易错点02方程与不等式-2023年中考数学考试易错题【全国】（解析版）

备战2023年中考数学考试易错题

易错点02方程与不等式

1一元一次方程及应用

2解二元一次方程组

3二元一次方程组的应用

4一元二次方程的概念及解法

5根的判别式及根与系数的关系

6一元二次方程的应用

7分式方程及解法

8分式方程的应用

9不等式（组）及解法

10不等式及应用

易错题01一元一次方程及应用

解一元一次方程的一般步骤：

去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1,这仅是解一元一次方程的一般步骤，针对

方程的特点，灵活应用，各种步骤都是为使方程逐渐向x=a形式转化.

变式炼习>>

1.（2022♦黔西南州）小明解方程等一1=平的步骤如下：

解：方程两边同乘6,得3（x+1）-1=2（x-2）①

去括号，得3x+3-l=2r-2②

移项，得3x-2x=-2-3+1③

合并同类项，得》=-4④

以上解题步骤中，开始出错的一步是（）

A.①B.②C.③D.@

【分析】对题目的解题过程逐步分析，即可找出出错的步骤.

【解答】解：方程两边同乘6应为：3（x+l）-6=2（x-2）.

•••出错的步骤为：①，

故选：A.

【点评】本题考查解一元一次方程，解题关键在于能准确观察出出错的步骤.

2.（2022•青海）根据等式的性质，下列各式变形正确的是（）

ab

A.右一=一，则B.右ac=bc,则。=力

C.若。2=庐，贝ija=bD.若一g=6,贝ij犬=-2

【分析】根据等式的性质，进行计算逐一判断即可解答.

【解答】解：A、若±=2,则故A符合题意；

CC

B、若ac=6c（c#0）,则〃=方，故8不符合题意；

C、若〃2=序，则〃=±0,故C不符合题意；

。、一#=6,则x=-18,故。不符合题意；

故选：A.

【点评】本题考查了等式的性质，熟练掌握等式的性质是解题的关键.

3.（2022•营口）我国元朝朱世杰所著的《算学启蒙》一书是中国较早的数学著作之一，书中记载一道问题:

“良马日行二百四十里，弩马日行一百五十里，鸳马先行一十二日，问良马几何追及之？”题意是：快

马每天走240里，慢马每天走150里，慢马先走12天，试问快马几天可以追上慢马？若设快马x天可以

追上慢马，则下列方程正确的是（）

A.240x+150x=150X12B.240x-150x=240X12

C.240x+150x=240X12D.240x-150x=150X12

【分析】利用路程=速度X时间，结合x天快马比慢马多走的路程为慢马12天走的路程，即可得出关于

x的一元一次方程，此题得解.

【解答】解：依题意得：240.r-150x=150X12.

故选：D.

【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的

关键.

4.（2022•铜仁市）为了增强学生的安全防范意识，某校初三（1）班班委举行了一次安全知识抢答赛，抢

答题一共20个，记分规则如下：每答对一个得5分，每答错或不答一个扣1分.小红一共得70分，则

小红答对的个数为（）

A.14B.15C.16D.17

【分析】设小红答对的个数为x个，根据抢答题一共20个，记分规则如下：每答对一个得（5分），每

答错或不答一个扣（1分），列出方程求解即可.

【解答】解：设小红答对的个数为x个，

由题意得5x-(20-x)=70,

解得x=15,

故选：B.

【点评】本题主要考查了一元一次方程的应用，正确理解题意是列出方程求解是解题的关键.

5.(2022♦台湾)某鞋店正举办开学特惠活动，如图为活动说明.

任选两双鞋，筮二双打六折,

活动说明：

两双鞋定价不同时以低价者折扣

此活动不得与折价券合并使用

小彻打算在该店同时购买一双球鞋及一双皮鞋，且他有一张所有购买的商品定价皆打8折的折价券.若

小彻计算后发现使用折价券与参加特惠活动两者的花费相差50元，则下列叙述何者正确？()

A.使用折价券的花费较少，且两双鞋的定价相差100元

B.使用折价券的花费较少，且两双鞋的定价相差250元

C.参加特惠活动的花费较少，且两双鞋的定价相差100元

D.参加特惠活动的花费较少，且两双鞋的定价相差250元

【分析】设两双鞋子的价格分别为x,y(x<y),则特惠活动花费0.6x+.y,使用折价券花费0.8(x+y),

由0.6x+y-0.8(x+y)=-02r+0.2y=0.2Cy-x)>0可得使用折价券的花费较少，由0.2(y-%)=50

可得y-x=250,即两双鞋定价相差250元，即可求解.

