高中数学教学中经常出错的几个问题

高中数学教学中经常出错的几个问题

河北省沧州师专泊头分校李同贤

下列几个问题，在高中数学教学中大多不能回避，因此在许多教辅书中频频出现，而其

中的解释又欠妥当，现写出来供大家参考。

1.空集0是否是单元集｛0｝的真子集？

有的教辅书［1］中称：“0匚｛0｝中的0和｛0｝均作为集合来理解，这样

就符合空集是任何非空集合的真子集r”。其理山是：“空集是任何非空集合的真子集”，

°是空集而｛0｝是非空集合，所以0匚｛0｝.

事实上，这是在作三段论逻辑推理，而逻辑推理必须遵循同一律，即在同一思维过程

中进行推理时，-个概念或对象的含义要始终保持一致。在0仁｛0｝中，真包含符号“仁”

左边的°看成了集合，而右边大括号中的0看成了｛0｝的元素，这就违背了同•律。

或者说，在这一推理过程中，偷换了“非空集合”这个概念：教科书中从未出现过集

合作为元素的集合，因而，其中(也是该推理过程的大前提中)的“非空集合”根本就不包

含形如｛0｝者，即该推理过程大小前提中的两个“非空集合”不是一个论域中的概念、

不是一个层次上的概念。

站到高等数学中集合论的高度看，集合作为元素组成新的集合时，这两个不同层次的

“集合”前者是后者的元素，因此空集0不是单元集｛0｝的真子集，而是它的元素。

在高中数学大纲中明确规定不研究集合作为元素的集合，一些教辅书或教师拔高要求

给出此类题目是欠妥当的，给出此类题目的错误解释和结论更是不应该的。

2.“等式两边乘以同一个数，所得结果仍是等式”的逆否命题是什么？

该问题是人教版现行普通高中教科书《数学》第一册第30页练习2(3),相应教师用

书第19页给出的答案是“若式子两边乘以同一个数，所得结果不是等式，则这个式子不是

等式。”有些教辅书给出的答案是“不等式两边乘以同一个数，所得结果是不等式”，或“等

式两边乘以不同的数，所得结果是不等式"。如此等等，这些答案都是欠妥当的。

事实上，若求得该问题的全面解答，将涉及复合命题的否定。

原命题的结论成立有三个条件：等式、两边乘、同一个数。将其写成“若…，则…”

的形式，应为“一个关系式的两边分别用一个数施以某种运算，若这个关系式是等式且两边

采用同一个数又都施以乘法运算，则所得结果是等式。”

由于命题''若P且q且r,则m”的逆否命题是“若则ip或rq或，r"，所

以原命题的逆否命题是“一个关系式的两边分别用一个数施以某种运算，若所得结果不是等

式，则这个关系式不是等式，或两边使用的不是同一个数，或两边施行的不都是乘法运算。”

这样的解答，显然已远远超出了相应教师用书第10页的明确要求“不研究含逻辑连接

词的命题的否命题、逆命题和逆否命题”。鉴于教师用书中对类似问题的处理，将原命题改

述为“若a=b,则ac=bc.”较好,如是，其逆否命题可表述为“若ac=bc,则a=b.”这

也与教科书中其他练习题的难度相当。

3.6精确到各数位的不足近似值，所构成的数列有无通项公式？

有的教师和教辅书［2］以此作为“没有通项公式的数列”之例，这是错误认识.其

原因可能源于几十年来中学数学内容从不涉及“数论”中的高斯函数（［x］：不超过实数x

的最大整数）。

借用［x］,该数列可以表示如下：

［6］,10,11?,vf4,…（n是正整数）

类似地，还可以用高斯函数分别写出，，技精确到各数位的过剩近似值数列和n按四

舍五入精确到各数位的数列的通项公式如下：

口―毋i］口上开十+习

W*5、宁（n是正整数）.

