高考数学大题精做专题07解析几何中的证明问题(第五篇)(原卷版+解析)

备战2020年高考数学大题精做之解答题题型全覆盖高端精品第五篇解析几何专题07解析几何中的证明问题类型对应典例证明面积关系典例1证明共线问题典例2证明过定点问题典例3证明定值问题典例4证明线线垂直典例5证明角度相等典例6证明长度相等典例7【典例1】【福建省2019届高三毕业班3月质量检测考试】在平面直角坐标系中,圆外的点在轴的右侧运动,且到圆上的点的最小距离等于它到轴的距离,记的轨迹为.（1）求的方程；（2）过点的直线交于,两点,以为直径的圆与平行于轴的直线相切于点,线段交于点,证明：的面积是的面积的四倍.【典例2】【福建省三明市2019届高三质量检查测试】已知，是动点，以为直径的圆与圆：内切.（1）求的轨迹的方程；（2）设是圆与轴的交点，过点的直线与交于两点，直线交直线于点，求证：三点共线.【典例3】【北京市朝阳区2020届模拟】已知椭圆的离心率为.（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）设直线过点且与椭圆相交于两点.过点作直线的垂线，垂足为.证明直线过轴上的定点.【典例4】【广东省广雅中学、执信、六中、深外四校2020届高三8月开学联考】设斜率不为0的直线与抛物线交于，两点，与椭圆交于，两点，记直线，，，的斜率分别为，，，．（1）若直线过，证明：；（2）求证：的值与直线的斜率的大小无关．【典例5】【安徽省芜湖市2019届高三5月模拟考试】如图，已知椭圆P:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的长轴A1A2，长为4，过椭圆的右焦点F作斜率为k（1）求椭圆P的方程；（2）已知直线l:x=4，直线A1B，A1C分别与l相交于M、N两点，设E为线段【典例6】【湖南省五市十校教研教改共同体2019届高三12月联考】已知椭圆的离心率为，右焦点为，以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线相切.（1）求椭圆的方程；（2）如图，过定点的直线交椭圆于两点，连接并延长交于，求证：.【典例7】【福建省福州市2019届高三第一学期质量抽测】已知点在椭圆：上，为坐标原点，直线：的斜率与直线的斜率乘积为（1）求椭圆的方程；（2）不经过点的直线：（且）与椭圆交于，两点，关于原点的对称点为（与点不重合），直线，与轴分别交于两点，，求证：.【针对训练】1.【四川省内江市2019届高三第三次模拟考试】已知椭圆：的离心率为，直线与圆相切.（1）求椭圆的方程；（2）设，过点的直线交椭圆于，两点，证明：为定值.2.【安徽省淮北市、宿州市2019届高三第二次教学质量检测】已知椭圆，右焦点的坐标为，且点在椭圆上.（1）求椭圆的方程及离心率；（2）过点的直线交椭圆于两点（直线不与轴垂直），已知点与点关于轴对称，证明：直线恒过定点，并求出此定点坐标．3.【2020届河南省许昌市高三年级第一次质量检测】在平面直角坐标系xOy中，椭圆C的中心在坐标原点O，其右焦点为，且点

