第3章函数的奇偶性（教案）-高中数学湘教版（2019）必修第一册

专题3：函数的奇偶性

1.奇函数与偶函数的概念及性质

如果对于函数/(X)定义域内一个X,都有：

(1)成立Q«x)是奇函数。/U)的图象关于对称=>兀¥)在区间内的单调

性;

(2)成立=外)是偶函数=/(x)的图象关于对称=黄方在区间内的单调

性.

注意：(1)函数具有奇偶性的前提是:.

(2)若奇函数;(x)在x=0时有意义，则必有.

2.奇偶性的判定

(1)定义法判定奇偶性的一般步骤：

①求函数,并判断其是否;

②从开始，整理并判断其与的关系；

③根据上述关系得出函数奇偶性；

(2)结论法判定奇偶性：

①“奇士奇，是，“偶土偶”是，“奇X”奇，是,

“偶x/+偶”是,“奇x/+偶”是；

②奇(偶)函数倒数运算或相反数运算，函数的奇偶性;

③奇(偶)函数的绝对值运算，函数的奇偶性均为函数.

※考点自测

1.函数八x)="A的图象关于()

A.x轴对称B.原点对称C.y轴对称D.y=x对称

答案：B

2.定义在R上的偶函数«x)在(0,+8)上是增函数，贝1」()

A.次3)次一4)勺(一兀)B.人一兀)勺(一4)勺(3)

C./3)研一兀)。：一4)D.八一4)勺(一兀)勺(3)

答案：C

3.已知函数;(X)为定义在R上的奇函数，且当x>0时，/U)=x2+3则人-1)+式0)等于()

A.-2B.0C.1D.2

答案A

4.若函数1%)=办2+陵+3〃+匕是偶函数，定义域为［a—1,2a］,贝(Ja=,b=.

答案：Io

5.已知/(x)是定义在R上的奇函数，当尤20时，八］)=%(1+%)，贝(JxvO时，“r)=.

答案x(l-X)

※题型讲练

题型一判断函数的奇偶性

例1判断下列函数的奇偶性:

(1求力=/一1；(2阿=|2X+1|+|2L1|；

x<0,

(3求x)=a+i)(4阿=

、一/十%,x>0.

解(1)奇函数.(2)偶函数

(3):非奇非偶函数.(4)奇函数.

变式训练1:

⑴给出以下结论：

①定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的充要条件；

②林》)=尸7+声，既是奇函数，又是偶函数；

③尸(x)=«x)-A—x)(xeR)是奇函数；

④若/X)是奇函数，g(x)是偶函数，则P(x)=/(x>g(x)是奇函数.

其中正确的序号是.

答案：②③④

⑵判断函数兀0=普高的奇偶性.

解：由1—1220,得一1W九<1,关于原点对称.

222

・"言yl1—一x=y七l1—x三y=l1X—x，

满足y(—x)=—/(X),

故«x)是奇函数；

考点二函数奇偶性的应用

命题点1利用函数奇偶性求值

例3(1)已知«x)是奇函数，&(x)是偶函数，且八一l)+g(l)=2,/u)+g(-l)=4,则g(l)等于()

A.4B.3C.2D.1

Y

(2)若函数於)="_、十1是定义在(c—1,c)上的奇函数，则a+b+c=.

IIIC/I

(3)设#x)="3—法+}1,且丸-2)=5,则«2)=.

答案(1)B(2)1(3)-3

命题点2利用函数奇偶性求解析式

例4⑴设了(X)是定义在R上的偶函数，且当；时，/⑺二必十八则当x<0时，/(x)=.

(2)已知"x)是定义在R上的奇函数，当x>0时，«x)=/—2x,则兀c)在R上的解析式是.

fx2-2%,冗20,

答案(1)一炉+1(2W)=2c八

1―12—2x,x<0.

变式训练2：

(1)已知函数4x)为定义在R上的奇函数，且当x>0时，兀c)=/+3则/-1)+<0)等于()

A.-2B.0C.1D.2

(2)设函数#x)=(x+l)(x+a)为定义在屹一3,2口上偶函数，

贝IIa=,b=.

(3)设函数y(x)=ar5+bx3+cx+7,若五一2021)=—17,

则/2021)=.

(4)函数/'(X)在R上为奇函数，且/(x)=5+l,x>0,则当x<0时，/(x)=.

答案(1)A(2)-11(3)31(4)-V^-l

考点三函数奇偶性与单调性的综合应用

例5(1)已知«x)是定义在R上的偶函数，且对于任意

XI,［0,+8)(11W12),一妆―.］―<0,贝!1()

A.犬3)勺(一2)勺(1)B.犬1)勺(一2)勺(3)

C./-2)</(1)</(3)D./3)</(1)</(-2)

(2)设於)是定义在［—2,2］上的奇函数，且在区间［0,2］上单调递减，若角n)+/(机-1)<0,则实数根的取

值范围为.

