高中数学10 函数的应用（课时训练）解析版

专题10函数的应用

【基础巩固】

1.函数y=ln(x+l)与＞=：的图象交点的横坐标所在区间为()

A.(0,1)B.(l,2)C.(2,3)D.(3,4)

【答案】B

【解析】函数.y=ln(x+l)与的图象交点的横坐标，即为函数«r)=ln(x+l)T的零点.

•.工笛在区间(0,+oo)内是图象连续的，且火l)=ln2-l＜0,火2)=ln3祗＞0,.••Ax)的零点所在

区间为(1,2).故选B.

2.函数y=lnx的零点是()

A.(0,0)B.x=0C.x=lD.不存在

【答案】C

【解析】函数y=lnx的零点等价于方程lnx=0的根,

函数y=lnx的零点是*=1,故选：C.

3.已知偶函数式x)满足y(x-l)dx+l)，且当xHO，1］时，加)=x,则关于x的方程

加)=偌)、在区间［0,4］上解的个数是()

A.lB.2C.3D.4

【答案】D

【解析】由y(x-i)yx+i),可知函数危)的周期7=2.1］时，y(x)=x,

又於)是偶函数，...兀V)的图象与产(2)、的图象如图所示.

由图象可知於)=仁「在区间［°，4］上解的个数是4.故选D.

4.已知函数〃x)=£—在下列区间中，包含“X)零点的区间是()

A.(0,1)B.(1,2)C.(2,4)D.(4,+00)

【答案】C

【解析】V/(l)=6-log2l=6>0,/(2)=3-log22=2>0,

3i

/(4)=^-log24=-1<0，/./(X)零点的区间是(2,4).

1,把0,

5.已知函数yu)=h则使方程x+yu)=〃?有解的实数〃?的取值范围是()

一，x>0,

u

A.(1,2)B.(—oo,—2]

C.(-oo,1)U(2>+oo)D.(—co,1]U[2,+oo)

【答案】D

【解析】当烂。时，x+j(x)—m,即x+l=,〃，解得"El；当x>0时，x+j(x)—m,即x+

~=m,解得，"N2,即实数机的取值范围是(-8,1JU[2,+oo).故选D.

6.基本再生数R。与世代间隔是新冠肺炎的.流行病学基本参数.基本再生数指一个感染者传

染的平均人数，世代间隔是指相邻两代间传染所需的平均时间.在新冠肺炎疫情初始阶段,

可以用指数模型：/«)=e”描述累计感染病例数/⑺随时间r(单位：天)的变化规律，指数

增长率r与%,T近似满足/=1+4.有学者基于已有数据估计出A=3.28,T=6.据此，

在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间约为(ln2=0.69)()

A.1.2天B.1.8天C.2.5天D.3.5天

【答案】B

【思路导引】根据题意可得I=e"=e°-38',设在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病

例数增加1倍需要的时间为4天，根据e°38"+")=2e°38,,解得:即可得结果.

328—1

【解析】因为《=3.28,T=6,&=1+",所以「=二一=0.38,所以

6

=e"=6“38’，设在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间为4

天，则ea38（,+，l）=26°-3必，所以e°3跖=2,所以0.38Z,=In2,所以4=电2»蟹»1.8

0.380.38

天,故选：B.

—x2—2x+3,x<\,1

7.已知函数负x）={若关于x的方程*x）=h—；恰有4个不相等的实

Inx,x>it乙

数根，则实数Z的取值范围是.

【答案】&曰

【解析】若关于X的方程/）=匕一，恰有4个不相等的实数根，则段）的图象和直线y=kx

一3有4个交点.作出函数人制的图象，如图，故点（1，0）在宜线），=履一;的下方.所以kl

-1>0,解得％

Inm+5]

当直线丫=独一]和y=lnx相切时，设切点横坐标为小，则Z=―-—=—,所以此

时，氏='=/，的图象和直线>'=依-3有3个交点，不满足条件，故要求的*的取值

范围是《，知.

8.（2019.全国高一单元测试）某同学在借助计算器求“方程/gx=2—x的近似解（精确度为

0.D”时,设"x）=/gx+x—2,算得用）<0,式2）>0；在以下过程中,他用“二分法”又取了4

个x的值，计算了其函数值的正负，并得出判断：方程的近似解是户1.8.那么他再取的x的

4个值依次是.

【答案】1.5,1.75,1.875,1.8125

【解析】

第一次用二分法计算得区间(1.5,2),第二次得区间(1.75,2),第三次得区间(1.75,1.875),第

四次得区间(1.75,1.8125).

9.已知是定义在R上且周期为3的函数，当xe［0,3)时,

/(x)=|x2-2x+!|.若函数y=/(x)-a在区间［-3,4］上有10个零点(互不相同)，则实数a

的取值范围是.