在椭圆C上．求椭圆C的方程；设椭圆的左、右顶点分别为A、B，M是椭圆上异于A，B的任意一点，直线MF交椭圆C于另一点N，直线MB交直线于Q点，求证：A，N，Q三点在同一条直线上．4.【河北省示范性高中2019届高三下学期4月联考】已知椭圆的离心率为，椭圆经过点.（1）求椭圆的标准方程；（2）设点是椭圆上的任意一点，射线与椭圆交于点，过点的直线与椭圆有且只有一个公共点，直线与椭圆交于两个相异点，证明：面积为定值.5．【安徽省六校教育研究会2020届高三上学期第一次素质测试】已知是抛物线上任意一点，，且点为线段的中点．（Ⅰ）求点的轨迹的方程；（Ⅱ）若为点关于原点的对称点，过的直线交曲线于、两点，直线交直线于点，求证：．6.【天津市和平区耀华中学2019届高三第一次校模拟考试】已知A是圆x2+y2=4上的一个动点，过点A作两条直线l（Ⅰ）若A−2,0，求直线l（Ⅱ）①求证：对于圆上的任意点A，都有l1②求ΔAMN面积的取值范围.7.【广东省珠海市2019届高三9月摸底考试】已知椭圆，是其左右焦点，为其左右顶点，为其上下顶点，若，．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）过分别作轴的垂线，椭圆的一条切线，与交于二点，求证：．8.【2020届浙江省重点中学模拟】已知椭圆：的长轴长是短轴长的2倍，且过点.（1）求椭圆的方程；（2）若在椭圆上有相异的两点，（，，三点不共线），为坐标原点，且直线，直线，直线的斜率满足.（i）求证：是定值；（ii）设的面积为，当取得最大值时，求直线的方程.备战2020年高考数学大题精做之解答题题型全覆盖高端精品第五篇解析几何专题07解析几何中的证明问题类型对应典例证明面积关系典例1证明共线问题典例2证明过定点问题典例3证明定值问题典例4证明线线垂直典例5证明角度相等典例6证明长度相等典例7【典例1】【福建省2019届高三毕业班3月质量检测考试】在平面直角坐标系中,圆外的点在轴的右侧运动,且到圆上的点的最小距离等于它到轴的距离,记的轨迹为.（1）求的方程；（2）过点的直线交于,两点,以为直径的圆与平行于轴的直线相切于点,线段交于点,证明：的面积是的面积的四倍.【思路引导】法一：（1）设P（x，y），x＞0，F（1，0）．由点P在⊙F外，可得点P到⊙F上的点的最小距离为|PF|﹣1，由题意可得：|PF|﹣1＝x，利用两点之间的距离公式即可得出．（2）设N（x0，y0），A（x1，y1），B（x2，y2）．则D（，）．由题意可设直线AB的方程为：y＝k（x﹣1）（k≠0）．与抛物线方程联立化为：k2x2﹣（2k2+4）x+k2＝0．利用根与系数的关系、中点坐标公式可得D，M，N的坐标．再利用三角形面积计算公式即可得出．法二：（1）由题意得，点到圆的距离等于到直线的距离，根据抛物线的定义求得轨迹方程.（2）设，，由题意可设直线AB的方程为：与抛物线方程联立，利用根与系数的关系、中点坐标公式可得D的坐标，结合，可得，进而求出N的坐标，利用点的位置关系得到面积的关系.法三：（1）与法一同；（2）设，，由题意可设直线AB的方程为：与抛物线方程联立，利用根与系数的关系、中点坐标公式可得D，M的坐标，利用斜率公式计算得到，再利用长度关系得到面积的关系.【详解】解法一：（1）设，依题意，.因为在圆外，所以到圆上的点的最小距离为依题意得，即，化简得的方程为.（2）设，，，则.依题意可设直线的方程，由得.因为，所以，则有，故，由抛物线的定义知.设，依题意得，所以.又因为，所以，解得，所以.，因为在抛物线上，所以，即，所以，，故解法二：（1）设，依题意.因为在圆外，所以到圆上的点的最小距离为.依题意得，点到圆的距离等于到直线的距离，所以在以为焦点，为准线的抛物线上.所以的方程为..（2）设，，因为直线过，依题意可设其方程由得，因为，所以，则有.因为是的中点，所以.由抛物线的定义得.，设圆与相切于，因为与抛物线相交于，所以，且，所以，即，解得，设，则，且，所以，因为，所以为的中点，所以，又因为为的中点，，所以.解法三：（1）同解法一.（2）设，，连结，.因为直线过，依题意可设其方程由得.，因为，所以，所以.因为，，又因为，所以，解得，所以，所以，故.又因为，所以，从而.