2024年高中数学全册综合测试卷拔高篇教师版新人教A版选择性必修第二册

综合测试卷（拔高篇）一．选择题（共8小题，满分40分，每小题5分）1．（5分）（2024春·重庆·高三阶段练习）已知直线l1:(m-2)x-A．-4 B．1 C．-【解题思路】依据直线平行则它们的法向量也相互平行可解，须要验算.【解答过程】l1ln解之：m=-故选：A.2．（5分）（2024春·山西·高三阶段练习）若函数fx=ex+lnx+aA．1 B．0 C．－1 D．e【解题思路】求导得到k=f'1=【解答过程】因为f'x=e又f1=e故选：B.3．（5分）（2024春·北京·高三阶段练习）已知平面对量a=0,1,0，b=0,-12A．π3 B．2π3 C．【解题思路】由题意可得a+b=(0,12,32)【解答过程】解：因为a=0,1,0，所以a+设a与a+b的夹角为则cosθ又因为θ∈所以θ=故选：A.4．（5分）（2024·河南·模拟预料）已知数列an满足a2n-a2nA．311+3972 B．341【解题思路】由已知，依据题意由a2n-a2n-1=3n-1,a2【解答过程】由已知，数列an满足a2n-a②-①得；a2所以a1由a2n-a③+②得；a2a=4=4=4=3所以S==3故选：D.5．（5分）如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，底面ABCD为正方形，E，F分别为B①EF//平面BB1D1③异面直线BE与D1F所成角为60∘；

④三棱锥B其中，全部正确结论的序号是（

）A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④【解题思路】取BC中点为G，可证明平面EFG//平面BB1D1D，依据面面平行的性质即可推断①；可证明A1C1⊥平面BB1D1D【解答过程】取BC中点为G，连结EG,对于①，因为E,F,G分别是B1因为BB1⊂平面BB1D1D，同理，FG//平面B因为，EG⊂平面EFG，FG⊂平面EFG，EG∩FG=又EF⊂平面EFG，所以EF//平面BB对于②，由已知可得四边形A1B1又BB1⊥平面A1B1C因为B1D1⊂平面BB1D1D，B又EF//平面BB1D1对于③，取AD中点为H，连结BH,因为BE=BB1-EB1，HD1=所以四边形BED1H是平行四边形，则D1H//BE，所以异面直线BE与D因为直线BE与平面ABB1A1所成角为45∘，B1C1⊥平面ABB1所以△D1HF为等边三角形，所以∠对于④，设长方体体积为V，则V=因为CD⊥平面BCC1B1故①②③④正确.故选：D.6．（5分）（2024春·广东江门·高二期中）下列命题正确的是（

）A．若方程x2+y2B．若圆C的半径为1，圆心在第一象限，且与直线4x-3yC．已知点Px,y在圆CD．已知圆C1:x2+y2-【解题思路】依据D2+E2-【解答过程】A：若方程x2+y2+解得m>22或B：设圆心Ca,1a>0，则圆心到直线4x解得a=2，即C2,1，所以圆的标准方程是C：由x2+yyx表示圆上的点与原点0,0连线的斜率，可得相切时y设切线为kx-y=0，则d=3kD：将两个圆的方程相减可得公共弦所在直线的方程4x由C1：x2+y2圆心C11,3到直线4x所以弦长为2r12故选：D.7．（5分）（2024春·江西上饶·高三阶段练习）已如椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>A．若AF2B．若AB的中点为M，则kC．|AB|D．AF1【解题思路】依题意，l过椭圆的左焦点，作图，逐项分析即可.【解答过程】依题意，l过F1对于A，由椭圆的定义知：AB+对于B，联立方程y=kx+cx2由韦达定理得：x1所以kOM对于C，明显，当AB⊥x轴时，AB最短，此时但由于k是存在的，AB不会垂直于x轴，不存在最小值，错误；对于D，设Ax0,x02+y0因此，原题等价于x2+y2=4即4c2≥故选：B.8．（5分）（2024春·新疆巴音郭楞·高二阶段练习）关于函数fx=2①x=2是f②函数y=③存在正实数k，使得fx④对随意两个正实数x1，x2，且x1>A．①④ B．②③ C．②④ D．①③【解题思路】求出fx的导函数，可推断x=2是否其微小值点，可推断①；求y=fx-x的导数，推断其单调性可推断②；分别变量法之后求函数的最小值是否为正可推断③【解答过程】①：f'x=-2②：对于y=fx-x,y③：x>0,fx>kxx所以g'x<0在0,+∞上恒成立，所以又limx→+∞2x2由上面分析知：x∈0,2,f∴0<∴设t∴t'x∴tx>所以④对.故选：A.二．多选题（共4小题，满分20分，每小题5分）9．（5分）已知圆C:x2+yA．圆C的圆心为-1,0 B．点-1,1在C．l与圆C相交 D．