【解答】解：设两双鞋子的价格分别为x,y(x<y),

特惠活动花费：0.6x+y,使用折价券花费：0.8(x+y),

\'0.6x+y-0,8(x+y)

=-0.2r+0.2y

=0.2(y-x)>0,

使用折价券的花费较少，

V0.2(y-x)=50,

'.y-x=250,

...两双鞋定价相差250元，

故选：B.

【点评】本题考查列代数式，解题的关键是正确列出代数式.

6.（2022•岳阳）我国古代数学著作《孙子算经》中有这样一道题，原文如下：今有百鹿入城，家取一鹿，

不尽，又三家共一鹿，适尽，问：城中家几何？大意为：今有100头鹿进城，每家取一头鹿，没有取完，

剩下的鹿每3家共取一头，恰好取完，问：城中有多少户人家？在这个问题中，城中人家的户数为（）

A.25B.75C.81D.90

【分析】设城中有x户人家，利用鹿的数量=城中人家户数+gx城中人家户数，即可得出关于x的一元

一次方程，解之即可得出结论.

【解答】解：设城中有x户人家，

1

依题总得：*+可.》=100,

解得：x=75,

城中有75户人家.

故选：B.

【点评】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键.

7.（2022•张家界）中国“最美扶贫高铁”之一的“张吉怀高铁”开通后，张家界到怀化的运行时间由原来

的3.5小时缩短至1小时，运行里程缩短了40千米.已知高铁的平均速度比普通列车的平均速度每小时

快200千米，求高铁的平均速度.

【分析】设高铁的平均速度为xhw/力，由运行里程缩短了40千米得：x+40=3.5（x-200）,可解得高铁

的平均速度为296km/h.

【解答】解：设高铁的平均速度为Mm//?,则普通列车的平均速度为（x-200）km/h,

由题意得：x+40=3.5（x-200）,

解得：x=296,

答：高铁的平均速度为296k”/〃.

【点评】本题考查一元一次方程的应用，解题的关键是读懂题意，找到等量关系列方程.

8.（2022•永州）受第24届北京冬季奥林匹克运动会的影响，小勇爱上了雪上运动.一天，小勇在滑雪场

训练滑雪，第一次他从滑雪道A端以平均（x+2）米/秒的速度滑到8端，用了24秒；第二次从滑雪道A

端以平均（x+3）米/秒的速度滑到B端，用了20秒.

（1）求x的值；

（2）设小勇从滑雪道4端滑到B端的平均速度为v米/秒，所用时间为f秒，请用含t的代数式表示v（不

要求写出f的取值范围）.

【分析】（1）根据两次滑雪路程相等，列出一元一次方程，解方程即可；

（2）求出从滑雪道4端滑到8端的路程，即可解决问题.

【解答】解：（1）由题意得：24（x+2）=20（x+3）,

解得：x=3,

答：x的值为3；

（2）从滑雪道A端滑到8端的路程为：24X（3+2）=120（米），

:小勇从滑雪道A端滑到8端的平均速度为丫米/秒，所用时间为r秒，

.120

..v=—.

【点评】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键.

9.（2022•重庆）在全民健身运动中，骑行运动颇受市民青睐，甲、乙两骑行爱好者约定从A地沿相同路线

骑行去距4地30千米的B地，已知甲骑行的速度是乙的1.2倍.

（1）若乙先骑行2千米，甲才开始从A地出发，则甲出发半小时恰好追上乙，求甲骑行的速度；

（2）若乙先骑行20分钟，甲才开始从A地出发，则甲、乙恰好同时到达8地，求甲骑行的速度.

【分析】（1）设乙骑行的速度为x千米/时，则甲骑行的速度为1.2x千米/时，利用路程=速度X时间，

结合甲追上乙时二者的行驶路程相等，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可求出乙骑行的速度，

再将其代入l.Zr中即可求出甲骑行的速度；

（2）设乙骑行的速度为），千米/时，则甲骑行的速度为L2y千米/时，利用时间=路程+速度，结合乙比

甲多用20分钟，即可得出关于y的分式方程，解之经检验后即可求出乙骑行的速度，再将其代入1.2），

中即可求出甲骑行的速度.

【解答】解：（1）设乙骑行的速度为x千米/时，则甲骑行的速度为L2x千米/时，

11

依题意得：-xl.2x=2+'X,

解得：x=20,

A1.2r=1.2X20=24.

答：甲骑行的速度为24千米/时.

（2）设乙骑行的速度为y千米/时，则甲骑行的速度为1.2〉千米/时,

3020

依题意得：—

y1.2y~60’

解得：>>=15,

经检验，y=15是原方程的解，且符合题意,

.•.1.2y=1.2X15=18.