所以，又，所以.【典例2】【福建省三明市2019届高三质量检查测试】已知，是动点，以为直径的圆与圆：内切.（1）求的轨迹的方程；（2）设是圆与轴的交点，过点的直线与交于两点，直线交直线于点，求证：三点共线.【思路引导】（1）设出，根据相切得出关于的方程，由方程对应的几何意义得出的轨迹的方程；（2）设出，，解出点坐标，从而得出的坐标，设过点的直线并与椭圆联立方程组，借助韦达定理进行化简、证明.【详解】解：（1）设，则的中点的坐标为，因为圆与圆内切，点在圆内，所以，即，整理得，设，则，即的轨迹是以，为焦点，长轴长为4的椭圆.由，，得，所以的方程为.（2）设，.因为是圆与轴的交点，不妨设，，则.因为直线的方程为，所以，则.依题意，因为直线过，斜率不为0，故可设其方程为，由消去并整理得，则，，因为，所以，故三点共线.【典例3】【北京市朝阳区2020届模拟】已知椭圆的离心率为.（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）设直线过点且与椭圆相交于两点.过点作直线的垂线，垂足为.证明直线过轴上的定点.【思路引导】（1）由离心率列方程可求得椭圆方程；（2）当直线AB的斜率不存在时，直线BD过点（2，0）．当直线AB的斜率存在时，设直线AB为y=k（x-1），联立方程组，消去y整理得：（1+3k2）x2-6k2x+3k2-3=0．利用韦达定理、直线方程，结合已知条件求出直线BD过x轴上的定点．【详解】（1）解：由题意可得,

解得，所以椭圆C的方程为．（2）直线BD恒过x轴上的定点N（2，0）．证明如下（a）当直线l斜率不存在时，直线l的方程为x=1，不妨设A（1，），B（1，），D（3，）．此时，直线BD的方程为：y=（x-2），所以直线BD过点（2，0）．（b）当直线l的斜率存在时，设A（x1，y1），B（x2，y2），直线AB为y=k（x-1），D（3，y1）．由得：（1+3k2）x2-6k2x+3k2-3=0．所以x1+x2=，x1x2=．……（*）直线BD：y-y1=（x-3），只需证明直线BD过点（2，0）即可.令y=0，得x-3=，所以x===即证，即证.将（*）代入可得.所以直线BD过点（2，0）综上所述，直线BD恒过x轴上的定点（2，0）．【典例4】【广东省广雅中学、执信、六中、深外四校2020届高三8月开学联考】设斜率不为0的直线与抛物线交于，两点，与椭圆交于，两点，记直线，，，的斜率分别为，，，．（1）若直线过，证明：；（2）求证：的值与直线的斜率的大小无关．【思路引导】（1）设直线方程为：，设出，两点坐标，联立直线与抛物线方程，得到和的值，从而用向量法证明即可，（2）由直线的方程与抛物线方程联立，求得，，得到，再由直线方程与椭圆方程联立，求得，，得到，代入化简，即可得到结论。【详解】解析：（1）设直线方程为：设，，两式相乘得：将直线方程代入抛物线，得∴∴，∴∴∴（2）设直线，，，，．联立和，得，则，，，联立和得，在此式可不求解的情况下，，，，所以是一个与无关的值．【典例5】【安徽省芜湖市2019届高三5月模拟考试】如图，已知椭圆P:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的长轴A1A2，长为4，过椭圆的右焦点F作斜率为k（1）求椭圆P的方程；（2）已知直线l:x=4，直线A1B，A1C分别与l相交于M、N两点，设E为线段【思路引导】（1）由长轴长为4可得a，设出点B，C的坐标，利用斜率之积为−34，可得−b2（2）设直线BC的方程为：y＝k（x﹣1）与椭圆方程联立，得到根与系数的关系，直线A1B的方程为：y=y1x1+