第六讲方程（组）

第六讲方程（组）

一.基础知识

1.等式,等式的基本性质.

方程,方程的解（根），解方程.

二元一次方程及其解集.

方程组,方程组的解,解方程组.

2.一元一次方程及其解法.

解法:直接开平方法,配方法,公式法,因式分解法.

,根的判别式b?-4ac,

性质＜

根与系数的关系（韦达定理）.

＜f二次三项式的因式分解（公式法）;

公式变形；

一元二次方程应用可化为一元二次方程的方程；

解简单的二元二次方程组;

解应用题.

'可化为一元一次分式方程:增根,去分母或换元法其解,验根

、一元二次方程的人无理方程:增根,两边平方或换元法求其解,验根

分式方程和无理方程的换元法,具体的有均值代换、多元代换、常数代换、倒带换、局部代换等.

3.一次方程组及其解法:

’代入消元法;

4.二元一次方程组解法＜

加减消元法.

5.二元二次方程.二元二次方程组.

解简单的二元二次方程组（消元,降次）：

由一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的方程组的解法；

由一个二元二次方程和一个可以分解为两个二元一次方程的方程组成的方程组的解法.

6.列方程（组）解应用题的一般步骤.

能够找出简单应用题中的未知量和已知量,分析各量之间的关系，能够找出等量关系列出方程或方程组,会

检查求得的结果是否合理.

类型:行程问题,工程问题,百分比浓度问题,增长率问题,数字问题,数量间的差倍分问题,其他问题.

掌握各类型的基本关系式及特点.

二.例题.

L选择题

—2

1）.（2003.昆明★）解分式方程一x一-x--+3=0时，设二x%则原方程变形为（D）

X2-2xX2-2

A.丁？+3y+1=0B.y2-3y+1=0C.y2-3y-1=0D.y2+3^-1=0

2x+y=2

2).(2003.南宁★)二元一次方程组,的解是(B)

「x+y=5

x-1x——1x——3

A.<B.<C.<

y=6[y=4[y=2

3)(2003.宁波★★)已知x-y=4,忖+可=7,那么x+y的值是(C)

3H

A.±—B.±—C.±7D.±11

22

4)(2004.黄冈★★)用换元法解方程\x--]-3x+』+2=0时,如果设x-，那么原方程可转化为

\XJXX

(D)

A.y2+3y+2=0B.—3^y—2=0C.+3^y—2=0D.—3y+2=0

5).(2002.哈尔滨支)方程组I"町=4的解是(C)

5x=10

x—2\x—2fx=2\x—21x=01x=2

A.<B.<C.<或《D.《或v

y=o[y=4[y=。[y=4[y=21y=4

x+y=5k

6）（2002.济宁★★）关于x,y的二元一次方程组＜的解也是二元一次方程2x+3y=6的解,则

x-y=9k

上的值是B)

A.-24

BcD.——

4-f-f3

7)(2002.北京★)用换元法解方程———8x2+12=0,下列换元过程中，原方程变形不正确的是

2X2-3

(D)

141

A.设^—=y，贝！|y——=0B.设2/一3=y，贝!|——4y=0

2x-3yy

,4

C.设8112=y,贝!)——y=QD.设)0=y，贝！ly-《=0

2

y2x-34y

8)(2002.北京**)方程(二~]—---—2=0的解为

(C)

\x-l)x-1

3

A.-1,2B.1,-2C0,-D.0,3

2

9)(2004.苏州★)已知A=4(1+加。(m,A,4均不为零)，则♦=(D)

AA)—ARA—A)rA-l

A.------------D.------------L.

mAmAmA^mA^

10)(2003.丽水★)下列给出的四个方程中,其解是x=Q的方程是(B)

A.x+1=0B.y[x=0C.X?—1=0D.x2=1

cA+1X+8X+2犬+7心me

2.(第十八届n.江苏★★)方程-----1------=------1-----的解是?

x+2x+9x+3x+8

解:原方程可化为：1———+1———=1———+1———

x+2x+9x+3%+8

1]_L1

%+8x+9x+2x+3

x+9—x—8x+3—x—2

即art------------=-------------

(%+8)(%+9)(%+2)(%+3)

/.(x+8)(x+9)—(x+2)(%+3)x———

经检验：X=-U是原方程的解.