答：甲骑行的速度为18千米/时.

【点评】本题考查了一元一次方程的应用以及分式方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正

确列出一元一次方程；（2）找准等量关系，正确列出分式方程.

10.（2022•南充）南充市被誉为中国绸都，本地某电商销售真丝衬衣和真丝围巾两种产品，它们的进价和

售价如下表.用15000元可购进真丝衬衣50件和真丝围巾25件.（利润=售价-进价）

种类真丝衬衣真丝围巾

进价（元/件）a80

售价（元/件）300100

（1）求真丝衬衣进价a的值.

（2）若该电商计划购进真丝衬衣和真丝围巾两种商品共300件，据市场销售分析，真丝围巾进货件数不

低于真丝衬衣件数的2倍.如何进货才能使本次销售获得的利润最大？最大利润是多少元？

（3）按（2）中最大利润方案进货与销售，在实际销售过程中，当真丝围巾销量达到一半时，为促销并

保证销售利润不低于原来最大利润的90%,衬衣售价不变，余下围巾降价销售，每件最多降价多少元？

【分析】（1）利用总价=单价X数量，即可得出关于。的一元一次方程，解之即可得出a的值；

（2）设购进真丝衬衣x件，则购进真丝围巾（300-%）件，根据真丝围巾进货件数不低于真丝衬衣件数

的2倍，即可得出关于x的一元一次不等式，解之即可得出x的取值范围，设两种商品全部售出后获得

的总利润为w元，利用总利润=每件的销售利润X销售数量，即可得出卬关于x的函数关系式，再利用

一次函数的性质，即可解决最值问题；

（3）设每件真丝围巾降价y元，利用总利润=每件的销售利润X销售数量，结合要保证销售利润不低于

原来最大利润的90%,即可得出关于y的一元一次不等式，解之取其中的最大值即可得出结论.

【解答】解：⑴依题意得：504+80X25=15000,

解得：“=260.

答：。的值为260.

(2)设购进真丝衬衣x件，则购进真丝围巾(300-x)件，

依题意得：300-x^2x,

解得：xWlOO.

设两种商品全部售出后获得的总利润为卬元，则卬=(300-260)x+(100-80)(300-x)=20x+6000.

V20>0,

随x的增大而增大，

.•.当x=100时，卬取得最大值，最大值=20X100+6000=8000,此时300-x=300-100=200.

答：当购进真丝衬衣100件，真丝围巾200件时，才能使本次销售获得的利润最大，最大利润是8000元.

(3)设每件真丝围巾降价y元，

依题意得：(300-260)X100+(100-80)x1X200+(100-y-80)x}X20028000X90%,

解得：yW8.

答：每件真丝围巾最多降价8元.

【点评】本题考查了一元一次方程的应用、-元一次不等式的应用以及一次函数的应用，解题的关键是:

(1)找准等量关系，正确列出一元一次方程；(2)根据各数量之间的关系，找出w关于x的函数关系式;

(3)根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式.

易错题02解二元一次方程组

解二元一次方程组常用的方法有代入消元法和加减消元法.代入法：从方程组中选一个系数比

较简单的方程，将这个方程组中的一个未知数用含另一个未知数的代数式表示出来.加减法：

方程组的两个方程中，如果同一个未知数的系数既不相等又不互为相反数，就用适当的数去

乘方程的两边，使某一个未知数的系数相等或互为相反数

支式练习

1.(2022•株洲)对于二元一次方程组卜="一1"二，将①式代入②式，消去y可以得到()

卜+2y=7②

A.x+2x-1=7B.x+2x-2=7C.x+x-l=7D.x+2r+2=7

【分析】将①式代入②式，得x+2(x-1)=7,去括号即可.

【解答】解：卜="一1可、，将①式代入②式，

(x+2y=7②

得x+2(x-1)=7,

-2=7,

故选：B.

【点评】本题考查了解二元一次方程组，掌握代入消元法解二元一次方程组是解题关键.

2.（2022•潍坊）方程组卜"3y=13,的解为（x=2.

（3x-2y=0=3—

【分析】由第一个方程得4x+6y=26,由第二个方程得9x-6y=0,两个方程相加消去》解出x,再进

一步解出y即可.

【解答】解：卜+3y=1羽

-2y=0②

由①义2得4x+6y=26③，

由②X3得9x-6）=0④，

由③+④得13x=26,

解得x=2,

将x=2代入②得3X2-2y=0,

解得y=3,

所以原方程组的解为zI

故答案为:

【点评】本题考查了二元一次方程组的解法，第一种代入消元法，先从一个方程当中用一个字母表示另

一个字母，然后代入另一个方程消去未知数解答；第二种加减消元法，把两个方程的两边分别相加或相

减去一个未知数的方法叫作加减消元法.