4.在下图所示的电路中，使电灯亮的通电线路有多少条？通电方式有多少

种？

不少教师和教辅书［3］中，对上述两问不加区别，第二问也按第一问来解，这是不

妥当的.左组开关通电线路有2条，但通电方式有3种（至少一个开关闭合）；右组开关通

电线路有3条，但通电方式有7种.因此，根据分步计数原理可得：使电灯亮的通电线路有

6条，通电方式有21种.

5.何为等可能性事件？

关于等可能性事件，可能人教版教材编者认为没有必要明确定义，但在实际教学中，

老师们不能回避，因此也就各行其是了。

包括该节内容的整个概率单元，是从原中师课本移植而来。在前几年河北省中师数学

参评教案和汇课比赛中多次见到关于该课题的教学设计，其中大多通过例子补充这一概念，

大意如下：掷一枚硬币，落地后出现“正面向上”和“反面向上”的可能性相等，“正面向

上”和“反面向上”这两个事件叫等可能性事件。如此说来，等可能性事件是事件与事件之

间的一种二元关系性概念。

在有的教辅书［4］中则又表述为：“对于有些随机试验来说，每次试验只能出现有

限个不同的试验结果，而出现所有这些不同结果的可能性相等，象这样的随机事件称为等可

能性事件。”在这个表述中，“象这样的”是哪样的？“随机事件”又指什么？是指试验的

那些不同结果（事件）之间的关系？还是指试验的那些不同结果组成的一个事件？

究竟什么是等可能性事件?

在各种正规的中等、高等数学教材和辞书中都找不到答案。笔者认为，综合考虑该节

内容的编写意图、古典概型的内容特点和教科书的可读性，如下处理较为妥当：

给出等可能性试验的概念，表述如下：在一次试验中，如果可能出现的不同结果的个

数是有限数，而出现各种不同结果的可能性都相等，那么就把这样的一次试验，叫做一次

等可能性试验.

在给出基本事件的概念（见教科书）之后，再给出等可能性事件的定义，可表述如下：

在一次等可能性试验中，由几个基本事件组成的事件，叫做等可能性事件。如此处理，不

仅概念清楚，而且便于判断和分析计算概率。

类似的问题还可举出•些，例如，既奇又偶函数有多少个？（无数个：f（X）=0的

定义域对称于原点即可）、等差数列和等比数列定义中的“常”字是否多余？（多余）等等，

只要我们做教学的有心人，就会明辨是非，不被误导。

注释：

[1]内蒙古人民出版社04第一版，贾凤山《成才之路一高考数学总复习》.

[2]陕西人民教育出板社03第4版，黄明华《中学教材全解一一高一数学上》.

[3]陕西人民教育出版社04第5版，黄明华《中学教材全解一一高二数学下》.

[4]北京师范大学出版社02第1版，戴佳琅《高中数学教案一一二年级下B》.

