高考数学一轮复习 （基础知识 高频考点 解题训练）数列的综合应用教学案

1基础都艰要打牢强双基I固本源I得基础分I掌握程度

［知识能否忆起］

1.数列在实际生活中有着广泛的应用，其解题的基本步骤，可用图表示如下：

实际应用题—题'找出条件构建数列模型

为四产g|I—与结论间的数学关_系>11——比以八快生

翻作分转

译答析化

|数学问题的解卜运用数列知识求解|与数列有关的数学问题|

2.数列应用题常见模型

（1）等差模型：如果增加（或减少）的量是一个固定量时，该模型是等差模型，增加（或减

少）的量就是公差.

（2）等比模型：如果后一个量与前一个量的比是一个固定的数时，该模型是等比模型，

这个固定的数就是公比.

（3）递推数列模型：如果题目中给出的前后两项之间的关系不固定，随项的变化而变化

时，应考虑是当与的递推关系，还是前〃项和S与S+i之间的递推关系.

［小题能否全取］

1.某学校高一、高二、高三共计2460名学生，三个年级的学生人数刚好成等差数列,

则该校高二年级的人数是（）

A.800B.820

C.840D.860

解析：选B由题意可设高一、高二、高三三个年级的人数分别为a—d,a,a+d

则a—d+a+a+d=2460,解得a=^詈=820.

故高二年级共有820人.

2.（教材习题改编）有一种细菌和一种病毒，每个细菌在每秒钟杀死一个病毒的同时将

自身分裂为2个，现在有一个这样的细菌和100个这样的病毒（假设病毒不繁殖），问细菌将

病毒全部杀死至少需要（）

A.6秒钟B.7秒钟

C.8秒钟D.9秒钟

解析:选B设至少需〃秒钟，则1+2除22+…+21川00,

l—2n

即解得〃27.

1-乙

3.数列｛a｝是各项均为正数的等比数列，出｝是等差数列，且为=加贝1］有（）

A.@3+^9464+610B.石3+^9三九+610

C.83+^9/64+610D.&+为与仄+加的大小不确定

解析：选Ba+国22勺2备=2*\/3=2%=25=64+瓦,当且仅当为=为时，不等式取

等号.

2JIJI

4.一个凸多边形的内角成等差数列，其中最小的内角为一丁，公差为法，则这个多边形

33b

的边数为.

解析：由于凸〃边形的内角和为5—2)n,

一2兀,nn~兀/、

故〒〃+---o----X—=(/7—2)兀.

3236

化简得//一25刀+144=0.解得77=9或??=16(舍去).

答案：9

5.设曲线y=x+(〃£N*)在点(1,1)处的切线与x轴的交点的横坐标为为，为=,

令4=lgXn,则Z1+&H---bd99的值为.

解析：・.・尸4+1,工/=(〃+l)x",

它在点(1,1)处的切线方程为P—1=(〃+1)(X—1),

与X轴交点的横坐标为x〃=l—一7=*,

n-v1〃十1

由a=lg为得a=lg7?—lg(/j+l),

于是+82+…+h99

=lg1-lg2+lg2-lg34——Mg99-lg100=lg1-lg100=0—2=—2.

.n

口水:7+T-2

1.对等差、等比数列的概念、性质要有深刻的理解，有些数列题目条件已指明是等差(或

等比)数列，有的数列并没有指明，但可以通过分析构造，转化为等差数列或等比数列，然

后应用等差、等比数列的相关知识解决问题.

2.数列是一种特殊的函数，故数列有着许多函数的性质.等差数列和等比数列是两种

最基本、最常见的数列，它们是研究数列性质的基础，与函数、方程、不等式、三角等内容

有着广泛的联系，在实际生活中也有着广泛的应用，随着高考对能力要求的进一步提高，这

一部分内容也将受到越来越多的关注.

Zl高频考点要iS卷…抓考点|学技法|得拔高分|掌握程度

3等差数列与等比数列的综合问题

占典题导入

［例1］在等比数列｛a｝(4£N*)中，ai>l,公比q>0,设既=log24,且瓦+友+瓜=6,

biAh=G.

(1)求证：数列｛4｝是等差数列；

(2)求｛bn｝的前n项和S及｛a｝的通项an.

［自主解答］(1)证明：・・・4=10g22,

4+L4=Jog2亘匚=log2<7为常数，

a?

