高中数学复数多选题专项训练复习含答案(五)

一、复数多选题

1.已知i为虚数单位，复数z=——则以下真命题的是（）

2-i

A>1-1•

A.z的共轨复数为B.z的虚部为晟

C.|z|=3D.z在复平面内对应的点在第一象限

答案：AD

【分析】

先利用复数的除法、乘法计算出，再逐项判断后可得正确的选项.

【详解】

,故，故A正确.

的虚部为，故B错，，故C错，

在复平面内对应的点为，故D正确.

故选:AD.

【点睛】

本题考

解析：AD

【分析】

先利用复数的除法、乘法计算出z,再逐项判断后可得正确的选项.

【详解】

3+2/（3+2/）（2+i）4+7/47z-47z弘“丁朝

z=----=-----4---L=-----=-+—,故2=-----，故A正确.

2-i555555

z的虚部为。，故B错，［='16t49=叵声3,故c错，

51155

z在复平面内对应的点为故D正确.

故选：AD.

【点睛】

本题考查复数的概念、复数的运算以及复数的几何意义，注意复数2=。+6（。力€/?）的

虚部为人，不是从，另外复数的除法运算是分子分母同乘以分母的共枕复数.

2.复数z=—/•是虚数单位，则下列结论正确的是（）

1-z

31

A.|z|=>/5B.z的共物复数为］+a，

C.z的实部与虚部之和为2D.z在复平面内的对应点位于第一象限

答案：CD

【分析】

根据复数的四则运算，整理复数，再逐一分析选项，即得.

【详解】

由题得，复数，可得，则A不正确；的共甄复数为，则B不正确；的实部与虚

部之和为，则C正确；在复平面内的对应点为，位于第一

解析：CD

【分析】

根据复数的四则运算，整理复数z,再逐一分析选项，即得.

【详解】

2+z(2+i)(l+z)l+3z13.,

由题得，复数z----=-------------=-----y=—+—t,可得

1-Z(1-z)(l+z)1-z222

|z|=J（；）2+（+2=芈，则A不正确；Z的共规复数为g—•!»，则B不正确；Z的实

1313

部与虚部之和为;+]=2,则C正确；z在复平面内的对应点为（^,耳），位于第一象限，

则D正确.综上，正确结论是CD.

故选：CD

【点睛】

本题考查复数的定义，共规复数以及复数的模，考查知识点全面.

3.以下命题正确的是（）

A.a=0是z=a+4为纯虚数的必要不充分条件

B.满足9+1=（）的x有且仅有i

C.“在区间（氏。）内/'（x）＞0”是“/（X）在区间（a,。）内单调递增”的充分不必要条件

D.已知=则/（X）=（/

答案：AC

【分析】

利用纯虚数的概念以及必要不充分条件的定义可判断A选项的正误；解方程可

判断B选项的正误；利用导数与函数单调性的关系结合充分不必要条件的定义

可判断C选项的正误；利用基本初等函数的导数公式

解析：AC

【分析】

利用纯虚数的概念以及必要不充分条件的定义可判断A选项的正误；解方程f+1=。可

判断B选项的正误；利用导数与函数单调性的关系结合充分不必要条件的定义可判断C选

项的正误；利用基本初等函数的导数公式可判断D选项的正误.综合可得出结论.

【详解】

对于A选项，若复数z=a+初为纯虚数，则。=0且6/0,

所以，。=0是2=。+〃为纯虚数的必要不充分条件，A选项正确；

对于B选项，解方程尤2+1=0得犬=出，B选项错误；

对于c选项，当⑼时,若r（x）＞0,则函数/（力在区间（a,3内单调递增，

即“在区间（a,。）内/'（x）＞0”=＞"/（x）在区间®。）内单调递增”.

反之,取/（x）=d,/,（x）=3x2,当时，/'（x"0,

此时，函数y=/（x）在区间（-U）上单调递增，

即“在区间（a⑼内/'（x）＞0"牛“/（X）在区间（a,。）内单调递增”.

