高中数学周末复习习题

高中数学周末复习习题

I.已知离散型随机变量X的分布列为

X0123

p84m1

27927

则X的数学期望七(X)=()

23_

A.—B.1c.D.2

32

2.某校高一学段开设了四门不同的数学类选修课，甲、乙两位同学各自选择其中一门，每位同学选择每门

数学类选修课的可能性相同，则这两位同学所选的课不同的概率为

A.±11B.±2C.AD.23

4234

3.下列命题中正确的是()

A.若pVq为真命题，则p/\g为真命题B.“必>0"是“回十包》2”的充要条件

ab

C.命题“r-3X+2=0,则X=1或X=2”的逆否命题为“若xWl或XW2,则/-3X+2W0”

D.命题p：3xGR,使得/+x・l〈O,则「P：VxGR,使得f+x-lX)

22

4.已知双曲线C：匕----^―=/(a>0,b>0)•个焦点为F(2,0),且尸到双曲线C的渐近线的距离

2,2

ab

为1,则双曲线C的方程为()

33’44'

5.已知F为抛物线C：R=4y的焦点，y=L+l与C相交于4,B两点，O为坐标原点，贝ljS"M8=()

2

A.^3.B.C.娓D.2A/5

55

22

6.已知双曲线c：z——Ul(a>0,b>o)-O为坐标原点，过c的右顶点且垂直于X轴的直线交

a2b2

C的渐近线于A,B,过C的右焦点且垂直于X轴的直线交C的渐近线于M,N,若AOAB与△OMN的

面积之比为1：9,则双曲线C的渐近线方程为()

A.y=±2xB.y=±2A/2XC.y=±2A/3XD.y=±8x

22

7.设Fi,乃是双曲线C：------J=1(s>0,b>0)的两个焦点，P是C上一点，若|PFi|+|PF2|=4a,

2,2x

ab

且△PFi乃的最小内角的正弦值为工，则C的离心率为（）

3

A.2B.3C.圾D.^3

8.如图，网格纸上小正方形的边长为I,粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（）

A.32B.—C.16D.—

33

9.刘徽《九章算术•商功》中将底面为长方形，两个三角面与底面垂直的四棱锥体叫做阳马.如图，是一

个阳马的三视图，则其外接球的体积为（）

A.料兀B.亚.冗C.3nD.4n

2

10.已知两条不同的直线/,，”和两个不同的平面a,p,有如下命题：

①若/ua,mca,/〃B，m//p,则a〃B；②若/ua,/〃0,aOp=m,则/〃m；

③若a_L0,/±p,则/ua.其中正确的命题个数为（）

A.0B.1C.2D.3

II.如图，在所有棱长均为2的直三棱柱ABC-A山iG中，£＞、E分别为BBi、ACi的中点，则异面直线

AD,CE所成角的余弦值为（）

A1RV5p14

A.—b.--------C.—nL）.—

2255

12.函数/（x）=ax+\nx（«GR）的图象在点（1,/（1））处的切线在y轴上的截距为（）

A.eB.1C.-1D.0

13.（2-x3）（x+a）$的展开式的各项系数和为32,则该展开式中/的系数是（）

A.5B.10C.15D.20

14.（2^-^+1）8的展开式中炉的系数是（）

A.1288B.1280C.-1288D.-1280

15.某部队在一次军演中要先后执行六项不同的任务，要求是：任务A必须排在前三项执行，且执行任务

4之后需立即执行任务E,任务B、任务C不能相邻，则不同的执行方案共有（）

A.36种B.44种C.48种D.54种

16.某公司培训员工某项技能，培训有如下两种方式，方式一：周一到周五每天培训1小时，周日测试;

方式二：周六一天培训4小时，周日测试.公司有多个班组，每个班组60人，现任选两组（记为甲组、

乙组）先培训，甲组选方式一，乙组选方式二，并记录每周培训后测试达标的人数如下表，其中第一、

二周达标的员工评为优秀.

第一周第二周第三周第四周

甲组2025105

乙组8162016

（1）在甲组内任选两人，求恰有一人优秀的概率；

（2）每个员工技能测试是否达标相互独立，以频率作为概率.

（/）设公司员工在方式一、二下的受训时间分别为牛、求牛、身的分布列，若选平均受训时间少的,

则公司应选哪种培训方式？

（//）按（i）中所选方式从公司任选两人，求恰有一人优秀的概率.

17.某批产品成箱包装，每箱5件，一用户在购进该批产品前先取出3箱，再从每箱中任意出取2件产品

进行检验.设取出的第一、二、三箱中分别有0件、1件、2件二等品，其余为一等品.