/.数列M为等差数列且公差d=log现

(2)+幼+瓜=6,：.也=2,

・己1>1,・・61=log2〃i>0.

•・•bbbK,

为=0.

bi+2d=2,bi—4,

解得

bi+4d=0,d=-1,

,nn~,、^n~ii

•.S=4〃+X(-1)="•

rf1

_Ilog2^=—1,_Iq=~,

〔log2al=4,

Lai=16,

.*.a〃=2i(AGN*).

»>一题多变

试比较⑵求出的S与4的大小.

5

W：,••a„=2^>0,

n——n

当时，S=——-——W0,

.•.启9时，a〉S”.

•<3i—16,々=8,3s—-4,&=2,a=1,

111

3e=~f3,7—~93s=~f

S=4,S=7,&=9,2=10,55=10,

W=9,S=7,&=4,

当77=3,4,5,6,7,8时,2<S；

当77=1,2或时，a〉Sn.

出由题悟法

解决等差数列与等比数列的综合问题，关键是理清两个数列的关系.如果同一数列中部

分项成等差数列，部分项成等比数列，要把成等差数列或等比数列的项抽出来单独研究；如

果两个数列通过运算综合在一起，要从分析运算入手，把两个数列分割开，弄清两个数列各

自的特征，再进行求解.

备以题试法

1.（2012•河南调研）已知｛劣｝是一个公差大于0的等差数列，且满足包a=55,a+e

=16.

（1）求数列｛a｝的通项公式；

⑵若数列｛4｝和数列伉｝满足等式&=£+，+$+…+提（〃为正整数）,求数列也｝的

前〃项和S.

解：（1）设等差数列｛为｝的公差为&则依题意知没0,

由&+&=16,得2a+7d=16,①

由当注=55,得（&+2◎（囱+5#=55,②

由①得2al=16—7%将其代入②得（16—3#（16+3#=220,即256-9^=220.：.d

=4,又d>0,

：.d=2,代入①得乃i=L

.\an=l+（77—1）,2=2T?—1.

（2）;当刀=1时，si=y,:・bi=2.

、[/bi、b.、h,、।bn-i!b

当力22时，&=5+梦----^产1+亍n，

bikh,bn-i

3,n—12~~I-22十2,十***十2*-1，

b

n+[

两式相减得an-an-\=-^,bn=2,

[2,n=l,

"b"=W+\G2.

当77=1时，S=6i=2；

b一2"T

当时，S=6i+益+6BH-------\-bn=2+-----=2/7+2—6,

i—z

当77=1时上式也成立.

综上，当〃为正整数时，S=2-2—6.

3等差数列与等比数列的实际应用

L典题导入

［例2］(2011•湖南高考改编)某企业在第1年初购买一台价值为120万元的设备也〃

的价值在使用过程中逐年减少.从第2年到第6年，每年初〃的价值比上年初减少10万元；

从第7年开始，每年初〃的价值为上年初的75%.则第〃年初〃的价值a“=.

［自主解答］当时，数列｛a〃｝是首项为120,公差为一10的等差数列，a„=120-

10(/7-1)=130-10/?；

当时，数列｛a.｝是以为为首项，4为公比的等比数列，

又a=70,所以a=70义a〃一6

130-10/7,〃W6,

［答案］70xf|y-6,〃27.

［由题悟法

1.数列实际应用题的解题策略

解等差、等比数列应用题时，首先要认真审题，深刻理解问题的实际背景，理清蕴含在

语言中的数学关系，把应用问题抽象为数学中的等差、等比数列问题，然后求解.

2.处理分期付款问题的注意事项

(1)准确计算出在贷款全部付清时，各期所付款额及利息(注：最后一次付款没有利息).

(2)明确各期所付的款以及各期所付款到最后一次付款时所生的利息之和等于商品售价

及从购买到最后一次付款时的利息之和，只有掌握了这一点，才可以顺利建立等量关系.

否以题试法

2.从经济效益出发，某地投入资金进行生态环境建设，并以此发展旅游产业.根据规

划，本年度投入800万元，以后每年投入将比上年减少《，本年度当地旅游业估计收入400

万元，由于该项建设对旅游业的促进作用，预计今后的旅游业收入每年会比上年增加

(1)设〃年内(本年度为第一年)总投入为4万元，旅游业总收入为4万元，写出表达式;

(2)至少经过几年旅游业的总收入才能超过总投入？

解:(1)第一年投入为800万元，第二年投入为800(1一胃万元，

第〃年内的总投入为8000—万元，

所以，〃年的投入为:

a„=800+800。一"H---P800(l-^-1

=4000-4000电：

第一年旅游业收入为400万元，第二年旅游业收入为

400(1+3万元.