l被圆C截得的最短弦长为4【解题思路】一般方程化成标准方程可推断A；点-1,1代入直线方程可推断B；依据点-1,1在圆内推断C；依据-1,1与圆心连线与直线垂直时，l【解答过程】由x2+y2-2x因为x=-1时y=k因为圆心1,0到-1,1的距离为5<3，所以点-1,1在圆内，又点-1,1在l上，故-1,1与圆心连线与直线垂直时，l被圆C截得的弦最短，最短弦长为2故选：BCD.10．（5分）（2024春·湖南岳阳·高三阶段练习）设首项为1的数列an的前n项和为sn，若A．数列snB．数列an的通项公式为C．数列anD．数列2sn的前n【解题思路】由条件找到sn+1+(n+1)=2(sn+【解答过程】∵又s∴数列sn+n是首项公比都为又s所以数列2sn的前n和为又因为sn+当n≥2当n=1，a∴a∵所以数列an故选：AD.11．（5分）在正三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=AA1A．当λ=1时，AP+B．当μ=1时，三棱锥PC．当λ=12时，存在两个点D．当μ=12时，有且仅有一个点P，使得【解题思路】对于A，将矩形CBB1C对于B，将P点的运动轨迹考虑到一个三角形内，确定路途，进而考虑体积是否为定值；对于C，考虑借助向量的平移将P点轨迹确定，进而考虑建立合适的直角坐标系来求解P点的个数；对于D，考虑借助向量的平移将P点轨迹确定，进而考虑建立合适的直角坐标系来求解P点的个数．【解答过程】易知，点P在矩形BCC对于A，当λ=1时，BP=BC+μBB1=BC+μC对于B，当μ=1时，BP=λBC+BB1=对于C，当λ=12时，BP=12BC+μBB1，取BC，A132,0,1，P0,0,μ，B0,12,0，则A1P对于D，当μ=12时，BP=λBC+12BB1，取BB1，CC1中点为M,N．BP=故选：ACD．12．（5分）（2024春·山东潍坊·高三阶段练习）已知函数fx=lnA．函数fx在0,+B．当x1>C．若方程fx=a有2个不相等的解，则D．ln1+1【解题思路】用导数求出f(x)的单调区间可推断A；构造函数h转化为“方程f(x)=a在(0,+∞【解答过程】因为fx=ln所以f'令g(所以当x∈-1,0当x∈0,+∞所以g(x)在-所以g(则f'所以f(x)令h(x)=所以h(x)所以当x1>x2>0所以fx因为fx为偶函数，所以原问题等价于fx=即lnx+1x=a，即只用考虑令φ(（i）若a≤0，φ'则φ(x)=（ii）若0<a<1，令φ'令φ'(x所以φ(x)在0,则φ(1a-1)>即x→+∞时，φ(x（iii）若a≥1，φ'则φ(x)=综上，a∈由C知，若a=1，ln(x所以ln1+所以ln=1故选:ABD.三．填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）13．（5分）（2024春·山东·高三阶段练习）在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AD=1，AA1=2，直线AD与A【解题思路】先依据题干中的角度，算出长方体的三边数据，然后建系，利用空间向量进行解决.【解答过程】依据长方体性质，A1C1//AC，由题意，直线AD与A1C1所成的角为π4，即直线AD与AC所成的角为π故CD=AD=1，下以D为原点，DAA(1,0,0)，C(0,1,0)，E(1,1,1)设平面ACE的法向量n=(x,y,z)，由n⋅AC又D1(0,0,2)，A(1,0,0)点D1到平面ACE的距离为：D故答案为：3.14．（5分）（2024·江苏苏州·模拟预料）数列an满足a1=2，20232021【解题思路】由已知整理得an+1an【解答过程】由an+1=2an设Sn则Sn∴2∴-∴Sn=∴S2021=2021∴a故答案为：2023202115．（5分）（2024春·北京·高二期末）法国数学家加斯帕•蒙日被称为“画法几何创始人”、“微分几何之父”.他发觉与椭圆相切的两条相互垂直的切线的交点的轨迹是以该椭圆中心为圆心的圆，这个圆称为该椭圆的蒙日圆.若椭圆Γ:x2a2+y2b2=1a>b>0的蒙日圆为C:x2+y2=32a2①椭圆Γ的离心率为2②△MPQ面积的最大值为③M到Γ的左焦点的距离的最小值为2④若动点D在Γ上，将直线DA，DB的斜率分别记为k1，k2【解题思路】依据定义，确定蒙日圆的点结合椭圆离心率计算推断①；依据定义求得∠PMQ=90∘，再求出最大面积推断②；设出点M的坐标并求出其横坐标范围计算推断③；依据定义确定点A，【解答过程】对于①，直线x=a，y=b与椭圆Γ都相切，且这两条直线垂直，因此其交点即有a2+b2=32a2对于②，依题意，点M,P,Q均在圆C上，且∠PMQ即有|PQ|=6a，明显圆C上的点到直线PQ距离最大值为圆C的半径62a，即点因此△MPQ面积的最大值为12|对于③，令M(x0,y0)，有x则|MF|2因此|MF|2≥(2-3)a2，即对于④，依题意，直线PQ过原点O，即点A，B关于原点O对称，设A(x1于是得k1=y2-y1所以k1k2所以说法正确的有①②④.