数列中的数学思想

丁赛军

在数列综合问题中蕴含着许我重要的数学思想，如归纳思想、函数思想、方程思想、递

推思想、化归思想、分类讨论思想，在这些思想的指导下产生许多解决数列问题的方法，让

学生充分理解和掌握这些思想和方法，对提高解决数列综合问题的能力很为重要。

一.归纳思想

通过对命题在特殊情况下的考察与探索，发现并归纳出一般性的结论，再运用数学的方

法对结论进行证明，这种归纳思想形成了解决数列问题的一种重要方法：观察、归纳、猜想、

证明。

23

例1.设工是数列依J的前n项和，且22，数列也小的通项

公式为4=4%+3伊e,将数列｛aj和的公共项按它们在原数列中的先后顺序

排成一个新数列GJ,求力。

s=3-2*

分析：由"―5"2,得4=3、直接求出它们的公共项比较困难，可列举它们

开始的若干项进行观察，发现规律后再进行证明。

解：(即｝：3,9,27,81,243,729,2187,…

©*)：7,11,15,19,27,31,……，79,83,……，243,……，723,

727,....,2187,...o

猜想：的，&5,劭，…，022,...是公共项，即

证明：若明是公共项，则存在使得3*=4浅+3。

那么怎+1=/】=4（3加+2）+虐优｝

4+2=3/2=4（9幽+6）+3e©J

e人人•一o2»+l

这说明当%是公共项时，怎+1不是公共项，即+2是公共项，q=3。

—.方程思想

在等差与等比数列中，常常需要研究即，d（q）,%，S*,”之间关系，我们可以以方

程思想为指导，寻找未知数个数与方程个数间的关系。

Is工s

例2.设4是等差数列0J的前n项和，已知？3与I’的等比中项为5\33

人

与,&的等差中项为1,求怎。

5s3=(~^5)

5s3+3=2

解：由题意知

(«1+d)(2al+%)=2(的+2/)2

以

即4i+5d=4

a1=4

a1=1

解得国=°或5

1232

1即--nH---

勺=1或55

三.递推思想

在数列问题中，学生往往很重视通项，但有时用递推关系给出数列比通项更简洁，这就

要求培养学生的递推思想。

例3.某林场原有森林木材量a,木材以每年25%的增长率生成，而每年要砍伐的木材

量为X,为使经过20年木材存有量翻两番，求每年砍伐量x(lg2fts83)

分析：设经过n年后木材量为0％则根据题意有

«»+1=«„(1+25%)-X

%-4x=2（凡1-4x）

即*4'I

5

a.=­a-x

其中4

于是数列｛斯一46是首项为40"，公比为I的等比数歹(],

由题意知”=20时，%=4点

铲-4

4［铲-1?

设A

1g27=201g-=20(1-31g2)«2

N卬100,xRS-----a=-a

4x9933

四.函数思想

数列是特殊的函数，因而许多数列问题的讨论可用函数方法解决。

例4.在xOy平面上有一点列A31，勿），舄（。2，小2），…，々（即，R）,

y=2000（右）气0<a<10）

对每个自然数n,点月位于函数10的图象匕且点片、点（小°）

与点5+1,0）构成一个以尺为顶点的等腰三角形。

（1）求点号的纵坐标&的表达式;

（2）若对每个自然数n,以以+卜&+2为边长能构成一个三角形，求a的取值范

围。

分析：（1）由点片、点（n,0）与点（器+L°）构成以巴为顶点的等腰三角形，知

1

%%+一

*2。

„丁=2000（2）”

又丫点彳在函数10的图象上

.飞=2000*a)»+?2

•：0<a<10,：,0<—<1

⑵10

»=2000京尸

函数10是减函数

•.对每个自然数n都有4>&+1>2+2

则以田、&+卜瓦+2为边长能构成三角形的充要条件是

4+1+%+2>这

即饴、*T>°

解得a向或a>5(0-1)

：.5(75-1)<a<10

五.分类讨论思想

数列中许多问题在不同的情形下可得到不同的结论，这时往往需分类讨论。

例5.3个实数1°>+81。+207,a+2,26-2a适当排列，分别取常用对数后构

成公差为1的等差数列，求此时a的值。

分析：此题关键是3个数以怎样的顺序构成等差数列？由公差为1可知，所成等差数列

一定是递增的，所以需判断这3个数的大小关系，从而减少分类次数。

解：记x=10—+81a+207

y=a+2,z=26-2a

由题意知,>->o,z>o

A=812-4xl0x207<0

.「以+2>0

26-2(2>0

解得-2<a<13

力-虑尸x—y=+80以+205

x-z=10a2+83a+181

•・•△i=802-40x205<0

2

A2=83-40x181<0

x>y,x>z

又y-z=3(a-8)

(1)当a=8忖，V=z(不舍题意)

(2)当-2<a<8时，y〈z,此时有x>z>y

Igy,Igz,Igx构成公差为i的等差数列，即

Igz-lgy=Igx-lgz=1

x=10z,z=lOy

'10a2+81«+207=10(26-2a)

*

即26-2a=10((24-2)