第n年旅游业收入为4000+fl万元，

所以，〃年内的旅游业总收入为

4=400+4000+力H---F4000

=1600&-1600.

(2)设经过〃年旅游业的总收入超过总投入，由此b「a〉0,

即1600^-1600-4000+4000《)”〉0,

化简得2^+5^-7>0,

设出"=x,代入上式，得5x°—7x+2〉0,

2

解此不等式，得£,或入>1(舍去)，

5

即劣”<|,由此得

故至少经过5年旅游业的总收入才能超过总投入.

数列与函数、不等式的综合应用

占典题导入

Y

［例3］(2012•安徽高考)设函数f(x)=］+sinx的所有正的极小值点从小到大排成

的数列为㈤.

(1)求数列UJ的通项公式；

(2)设的前〃项和为£,求sinS.

1

［自主解答］2-

12兀

得cosx=~~,解得x=2A兀±F-(A£Z).

乙o

由为是F(x)的第〃个正极小值点知，

2兀/*、

x=2n^------(TJ^N).

n0

2

(2)由(1)可知，Sn=2兀(1+2H----\-n)一§〃兀=刀(刀+1)兀

2刀兀

所以sinS=sinn〃+1"T-

因为刀(刀+1)表示两个连续正整数的乘积，〃(〃+i)一定为偶数,

所以sinS=_sir12；.

o

当〃=3卬一2(〃GN*)时，sinS=—sin(27n-

当A=3/一1(RGN*)时，sinS=—sin(2必口-

当z?=30(〃eN*)时，sinS=-sin2勿口=0.

A/3+

72=3®—27GN,

综上所述，sinSn=<

n=3m—1fflGN*,

2，

<0,n=3m7GN*.

&由题悟法

数列与函数的综合问题主要有以下两类：

(1)已知函数条件，解决数列问题，此类问题一般利用函数的性质、图象研究数列问题;

(2)已知数列条件，解决函数问题，解决此类问题一般要充分利用数列的范围、公式、

求和方法对式子化简变形.另外，解题时要注意数列与函数的内在联系，灵活运用函数的思

想方法求解，在问题的求解过程中往往会遇到递推数列，因此掌握递推数列的常见解法有助

于该类问题的解决.

备以题试法

3.(2012•温州测试)设等差数列｛aj的前n项和为S,若a=2+t,£—S=24+

3乂办0).

(1)求数列｛aj的通项公式；

②设,bn=ad~\~n,若&=氏,试比较当与左的大小.

解：⑴设等差数列3｝的公差为a则£-5=3谢+9d=24+31，

又2=2+1，所以〃=2,

故an=2n+t（力>0）.

（2）由已知可得a（7=1+方>0,/=5+t,

可得3+t=^^aq+aq）,

Xaq—aq=aq｛q—r）—4,则力1,得/>1.

贝|J8一6=3+%—石03=半（02一]）2）0,故为〉&.

用।解SSilJ啊要离效抓速度|抓规范|拒绝眼高手低|掌握程度

&级全员必做题

1.数列｛a0｝是公差不为0的等差数列，且&,as,a?为等比数列｛4｝中连续的三项，贝|

数列｛4｝的公比为（）

A.A/2B.4

1

C.2D.~

解析：选C设数列｛劣｝的公差为d（dWO）,由滂=&&得（4+2由2=4（囱+6中，解得

&=24故数列｛4｝的公比0=冬=丝±网=2"=2.

B\3,\3,\

2.已知等差数列｛a｝的前〃项和为S,&=—36,513=-104,等比数列｛4｝中，h=

与，〃=&,则筋的值为（）

A.±472B.一4噌

C.4y[2D.无法确定

解析：选A依题意得，夕=9戊=-36=>e=戊=—4,Si3=13国=—104=〃=&=一8,

所以优=土也

3.已知数列｛a｝,｛4｝满足&=1且为，a+i是函数f（x）=3—Ax+2"的两个零点，则

瓦等于（）

A.24B.32

C.48D.64

解析：选D依题意有劣为+1=2",所以4+14+2=2"+,两式相除得亘*=2.所以国,&,

为，…成等比数列，&,a,a，…也成等比数列，而4=1,均=2.所以aio=2♦2，=32,,311

=1・2^=32.又因为a+an+i=bn,所以6io=&o+41=64.

