沪教版七年级数学下册满分冲刺卷专题02实数(难点)(原卷版+解析)

专题02实数（难点）一、单选题1．下列说法中，正确的有（

）①无限小数是无理数；②无理数是无限小数；③两个无理数的和是无理数；④对于实数、，如果，那么；⑤所有的有理数都可以用数轴上的点来表示，反过来，数轴上的所有点都表示有理数．A．②④ B．①②⑤ C．② D．②⑤2．已知：、为两个连续的整数，且，以下判断正确的是（

）A．的整数部分与小数部分的差是 B．C．的小数部分是0.236 D．3．已知四个式子：①；②；③；④．利用有理数逼近无理数的方法，估计的近似值（精确到0.01）是（

）A．2.15 B．2.23 C．2.24 D．2.254．已知a2＝25，＝7，且|a+b|＝a+b，则a﹣b的值为（）A．2或12 B．2或﹣12 C．﹣2或12 D．﹣2或﹣125．下列各式正确的是（

）A．=a B．a0=1 C．=-4 D．=-56．数轴上表示，的对应点分别为，点关于点的对称点为，则点所表示的数是（

）A． B． C． D．7．已知，则a的值为()A． B．0或±1 C．0 D．0，±1或8．有一个数值转换器，流程如下：当输入的值为64时，输出的值是（

）A．2 B． C． D．9．阅读理解：我们知道，引进了无理数后，有理数集就扩展到实数集.同样，如果引进“虚数”，实数集就扩展到“复数集”.现在我们定义：“虚数单位”，其运算规则是：，，，，，，，则（

）A． B． C．1 D．10．已知：（n是自然数）．那么的值是（

）A． B． C． D．二、填空题11．比较大小：（1）__6；（2）__12．的四次方根是______．13．的算术平方根是_________；的平方根是____________．14．若与互为相反数，则＝___________．15．若，则x与y关系是______．16．已知实数a，b互为相反数，c，d互为倒数，x的绝对值为，则的值为_____________．17．已知（n为正整数），则原方程的解为______．18．据说我国著名数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机上邻座的乘客阅读的杂志上有一道智力题：一个数是59319，希望求出它的立方根．华罗庚脱口而出：39．邻座的乘客十分惊奇，忙问计算的奥妙．你知道华罗庚是怎样计算的吗？请按照下面的问题试一试：（1）由，试确定是__________位数；（2）由19683个位数是3，试确定个位数是________________；（3）如果划去19683后面的三位数683得到数19，而，由此你能确定十位的数字是___________；（4）用上述方法确定110592的立方根是_______________．三、解答题19．计算：(1)；(2)；(3)．20．（1）计算：（结果表示为含幂的形式）．（2）计算：．21．计算：．22．计算（结果表示为含幂的形式）：．23．计算：利用幂的运算性质计算：24．已知是M的立方根，而是的相反数，且M＝3a﹣7．(1)求a与b的值；(2)设，，求x与y平方和的立方根．25．阅读材料，解答问题：材料∵即，∴的整数部分为2，小数部分为．问题：已知的立方根是3，的算术平方根是4，c是的整数部分．(1)的小数部分为______；(2)求的平方根．26．任何实数a，可用[a]表示不超过a的最大整数，如[4]=4，[]=1．现对72进行如下操作：72第一次[]=8，第二次[]=2，第三次[]=1，这样对72只需进行3次操作变为1．（1）对10进行1次操作后变为_______，对200进行3次作后变为_______；（2）对实数m恰进行2次操作后变成1，则m最小可以取到_______；（3）若正整数m进行3次操作后变为1，求m的最大值．27．在日历上，我们可以发现其中某些数满足一定规律，如图是2020年12月份的日历，我们选择其中被框起的部分，将每个框中三个位置上的数作如下计算：不难发现，结果都是7．（1）请你再在图中框出一个类似的部分并加以验证；（2）请你利用代数式的运算对以上规律加以证明．28．（1）已知，，则____________．（2）已知，则_________．（3）从以上的结果可以看出：被开方数的小数点向左或右移动3位，立方根的小数点则向_________移动____________位．（4）如果，则_________，____________．29．“说不完的”探究活动，根据各探究小组的汇报，完成下列问题．(1)到底有多大？下面是小欣探索的近似值的过程，请补充完整：我们知道面积是2的正方形边长是，且．设，画出如下示意图．由面积公式，可得______．因为值很小，所以更小，略去，得方程______，解得____（保留到0.001），即_____．(2)怎样画出？请一起参与小敏探索画过程．现有2个边长为1的正方形，排列形式如图（1），请把它们分割后拼接成一个新的正方形．要求：画出分割线并在正方形网格图（图中每个小正方形的边长均为1）中用实线画出拼接成的新正方形．小敏同学的做法是：设新正方形的边长为．依题意，割补前后图形的面积相等，有，解得．把图（1）如图所示进行分割，请在图（2）中用实线画出拼接成的新正方形．请参考小敏做法，现有5个边长为1的正方形，排列形式如图（3），请把它们分割后拼接成一个新的正方形．要求：画出分割线并在正方形网格图（4）中用实线画出拼接成的新正方形．说明：直接画出图形，不要求写分析过程．30．阅读下列信息材料信息1：因为尤理数是无限不循环小数，因此无理数的小数部分我们不可能全部地写出来比如：等，而常用的“……”或者“≈”的表示方法都不够百分百准确；信息2：2.5的整数部分是2，小数部分是0.5，可以看成得来的；信息3：任何一个无理数，都可以夹在两个相邻的整数之间，如，是因为；根据上述信息，回答下列问题：（1）的整数部分是___________，小数部分是______________；（2）若，则的整数部分是___________；小数部分可以表示为_______；（3）也是夹在相邻两个整数之间的，可以表示为则______；（4）若，其中是整数，且，请求的相反数．专题02实数（难点）一、单选题1．下列说法中，正确的有（