故答案为：①②④.16．（5分）（2024春·北京·高三阶段练习）关于函数f(①x=2是f②函数y=③存在正实数k，使得f(④对随意两个正实数x1,x2，且x1其中的真命题有②④.【解题思路】①求f(x)导数，探讨f(x)单调性即可推断其极值状况；②作出y=f(x)与y=x图象，依据两图象交点个数即可推断y=f(x)-x的零点个数；③问题转化为fx是否存在过原点且斜率为正的切线；④依据y=f(x)图象求出【解答过程】f'x=x-2x2，当∴fx在0，2上单调递减，在2，+∞上单调递增，依据函数fx的单调性及极值点，作出函数f再作出直线y=x，易知直线y=x与fx依据fx的图象可知，若要存在正实数k使得fx>假设fx存在过原点且斜率为正的切线，切点为x0,则切线方程为y-∵切线过原点，故-2x0令Fx=x∴在0，1上，F'x>0∴Fx⩽F1<0，∴Fx<0恒成立，即方程x0-由x1>x要证x1+x2>4fx在2，+又fx1=fx即证fx令hx则h'x=-8(x-2)2∴x1+x故答案为：②④．四．解答题（共6小题，满分70分）17．（10分）（2024春·广东江门·高二阶段练习）已知△ABC的顶点B5,1，AB边上的高所在的直线l1的方程为x-2y-(1)求直线AB的方程；(2)求点A的坐标；求直线AC的方程．【解题思路】（1）利用直线垂直的条件求出直线AB的斜率，然后依据点斜式可得直线AB的方程；（2）利用直线AB及l2的方程可得交点的坐标；由题可得点B5,1关于直线l2【解答过程】（1）因为AB边上的高所在的直线l1的方程为x所以直线AB上的高的斜率k=12，直线AB的斜率为k所以直线AB的方程为y-1=-（2）因为角A的平分线所在直线l2的方程为2由2x+y-11=02x即A(3,5)设点B5,1关于直线l2：2x则b-1a所以-75,215所以直线AC的方程为y-5=2118．（12分）（2024春·湖北·高三阶段练习）已知圆C与y轴相切，圆心C在直线x+y-2=0上，且点(1)求圆C的标准方程.(2)已知直线l与圆C交于B,D两点（异于A点），若直线AB,【解题思路】（1）依据已知条件求得圆心和半径，从而求得圆C的标准方程.（2）依据直线l的斜率是否存在进行分类探讨，设出直线l的方程并与圆的方程联立，化简写出根与系数关系，依据直线AB,【解答过程】（1）设圆C的标准方程为(x-则a+b-2=0a故圆C的标准方程为(x-（2）当直线l的斜率存在时，设l的方程为y=联立y=kx+m(x-2)则Δ=从而x1k=4k2即2k+m-22k+m+6=0，解得因为直线l不经过点A，所以2k+m则直线l:y=kx-当直线l的斜率不存在时，设l2的方程为x=x从而kAB⋅k因为x0-22+y02=4，所以x综上，直线l过定点2,-19．（12分）（2024春·江苏·高三阶段练习）如图多面体ABCDEF中，四边形ABCD是菱形，∠ABC=60∘,(1)证明：CF//平面ADE(2)在棱EC上有一点M（不包括端点），使得平面MBD与平面BCF的夹角余弦值为155，求点M到平面BCF【解题思路】（1）取AE的中点G，证明CFGD是平行四边形即可证明结论；（2）连接BD交AC于N，取CE中点P，以N为原点建立空间直角坐标系，求出平面MBD与平面BCF的法向量，结合平面的向量夹角公式求出点M坐标，再利用向量距离公式即可求出点M到平面BCF的距离．【解答过程】（1）证明：取AE的中点G，连接GD,因为BF∥EA，且BF=12所以四边形AGFB是平行四边形，所以GF∥又因为ABCD是菱形，所以AB∥DC，且所以GF∥DC且所以四边形CFGD是平行四边形，CF又CF⊄平面ADE,DG所以CF//平面ADE（2）连接BD交AC于N，取CE中点P∵PN//AE,EA⊥平面∴以N为原点，NC,NB,NP所在直线分别为x轴，设在棱EC上存在点M使得平面MBD与平面BCF的夹角余弦值为155E则设CM=所以DM设平面DBM的一个法向量为n=则n⋅DM=0n⋅得n设平面FBC的一个法向量为m=则m⋅BC=0m⋅得m=∴cos解得λ=13或λ∴λ=1∴点M到平面BCF的距离d=20．（12分）（2024春·广东江门·高二期中）已知椭圆C:x2a2(1)求椭圆C的方程；(2)若直线y=kx+m与椭圆C交于M、N两点，O为坐标原点，直线【解题思路】（1）将P1,32代入标准方程得a,b（2）设Mx1,y1,Nx2,y【解答过程】（1）因为椭圆过P1,32，故1a2+94b2=1（2）设Mx1,y1,Nx1+==3m2-4k24m所以△OMN21．（12分）（2024春·天津·高三阶段练习）已知数列an的前n项和为Sn