所以，“在区间（。力）内/'（力＞0”是"/（x）在区间（。涉）内单调递增”的充分不必要

条件.

C选项正确：

对于D选项，=底#品」,“'（力彳-，D选项错误.

故选：AC.

【点睛】

本题考查命题真假的判断，涉及充分条件与必要条件的判断、实系数方程的根以及导数的

计算，考查推理能力与计算能力，属于中等题.

4.已知复数2=。+在复平面内对应的点位于第二象限，且|z|=2则下列结论正确的

是（）.

3

A.z=8B.z的虚部为Q

c.Z的共享厄复数为1+GiD.z?=4

答案：AB

【分析】

利用复数的模长运算及在复平面内对应的点位于第二象限求出，再验算每个选

项得解.

【详解】

解：，且，

复数在复平面内对应的点位于第二象限

选项A:

选项B:的虚部是

选项C:

解析：AB

【分析】

利用复数|z|=2的模长运算及z=a+Gi在复平面内对应的点位于第二象限求出。，再

验算每个选项得解.

【详解】

解：；z=a+6i，且|z|=2;.a2+(G)2=4,a-±\

复数z=a+在复平面内对应的点位于第二象限，a=-1

选项A：(-1+V3/)3=(-1)3+3(-1)2V3z+3(-l)(^z)2+(>^/)3=8

选项B:z=-l+J另的虚部是

选项C：2=-1+百，的共轨复数为2=-1-百，

选项D:(-1+V3/)2=(-1)2+2(-1)^+(>^02=-2-2A/3Z

故选：AB.

【点睛】

本题考查复数的四则运算及共辗复数，考查运算求解能力.

求解与复数概念相关问题的技巧：

复数的分类、复数的相等、复数的模及共轨复数的概念都与复数的实部、虚部有关，所以

解答与复数相关概念有关的问题时，需把所给复数化为代数形式，即。+方(。，人eA)的形

式，再根据题意求解.

5.已知复数z满足z(2—i)=i(i为虚数单位)，复数z的共朝复数为三，则()

C.复数z的实部为一1D.复数z对应复平面上的点在第二象限

答案：BD

【分析】

因为复数满足，利用复数的除法运算化简为，再逐项验证判断.

【详解】

因为复数满足，

所以

所以，故A错误；

，故B正确；

复数的实部为，故C错误；

复数对应复平面上的点在第二象限

解析：BD

【分析】

1?

因为复数z满足z(2-i)=i,利用复数的除法运算化简为z=-《再逐项验证判断.

【详解】

因为复数z满足z(2-i)=i,

所以z=L=产d12.

—H—l

’“八2-i(2-z)(2+/)55

-12

Z=————/,故B正确;

复数Z的实部为-1,故C错误；

复数z对应复平面上的点（-],|J在第二象限，故D正确.

故选：BD

【点睛】

本题主要考查复数的概念，代数运算以及几何意义，还考查分析运算求解的能力，属于基

础题.

6.已知复数z的共甑复数为三，且力=l+i,则下列结论正确的是（）

A.|z+l|=V5B.z虚部为TC.

Z2O2O=_21OIOD.Z2+-=Z

答案：ACD

【分析】

先利用题目条件可求得，再根据复数的模的计算公式，以及复数的有关概念和

复数的四则运算法则即可判断各选项的真假.

【详解】

由可得，，所以，虚部为；

因为，所以，.

故选：ACD.

[

解析：ACD

【分析】

先利用题目条件可求得Z,再根据复数的模的计算公式，以及复数的有关概念和复数的四

则运算法则即可判断各选项的真假.

【详解】

由力=l+i可得，z=?=l-i,所以|z+l|=|2—i|=百不了=石，z虚部为

-1;

因为z2=—2i,z4=—22,所以z2°2o=（z4r5=—2⑼°,z2+W=—2i+l+i=l—i=z-

故选：ACD.