）①无限小数是无理数；②无理数是无限小数；③两个无理数的和是无理数；④对于实数、，如果，那么；⑤所有的有理数都可以用数轴上的点来表示，反过来，数轴上的所有点都表示有理数．A．②④ B．①②⑤ C．② D．②⑤【答案】C【分析】根据无理数的定义，实数的运算，实数的性质，实数与数轴的关系，逐项判断，即可求解．【解析】解：①无限不循环小数是无理数，故本选项错误；②无理数是无限小数，故本选项正确；③两个无理数的和不一定是无理数，例如两个无理数互为相反数，它们的和为0，故本选项错误；④对于实数、，如果，那么，故本选项错误；⑤所有的有理数都可以用数轴上的点来表示，反过来，数轴上的所有点都表示实数，故本选项错误；故选：C．【点睛】本题主要考查了无理数的定义，实数的运算，实数与数轴的关系，熟练掌握相关知识是解题的关键．2．已知：、为两个连续的整数，且，以下判断正确的是（

）A．的整数部分与小数部分的差是 B．C．的小数部分是0.236 D．【答案】A【分析】根据无理数的估算、实数的运算即可得．【解析】，，即，的整数部分为2，小数部分为，则选项C错误；的整数部分与小数部分的差是，则选项A正确；又、为两个连续的整数，且，，则选项B错误；，则选项D错误；故选：A．【点睛】本题考查了无理数的估算、实数的运算，熟练掌握无理数的估算方法是解题关键．3．已知四个式子：①；②；③；④．利用有理数逼近无理数的方法，估计的近似值（精确到0.01）是（

