

的方法，从该校四个年级的本科生中抽取一个容量为300的样本进行调查.已知

该校一年级、二年级、三年级、四年级的本科生人数之比为4：5：5：6,则应

从一年级本科生中抽取名学生.

9.为了考察某校各班参加课外书法小组的人数，在全校随机抽取5个班级，把

每个班级参加该小组的人数作为样本数据.已知样本平均数为7,样本方差为

4,且样本数据互不相同，则样本数据中的最大值为.

10.某学校高一、高二、高三年级的学生人数之比为3：3：4,现用分层抽样的方法从

该校高中三个年级的学生中抽取容量为50的样本，则应从高二年级抽取名

学生.

答案：

1.分层抽样【解析】因为不同年龄的客户对公司的服务评价有较大差异，所以

需按年龄进行分层抽样，才能了解到不同年龄段客户对公司服务的客观评价.

2.90【解析】由茎叶图可得分数的平均数为89+89+；+91±91=90.

3.18【解析】应从丙种型号的产品中抽取60xC"=18件.

1000

4.①16；②29【解析】①由于前二天都售出的商品有3种，因此第一天售出的

有19-3=16种商品第二天未售出；答案为1.6.

②同①第三售出的商品中有14种第二天未售出，有1种商品第一天未售出，三

天总商品种数最少时，是第三天中14种第二天未售出的.商品都是第一天售出过

的，此时商品总数为29.分别用表示第一、二、三天售出的商品，如图最

少时的情形.故答案为29.

5.11［解析］由元=5得(2*+1)+(21+1)+…+(2x“+l)

n

=2x内+热+…+="+1=2元+1=11.

n

6.(1)3；(II)6000【解析】(I)0.1xl.5+0.1x2.5+0.1xa+0.1x2

40.1x0.8+0.1x0.2=1,解得a=3；(II)区间［0.5,0.9］内的频率为

1-0.1x1.5-0.1x25=0.6,则该区间内购物者的人数为10000x0.6=6000.

7.24【解析】由频率分布直方图可得树木底部周长小于100cm的频率是(0.025

+0.015)x10=0.4,又样本容量是60,所以频数是0.4x60=24.

4

8.60【解析】应从一年级抽取300?-----------60名.

4+5+5+6

9.10【解析】设五个班级的数据分别为a<b<c<d<e。由平均数方差的公式

得

a+b+c+d+e_7(a-7『+3-7)：+(c-7)-+(d-7f+(e-7『=4显然各个括舁

为整数。设a-7,一一7,c-7,d-7,e-7分别为p,q,r,s,f,(p,q,r,s,teZ),

刖［p+q+r+s+f=0.......⑴

'p2+q2+r+s2+t220---(2)

设/'(x)=(x-p)2+(x-q)2+*-万+(x-s)-=

4x2-2(p+q+r+s)x+(p2+q2+r2+52)=4%2+2tx+20-Z2,因为数据互不相同,

分析/(x)的构成，得了(幻〉0恒成立，因此判别式口<0,得"4,所以区3,即

e<10o

3

10.15【解析】由题意得高二年级的学生人数占该学校高中人数的名，利用分层

抽样的有关知识得应从高二年级抽取50x±=15名学生。

10

核心考点二:回归分析与独立性检验

1.高三年级267位学生参加期末考试，某班37位学生的语文成绩，数学成绩与

总成绩在全年级中的排名情况如下，甲、乙、丙为该班三位学生.

26

7

67语

数

文

学

成

成

绩

绩

年

年

级

级

名

名

次

次

OO

总成绩年级名次总成绩年级名次267

从这次考试成绩看，

①在甲、乙两人中，其语文成绩名次比其总成绩名次靠前的学生是;

②在语文和数学两个科目中，丙同学的成绩名次更靠前的科目是.

2.下图是某地区2000年至2016年环境基础设施投资额y(单位：亿元)的折

线图.

为了预测该地区2018年的环境基础设施投资额，建立了y与时间变量f的两个

线性回归模型.根据2000年至2016年的数据（时间变量t的值依次为

1,2,…，17）建立模型①：9=-30.4+135；根据2010年至2016年的数据

（时间变量f的值依次为1,2,…，7）建立模型②：$=99+17.5/.

（1）分别利用这两个模型，求该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值;

（2）你认为用哪个模型得到的预测值更可靠？并说明理由.

3.为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每隔30min从该生产线

上随机抽取一个零件，并测量其尺寸（单位：cm）.下面是检验员在一天内依次抽

取的16个零件的尺寸：

抽取

12345678

次序

零件

9.9510.129.969.9610.019.929.9810.04

尺寸

抽取

910111213141516

次序

零件10.269.9110.1310.029.2210.0410.059.95

尺寸

经计算得六记1y16,=9.97,S=J/启i16―七/1.16;一*

(1616

«0.212,22(z-8.5)2«18,439,2L(x,.-7)(/-8.5)=-2.78,其中者为抽取的第，

Vi=Ii=l

个零件的尺寸，i=l，2,16.

⑴求(x：,i)(7=1,2,…,16)的相关系数，并回答是否可以认为这一天生产的零件

尺寸不随生产过程的进行而系统地变大或变小(若|川＜0.25,则可以认为零件的

尺寸不随生产过程的进行而系统地变大或变小).

(2)一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在(元-3s,亍+3$)之外的零件，就认为这条

生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查.

(i)从这一天抽检的结果看，是否需对当天的生产过程进行检查？

(ii)在(5-3s,5+3s)之外的数据称为离群值，试剔除离群值，估计这条生产线当

天生产的零件尺寸的均值与标准差.(精确到0.01)

附：样本(%,%)(7=1,2「一,〃)的相关系数,=博*-A件…A，

7(X008«0.09.

4.如图是我国2008年至2014年生活垃圾无害化处理量(单位：亿吨)的折线

图.

方

京

南

军

波

营

女

粕

出

时

代码t

年份

014.

08-2

份20

应年

别对

-7分

代码1

年份

注：

以

系数加

用相关

系，请

f的关

合y与

型拟

归模

性回

用线

出，可

线图看

由折

（I）

；

说明

圾

生活垃

年我国

2016

预测

01）,

到0.

精确

（系数

归方程

/的回

y关于

建立

（II）

.

处理量

无害化

n

7

7

55,不

2=0.

弘-力

区（

.17,

=40

»戊

.32,

M=9

据：£

考数

：参

附注

1

Vi=

i=l

i=\

.

=2.646

J）

--

力

，

〃

了「

数一

关系

：相

公式

参考

：-寸

）吃（y

岳—

/=1

]

V/=

别为:

公式分