答案⑴A(2)(1,2］

变式训练3：

(1)若奇函数兀0在［-6,—2］上是减函数，且最小值是1,则它在［2,6］上是()

A.增函数且最小值是一1B.增函数且最大值是一1

C.减函数且最大值是一1D.减函数且最小值是一1

(2)设於)是定义在［-2,2］上的偶函数，且在区间［0,2］上单调递增，若火用)一人根一1)<0,则加的取值范围

为.

答案(1)C(2)［-1,1)

考点四函数奇偶性与单调性的综合应用

例6已知函数<x),当x,yWR时，恒有式x+y)=«x)+%).

当x>0时，“¥)>0.

⑴求证：咒¥)是奇函数；

(2)若用)=/求危)在区间［—2,6］上的最值.

解(1)证明：令x=0,y=0,则刖)=40),

.•犹0)=0.令，=一%则式0)=/(x)+/：—x),

即人x)为奇函数.

(2)任取XI,X2CR,且X1VX2.

•；«x+y)=«x)+«y),二兀⑵一Axi)=/(X2—xi).

•当x>0时，y(x)>0,且xi<X2,

：.fiX2-Xl)>0,即式X2)>/U1),为增函数，

...当X=-2时，函数有最小值，«r)min=A-2)=—纨1)=—1.

当x=6时，函数有最大值，/(x)m*=A6)=秋1)=3.

※课后练习(时间：45分钟)

1.函数#x)=士Y一1§的图象关于()

A.y轴对称B.x轴对称C.原点对称D.y=x对称

答案：C

2.设函数人的，g(x)的定义域都为R,且人幻是奇函数，g(x)是偶函数，则下列结论中正确的是()

A.兀c)g(x)是偶函数B.|/(x)|g(x)是奇函数

c.ywig(x)i是奇函数D.m-)&(x)i是奇函数

答案c

3.定义在R上的偶函数4x)在(一8,0)上是减函数，贝1］()

A.八3)/一4)勺(一兀)B.八一兀)勺(一4)勺(3)

C./3)勺(_兀)勺(_4)D.八一4)勺(一兀)勺(3)

答案：C

4.如果奇函数段)在区间［3,7］上是增函数，且最小值为5,那么“x)在区间［—7,—3］上是()

A.增函数且最小值为一5B.增函数且最大值为一5

C.减函数且最小值为一5D.减函数且最大值为一5

答案B

5.已知人x)是定义在R上的奇函数，当x20时,"x)=/+2x,若12—次)次°),则实数a的取值范围是()

A.(—8,-1)U(2,+°°)B.(-1,2)

C.(-2,1)D.(-8,-2)U(1,+8)

答案C

6.设函数人幻为R上的奇函数.当x20时，/(x)=2*+2r+瓦则式-1)=.

答案一3

7.设/Cx)=O+iy+“)为区间出一4,0)U(0,切上的奇函数，贝!,b=.

答案：a=-1,5=2

8.已知於)=必+奴3+法一8且4-2)=10,那么式2)=.

答案：一26

9.已知定义在R上的偶函数1］)在［0,+8)上单调递增，且41)=0,则不等式“X—2)20的解集是

答案(一8,1］U［3,+8)

10.已知«x)的定义域为(一1,1)上的奇函数，且在(0,1)上是减函数，若大1—〃)+式1-2a)V0,则〃的取

值范围是.

2

答案：(0,1)

11.已知於)是R上的奇函数，当时，2),则当％VO时，危)的表达式为.

答案：«x)=-x(x+2)

12.设奇函数#x)在(0,+8)上为增函数，且式1)=0,则不等式管乎2。的解集为_

答案(T,0)U(0,1)

13.已知/(%)是偶函数，g(x)是奇函数，且於)+g(%)=x2+x—2,求於卜g(x)的解析式.

答案fi.x)=x2—2,g(x)=x

角军析••7(x)+ga)=%2+x—2.①

又•••危)为偶函数，g(%)为奇函数，

."./(X)—g(x)=x2—x—2.②

由①②解得次力=%2—2,g(x)=x.

-x2+2x,x>0,

14.已知函数«¥)=<0,%=0,是奇函数.

、<+如，x<0

⑴求实数加的值；

(2)若函数於)在区间［—1,2］上单调递增，求实数〃的取值范围.

解⑴设1<0,贝I—x>0,

所以大一1)=一(一元)2+2(—x)=-x2-2x

又於)为奇函数，

所以大一元)=-7(%).

于是x<0时，fix)=x2+2x=x2