）A．2.15 B．2.23 C．2.24 D．2.25【答案】C【分析】根据已知可知2.236＜＜2.237，利用四舍五入可得出的近似值．【解析】∵①；②；③；④．∴2.236＜＜2.237∴四舍五入得到的近似值（精确到0.01）是2.24．故选：C．【点睛】本题考查了估算无理数的大小，要想准确地估算出无理数的取值范围需要记住一些常用数的平方．4．已知a2＝25，＝7，且|a+b|＝a+b，则a﹣b的值为（）A．2或12 B．2或﹣12 C．﹣2或12 D．﹣2或﹣12【答案】D【分析】先由a2＝25，＝7求得a、b的值，然后再根据|a+b|＝a+b确定出a、b的取值情况，最后求得a﹣b的值即可．【解析】解：∵a2＝25，＝7，∴a＝±5，b＝±7．又∵|a+b|＝a+b，∴a＝±5，b＝7．∴当a＝5，b＝7时，a﹣b＝﹣2；当a＝﹣5，b＝7时，a﹣b＝﹣5﹣7＝﹣12．故选：D．【点睛】本题考查了平方根、绝对值、有理数的减法，求得a、b的值是解题的关键．5．下列各式正确的是（

）A．=a B．a0=1 C．=-4 D．=-5【答案】D【分析】根据偶次方根，被开方数需满足非负性，而对于奇次方根，任意实数都可，进而问题可求解．【解析】解：由于，则选项A、C排除，D正确，B需要加条件；故选D．【点睛】本题主要考查n次方根，熟练掌握n次方根的性质是解题的关键．6．数轴上表示，的对应点分别为，点关于点的对称点为，则点所表示的数是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据数轴上两点之间的距离计算、对称的性质即可解决．【解析】解：根据对称的性质得：设点表示的数为，则解得：故选：C．【点睛】本题考查了实数与数轴，数轴上两点之间的距离，图形对称的性质，关键是由对称的性质得到．7．已知，则a的值为()A． B．0或±1 C．0 D．0，±1或【答案】D【分析】根据已知推导出一个数的立方根是它本身这个条件，进而得出这样的数有0，﹣1，1三个，求解即可.【解析】∵，即一个数的立方根是它本身，∴这样的数有0，﹣1，1三个，∴，，，∴或；故答案为：D【点睛】本题考查了立方根的综合应用，根据已知条件推导出一个数的立方根是它本身这个条件是解题的关键.8．有一个数值转换器，流程如下：当输入的值为64时，输出的值是（

）A．2 B． C． D．【答案】C【分析】把64代入转换器，根据要求计算，得到输出的数值即可.【解析】∵=8，是有理数，∴继续转换，∵=2，是有理数，∴继续转换，∵2的算术平方根是，是无理数，∴输出y=，故选：C.【点睛】本题考查的是算术平方根的概念和性质，一个正数的平方根有两个，正的平方根是这个数的算术平方根；注意有理数和无理数的区别.9．阅读理解：我们知道，引进了无理数后，有理数集就扩展到实数集.同样，如果引进“虚数”，实数集就扩展到“复数集”.现在我们定义：“虚数单位”，其运算规则是：，，，，，，，则（

）A． B． C．1 D．【答案】A【分析】根据运算法则可知个运算一循环，进而即可求解．【解析】，，，，，，，，根据运算法则可知个运算一循环，，∴，故选：A．【点睛】本题考查了规律性问题，解题的关键是通过所给的数据发现其中的变化规律，利用发现的规律进行解题.10．已知：（n是自然数）．那么的值是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】先计算再求解再化简再计算即可得到答案.【解析】解：由题意得：，∴，则∴．故选D．【点睛】本题考查的是完全平方公式的应用，算术平方根的含义，负整数指数幂的含义，幂的运算，熟知以上运算的运算法则是解题的关键.二、填空题11．比较大小：（1）__6；（2）__【答案】

＜

＜【分析】（1）比较两数的平方即可求解；（2）分别求得+1与的范围，进而即可求解．【解析】解：（1）∵62＝36＞35，∴＜6，故答案为：＜；（2）∵2＜＜3，∴﹣3＜＜﹣2，∴﹣2＜+1＜﹣1，∵1＜＜2，∴﹣2＜＜﹣1，∴﹣1＜﹣＜﹣，∴+1＜﹣，故答案为：＜；【点睛】本题考查了实数的大小比较，掌握实数的大小比较的方法是解题的关键．12．的四次方根是______．【答案】【分析】计算出，再找出四次方等于81的数即可．【解析】解：∵，又∵∴的四次方根是，故答案为：．【点睛】本题考查平方根的推广，有理数的乘方．解题的关键是正确找出四次方等于81的数．13．的算术平方根是_________；的平方根是____________．【答案】