解得2

(3)当8<a<13时，y>z,此时x>y>z

Igz,igy，igx构成公差为1的等差数列，即

lg^-lgz=lgx-lg^=1

x=10y,y=lOz

'10a2+81a+207=10(a+2)

*

a+2=10(26-2a)

上述方程组无解，即a不存在。

1

a=—

综合(1)(2)(3)知2

高考复习中应重视数学思想方法的渗透

广东省普宁市城东中学邱海泉

数学思想方法是数学科的灵魂，它反映在数学教学内容里面，体现在解决问题的过程之

中，它是将知识转化为能力的桥梁。只有运用数学思想方法，才能把数学知识和技能转化为

分析问题和解决问题的能力。近二年高考试题非常重视对学生掌握数学思想方法的考查。在

高考复习中如何渗透数学思想方法，提高学生的数学素质和能力，本人做了一些尝试，现总

结如下.

一.渗透数学思想方法进行基础知识复习，丰富基础知识内涵，优化知识结构。

1.在总结基础知识的复习时，应注意揭示、总结其中蕴含的数学思想方法。

如：在复习指数函数和对数函数”的性质时，应注意揭示底数a分为

a>l和0<a<l两种情况，蕴含了分类讨论思想，利用观察图像得出性质及相互关系，渗透了数

形结合和类比的思想方法……通过对思想方法的揭示、总结，使学生充分领悟到数学思想方

法普遍存在于基础知识之中，丰富基础知识的内涵。

2.适当渗透数学思想方法，优化知识结构。

在梳理基础知识时，充分发挥思想方法在知识间的相互联系、相互沟通中的纽带作用，

可帮助学生合理构建知识网络，优化思维结构。如：在函数、方程、不等式的相互联系的复

习中，利用函数思想，可以把方程和不等式分别当成函数值等于零，大于或小于零的情况,

通过联想函数图像，可提供方程、不等式解的几何意义，运用转化和数形结合的思想，使孤

立的三块知识相互联系、相互转化。深化对知识的理解和整合，优化了学生的认知结构。

二.在解题教学中渗透数学思想方法，提高学生的数学素质和能力。

解题的过程实质上是在化归思想的指导下，合理联想提取相关知识，调用一定数学思想

方法加工、处理题设条件和知识，逐步缩小题设与题断间的差异过程。运用数学思想方法分

析、解决问题，可开拓学生的思维空间，优化解题策略。如:

例1.求函数yW+1+4*+8的最小值.

分析：考察式子特点，从代数的角度求解，学生的思维受阻，这时利用数形结合为转化

手段，引导学生探索函数背后的几何背景，巧用两点间距离公式模型，把问题转化为：

V?Tt+V^-4x+8=也-0)、(0-口+丑-4+(0*

令A(0,1),B(2,2),P(x,0),则问题转化为在X轴上探求一点P,使IPAI+I

PBI有最小值.如图，由于A、B在X轴同侧，故取点A关于X轴的对称点C0L1),当P

在BC上时有(|PA|+|PB|)min』C、l=和-时+Q+D'=6

通过渗透数形转化思想，激活了学生的思维，培养了学生构建数学模型的能力。

例2.设出=%的(意5急i*"蓊碓

分析：本题若直接求解，无从下手，若能利用特殊与•般相互转化的方法，引导学生观

察式子的数量特征：

12002.2,2001.“、4，

------+=L+=；—

20032003-----20032002-------，将问题转化为研究函数4"+2的结构特

征，得出/S）+/Q-a）=l这个一般性结论后易于求解.从特殊到一般相互转化思想方法

的渗透，使学生的思维豁然开朗。

_P蠢

PA»PB

例3.如图（1）有面积关系:则由图（2）有,人一

分析：本题可引导学生从平面几何入手，通过类比联想，把平面问题类比得出空间中类

似的结论，PA^PB•PC,并引导学生给出证明。观察归纳、类比猜想的运用，

使学生找到了解决问题的新途径。

例4.若不等式皿用’-Q+*）।*+*•t>°,对I.口恒成立，求x的取值范围。