2（x+2）与x=4联立，可得点M，N的坐标，可得线段MN【详解】（1）设Bx1,y1，C故y12=b2所以kBA1⋅kB故椭圆P的方程为x2（2）设直线BC的方程为：y=kx−1，Bx1联立方程组x24+4k2+3x2直线A1B的方程为y=y1x同理，yN所以yE代入化简得yE=−3k，即点所以kEFkBC【典例6】【湖南省五市十校教研教改共同体2019届高三12月联考】已知椭圆的离心率为，右焦点为，以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线相切.（1）求椭圆的方程；（2）如图，过定点的直线交椭圆于两点，连接并延长交于，求证：.【思路引导】（1）设出圆的方程，利用圆心到直线的距离等于半径，求出b，利用离心率求出a，即可求出椭圆C的标准方程；（2）依题意可知直线斜率存在，设方程为，代入整理得，与椭圆有两个交点，.设，，直线，的斜率分别为，，利用韦达定理证明即可.【详解】解：（1）依题意可设圆方程为，圆与直线相切，.，由解得，椭圆的方程为.（2）依题意可知直线斜率存在，设方程为，代入整理得，与椭圆有两个交点，，即.设，，直线，的斜率分别为，则，.，即.【典例7】【福建省福州市2019届高三第一学期质量抽测】已知点在椭圆：上，为坐标原点，直线：的斜率与直线的斜率乘积为（1）求椭圆的方程；（2）不经过点的直线：（且）与椭圆交于，两点，关于原点的对称点为（与点不重合），直线，与轴分别交于两点，，求证：.【思路引导】（Ⅰ）根据椭圆的中点弦所在直线的斜率的性质，得到，得到，再结合椭圆所过的点的坐标满足椭圆方程，联立方程组，求得，进而求得椭圆的方程；（Ⅱ）将直线方程与椭圆方程联立，消元，利用韦达定理得到两根和与两根积，将证明结果转化为证明直线，的斜率互为相反数，列式，可证.【详解】（Ⅰ）由题意，，即①又②联立①①解得所以，椭圆的方程为：.（Ⅱ）设，，，由，得，所以，即，又因为，所以，，，，解法一：要证明，可转化为证明直线，的斜率互为相反数，只需证明，即证明.∴∴，∴.解法二：要证明，可转化为证明直线，与轴交点、连线中点的纵坐标为，即垂直平分即可.直线与的方程分别为：，，分别令，得，而，同解法一，可得，即垂直平分.所以，.【针对训练】1.【四川省内江市2019届高三第三次模拟考试】已知椭圆：的离心率为，直线与圆相切.（1）求椭圆的方程；（2）设，过点的直线交椭圆于，两点，证明：为定值.【思路引导】（1）根据题意布列关于a，b的方程组，即可得到椭圆的方程；（2）设的方程：.联立方程可得，利用韦达定理表示，即可得到结果.解：（1）∵椭圆的离心率为，∴,∵直线与圆相切，∴，∴，∴椭圆的方程为.（2）设，，当直线与轴不重合时，设的方程：.由得，，∴，，.当直线与轴重合时，.∴故为定值.2.【安徽省淮北市、宿州市2019届高三第二次教学质量检测】已知椭圆，右焦点的坐标为，且点在椭圆上.（1）求椭圆的方程及离心率；（2）过点的直线交椭圆于两点（直线不与轴垂直），已知点与点关于轴对称，证明：直线恒过定点，并求出此定点坐标．【思路引导】（1）由题意得到关于a,b,c的方程组，求解方程组确定a,b,c的值即可确定椭圆方程和椭圆的离心率；(2)设，，，联立直线方程与椭圆方程，由题意可得，结合韦达定理和直线斜率的定义得到m与k的关系，代入直线PB的方程即可证得直线过定点.【详解】（1）由已知得，解得，∴椭圆的标准方程，∴椭圆的离心率.(2)设，，则，可设的直线方程为，联立方程，整理得，∴，，∴，整理得，，∴，解得，∴的直线方程为：，直线恒过定点.3.【2020届河南省许昌市高三年级第一次质量检测】在平面直角坐标系xOy中，椭圆C的中心在坐标原点O，其右焦点为，且点