2

【分析】根据算术平方根和平方根的定义求解即可．【解析】解∵，∴的算术平方根是2，的平方根是±3．故答案为：2，±3．【点睛】本题主要考查了算术平方根，平方根的定义，解题的关键在于能够熟练掌握平方根和算术平方根的定义．14．若与互为相反数，则＝___________．【答案】1【分析】由互为相反数的两数的和为0，可以得出+＝0，由非负性得到关于a、b的方程组，解方程组求得a、b的值，再代入计算即可．【解析】∵与互为相反数，∴+＝0，又∵≥0，≥0，∴，解得，∴a-b=1．故答案为：0．【点睛】考查了解方程组、互为相反数的两数之和为0和平方（算术平方根）的非负性，解题关键是由题意得到+＝0和非负性得到关于a、b的方程组．15．若，则x与y关系是______．【答案】x+y=0【分析】先移项，然后两边同时进行三次方运算，继而可得答案.【解析】∵，∴，∴（）3=（）3，∴x=-y，∴x+y=0，故答案为x+y=0.【点睛】本题考查了立方根，明确是解题的关键.16．已知实数a，b互为相反数，c，d互为倒数，x的绝对值为，则的值为_____________．【答案】6或【分析】根据题意可得，，，然后代入代数式求值即可．【解析】解：，∵a、b互为相反数，∴，∵c、d互为倒数，∴，∵x的绝对值为，∴，当时，原式；当时，原式，∴所求代数式的值为6或．故答案为：6或．【点睛】此题主要考查了实数运算和求代数式的值，关键是掌握相反数和为0，倒数积为1．17．已知（n为正整数），则原方程的解为______．【答案】【分析】利用偶次方根的意义解答即可．【解析】解：，，，，故答案为：．【点睛】本题主要考查了方程的解，偶次方根的意义，正确利用偶次方根的意义进行化简是解题的关键．18．据说我国著名数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机上邻座的乘客阅读的杂志上有一道智力题：一个数是59319，希望求出它的立方根．华罗庚脱口而出：39．邻座的乘客十分惊奇，忙问计算的奥妙．你知道华罗庚是怎样计算的吗？请按照下面的问题试一试：（1）由，试确定是__________位数；（2）由19683个位数是3，试确定个位数是________________；（3）如果划去19683后面的三位数683得到数19，而，由此你能确定十位的数字是___________；（4）用上述方法确定110592的立方根是_______________．【答案】