（1）用f表示抽检的6件产品中二等品的件数，求己的分布列及《的数学期望；

（2）若抽检的6件产品中有2件或2件以上二等品，用户就拒绝购买这批产品，求这批产品被用户拒

绝的概率.

18.在平面直角坐标系X。），中，直线/的参数方程为［x=3+tc°s。（f为参数），在以坐标原点为极点,

（y=2+tsin中

X轴的正半轴为极轴的极坐标系中，圆。的方程为p=4cos。.

（1）求/的普通方程和圆。的直角坐标方程：

（2）当（PW（0,7T）时，/与C相交于P,。两点，求IPQI的最小值.

22

19.过点P(l,2)的椭圆C：=+X^i(a>b>0)，其离心率

2a2b22

(1)求椭圆C的方程；

(2)若过椭圆C的右焦点F的直线/与椭圆C交于两点A(xi,yi),B(必y2),且与y轴交于一点

M(不是原点)，赢二XjAF,MB=X2而，证明：入i+入2为定值一

20.如图，四棱锥P-A8CO的底面是矩形，侧面RW是正三角形，且侧面以。1底面ABC。，E为侧棱

PD的中点.

(1)求证：PB〃平面E4C；

(2)若AO=AB,试求二面角4-PC-。的正切值.

21.已知函数/(x)=xex-2ax+a.

(I)当。=4时，求/(X)在(1,/(D)处的切线方程；

(II)设g(x)=2er-ax2,若〃(x)=f(x)-g(x)有两个零点，求a的取值范围.

2019年03月27日136****9374的高中数学组卷

参考答案与试题解析

一.选择题(共15小题)

1.已知离散型随机变量X的分布列为

X0123

P84_m1

27927

则X的数学期望E(X)=()

A.2B.1C.世D.2

32

【解答】解：由题意可得：_L+&+〃?+L=i.

27927

可得加=2.

9

E(X)=0X-^-+lX-1-+2X-1-+3X^-=l-

z।yyz।

故选：B.

2.某校高一学段开设了四门不同的数学类选修课，甲、乙两位同学各自选择其中一门，每

位同学选择每门数学类选修课的可能性相同，则这两位同学所选的课不同的概率为

()

A.工B.2C.ZD.之

4234

【解答】解：某校高一学段开设了四门不同的数学类选修课，

甲、乙两位同学各自选择其中一门，每位同学选择每门数学类选修课的可能性相同，

基本事件总数〃=4义4=16,

这两位同学所选的课不同包含的基本事件个数加=4X3=12,

...这两位同学所选的课不同的概率为〃=叫二2='.

n164

故选：D.

3.下列命题中正确的是()

A.若pVq为真命题，则p/\q为真命题

B.“必＞0”是“互增32”的充要条件

C.命题-3X+2=0,则X=1或X=2”的逆否命题为“若xWl或XW2,则/-3X+2

wo”

D.命题p：SAGR,使得/+x-l<0,则「p：Vx€R,使得/+x-l>0

【解答】解：A.当p真“假时，满足pV夕为真命题，但pAq为假命题，故A错误.

B.当时，且>0,卜>0,

ba

则目+b》2、但.k=2,成立，即充分性成立

baVba

若2+卜之2,•.•且，与k同号，则旦>0,卜>0,即帅>0成立，即必要性成立，

bababa

则“H>0”是“旦哈〉2”的充要条件，故B正确，

C.命题-3x+2=0,贝！|x=l或x=2”的逆否命题为“若且x#2,则x2-3x+2

WO"，故C错误，

D.命题的否定「p：：VxeR,使得/+x-120,故。错误，

故选:B.

22

4.己知双曲线C：Ca>0,b>0)一个焦点为F(2,0),且尸到双曲线C的

2,2

ab

渐近线的距离为1,则双曲线C的方程为()

2222

2

A.JC2-^――1B.^__丫2=1C.x-^――1D.—---丫2=1

33y44y

【解答】解：根据题意，要求双曲线C的中心为原点，点F(2,0)是双曲线C的一个

焦点，

即双曲线的焦点在x轴上，且c=2,

22,

设双曲线C：工-=/(67>0,/?>0)其渐近线方程为了=土旦r,即砂土fex=0,

_2L2A

若点F到渐近线的距离为1,则有有-丁生一=1,

解可得匕=1,

则a2=c2-廿=3,

2.

则要求双曲线的方程为：。-『=］；

3

故选：B.