3.（2022•沈阳）二元一次方程组产+$=5的解是[.

【分析】用代入消元法解二元一次方程组即可.

【解答】解：尸225①，

ly=2x②

将②代入①，得x+4x=5,

解得x=1,

将冗=1代入②，得y=2,

方程组的解为｛;二;，

故答案为：｛二;.

【点评】本题考查二元一次方程组，理解二元一次方程组的解，掌握二元一次方程组的解法是正确解答

的关键.

4.(2022•随州)已知二元一次方程组毁守父,则一的值为，

【分析】将第一个方程化为x=4-2y,并代入第二个方程中，可得2(4-2y)+y=5,解得y=l,将y

=1代入第一个方程中，可得x=2,即可求解.

【解答】解：解法一：由x+2y=4可得:

x=4-2y,

代入第二个方程中，可得:

2(4-2y)+y=5,

解得：y=l，

将y=l代入第一个方程中，可得

x+2X1=4,

解得：x=2,

•*.x-y=2-1=1,

故答案为：1；

解法二：..•卜+2'=4£,

(2x+y=5(2)

由②-①可得:

x-y=1.

故答案为：L

【点评】本题考查解二元一次方程组，解题的关键是熟练掌握加减消元法与代入消元法.

5.(2022•安顺)若。+2匕=8,34+4〃=18,则a+b的值为5.

【分析】直接利用已知解方程组进而得出答案.

【解答】解：方法一、♦.•“+2〃=8,3。+4/>=18,

则a=8-2b,

代入3a+46=18,

解得：h—3,

则a—2,

故a+b=5.

方法二、：a+2b=8,3a+4b=18,

・・2a+2b=10,

...a+b=5,

故答案为：5.

【点评】此题主要考查了解二元一次方程组，正确掌握解题方法是解题关键.

（x-2y=3

6.（2022•淄博）解方程组：1313-

=T

【分析】利用加减消元法或代入消元法解二元一次方程组即可.

【解答】解：整理方程组得卜一2y=3⑦

I2x+3y=13（2）

①X2-②得-7y=-7,

y=l,

把y=1代入①得x-2=3,

解得x=5,

.•.方程组的解为仔=?.

（y=1

【点评】本题考查了解二元一次方程组，做题关键是掌握加减消元法和代入消元法解二元一次方程组.

7.（2022•荆州）已知方程组卜+'=3（的解满足2日-3y<5,求％的取值范围.

U-y=l@

【分析】用加减消元法求出方程组的解，代入2依-3yV5即可得到k的取值范围.

【解答】解：①+②得：2%=4,

，x=2,

①-②得：2y=2,

；.y=1>

代入2q'-ByVS得：4A-3<5,

：.k<2.

答：k的取值范围为：k<2.

【点评】本题考查了解二元一次方程组，解一元一次不等式，解二元一次方程组的基本思路是消元，把

二元方程转化为一元是解题的关键.

易错题03二元一次方程组的应用

列二元一次方程组解决实际问题的一般步骤：

（1）审题：找出问题中的已知条件和未知量及它们之间的关系.

（2）设元：找出题中的两个关键的未知量，并用字母表示出来.

（3）列方程组：挖掘题目中的关系，找出两个等量关系，列出方程组.

（4）求解.

（5）检验作答：检验所求解是否符合实际意义，并作答.

支式练习

1.（2022•宜昌）五一小长假，小华和家人到公园游玩.湖边有大小两种游船.小华发现1艘大船与2艘小

船一次共可以满载游客32人，2艘大船与1艘小船一次共可以满载游客46人.则1艘大船与1艘小船

一次共可以满载游客的人数为（）

A.30B.26C.24D.22

【分析】设1艘大船可载x人，1艘小船可载），人，依题意：1艘大船与2艘小船一次共可以满载游客32

人，2艘大船与1艘小船一次共可以满载游客46人.列出二元一次方程组，求出x+y的值即可.

【解答】解：设1艘大船可载x人，1艘小船可载y人，

什**,口（x+2y=32①

依题意得：,:，

{2x+y=46@

①+②得：3x+3y=78,

.,.x+y—26,

即1艘大船与1艘小船一次共可以满载游客的人数为26,

故选：B.

【点评】此题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键.