在椭圆C上．求椭圆C的方程；设椭圆的左、右顶点分别为A、B，M是椭圆上异于A，B的任意一点，直线MF交椭圆C于另一点N，直线MB交直线于Q点，求证：A，N，Q三点在同一条直线上．【思路引导】（1）设椭圆的方程为，由题意可得，解方程组即可.（2）设，，直线MN的方程为，由方程组，消去整理得，根据韦达定理求出点的坐标，根据向量即可求出，且向量和有公共点，即可证明．【详解】（1）不妨设椭圆的方程为，.由题意可得，解得，，故椭圆的方程.（1）设，，直线的方程为，由方程组，消去x整理得，，直线的方程可表示为，将此方程与直线成立，可求得点的坐标为，，，，，向量和有公共点，，，三点在同一条直线上．4.【河北省示范性高中2019届高三下学期4月联考】已知椭圆的离心率为，椭圆经过点.（1）求椭圆的标准方程；（2）设点是椭圆上的任意一点，射线与椭圆交于点，过点的直线与椭圆有且只有一个公共点，直线与椭圆交于两个相异点，证明：面积为定值.【思路引导】（1）根据椭圆的离心率和把过的点代入椭圆方程，根据得到的式子求出.（2）当直线斜率不存在时，易得的面积，当直线斜率存在时，设为，与椭圆相切，得到和的关系，再由直线和椭圆联立方程组，得到、，利用弦长公式表示出，再得到和的关系，由到的距离，得到到的距离，从而计算出的面积.得到结论为定值.【详解】（1）解：因为的离心率为，所以，解得.①将点代入，整理得.②联立①②，得，，故椭圆的标准方程为.（2）证明：①当直线的斜率不存在时，点为或，由对称性不妨取，由（1）知椭圆的方程为，所以有.将代入椭圆的方程得，所以.②当直线的斜率存在时，设其方程为，将代入椭圆的方程得，由题意得，整理得.将代入椭圆的方程，得.设，，则，，所以.设，，，则可得，.因为，所以，解得（舍去），所以，从而.又因为点到直线的距离为，所以点到直线的距离为，所以，综上，的面积为定值.5．【安徽省六校教育研究会2020届高三上学期第一次素质测试】已知是抛物线上任意一点，，且点为线段的中点．（Ⅰ）求点的轨迹的方程；（Ⅱ）若为点关于原点的对称点，过的直线交曲线于、两点，直线交直线于点，求证：．【思路引导】（Ⅰ）设，，根据中点坐标公式可得，代入曲线方程即可整理得到所求的轨迹方程；（Ⅱ）设，设，，将直线与曲线联立可得；由抛物线定义可知，若要证得只需证明垂直准线，即轴；由直线的方程可求得，可将点横坐标化简为，从而证得轴，则可得结论.【详解】（Ⅰ）设，为中点为曲线上任意一点，代入得：点的轨迹的方程为：（Ⅱ）依题意得，直线的斜率存在，其方程可设为：设，联立得：，则直线的方程为，是直线与直线的交点根据抛物线的定义等于点到准线的距离在准线上要证明，只需证明垂直准线即证轴的横坐标：轴成立成立6.【天津市和平区耀华中学2019届高三第一次校模拟考试】已知A是圆x2+y2=4上的一个动点，过点A作两条直线l（Ⅰ）若A−2,0，求直线l（Ⅱ）①求证：对于圆上的任意点A，都有l1②求ΔAMN面积的取值范围.【思路引导】（Ⅰ）设出直线方程，代入椭圆方程,利用直线与椭圆x23+y2=1都只有一个公共点,求出直线的斜率,即可求直线l1,l2的方程；（Ⅱ）①分类讨论,斜率不存在时成立，斜率存在时，利用判别式等于零可得关于k的一元二次方程，由韦达定理可得k1k2=−1,成立，即可证得结论；【详解】（Ⅰ）设直线的方程为y=kx+2代入椭圆x23+可得1+3k2x2+12k2x+12k2−3=0，

由Δ=0,可得k2−1=0，

设l1,l2的斜率分别为k1,k2,∴k1=−1,k2=1，

∴∴l2的方程为y=1(或y=−1，l1⊥l2成立，

同理可证，当l1的方程为x=−3时，结论成