5.已知尸为抛物线C：7=4)，的焦点，直线y=L+l与曲线。相交于A,B两点,。为坐

2

标原点，则SACMB=()

A.2疾B.c.V5D.275

55

【解答】解：抛物线C：/=4y的焦点（0,1）,设A（XI,yi）,B（X2,"）,

二尸且倾斜角为60°的直线）=上+1,

y——-x+]

，整理得：x2-2x-4=0,

x2=4y

由韦达定理可知：XI+X2—2,yi+*=3

由抛物线的性质可知：|AB|=p+yi+户=2+3=5,

点。到直线y=L+l的距离d,d=_^.

-2a

...则△Q4B的面积S,S=L・|AB|,d=遂.

2

故选：C.

22

6.已知双曲线C：--Jl（a>0,b>0），。为坐标原点，过C的右顶点且垂直于x

a2b2

轴的直线交C的渐近线于A,B,过C的右焦点且垂直于x轴的直线交C的渐近线于M,

N,若△OAB与△OMN的面积之比为1：9,则双曲线C的渐近线方程为（）

A.y=±2xB.y=±2亚xC.y=±2V3xD.y=±8x

【解答】解：由三角形的面积比等于相似比的平方，

12

则L=J_,

92

PC

2,,2

・a+b=9

2—一，

a

•也=2加，

a

•••C的渐近线方程为y=±2心，

故选：B.

22

7.设为，放是双曲线C：1--J=i（s>0">0）的两个焦点，P是。上一点，若|尸乃|+|以切

212x

ab

=4”，且△PQF'2的最小内角的正弦值为工，则C的离心率为（）

3

A.2B.3C.^2D.A/3

【解答】解：因为F1、放是双曲线的两个焦点，P是双曲线上一点，且满足|PFI|+|PF2|

=4。，

不妨设P是双曲线右支上的一点，由双曲线的定义可知|PFi|-|PF2|=2a,

所以|Fi尸2|=2C,\PF\\=3a,\PF2\=a,

△尸尸声2的最小内角的正弦值为工，其余弦值为工返，

33

由余弦定理，可得|PF2|2=|FIF2|2+|PFI|2_2|FIF2||PFI|COSZPFIF2,

即672=4c2+9a2-2X2cX3ax区但，

3

c2-2y[2ca+2a2—0,

即c=血”，

所以e———y12-

a

故选：C.

8.如图，网格纸上小正方形的边长为1,粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体

的体积为（)

圭

A.32B-fC.16D鸣

【解答】解：由题意可知几何体的直观图如图：下部是三棱柱上部是三棱锥,

所以几何体的体积为：yX2X2X2-4-XyX2X2X2=4f-

J4J

故选：D.

9.刘徽《九章算术•商功》中将底面为长方形，两个三角面与底面垂直的四棱锥体叫做阳马.如

图，是一个阳马的三视图，则其外接球的体积为（）

正被用左视图

A.料兀B.返兀C.3nD.4TC

2

【解答】解：由题意可知阳马为四棱锥，且四棱锥的底面为长方体的一个底面,

四棱锥的高为长方体的一棱长，

且阳马的外接球也是长方体的外接球；

由三视图可知四棱锥的底面是边长为1的正方形，四棱锥的高为1,

长方体的一个顶点处的三条棱长分别为1,1,1,

，长方体的对角线为

...外接球的半径为通，

2

.•.外接球的体积为v=

故选：B.

10.已知两条不同的直线/,07和两个不同的平面a,B，有如下命题：

①若/ua,mca,/〃仇机〃口，则a〃供

②若/ua,/〃0,anp=/n,则/〃相；

③若/±p,则/ua.其中正确的命题个数为（）

A.0B.1C.2D.3

【解答】解：对于①，若/ua,znca,/〃0,则&〃0；①错误，还需/C/n=A,

故①正确，

对于②，若A=a,/〃0,aCB=〃?，由线面平行的性质定理得：/〃机；故②正确，

对于③,若a_L0,/±P，则/ua或/〃a,故③错误,

即正确的命题个数为1,

故选：B.

11.如图，在所有棱长均为2的直三棱柱ABC-481cl中，力、E分别为8切、AiCi的中点,

则异面直线AD,CE所成角的余弦值为（）

A.1B.返D.A

2255

【解答】解：建立如图所示的空间直角坐标系，则有：A(0,-1,0),D(A/3-0,1),

C(0,1,0),E(0,0,2),

所以屈=(遂，1,1),CE=(O,-1,2),

设标，逐的夹角为。，

则cose=—".'E=工,

IADIICEI5

则异面直线AD,CE所成角的余弦值为工,

5

故选：C.