2.（2022•武汉）幻方是古老的数学问题，我国古代的《洛书》中记载了最早的幻方一一九宫格.将9个数

填入幻方的空格中，要求每一横行、每一竖列以及两条对角线上的3个数之和相等，例如图（1）就是一

个幻方.图（2）是一个未完成的幻方，则x与y的和是（）

S

S□

□J□

（2）

B.10C.11D.12

【分析】由题意：每一横行、每一竖列以及两条对角线上的3个数之和相等，表示出最中间的数和最右

下角的数，列出二元一次方程组，解方程组即可.

【解答】解：•••每一横行、每一竖列以及两条对角线上的3个数之和相等，

，最左下角的数为：6+20-22=4,

最中间的数为：x+6-4=x+2,或x+6+20-22-y=x-y+4,

最右下角的数为：6+20-(1+2)=24-%,或x+6-y=x-y+6,

・pr+2=x—y+4

**(24-x=x-y+6,

解得:1;二°,

1・x+y=12,

故选：D.

【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键.

二.填空题（共2小题）

3.（2022♦枣庄）《九章算术》是人类科学史上应用数学的“算经之首”，其书中卷八方程［七］中记载：“今有

牛五、羊二，直金十两.牛二、羊五，直金八两.牛、羊各直金几何？”题目大意是：“5头牛、2只羊

共值金10两.2头牛、5只羊共值金8两，每头牛、每只羊各值金多少两？”根据题意，可求得1头牛

18

和1只羊共值金7两.

【分析】设每头牛x两，每只羊y两，根据5头牛、2只羊共值金10两.2头牛、5只羊共值金8两，列

二元一次方程组，两方程相加可得7x+7y=18,进一步求解即可.

【解答】解：设每头牛x两，每只羊y两，

根据题意，可得朦髯二3

.•.7x+7y=18,

,上18

・・x+y=不、

18

:.\头牛和I只羊共值金一两，

7

18

故答案为：

【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，根据题意建立二元一次方程组是解题的关键.

4.（2022•重庆）为进一步改善生态环境，村委会决定在甲、乙、丙三座山上种植香樟和红枫.初步预算，

这三座山各需两种树木数量和之比为5：6：7,需香樟数量之比为4：3：9,并且甲、乙两山需红枫数量

之比为2：3.在实际购买时，香樟的价格比预算低20%,红枫的价格比预算高25%,香樟购买数量减少

了6.25%,结果发现所花费用恰好与预算费用相等，则实际购买香樟的总费用与实际购买红枫的总费用

之比为|.

【分析】分别设出甲乙丙三山的香樟数量、红枫数量及总量，根据甲乙两山红枫数量关系，得出甲乙丙

三山香樟和红枫的数量(只含一个字母)，进而根据“所花费用和预算费用相等”列出等式，从而求得香

樟和红枫的单价之间关系，进一步求得结果.

【解答】解：根据题意，如表格所设：

香樟数量红枫数量总量

甲4%5y-4x5y

乙3x6y-3x6y

丙9x7y-9xly

•.•甲、乙两山需红枫数量之比为2：3,

.5y-4x2

"6y-3x-3’

••y~2x,

故数量可如下表：

香樟数量红枫数量总量

甲4x6xlOx

乙3x9x⑵

丙9x5x\4x

所以香樟的总量是16尤，红枫的总量是20x,

设香樟的预算单价为“，红枫的预算单价为近

由题意得，

[16A-(I-6.25%)]•[«•(1-20%)J+20A-IZ><1+25%)]=\6x'a+20x'h,

：.\2a+25h=\6a+20b,

.,.4a—5b,

设a=5鼠b—4k,

.16x(l-6.25%)x0.8x53

,,20x1.25x4-5’

3

故答案为：--

【点评】本题考查了用字母表示数，根据相等关系列方程进行化简等知识，解决问题的关键是设需要的

量，列出关系式，进行数据处理.

5.(2022•徐州)《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，该书第三卷记载：“今有兽六首四足，禽四首二

足，上有七十六首，下有四十六足，问禽、兽各几何？”译文：今有一种6头4脚的兽与一种4头2脚

的鸟，若兽与鸟共有76个头与46只脚.问兽、鸟各有多少？

根据译文，解决下列问题：

⑴设兽有x个，鸟有y只，可列方程组为一图:

(2)求兽、鸟各有多少.

【分析】(1)根据“兽与鸟共有76个头与46只脚”，即可得出关于x,y的二元一次方程组；

(2)解方程组，即可得出结论.

【解答】解：(1)•兽与鸟共有76个头，

二6x+4y=76；

・・♦兽与鸟共有46只脚，

，4x+2y=46.

可列方程组为霜猊2

故答案为：露案袈

(2)原方程组可化简为+2y=3g

\2x+y=23(2)

由②可得y=23-2x(3),

将③代入①得3x+2(23-2x)=38,

解得x=8,

：.y=23-2x=23-2X8=7.