24

12

X

y

Z

4.在如图所示的表格中，如果每格填上一个数后，每一行成等差数列，每一列成等比数

列，那么x+y+z的值为（）

A.1B.2

C.3D.4

解析：选B由题知表格中第三列中的数成首项为4,公比为（的等比数列，故有x=l.

根据每行成等差数列得第四列前两个数字依次为5.f,故第四列的公比为1所以y=5xf1|

3=-|,同理z=6X圈4="|,故x+y+z=2.

oo

5.（2011•上海高考）设｛a｝是各项为正数的无穷数列，4是边长为a,&+1的矩形的面

积（，=1,2,…），则｛4｝为等比数列的充要条件为（）

A.｛&｝是等比数列

B.ax,加…，…或a,…，西，…是等比数列

C.si,&,…，期-1,…和生,&,…，电，…均是等比数列

D.51,期-1,…和功，&,…，侬，…均是等比数列，且公比相同

解析：选D*.*Ai—,若｛4｝为等比数列，则与1=3色=自上为常数，即当=竺,

AnQ，n3，n-\-13，n41%

且_史

彳=£…，

A51,a,石5,…，石2〃-1,…和色,a，…，诙，…成等比数列，且公比相等.反之，若

奇数项和偶数项分别成等比数列，且公比相等，设为q,则序=如=°,从而｛4｝为等比

An3，n

数列.

6.已知数列｛品｝满足34+1+a=4且&=9,其前刀项之和为S,则满足不等式|5—刀

—6|〈士的最小整数〃是（）

A.5B.6

C.7D.8

解析：选C由递推式变形得3（a+】-1）=—（劣一1）,

则an~1=8•J玲t，

所以IS,—/?-61=|ai-l+a—H-----Fa-1-61==6X

20*

即3°T>250,所以满足条件的最小整数〃是7.

7.等比数列｛aj的前〃项和为S,已知&2W3&成等差数列，则等比数列｛aj的公比

为一

解析：设等比数列｛aj的公比为q(q/O),

由4£=S+3S,得4(&+2(7)=功+3(ai+aiq+&/),即3/一。=0,故0=；.

答案：I

8.(2011•陕西高考)植树节某班20名同学在一段直线公路一侧植树，每人植一棵，相

邻两棵树相距10米.开始时需将树苗集中放置在某一树坑旁边.使每位同学从各自树坑出

发前来领取树苗往返所走的路程总和最小，这个最小值为米.

解析：当放在最左侧坑时，路程和为2X(0+10+20H------F190)；当放在左侧第2个坑

时，路程和为2义(10+0+10+20+…+180)(减少了360米)；当放在左侧第3个坑时，路

程和为2X(20+10+0+10+20H------F170)(减少了680米)；依次进行，显然当放在中间的

第10、11个坑时，路程和最小，为2X(90+801------F0+10+204-----卜100)=2000米.

答案：2000

9.(2012•安徽模拟)在数列｛aj中，若W—a"i=p(〃\2,〃GN*,。为常数)，则称｛aj

为“等方差数列”.

下列是对“等方差数列”的判断：

①若｛a｝是等方差数列,贝I]｛阖是等差数列；

②已知数列｛aj是等方差数列，则数列｛^｝是等方差数列.

③｛(—1)"｝是等方差数列；

④若｛aj是等方差数列，则｛a.J(AGN*,A为常数)也是等方差数列；

其中正确命题的序号为.

解析：对于①，由等方差数列的定义可知，｛/｝是公差为0的等差数列，故①正确.对

于②，取当=血，则数列｛aj是等方差数列，但数列匕都不是等方差数列，故②错.对于③,

因为[(—DT-[(—1)"一下=0(〃22,〃GN*)为常数,所以｛(一1)"｝是等方差数列，故③正

确.对于④，若a：—aL=p(A22,〃GN*),则成一口需尸=(at—al-i)+(al-i—at-2)H----

+(al-A+i-4)=%为常数，故④正确.

答案：①③④

10.已知数列｛aj的前〃项和为S,且S=〃2,数列｛%为等比数列，且首项4=1,b&

=8.

(1)求数列｛a｝,｛4｝的通项公式；

(2)若数列｛cj满足Cn=abn,求数列｛cj的前n项和北；

解：(I)',数列｛4｝的前刀项和为S,且S=4,

2

当时，an=Sn—Sn-\=n—(/?—1)=2/7—1.