12.函数/(x)=ax+\nx(a€R)的图象在点(1,/(I))处的切线在y轴上的截距为()

A.eB.1C.-1D.0

【解答】解：由/(x)=ax+\nx,得/(x)=a+—,

X

则/(1)=。+1,

又f(1)=a,

・・・函数f(x)=ox+lnr的图象在点(1,/(I))处的切线方程为y-a=(〃+1)(x-1),

取x=0,可得y=-1.

・•・函数/(x)=〃x+lm的图象在点(1,/(I))处的切线在y轴上的截距为-1.

故选：C.

13.(2-?)(x+a)5的展开式的各项系数和为32,则该展开式中d的系数是()

A.5B.10C.15D.20

【解答】解:,:(2-?)(x+a)5的展开式的各项系数和为32,则(2-1)(1+“)5=32,

该展开式中x4的系数是2・Q^a-1•Q^a4=]0a-5a4=5,

0u

故选：A.

14.（2/-x+l）8的展开式中/的系数是（）

A.1288B.1280C.-1288D.-1280

【解答】解：/可能是（-X）5,（廿）（-X）3,（2A2）2（-X）,（-X）5表示在8个式

子中5个选（-x）,其余3个选出1,系数为（-I）505・13=-56；（2?）（-x）3

表示在8个式子中1个选2?,其余7个中3个选（-x）,其余选1,系数为c%2・c3（-

87

1）374=-560；

（2?）3（-x）表示在8个式子中2个选2?,其余6个中一个选（-x）,其余选1,系

数为C『22・c；（-1）"5=-672,所以将（2，-x+l）8展开合并同类项之后的式子中

X5的系数是-56-560-672=-1288.

故选：C.

15.某部队在一次军演中要先后执行六项不同的任务，要求是：任务4必须排在前三项执

行，且执行任务A之后需立即执行任务E,任务B、任务C不能相邻，则不同的执行方

案共有（）

A.36种B.44种C.48种D.54种

【解答】解：根据题意，任务A必须排在前三项执行，分3种情况讨论：

①，任务A排在第一位，则E排在第二位，将剩下的2项任务全排列，排好后有3个空

位，将&C安排在3个空位中，有A22A3?=12种不同的执行方案，

②，任务A排在第二位，则E排在第三位，8c的安排方法有4XA2?=8种，将剩下的2

项任务全排列安排在剩下位置，有A2?=2种安排方法，则有8X2=16种安排方法，

③，任务A排在第三位，则£排在第四位，BC的安排方法有4X42=8种，将剩下的2

项任务全排列安排在剩下位置，有42=2种安排方法，则有8X2=16种安排方法，

则不同的执行方案共有12+16+16=44种；

故选：B.

二.解答题（共6小题）

16.某公司培训员工某项技能，培训有如下两种方式，方式一：周一到周五每天培训1小时,

周日测试：方式二：周六一天培训4小时，周日测试.公司有多个班组，每个班组60人,

现任选两组（记为甲组、乙组）先培训，甲组选方式一，乙组选方式二，并记录每周培

训后测试达标的人数如下表，其中第一、二周达标的员工评为优秀.

第一周第二周第三周第四周

甲组2025105

乙组8162016

（1）在甲组内任选两人，求恰有一人优秀的概率；

（2）每个员工技能测试是否达标相互独立，以频率作为概率.

（/）设公司员工在方式一、二下的受训时间分别为耳、己2,求日、《2的分布列，若选平

均受训时间少的，则公司应选哪种培训方式？

（/7）按（力中所选方式从公司任选两人，求恰有一人优秀的概率.

【解答】解：（1）甲组60人中有45人优秀，任选两人，

1♦

CC一

45a5

A义

恰有一人优秀的概率为2_4515_45

C-30X59~T18'

60

（3分）

口的分布列为

481226

P244

1515~315

E(g2)=4X得+8x-^+12X卜6X

/p>

(&)<£■(已)，...公司应选培训方式一.-------------

（9分）

（»）按培训方式一，从公司任选一人，其优秀的概率为

3下4

则从公司任选两人，恰有一人优秀的概率为片心会(T)q.------------

__________________(12分)

17.某批产品成箱包装，每箱5件，一用户在购进该批产品前先取出3箱，再从每箱中任意

出取2件产品进行检验.设取出的第一、二、三箱中分别有。件、1件、2件二等品，其

余为一等品.

(1)用*表示抽检的6件产品中二等品的件数，求t的分布列及J的数学期望；

(2)若抽检的6件产品中有2件或2件以上二等品，用户就拒绝购买这批产品，求这批

产品被用户拒绝的概率.