答：兽有8只，鸟有7只.

【点评】本题考查了二元一次方程组的应用以及数学常识，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是

解题的关键.

6.(2022•大连)2022年北京冬奥会吉祥物冰墩墩和冬残奥会吉祥物雪容融深受大家喜爱.已知购买1个冰

墩墩毛绒玩具和2个雪容融毛绒玩具用了400元，购买3个冰墩墩毛绒玩具和4个雪容融毛绒玩具用了

1000元.这两种毛绒玩具的单价各是多少元？

【分析】设冰墩墩毛绒玩具的单价为x元，雪容融毛绒玩具的单价为y元，由总价=单价X数量，结合

“购买1个冰墩墩和2个雪容触毛绒玩具需400元;购买3个冰墩墩和4个雪容融毛绒玩具需1000元”，

即可列出关于x,y的二元一次方程组，解二元一次方程组即可得出结果.

【解答】解：设冰墩墩毛绒玩具的单价为x元，雪容融毛绒玩具的单价为y元，

依题意得：｛捣T或00,

解得：1;二想

答：冰墩墩毛绒玩具的单价为200元，雪容融毛绒玩具的单价为100元.

【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键.

7.(2022•赤峰)某学校建立了劳动基地，计划在基地上种植48两种苗木共6000株，其中4种苗木的数

量比B种苗木的数量的一半多600株.

(1)请问A、B两种苗木各多少株？

(2)如果学校安排350人同时开始种植这两种苗木，每人每天平均能种植A种苗木50株或B种苗木30

株，应分别安排多少人种植A种苗木和B种苗木，才能确保同时完成任务？

【分析】(1)设A种苗木有x株，8种苗木有)，株，根据“A、3两种苗木共6000株，其中A种苗木的

数量比8种苗木的数量的一半多600株”列二元一次方程组，求解即可；

(2)设安排〃?人种植A种苗木，根据“确保同时完成任务”列分式方程，求解即可.

【解答】解：(1)设A种苗木有x株，8种苗木有y株，

x+y=6000

根据题意，得

x=+600'

X=2400

解得

y=3600'

答：4种苗木有2400株，5种苗木有3600株;

(2)设安排〃，人种植A种苗木,

24003600

根据题意,得赤

30(350-m)

解得加=100,

经检验，m=100是原方程的根，且符合题意,

350-,”=350-100=250(人),

答：应安排100人种植A种苗木，250人种植8种苗木，才能确保同时完成任务.

【点评】本题考查了二元一次方程组和分式方程的应用，理解题意并根据题意建立等量关系是解题的关

键.

8.(2022•黑龙江)学校开展大课间活动，某班需要购买A、B两种跳绳.已知购进10根A种跳绳和5根B

种跳绳共需175元；购进15根A种跳绳和10根B种跳绳共需300元.

(1)求购进一根A种跳绳和一根B种跳绳各需多少元？

(2)设购买4种跳绳〃?根，若班级计划购买A、8两种跳绳共45根，所花费用不少于548元且不多于

560元，则有哪几种购买方案？

(3)在(2)的条件下，哪种购买方案需要的总费用最少？最少费用是多少元？

【分析】(1)设购进一根4种跳绳需x元，购进一根B种跳绳需y元，根据“购进10根A种跳绳和5

根B种跳绳共需175%：购进15根4种跳绳和10根8种跳绳共需300元”，即可得出关于x,)，的二元

一次方程组，解之即可得出结论：

(2)设购买A种跳绳山根，则购买B种跳绳(45-,〃)根，利用总价=单价义数量，结合总价不少于

548元且不多于560元，即可得出关于川的一元一次不等式组，解之即可得出，”的取值范围，再结合

为整数，即可得出各购买方案；

(3)设购买跳绳所需总费用为川元，利用总价=单价X数量，即可得出w关于m的函数关系式，再利

用一次函数的性质，即可解决最值问题.

【解答】解：(1)设购进一根A种跳绳需x元，购进一根B种跳绳需y元，

依题意得:{^+10；=300'

解得:

答：购进一根A种跳绳需10元，购进一根B种跳绳需15元.

(2)•该班级计划购买A、8两种跳绳共45根，且购买A种跳绳"，根，

二购买B种跳绳(45-m)根.

依题意得:mt黑一飞士歌

(10m+15(45—m)>548

解得：23WmW25.4,

又•・•《?为整数，

可以取23,24,25,

共有3种购买方案，

方案1：购买23根A种跳绳,22根B种跳绳;

方案2：购买24根A种跳绳，21根8种跳绳；

方案3：购买25根A种跳绳,20根8种跳绳.