【答案】(0,；)

【解析】函数y=/(x)—a在区间［一3,4］上有互不相同的10个零点，即函数y=/(x)与

y=a的图象有10个不同的交点，在坐标系中作出函数y=/(x)在一个周期内的图象，可

知0<a<一.

2

10.函数'一的零点个数是_______.

2x-6+lnx,x>0

【答案】2

【解析】当时，令f一2=0,解得％=-血；当x>0时，/(x)=2x—6+lnx,

•.•/''(幻=2+!>0,二/(x)在(0,+8)上单调递增，因为/(1)=-4<0,

x

/(3)=ln3>0,所以函数/(x)=2x-6+lnx在(0,+oo)有且只有一个零点，所以/(x)

的零点个数为2.

【能力提升】

5尤2

—,0<x<2

11.定义域为R的偶函数"X),当xNO时，/(%)=<1,若关于x的方

冏+22

程(〃x)y+4(x)+匕=0(a/eR)有且仅有6个不等的实数根,则。的取值范围为(

)

【答案】C

5%2

——,0<x<2

[6

【解析】当xNO时，〃x)=,/(x)为偶函数

I-|+l,x>2

画出函数图像，如图所示:

当机〉一时：/*)=，〃无解；

4

当机=*时：/(*)=加有2个根；

4

当1<小<一时：/。)=机有4个根;

当0<“41时：f(x)="2有2个根;

当m=0时："幻=，葭有1个根;

当〃2<0时：/（力=根无解；

2

（/（x））+«/■（%）+/?=0（a,bGR）有且仅有6个不等的实数根

,5

1<m,<—

1<吗

/（%）=班和/■（»=%（〃<加2）满足：，或，

5

m.--0<叫<1

-4

5

1<m

'<49559

则满足:

4'.224

%=一

4

1<m7<—=_"2.一2<”.1

"4则满足:1<叫+叫

44

0<叫<1

综上所述：〃£（一5，一1）°（一］，一1］故选：C

12..（2020•江苏常州高级中学模拟）已知函数7U）=|2"2|+h的两个零点分别为加，

X2（X1>X2）,则下列结论正确的是（）

A.l<xi<2,X］+X2<2B,1<XI<2,XI+X2<1

C.XJ>1,X\+X2<2D.XI>1,XI+X2<1

【答案】A

【解析】函数yU）=|2'・2|+。有两个零点，即y二|”2|与产力的图象有两个交点,交点的横

坐标就是汨，%2（］2<加），在同一平面直角坐标系中画出丁=|2"-2|与y=»的图象（如图），可知

1<x\<2

当),=»=2时，制=2,两个函数图象只有一个交点，当)，=-/?<2时，由图可知XI+X2<2.

13.已知；leR,函数/(x)=4,',当2=2时，不等式/(x)<0的解集

x~—4x+3,x<几

是.若函.数/(x)恰有2个零点，则；I的取.值范围是

【答案】(1,4)；(1,3]U(4,M)

【解析】若4=2,则当xN2时，令％—4<0,得2Wx<4；当x<2时，令

%2-4X+3<0,得1<X<2.综上可知1<X<4,所以不等式/(x)<0的解集为

(1,4).令x—4=0,解得％=4；令*2—4X+3=0,解得尤=1或X=3.因为函数

恰有2个零点，结合.函数的图象(图略)可知1<443或；I>4.

14.若函数f(x)=|2*-2|一>有两个零点，则实数b的取值范围是.

【答案】0<b<2

【解析】画出产=|2"一2|的图像，和y=B如图，要有两个交点，那么6M)

15.某市自来水厂向全市生产与生活供水，蓄水池(蓄量足够大)在每天凌晨0点时将会

有水15千吨,

水厂每小时向池中注水2千吨，同时从池中向全市供水，若已知x(O«xW24)小时内供水

总量为10«千

吨，且当蓄水量少于3千吨时，供水就会出现紧张现象.

(1)一天内将在哪个时间段内出现供水紧张现象？

(2)若将每小时向池内注水2千吨改为每小时向池内注水2)千吨，求。的最小

值，使得供水紧张现象消除.

25

【答案】(1)4时至9时出现供水紧张现象；(2)—.

12

【解析】(1)设蓄水量为y,根据题意，y=15+2x—10«,(0<x<24),

令y=15+2元一1%<3,(«—2)(«—3)<0,解得2<4<3，则4cx<9，

所以一天内将在4时至9时出现供水紧张现象.

(2)每小时向池内注水>2)千吨，则y=15+依一10。(0WxM24),

令r=«e[0,2«],则％=产，/(/)=ar-10z+15,Ze[0,2>/6J,

对称轴为x=3,因为a>2,所以0<2<*<2指，

aa2

fmm(?)~|=«•--10x—+15=-----1-15,令—生+1523(a>2),解得

\aJaaaa

、25

a>—，

12

25

所以使得供水紧张现象消除的a的最小值为一.