两

7

2

48【分析】（1）由19683大于1000而小于1000000，即可确定59319的立方根是2位数；（2）根据一个数的立方的个位数就是这个数的个位数的立方的个位数，据此即可确定；，即可确定答案；（3）运用数立方的计算方法计算即可；（4）首先根据一个数的立方的个位数就是这个数的个位数的立方的个位数确定个位数，然再确定十位数即可解答．【解析】解：（1）∵1000<19683<1000000，∴10<<100，∴是两位数；故答案为：两；（2）∵一个数的立方的个位数就是这个数的个位数的立方的个位数∴的个位数为7；故答案为7；（3）∵8<19<27，∴2<<3，∴的十位上的数是2，故答案为2；（4）∵观察发现：只有8的立方的个位数为2∴的个位数为8又∵64＜110＜125∴的十位为4∴=48故答案为48．【点睛】本题主要考查了数的立方，理解一个数的立方的个位数就是这个数的个位数的立方的个位数是解答本题的关键．三、解答题19．计算：(1)；(2)；(3)．【答案】(1)；(2)-1；(3)-3；【分析】（1）利用平方差公式计算求值；（2）利用幂的积等于积的幂计算求值；（3）根据幂的运算法则、平方差公式计算求值；【解析】（1）解：原式=，=；（2）解：原式==；（3）解：原式=；【点睛】本题考查了实数的混合运算，掌握平方差公式是解题关键．20．（1）计算：（结果表示为含幂的形式）．（2）计算：．【答案】（1）+；（2）．【分析】（1）根据用同底数幂相乘及积的乘方计算即可；（2）先计算乘方，再进行实数加减即可．【解析】解：（1）原式＝＝．（2）原式＝＝＝．【点睛】本题考查了同底数幂相乘、积的乘方、有理数的分数指数幂等知识点，熟悉运算法则是解题关键．21．计算：．【答案】【分析】根据二次根式的加减运算以及乘法运算、以及负指数幂运算即可求出答案．【解析】解：，．【点睛】本题考查二次根式的运算，分数指数幂运算，解题的关键是熟练运用二次根式的加减运算、乘法运算法则以及分数指数幂的运算法则．22．计算（结果表示为含幂的形式）：．【答案】【分析】根据分数指数幂的性质以及同底数幂的乘除法运算法则化简求解即可得出答案．【解析】解：【点睛】本题考查了分数指数幂的性质以及同底数幂的乘除法运算，关键是将不同底数幂的转化为同底数幂的形式．23．计算：利用幂的运算性质计算：【答案】【分析】根据，，，；，计算，即可．【解析】∵，，，∴∴∴．【点睛】本题考查幂的运算，解题的关键是熟练掌握，．24．已知是M的立方根，而是的相反数，且M＝3a﹣7．(1)求a与b的值；(2)设，，求x与y平方和的立方根．【答案】(1)a＝5，b＝﹣2(2)2【分析】（1）根据立方根得出a+b＝3，M＝6﹣b，再根据已知条件求出答案即可；（2）求出x、y的值，再求出x2+y2的值，最后求出答案即可．【解析】（1）解：∵是M的立方根，而是的相反数，∴a+b＝3，M＝6﹣b，∵M＝3a﹣7，∴6﹣b＝3a﹣7，解得：a＝5，b＝﹣2；（2）解：∵a＝5，b＝﹣2，M＝6﹣（﹣2）＝8，∴＝＝2，y＝＝﹣2，∴x2+y2＝22+（﹣2）2＝8，∴x与y平方和的立方根是＝2．【点睛】本题考查了立方根和实数的性质，能熟记立方根的定义是解此题的关键．25．阅读材料，解答问题：材料∵即，∴的整数部分为2，小数部分为．问题：已知的立方根是3，的算术平方根是4，c是的整数部分．(1)的小数部分为______；(2)求的平方根．【答案】(1)(2)的平方根是【分析】（1）估算出的范围，即可得到的整数部分和小数部分；（2）根据5a＋2的立方根是3，3a＋b−1的算术平方根是4，c是的整数部分求出a，b，c的值，然后求出3a−b＋c的值，再求它的平方根．【解析】（1）解：∵9＜13＜16，∴3＜＜4，∴的整数部分是3，小数部分是−3，故答案为：−3；（2）解：∵5a＋2的立方根是3，3a＋b−1的算术平方根是4，c是的整数部分，∴5a＋2＝33＝27，3a＋b−1＝42＝16，c＝3，∴a＝5，b＝2，c＝3，∴3a−b＋c＝15−2＋3＝16，∴3a−b＋c的平方根是±4．【点睛】本题考查了无理数的估算，立方根，平方根的定义，注意一个正数的平方根有两个，不要漏解．26．任何实数a，可用[a]表示不超过a的最大整数，如[4]=4，[]=1．