当77=1时，a=S=l亦满足上式，故a=2刀一1(〃£N*).

又数列｛4｝为等比数列，设公比为0,

*.*b\=l,bq=bid=8,:.q=2.

n1

bn=2~(/?£N*).

(2)Cn=abn=2bn—l=2n—l.

7L=CI+Q+C3H——\-Cn=(21-1)+(22—1)4——卜(2f)=(2T+22H——卜2”)~n=

一2"

一—

n+l

所以Tn=2-2-n.

11.已知各项均为正数的数列｛品｝满足：/+1=24+品为+1,且功+&=2&+4,其中n

£N*,

(1)求数列｛2｝的通项公式；

（2）设数列｛4｝满足：小=——黄~~K是否存在正整数出n（l〈水拼,使得4，%b

n+n

成等比数列？若存在，求出所有的如力的值，若不存在，请说明理由.

解：（1）因为成+1=2湿+a”a+i,

即（&7+a+i）（2为一&?+i）=0.

又为＞0,所以2a一为+i=0,即2a=

所以数列｛aj是公比为2的等比数列.

由a+a=2匈+4,得2a1+84=84+4,解得a=2.

故数列｛aj的通项公式为a.=2"（〃eN*）.

,.._,.nd,nn

(2)因为bn=V~7=9~I1，

n-\-2/7+1

,1mn

所rri以4=5,b产左针^=^+T-

若61,bm,4成等比数列，则Lil>1

(乙〃7I-LJ/Z7I

即....-....二---

荷+4勿+1677+3'

,mn3~2m+4^+1

由4^+4勿+1=金百'可得07二谓'

所以一2方+4必+1>0,从而1［〈欣1+亍

又T?£N*,且%>1,所以勿=2,此时〃=12.

故当且仅当〃=2,刀=12时，bi,ba,4成等比数列.

12.设同时满足条件：①3-2小;②4W〃（AGN*,〃是常数）的无穷数列｛4｝叫“嘉

文”数列.已知数列®｝的前〃项和S满足S尸言⑸T）（a为常数,且步。，61）.

⑴求数列｛aj的通项公式;

⑵设Q餐+1,若数列伉｝为等比数列,求a的值，并证明数歹此|为“嘉文”数歹U.

解：⑴因为S尸号（国—1）=&,所以a尸a.

当〃三2时，a〃=S—ST=—（&-4-）,整理得'=a,即数列｛a｝是以a为首项,

a—1&7—1

a为公比的等比数列.所以为=a・a-'=a.

⑵由⑴知，

刁T-2、Oo2-1-90-1-91

由数歹!J｛4｝是等比数列，则彦=61•如故2=3・--------r---,解得己=不，

\aJa3

再将a=%弋入⑻式得4=3",故数列｛4｝为等比数列，所以〃=；.

1111.1

由于子=子〉*王=5=』，满足条件①；由于3="耳，故存

在心〈满足条件②.故数列为“嘉文”数列.

B级重点选做题

1.设/'（X）是定义在R上恒不为零的函数，对任意实数X,yeR,都有f（x）f（y）=f（x

+力，若&=：2=/"（〃）（〃GN*）,则数列｛&｝的前〃项和S的取值范围是（）

-

B12

-

-

2J1

1--

c-1

2D.2J

_

解析：选c由题意得a+i=_f(〃+i)=F(I)fG?)

11

2-2一

、

故S=1—8".则数列｛aj的前〃项和的取值范围是1,1

--1-

2-

2.(2012•安庆模拟)设关于x的不等式六一X〈2AX(〃GN*)的解集中整数的个数为an,

数列｛a'｝的前n项和为S,则Soo的值为.

解析：由X。-x〈2〃x(〃eN*),

得0〈K2〃+1,

因此知an—2n.

,,+

故Soo=~-10100.

答案：10100

3.祖国大陆允许台湾农民到大陆创业以来，在11个省区设立了海峡两岸农业合作试验

区和台湾农民创业园，台湾农民在那里申办个体工商户可以享受“绿色通道”的申请、受理、

审批一站式服务，某台商到大陆一创业园投资72万美元建起一座蔬菜加工厂，第一年各种

经费12万美元，以后每年增加4万美元，每年销售蔬菜收入50万美元，设/•(〃)表示前n

年的纯收入.(『5)=前n年的总收入一前n年的总支出一投资额)

(1)从第几年开始获取纯利润？

(2)若干年后，该台商为开发新项目，有两种处理方案：①年平均利润最大时以48万美

元出售该厂；②纯利润总和最大时，以16万美元出售该厂，问哪种方案较合算？

解:由题意知，每年的经费是以12为首项，4为公差的等差数列.