2

13x—]3—x

3.(祖冲之杯竞赛★★★)解方程------(x+-------)=42.

x+1x+1

13—x13x—13—x

解:设旦」=丁，则原方程可变形为：孙(x+y)=42,又町+%+y=----------+(--------+%)=13

x+1x+lX+1

二.孙,x+y应是方程产一13/+42=0的两个根.二6=6,与=7.

即,x+y=6或]兀+>=?解之得玉=],%=6,%3=3+&,4=3_&

xy=71xy-6

经检验，玉,%2，%3，%4都是方程的解.

4.(2001.山东省淄博★★★★)解方程x2:+Y+1+2_x2++21Q

x+1x+x+16

Y+x+l(V+X+D+J+IL19x2+x+lx2+l_19

'x2+lx2+x+l6x2+lx2+x+l6

Y2+Y+11IQ73

设———二，则原方程可化为：y+l+—=J，解得％二』,%=乙

x+1y632

2x~+x+122tH—3+A/5—3—A/5

当y时,——一二不；解z得西二---，招=―--

x"+l32-2

当y=3时，厂…1=3解得马=1.经检验：％=-3+二,4=-3一小,马=1都是原方程的根.

2x+1222

4rk-k21

5.（2002.河南★★★）已知方程-T+1=--+——没有增根,求实数k的取值范围.

4-%-x-2x+2

解:两边乘以（x+2）（%—2）,得（x+2）（左—左2）=f—5x—2.①

若产生增根,则必是九=2或x=—2.当尤=—2时,方程①为0（左—左2）=12,无解.

当尤=2时，方程①为4（左—%?）=一&,解之得匕=-1&=2

.•.当％w—1且左，2时,方程没有增根.

町+yz+zx=1(1)

yz+zt+ty=1⑵

6.（2002.江苏★★★★）解方程组.《

zt+tx+xz=1⑶

tx+xy+yt=1(4)

解：①-②，得(x-/)(y+z)=0⑤

②-③，得(y-x)(z+t)=0⑥

③-④,得(z-y)(t+x)=0⑦.

若y+z=0,即z=-y,代入①，得一丁=1,无实数解故y+z#0,同理可得z+twOj+x/O

于是由⑤，⑥，⑦，得xT=0,y-x=0,z-y=0,即x=y=z=f,代入①，得3x?=1

.”=±东二原方程组的解为石=%=4=邛或々=—1

7.（山东★★★）解方程组

2x+y+—=6

y

解:设卜=a,Jx+y-3=ba-b=y/3(1)

则原方程可化为：＜

a2+b2=3⑵

由①得a=6+6代入②解得4=0,b2=一6.可得q=#),%=0.

"+1=°，此时方程组无解.

a=0

当厂时,原方程组为《

b=-y[3

"二6时,原方程组为＜x,=2%=4

当解得或＜

b=0[%=1〔一

x+y-3=0

X.=2%—4

经检验，\或«2是原方程组的解.

〔弘=1[%=-1

8.(2000.山东★★★★)已知羽y为实数,且满足芍;+x+y=17,x2y+xy2=66,

求犬4+九3y+%2y2+孙3+,4的直

孙+X+/7得x+y=6x+y=11

解：由题意得＜7(舍去)或

xy(x+y)=66I孙=11孙二6

/.x2+y2=(尤+y)2-2xy=109,

经检验’户号叵是方程的解.

Xyfyz+yyfxz=39一孙

10.（2007.中考预测***）求方程组的正整数解<yy[xz+Zy/xy+=52-yz

zyJxy+x<y/yz+=78-xz

ac+ab-39-tz2(1)

解:设=JF=b,4xz=c,则原方程组变形为：＜ab+bc-52-b'⑵

ac+be=78-c2⑶

(1)+(2)+(3)并结合(a+b+c)2-a2+b2+c2+2(ab+bc+ac)得:

(〃+。+=169(4),\a+b+c=±13(舍去负值)由⑴、(4)得。=3,同理〃=4,c=6.

9

即：w=9,yz=16,xz=36.故：%=于y=2,2=8.(负值舍去)

三、练习题

1.（2007.中考预测***）解方程^2+，二彳—J4-2x=孝

解：4—f20,4-2%20,二一2＜工＜2.将原方程移项平方得：2+7^?=4—2x+2^/^^+工

2

即4+2,4-犬=4（2-x）+4万九+1配方得:2+九+2,4—『2+2—x=（2V^—1）?