【点睛】

本题主要考查复数的有关概念的理解和运用，复数的模的计算公式的应用，复数的四则运

算法则的应用，考查学生的数学运算能力，属于基础题.

7.已知复数z满足(1-i)z=2i,则下列关于复数z的结论正确的是()

A.|z|=V2

B.复数z的共辄复数为1=-17

C.复平面内表示复数z的点位于第二象限

D.复数z是方程x2+2x+2=0的一个根

答案：ABCD

【分析】

利用复数的除法运算求出，再根据复数的模长公式求出，可知正确；根据共甄

复数的概念求出，可知正确；根据复数的几何意义可知正确；将代入方程成

立，可知正确.

【详解】

因为(1-i)z=

解析：ABCD

【分析】

利用复数的除法运算求出z=-1+i,再根据复数的模长公式求出|z|,可知A正确；根据

共舸复数的概念求出N,可知B正确；根据复数的几何意义可知。正确；将z代入方程成

立，可知。正确.

【详解】

2/2z(l+z)-2+2/,.

因为(1-i)z=2i,所以z=——=-~~—~-=---=-1+，，所以

1-/(1-0(1+/)2

|Z|=V1+T=V2,故A正确；

所以5=—1—i,故8正确；

由z=-1+i知，复数z对应的点为它在第二象限，故C正确；

因为(-1+炉+2(-1+7)+2=-2z-2+2z+2=0,所以。正确.

故选:ABCD.

【点睛】

本题考查了复数的除法运算，考查了复数的模长公式，考查了复数的几何意义，属于基础

题.

8.已知复数2=-1+6，仃为虚数单位)，I为Z的共轲复数，若复数卬=三，则下列结论

Z

正确的有()

A.卬在复平面内对应的点位于第二象限B.|"|=1

1Ji

C.W的实部为一一D.W的虚部为〜二i

22

答案：ABC

【分析】

对选项求出，再判断得解；对选项，求出再判断得解；对选项复数的实部为,

判断得解；对选项，的虚部为，判断得解.

【详解】

对选项由题得

所以复数对应的点为，在第二象限，所以选项正确

解析：ABC

【分析】

对选项A求出W=-g+乎3再判断得解；对选项5,求出|M=1再判断得解；对选项

C复数w的实部为-工，判断得解；对选项。,卬的虚部为巫，判断得解.

22

【详解】

对选项A由题得W=—1—百。

一1一疯(一1-疯)2-2+2后1G.

W=----==---7=-----=------=--1--1.

-1+V3/(-1+V3z)(-1-V3z)422

所以复数卬对应的点为,在第二象限，所以选项A正确;

2

U3_

对选项5,因为IM=+所以选项8正确;

44

对选项C,复数w的实部为-工，所以选项C正确；

2

对选项D,卬的虚部为赵，所以选项。错误.

2

故选:ABC

【点睛】

本题主要考查复数的运算和共辗复数，考查复数的模的计算，考查复数的几何意义，考查

复数的实部和虚部的概念，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.

9.i是虚数单位，下列说法中正确的有()

A.若复数z满足z•彳=0,则z=0

B.若复数Z],Z2满足忆+Z2I=|Z1-Z21，则/2=0

C.若复数z=a+ai(aeR),则z可能是纯虚数

D.若复数z满足％?=3+43则z对应的点在第一象限或第三象限

答案：AD

【分析】

A选项，设出复数，根据共貌复数的相关计算，即可求出结果；

B选项，举出反例，根据复数模的计算公式，即可判断出结果；

C选项，根据纯虚数的定义，可判断出结果；

D选项，设出复数，根据题

解析：AD

【分析】

A选项，设出复数，根据共轨复数的相关计算，即可求出结果；

B选项，举出反例，根据复数模的计算公式，即可判断出结果；

C选项，根据纯虚数的定义，可判断出结果；

D选项，设出复数，根据题中条件，求出复数，由几何意义，即可判断出结果.