77/7-

则,(〃)=50〃-12〃+---------X4-72=-2/72+40/7-72.

(1)获取纯利润就是要求故有一24+40〃-72〉0,解得2〈水18.

又〃GN*,故从第三年开始获利.

(2)①平均利润为一^=40—2(〃+4j《16,当且仅当n=6时取等号.

故此方案获利6X16+48=144万美元，此时〃=6.

②f(〃)=—2//+40〃-72=—2(〃-10)2+128,当〃=10时，f(n)^=128.

故此方案共获利128+16=144万美元.

比较两种方案，在获利相同的前提下，第①种方案只需6年，第②种方案需要10年，

故选择第①种方案.

|敖栋备选」

1.已知数列｛劣｝的前〃项和为S,且S=〃一5&—85,〃£N*.

⑴证明：｛4一1｝是等比数列；

⑵求数列｛S｝的通项公式.请指出力为何值时，S取得最小值，并说明理由.

解：⑴证明：当〃=1时，ai=S=l—5.31—85,

解得石i=-14,则a—1=-15.

・・,当〃22时，ST=G?—1)—5AT—85,

••3.nSn*5/7—115Q，n+53，n-l，

5

・・62=5品-1+1,即Hn-1=》(a—1—1)9

0

5

.・・｛4—1｝是首项为一15,公比为，的等比数列.

6

77-1

(2)Van—1=—15•^g^,

・・・S=/7—51-15•回--85=77+75・—90.

由an=l—15•自“7〉°，

5i

©"T<1,解得〃>lo崎石+1215.85.

/.当时，aXO；当刀216时，an>0.

故〃=15时，S取得最小值.

2.在正项数列｛a｝中，a=2,点An(y[]n,+1)在双曲线y一1=1上,数列｛4｝中,

点依，北｝在直线y=—%+1上，其中方是数列伍｝的前n项和.

(1)求数列｛aj的通项公式；

(2)求证：数列｛4｝是等比数列；

(3)若Cn=an,bn,求证：Cn+l<Cn.

解：(1)由点4在/一岁=1上知，2+1—a=1,

・•・数列｛区｝是一个以2为首项，以1为公差的等差数列，

.•.劣=劭+(77-1)d=2+n—1=/?+1.

(2)证明：・・•点(4,北)在直线尸一gx+1上，

北=-；4+1.①

Tn-l=—^bn-l+\（77^2）.②

①②两式相减得bn=-^bn+^bn-X（〃三2）,

.3_1

••2bn2bn-i,

・A-1A

••bn3bn-1•

12

令77=1,得61=-5从+1,bl=-,

乙o

91

••.｛4｝是以可为首项，以可为公比的等比数歹人

OO

2

⑶证明：：由⑵可知队=1・

0

2

・・Cn&•bn（〃+1）•3/”

Cn+1—Cn=（7?+2）・^71—（〃+1）*y

22

^7+T[（77+2）—3（77+1）]=^+T（—2/7—1）<0,

••G?+1<Cn.

3.(2012•广州调研)已知数列｛%｝中，ai=l,a2=3,且4+i=&+2a—1(〃22).

(1)设4=品+l+入4,是否存在实数A,使数列｛4｝为等比数列.若存在，求出A的

值，若不存在，请说明理由；

(2)求数列｛2｝的前刀项和S.

解：(1)假设存在实数几，使数列｛如为等比数列，

设令=屐杉2),

Dn-1

即为+1+Q，n=Q^dn~\~4&?一1),

得a+1=(q-几)4+q几3，n-l.

、\Q~4=1,

与已知为+1=a+2a〃-i比较，得1

〔。几=2,

解得4=1或4=—2.

所以存在实数3使数列｛4｝为等比数列.

当4=1时，q=2,4=4,则数列｛4｝是首项为4,公比为2的等比数列；

当4=-2时，,=-1,从=1,则数列｛4｝是首项为1,公比为一1的等比数列.