现对72进行如下操作：72第一次[]=8，第二次[]=2，第三次[]=1，这样对72只需进行3次操作变为1．（1）对10进行1次操作后变为_______，对200进行3次作后变为_______；（2）对实数m恰进行2次操作后变成1，则m最小可以取到_______；（3）若正整数m进行3次操作后变为1，求m的最大值．【答案】（1）3；1；（2）4；（3）的最大值为255【解析】解：（1）∵，∴，∴，∴对10进行1次操作后变为3；同理可得，∴，同理可得，∴，同理可得，∴，∴对200进行3次作后变为1，故答案为：3；1；（2）设m进行第一次操作后的数为x，∵，∴．∴．∴．∵要经过两次操作．∴．∴．∴．故答案为：4．（3）设m经过第一次操作后的数为n，经过第二次操作后的数为x，∵，∴．∴．∴．．∴．∵要经过3次操作，故．∴．∵是整数．∴的最大值为255．【点睛】本题考查取整函数及无理数的估计，正确理解取整含义是求解本题的关键．27．在日历上，我们可以发现其中某些数满足一定规律，如图是2020年12月份的日历，我们选择其中被框起的部分，将每个框中三个位置上的数作如下计算：不难发现，结果都是7．（1）请你再在图中框出一个类似的部分并加以验证；（2）请你利用代数式的运算对以上规律加以证明．【答案】（1）见解析；（2）见解析【分析】（1）答案不唯一，如选择6，13，20这三个数，按照已知等式方法计算即可；（2）设中间那个数为，列得，根据平方差公式及合并同类项法则计算即可．【解析】解：(1)答案不唯一，如：在图中框出如图，；(2)证明：设中间那个数为，则：∴．．【点睛】此题考查数字计算规律探究，掌握有理数混合运算法则，整式的混合运算法则以及化简算术平方根是解题的关键．28．（1）已知，，则____________．（2）已知，则_________．（3）从以上的结果可以看出：被开方数的小数点向左或右移动3位，立方根的小数点则向_________移动____________位．（4）如果，则_________，____________．【答案】（1）200（2）0.05（3）左或右；1．（4）；【分析】（1）观察式子发现，当被开三次方数的小数点向左或右移动3位，立方根的小数点则向左或右移动1位，可以理解为被开方数小数点向右移动3位后又向右移动3位，则立方根的小数点向右移动1位后又向右移动1位，直接写出得数即可．（2）当被开三次方数的小数点向左或右移动3位，立方根的小数点则向左或右移动1位，可以理解为被开方数小数点向左移动3位后又向左移动3位，则立方根的小数点向左移动1位后又向左移动1位，直接写出得数即可．（3）通过前两个小题的观察、验证，总结规律，被开方数的小数点向左或右移动3位，立方根的小数点则向左或右移动1位．（4）把发现、总结的规律进行应用，直接写出得数即可．【解析】解：（1）根据题意，观察式子发现，当被开三次方数的小数点向左或右移动3位，立方根的小数点则向左或右移动1位．可以看作为被开方数8的小数点向右移动3位后又向右移动3位，则立方根2的小数点向右移动1位后又向右移动1位，∴．（2）根据题意，观察式子发现，当被开三次方数的小数点向左或右移动3位，立方根的小数点则向左或右移动1位，可以理解为被开方数125的小数点向左移动3位后又向左移动3位，则立方根5的小数点向左移动1位后又向左移动1位，∴．（3）通过前两个小题的观察、验证，总结规律：被开方数的小数点向左或右移动3位，立方根的小数点则向左或右移动1位．（4）根据以上小题发现的规律，可看作被开方数向右移动3位，，的立方根向右移动1位，∴；∵，可看作被开方数向左移动3位，，的立方根向左移动1位，∴．【点睛】本题考查了立方根的实际应用，根据观察得出规律，被开三次方数的小数点向左或右移动3位，立方根的小数点则向左或右移动1位，观察发现并总结应用规律是解题关键．29．“说不完的”探究活动，根据各探究小组的汇报，完成下列问题．(1)到底有多大？下面是小欣探索的近似值的过程，请补充完整：我们知道面积是2的正方形边长是，且．设，画出如下示意图．由面积公式，可得______．因为值很小，所以更小，略去，得方程______，解得____（保留到0.001），即_____．(2)怎样画出？请一起参与小敏探索画过程．现有2个边长为1的正方形，排列形式如图（1），请把它们分割后拼接成一