【解答】解(1)由题意知抽检的6件产品中二等品的件数？=0,1,2,3

p/faC4c3189.C；C卜C；24

P(g=1)=-7+~7

P(g=0)=标?=而二而ciclci「2-50

55□Ob

c\cl-cCo15Co

・21

景P(&=2)=-^4T+~2

25霏c：Ct50提d5025

“□0□

•••t的分布列为

0123

p924152

50505050

.飞的数学期望E⑴=oxg+ix卷+2X春+3X券L2

50505。50

(2):P(?=2)=生，P聂=3)=2,这两个事件是互斥的

5050

,1,p2)=P(&=2)+P(&=3)^^17

50

x=3+tcos。c为参数)，在以坐标

18.在平面直角坐标系xO)，中，直线/的参数方程为

y=2+tsin。

原点为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，圆C的方程为p=4cos。.

(1)求/的普通方程和圆C的直角坐标方程;

(2)当＜pe(0,n)时，/与C相交于P,。两点，求|PQ|的最小值.

【解答】解：(1)由直线/的参数方程[x=3+tcos。G为参数)，

[y=l+tsin。

消去参数心得(x-3)sin(p-(y-1)cos(p=0,

即直线/的普通方程为(sincp)x-(cos(p)y+cos(p-3sin(p=0.

由圆C的极坐标方程p=4cos0得p2-4pcos0=0(*).

'Pcos0—X

将J9代入（*）得，W+y2-4x=0.

,pJ/+yZ

即圆C的直角坐标方程为（X-2）2+y2=

4............................................................................................................（5分）

（2）将直线/的参数方程代入（%-2）2+y2=4,得尸+2（coscp+sincp）t-2=0.

设P，。两点对应的参数分别为八，⑵

贝Ut\+t2=-2（cos<p+sin（p）,t\t2=-2.

・・・|PQI=Vi-切={+2=243+2sin@cos®=2V3+sin20，

V（pG（0,IT）,.'.2（p6（0,2n）,

.•.当（p=W2L.,即sin2<p=-1时，\PQ\取得最小值为

4

2A/2......................................................................（10分）

22

19.过点P（l,殳）的椭圆C：H+、i（a>b>0），其离心率

2a2b22

（1）求椭圆C的方程；

(2)若过椭圆C的右焦点尸的直线/与椭圆C交于两点A(xi,yi),8(m，”)，且与

y轴交于一点M(不是原点)，赢=入|屈，MB=X2BF'证明：入i+入2为定值.

91

\+2-

a24b2

【解答】解：(1)解方程组1c1，解得a=2,b=M，

a2-b2=c2

椭圆c的方程是直+武=1.

43

(2)证明：F(1,0),由题意可知直线A8斜率存在且不为0,

设直线AB的方程为x=n?y+l,则M（0,-工），

ID

，MA=（xi，yi+—AF—（1-xi，-yi），MB=（&，y2+—）,BF—（1-X2，-y2）・

inm

VMA=XjAF,MB=入2而，

.•.y[+_L=-入iyi,y2+—=-入2y2,

IDID

.'.Ai-1----,Q=-1----,

my】my2

iiYi+y?

.•.入i+入2=-2---^=-2-—i——幺

my〔rny2107^2

（22

xy__

联立方程组与-T,消去x得：⑶层+4）尸+6冲一9=0,

x=my+l

—6m—9

，yi+y2=————,y\y2=------,

3ID2+43ID2+4

.•.入1+入2=-2-%+-2=_2--3..

my1y2m-93

20.如图，四棱锥P-ABCD的底面是矩形，侧面以。是正三角形，且侧面以底面ABCD,

E为侧棱PD的中点.

（1）求证：PB〃平面EAC；

（2）若A£>=A8,试求二面角A-PC-。的正切值.

【解答】解：（1）证明：如图建立空间直角坐标系。-孙2,其中。为AQ的中点.设以

=AD=PD=a,AB=b,

则P（0,0,^3,a）,£>（-且，0,0）,E（-且，0,县a）,B（旦,b,0）,

22442

连接2。交AC于点凡则F（0,卜，0）.

EF=（且,且-返a）,PB=（—>b,-®z）=2茄

42422

•••拜〃瓦，又EFu平面AEC,且平面AEC,

；.尸8〃平面EAC.

(2)设勿=AD=PO=A8=〃，

则P(0,0,旦a),A(且，0,0),C(-旦，a,0),D(-且，0,0).