(2)由⑴知&+i-2a=(-1)77+1—1),

所以普_?一:〃+「+’=(_.小521),

史

丝

曳rr

-++

才T:+T

因为多=:也适合上式,

所以

所以a〃=][2"+i+(—1)〃].

23112B

则SI=|[(2+2+-+2^)+((-1)+(-1)+-+(-1))]

阶段验收评估(三)

数列

一、选择题(本题共12分小题，每小题5分，共60分)

1.在等差数列｛a｝中，/=1,&=5,则｛a｝的前5项和W=()

A.7B.15

C.20D.25

解析：选B,.,｛a｝是等差数列，.，・&+a=2&=1+5,

..乃1+乃55X2石3

故&=3,.\S5=---------=---=5&=5X3=15.

2.公比为2的等比数列｛a｝的各项都是正数，且第a1=16,则为=()

A.1B.2

C.4D.8

解析：选AVa3,an=16,.'.a?=16.

又•.•a〃>0，.•.37=4・氏=&,（T=4X2-=1.

3.（2012•银川联考）若数列｛aj的前〃项和为S=//+l,则向量必=（&,&）的模为

（）

A.53B.50

C.洞D.5镜

解析：选C依题意得，a=Si=2,&=£一&=（42+1）—（32+I）=7,故0=（2,7）,

\m\=艰旺？=洞.

（3111312513^

4.已知数阵劭飒飒中，每行的三个数依次成等差数列，每列的三个数也依次成

\^31332

等差数列，若/2=4,则这九个数的和为（）

A.16B.32

C.36D.40

解析：选C依题意得,511+512+513+^214-522+^23+^31+^32+<933—3512+3^22+3^32=9522

=36.

5.（2012•朝阳统考）设数列｛aj是公差不为0的等差数列，&=1且&,a3,&成等比

数列，贝曙品｝的前〃项和S等于（）

nInn,7n

A•瓦+京B-T+T

n,3/7

C-I+TD.n~\~n

解析：选A由4，a3,劣成等比数列可得.=国•ae,设数列｛aj的公差为d（挣0）,

m।、？/,4.,,1"….nn~1n.In

则(1+2#=1X(1+5中,而存故d=],所以S=〃+-------------X-=—+—

4z400

6.（2。12・银川联考）设数列｛2｝满足团=2,“尸记数列｛a｝的前〃项之积为

n〃，则口2。13的值为（）

1

-

A.-2B.-1

1

-

2D.2

解析：选B由&a3=-l,&=2可知，数列｛aj是周期为3的周期数列，从而工

671

013=（n3）=-1.

7.（2012•东北三校模拟）等差数列｛a｝中，Si5>0,Si6<0,则使a>0成立的〃的最大值

为（）

A.6B.7

C.8D.9

解析：选C依题意得S5=——法史」=15a>0,即备〉0；S6=—"尸=8⑵

+46）=8（含+含）〈0,即备+为<0,&<一备<0.因此使a>0成立的n的最大值是8.

9o

8.已知数列｛&｝满足"=1，且对任意的正整数如〃都有“〃=a+”,则,等于（）

3n

12

2-3一

3

C.-D.2

2

解析：选B令勿=1,得为+1=&+品，即为+i—a=&=W，可知数列｛a｝是首项为功

=£,公差为4=，的等差数列，于是a='+（〃-1）・即色=宗

9.（2012•“江南十校”联考）已知函数/U）=cosx,X£（0,2JI）有两个不同的零点荀,

至，且方程F（x）=M"W0）有两个不同的实根冬，苞，若把这四个数按从小到大排列构成等

差数列，则实数〃=（）

11

--

2B.-2

CgD-盅

L22

3JIJI

3JIJI22

解析:选D若0>0,则公差-y=Ji,显然不成立,所以派0,则公差d=——

10.（2012•济南模拟）在等差数列｛aj中，&=-2012,其前〃项和为S,若记一元=

2,则£蛇的值等于（）

A.-2011B.-2012

C.-2010D.-2013

解析：选B根据等差数列的性质，得数列［才也是等差数列，根据已知可得这个数列

的首项,=劭=—2012,公差d=l,故亮|=—2012+（2012-1）X1=-1,所以S012

=一2012.

11.已知等差数列｛a｝满足/=3,a5=9,若数列｛4｝满足8=3,bnz=abn,则亿｝的

通项公式为bn=()

A.2n-lB.2”+l

D.2小+2

解析：选B设等差数列⑸的公差为d,则有4H=2,&i+(〃-2