【名师点睛】本题考查函数模型的应用，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键，属于中

档题.

16.(2020•四川南充高级中学模拟)某快递公司在某市的货物转运中心拟引进智能机器人

分拣系统，以提高分拣效率和降低物流成本，已知购买X台机器人的总成本p(x)=

(1)若使每台机器人的平均成本最低，问应买多少台？

(2)现按(1)中的数量购买机器人，需要安排"?人将邮件放在机器人上，机器人将邮件送

达指定落袋格口完成分拣，经实验知，每台机器人的日平均分拣量式⑼=

(单位：件)，已知传统人工分拣每人每日的平均分拣量为1200

1480,m>30

件，问引进机器人后，日平均分拣量达最大值时，用人数量比引进机器人前的用人数量最

多可减少百分之几？

【解析】(1)由总成本p(x)=(苏F+x+150)万元，可得每台机器人的平均成本y=2F

77^r2+x+150

手+1=2,当且仅喝产

=击+号+G2

时，上式等号成立.二若使每台机器人的平均成本最低，应买300台.

(2)引进机器人后，每台机器人的II平均分拣量

177^(60-/n)，\<m<30,

式⑼=丫5当19/W30时，300台机器人的日平均分拣量为

[480,w>30,

160/n(60-/n)=-160m2+9600〃?，二当"?=30时，II平均分拣量有最大值144000件；当

”>30时，日平均分拣量为480x300=144000(件)，300台机器人的日平均分拣量的最大

值为144000件.若传统人工分拣144000件，则需要人数为斗瑞=120(人)....日平均

分拣量达最大值时，用人数量比引进机器人前的用人数量最多可减少与5处xl00%=75%.

【高考真题】

xx0

17.(2020天津9)已知函数/(幻=〈'一’若函数

-x,x<0.

g(x)=/(x)-辰2—2x|(ZeR)恰有4个零点，则％的取值范围是()

A.—U(2>/2,+00)B.U(0,2-^2)

c.(-<x),0)U(0,272)D.(-8,0)U(2后,+s)

【答案】D

【解析】注意到g(0)=0,所以要使g(x)恰有4个零点，只需方程I履-2|=普恰有3

个实根，即可，令必招=答，即>=|依一2|与%。)=曾的图象有3个不同交点.

|x||x|

,7,、/(x)[x2,x>0

因为〃(五)=〒^二{,

|x|1,x<0

当人=0时，止匕时y=2,如图1,y=2与〃。)=曾有2个不同交点，不满足题意；

\x\

f(X)

当k<0时，如图2,此时y=|丘一2|与风灯=胃恒有3个不同交点，满足题意；

\x\

当人>0时，如图3,当丁=丘-2与y=/相切时，联立方程得f一丘+2=0，

令A=0得二一8=0，解得&=2血(负值舍去)，所以%>20.

综上，上的取值范围为(-oo,0)U(2四,+8)，故选D.

xWO,.升七

18.(2018全国卷I,理9)已知函数/(X)=<八g(x)=/(x)+x+a•右g(x)存

Inx,x>0,

在2个零点，则a的取值范围是()

A.[-1,0)B.[0,+oo)C.[-1,+oo)D.[l,+oo)

【答案】C

【解析】函数g(x)=/(x)+x+a存在2个零点，即关于x的方程/(x)=r-。有2个不

同的实根，即函数/(x)的图象与直线y=-x—a有2个交点，作出直线y=-x—。与函数

/(x)的图象，如图所示，由图可知，-aWl,解得aNl,故选c.

2-|x|,x<2

19.(2015天津)已知函数5(x)=<函数g(x)=8-/(2-x),其中

(X-2)2,X>2

bwR,若函数y=/(x)—g(x)恰有4个零点，则力的取值范围是()

7、,7、7

A.(z-,+00)B・(—8,：)C.(0q)D(2)

44-?

【答案】D

2-|x|,x<2,2—12—M,x20

【解析】由/(%)=＜得了(2—x)=

.(Ip,x>2,x<0

2—|A*|+x~,x<0

所以y=/(x)+/(2_x)=4_国_|2_闻,0<x<2,

2—12-x|4-(x—2)~,x>2

x2+x+2,x<0

即y=f(x)+/(2T)=〈2,0<x<2,

x2-5x+8，龙>2

y=f(x)-g(x)=f(x)+f(2-x)-b,所以y=/(x)—g(x)恰有4个零点等价于方程

/(x)+/(2-x)-/?=0W4个不同的解，即函数y=b与函数y=/(x)+/(2—x)的图

7

象的4个公共点，由图象可知」＜。＜2.

4

______3XG(-10]

20.(2014