(3)设购买跳绳所需总费用为卬元，则w=10"?+15(45-m)=-5"?+675.

：-5<0,

随m的增大而减小,

二当力=25时,w取得最小值，最小值=-5X25+675=550.

答：在（2）的条件下，购买方案3需要的总费用最少，最少费用是550元.

【点评】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式组的应用以及•次函数的应用，解题的关

键培：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次

不等式组；（3）根据各数量之间的关系，找出w关于，〃的函数关系式.

易错题04一元二次方程的概念及解法

能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解.解一元二次方程常用的

方法有：直接开配方法、配方法、公式法、因式分解法.

支式练习〉）

1.（2022秋•小店区校级期末）己知x=l是一元二次方程/+以-2=0的一个根，则。的值为（）

A.-3B.3C.-1D.1

【分析】根据一元二次方程的解的定义把”=1代入方程得到关于。的一次方程，然后解一次方程即可.

【解答】解：是一元二次方程/+«i-2=0的一个根，

l+a-2=0,

故选：D.

【点评】本题考查了一元二次方程的解，掌握能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次

方程的解是解决问题的关键.

2.（2022秋•黄州区校级期末）关于x的方程5-1）冽+1+2蛆+2=0是一元二次方程，则m的值为（）

A.-1B.2C.±1D.1

【分析】先根据一元二次方程的定义列出关于m的方程组，求出m的值即可.

【解答】解：•••关于x的方程（，〃-1）P"l+i+2〃a+2=0是一元二次方程，

.廿一1H0

••Z72---1.

故选：A.

【点评】本题考查的是一元二次方程的定义，熟知只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整

式方程叫一元二次方程是解题的关键.

3.（2022秋•新化县校级期末）定义运算：a^b=a（1-&）,若mb是方程/一%+=0（巾V0）的两根，

则b*b-a*a的值为（）

A・-1B.0C.1D.±1

【分析】由根与系数的关系可找出根据新运算找出廿（1-h）-4（1”），将其中

的1替换成即可得出结论.

【解答】解：•••”，h是方程y-x+3〃=0（»t<0）的两根，

**•ci'^b=11

:.b*b-c^a—b（1-。）-a（1-«）—b（〃+Z?-b）-a（a+b-a）=ah-ah=O.

故选：B.

【点评】本题考查了根与系数的关系，解题的关键是找出4+6=1.本题属于基础题，难度不大，解决该

题型题目时，根据根与系数的关系得出两根之积与两根之和是关键.

4.（2022秋♦二七区校级期末）己知x=2是关于x的方程7-（机+4）x+4m=0的一个实数根，且该方程

的两实数根恰是等腰△ABC的两条边长，则△ABC的周长为（）

A.9B.10C.6或10D.8或10

【分析】先利用一元二次方程解的定义把x=2代入方程?-（〃?+4）x+4m=0得,〃=2,则方程化为』

-6x+8=0,然后解方程后利用三角形三边的关系确定三角形的三边，最后就是三角形的周长.

【解答】解：把x=2代入方程/-（”?+4）x+4m=0W4-2（zn+4）+4〃?=0,解得加=2,

方程化为/-6x+8=0,解得xi=4,X2—1,

；2+2=4,

三角形三边为4、4、2,

.♦.△ABC的周长为10,

故选：B.

【点评】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程

的解，也考查了三角形三边的关系，解题的关键是掌握三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三

边.

5.（2022秋•孝南区期末）己知”是方程"+叙7二。的一个根，则/+2〃-1的值是（）

13

A.1B.2C.-D.-

22

【分析】根据方程的根的定义，把x=a代入方程求出2次+4〃-3=0,易得答案.

【解答】解：是方程2?+4x-3=0的一个根,

.,.2a2+4a-3=0,

整理得，J+2a=|,

a^+la-1=2-1=

故选：C.

【点评】本题考查r一元二次方程的解，能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程

的解.又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根，所以，一元二次方程的解也称为一元

二次方程的根.

6.（2022秋•北硝区校级期末）有若干个依次排列的整式：第1个ai=-/+x是，用m减去（x-1）得至U

bl,将6乘以X,得到42,再42将减去（X-1）得到历，将历乘以X,得到。3,以此类推，下列结论中

正确的个数为（）

①方程43=0的实数解为X=l;

②历022=-/°23+1；

③49=X（1-X）（X8+X7+X6+........+X+1）；

h410。_1

④当x=4时•，则二"（xWl）的值为------.

1-x3

A.1B.2C.3D.4

【分析】根据题意可以得出规律，〃〃=-/日+式，加根据规律逐项求解判断即可.