即（j2+x+J2—=（2,2—x—I）?J2+X+J2—x=2、2—x—1解之得:五2=±g

7

经检验，x=’是原方程的解.

2

2.（2001.广东竞赛★★★★）求证:当时，+1+1=1

cX+1l8x—1cX+1l8x—1L_r.、r3cc

解:令A沅='XHJ-----FnXJ---则方程可变为：U=2%—2XU+W,

（y—1）（〃2+u+2x）=0,“2+〃+2xw0,「.〃=1

3.（2001.四川★★★★）求关于X、y、z方程组」=上=工=:+/+：3儿）0）非零解.

%+〃y-\-bz+ca+b+c

cihcci^+/?2+

解:在都不为零的情况下,可取倒数得：1+-=1+-=1+-=-―---

xyzx+y+z

.abc,a1b1c2+/?2+c2〃2+匕2+2

令一=—=—二%则F=F=3=〃2=F—5~~7（等比性质）又1+公：[:

故得辅助方程r=1+%

.1±y/51-1土行

解之z得，=T」，-

2t2

A/5-145-1

---------a1x=------------a

1TA/5—1

从而得：sy=。或\y=b

2--------------------2

A/5-1A/5-1

z=---------cz=-----------c

4.（2007.中考预测***）求下列方程组的一组实数解.

国元2%3%4_1_11

=1-+--------+---------=1(1)

$+%2+%3

x2x3x4x1x3x4x1x2x4

xxxx111_1

1234=2—(2)

玉+%2+xxx玉元3%4XXX2

解:取倒数后原方程变为234123

x1x2x3x4111

=3+--------+---------⑶

%]+%3+%4

x2x3x4百工214再％2%33

国工2%3%4111

=6+--------+---------(4)

%+%+X4XyX3X4xrx2x4xrx2x36

(1)+(2)+(3)+(4)后两边同除以3再分别减去(1),(2),(3),(4)得：

11

次

玉元2%33,3

%1-

1_1百％2%3=-32

%々/6xxx=6x=—3A/J

即《1}2Q4A,容易得出解为：2

1_1元1%3%4=3次

%3="T

xrx3x43x2x3x4=2

1_1%=

x2x3x42

x+y+J(x+2)(y+3)=34

5.（2001.山西★★★★）解方程组

(x+2)2+(y+3)2=741-(x+2)(y+3)

u+v+4uv-39

解:设x+2=.y+3=v,则原方程变形为＜而此方程组是一个二元对称方程组,可设

I+v2+uv=741

s+VF=39(1)

u+v=s,=/贝何变形为＜⑴+(2)得s-〃=19(1)

S27=741⑵

l/L,—4_,

s=29u+v=19ux—25x+2=25尤+2=4

由⑴，⑶得解之得：,或y从而有＜或＜

Z=1OOMV=100匕=4%=25y+3=47+3=25

x=23%2=2

解之，二原方程的解为：x

»二22

a；+a；=p。(1)

6.(1999.全国数学竞赛★★)4力2都是不为零的实数，且：＜+生d=P7(2)

+b；=/(3)

求证：幺=幺=£

仄b2q

2

证明：由⑴x/+(3)xp。+(2)x(-2pq)#{axq-bxp)+{a2q-b2pY=0

而p,q,ai，a”b〕b、均为非零实数.二^“一伪。=a2q-b2p=0即幺="=1.

42q

张超月补充例题：

身左！①

例1解方程组［x+y=i°・②

分析本题是一个对称方程组的形式，观察知它可转化为基本对称方程组的形式.

将②代人③，得巧=4,所以xy=16.④

x+y=10,

由②，④可得基本对称方程组1对二16・

于是可得方程组的解为L】=*卜2=2.

x2+2xy-10x=0,①

例2解方程组+2xyJOy=0,②

分析本题属于二元轮换对称方程组类型，通常可以把两个方程相减，因为这样总

能得到一个方程x-y=O,从而使方程降次化简.

解①-②，再因式分解得(x-y)(x+y-10)=0,所以x-y-0或x+x-10=0.

x-y=0,x+y-10=0,

x2+2xy-10x=0；x2+2xy-lOx=0,

解下列两个方程组

_10

Xj=0,叼一百，|x3=0,Jx4=10,