【解答】解：由题意可知，第1个m=-f+x,用41减去（X-1）得到力，将力乘以无得到42,

...。1=-/+冗-（X-1）=-7+1,

・\〃2=（一/+1）X=-J+JG

;将第2项42减去（X-1）得到。2,将历乘以X得到笫3项〃3,

/./?2=-A?+X-（X-1）=-/+1，

.*.6Z3=（-N+1）X=~X4+X,

…，以此类推，

**•dn=一式"।+x,/?〃=一式"।+1,

.4

・・〃3=-X+X,

解方程-/+犬=0,得1=0,1,

...方程43=0的实数解为0,1,故结论①错误；

•；b“=-/,+|+1,

・32()22=-^023+1,故结论②正确；

・・・〃”=-E+x,

，。9=-XI0+X=X(1-x9)=X(1-X)(x8+x7+x6+.....+x+l),故结论③正确；

♦：bn=-y/+I+i,

/.bk=-x^+,+l=(1-x)(/+/-〃・+x+l),

=/+/7+・+x+l,

1-x

b…t4101.1011

当x—4时，----4I(MI499.4-I-I—.~_=——-——,故结论④错误.

1-X=+++=1-43

所以正确的结论为：②③，一共2个.

故选：B.

【点评】本题主要考查数据的规律类问题，准确找H1题目中的两组数据的规律是解答此题的关键，难度

较大.

7.(2022秋•中宁县期末)解方程：

(1)?+4x-5=0.

(2)(x-3)2=2X(3-X).

【分析】(1)根据所给方程的系数特点，易于配方，应该用配方法进行解答.

(2)先移项，然后将(3-x)变为-(x-3),即可用提取公因式法对左边进行因式分解，进而用因式

分解法解答.

【解答】解：(1)•.•/+以-5=0,

.,.x^+4x—5,

；./+4x+4=5+4,

r.(x+2)2=9,

；.x+2=±3

•'•XI—1>X2=-5.

(2);(x-3)2=2X(3-x),

(x-3)2+2X(%-3)=0,

J(x-3+2x)(x-3)=0,

(3x-3)(x-3)=0,

解得xi=l,X2=3.

【点评】本题考查了解一元二次方程的方法，当把方程通过移项把等式的右边化为0后，方程的左边能

因式分解时，一般情况下是把左边的式子因式分解，再利用积为。的式子的特点解出方程的根.因式分

解法是解一元二次方程的一种简便方法，要会灵活运用.当化简后不能用分解因式的方法时，即可考虑

用配方法或公式法，这两种方法适用于任何一元二次方程.

8.(2022秋•阜宁县期末)解方程：

(1)x2-4x+l=0；

(2)2x(x-2)=x-2.

【分析】(1)根据配方法即可求出答案；

(2)根据因式分解法即可求出答案.

【解答】解：⑴V？-4x+l=0,

-4x+4=3,

(x-2)2=3,

；.x=2±同

(2)'：2x(x-2)=x-2,

：.2x(x-2)-(x-2)=0,

二(2x-1)(x-2)=0,

•'•x—x=2.

【点评】本题考查一元二次方程，解题的关键是熟练应用一元二次方程的解法，本题属于基础题型.

9.(2022秋•未央区校级期末)解方程

(1)?-3x-9=0；

(2)x(x+4)=2x+8.

【分析】(1)根据公式法解一元二次方程即可；

(2)根据因式分解法解一元二次方程即可.

【解答】解：(1)/-3x-9=0,

"."a—1,b--3,c--9,

A=b2-4ac=45,

.-b±Jb2-4ac3±\/453±3V5

,♦%=-==-2-)

.3+3753-3V5

•.%]=2，x?=2；

(2)xG+4)=2x+8,

x(x+4)-2(x+4)=0,

(x+4)(x-2)=0,

•»xi=:-4,X2=2.

【点评】本题考查了解一元二次方程，掌握一元二次方程的几种解法是关键.

10.(2022秋•小店区校级期末)(1)计算：2cos30°+(；!-2022)°+IVI-2卜

(2)下面是某同学解方程(x+3)2-4=0的过程.

解：移项，得(x+3)2=4,.....第一步

两边开平方，得x+3=2,……第二步

……第三步

该同学的解答从第二步开始出错,请写出正确的解答过程.

【分析】(1)先化简各式，然后再进行计算即可解答；

(2)利用解一元二次方程-直接开平方法，进行计算即可解答.

【解答】解：⑴2cos30°+(TT-2022)°+|V3-2|

/o

=2x-2—F1+2—V3

=V3+1+2-V3

=3；