【详解】

A选项，设2=。+初(。力67?),则其共辗复数为z=a—阳a,beR),

则=/+)2=o，所以a=b=o，即z=0；A正确；

B选项,若4=1,z2=i,满足上।+Z2I=|Z1-Z21，但z/2=i不为0；B错;

C选项，若复数z=a+ai(aGR)表示纯虚数，需要实部为0,即a=0,但此时复数

z=0表示实数，故C错；

D选项，设z=a+bi(a,bwR),则z?=(a+bz)2=a?=3+4i,

a2—b2=3a=2a——2

所以《,,解得X或,则z=2+i或z=—2—i,

2ab=4b=-\

所以其对应的点分别为(2,1)或(-2,-1),所以对应点的在第一象限或第三象限；D正确.

故选：AD.

10.下列说法正确的是()

A.若同=2,则z.z=4

B.若复数Z],Z2满足[Z]+4gZ1-Z21,则"2=0

c.若复数Z的平方是纯虚数，则复数z的实部和虚部相等

D."a。1"是"复数z=(a-1)+(/-1)i(aeR)是虚数"的必要不充分条件

答案：AD

【分析】

由求得判断A；设出，，证明在满足时，不一定有判断B；举例说明C错误；由

充分必要条件的判定说明D正确.

【详解】

若，则，故A正确;

设,

由，可得

则，而不一定为0,故B错误；

当时

解析：AD

【分析】

由目求得z。判断A;设出Z1,Z2,证明在满足匕+Zz|=归一Z2I时，不r定有2/2=0

判断B;举例说明C错误；由充分必要条件的判定说明D正确.

【详解】

若恸=2,则z.z=|z「=4,故A正确；

设Z1=4+W（a”4e7?）,z2-a-,+勾（4也GR）

由2]+Z2R4_Z21，可得

2

B+Z2『=（4+a2）+（乙+优『=（4-/丫+（伪一伪）2

则44+4^2=0,而

a

ZjZ2=（4+/?"）（%+伪i）=44―a力2+砧2»+612»=训。2+44『+白/，不一定为0，故

B错误；

当z=]-i时z2=-2i为纯虚数，其实部和虚部不相等，故C错误；

若复数Z=（a—1）+（/-1）八。€尺）是虚数，则。2一1工0,即a0±l

所以"ar1"是"复数z=（4-1）+（/-1）八。eR）是虚数"的必要不充分条件，故D正确；

故选：AD

【点睛】

本题考查的是复数的相关知识，考查了学生对基础知识的掌握情况，属于中档题.

11.已知复数2=—』+且i（其中i为虚数单位，，则以下结论正确的是（）.

22

2323

A.z0B.z=zC.z=lD.目=1

答案：BCD

【分析】

计算出，即可进行判断.

【详解】

9

,故B正确，由于复数不能比较大小，故A错误；

,故C正确；

,故D正确.

故选：BCD.

【点睛】

本题考查复数的相关计算，属于基础题.

解析：BCD

【分析】

计算出Z2£,z3,|z|,即可进行判断.

【详解】

.・z」+其，

22

\z2=^-+—i=----1=^,故B正确，由于复数不能比较大小，故A错误;

翻2222

故选：BCD.

【点睛】

本题考查复数的相关计算，属于基础题.

12.下面关于复数的四个命题中，结论正确的是()

A.若复数zwR，则B.若复数Z满足Z2GR,则ZGR

C.若复数2满足!€火，则zeH

D.若复数Z],Z2满足Z]Z2WR,则Z]=Z2

答案：AC

【分析】

根据复数的运算法则，以及复数的类型，逐项判断，即可得出结果.

【详解】

A选项，设复数，则，因为，所以，因此，即A正确；

B选项，设复数，则，

因为，所，若，则；故B错；

C选项，设

解析：AC

【分析】

根据复数的运算法则，以及复数的类型，逐项判断，即可得出结果.

【详解】

A选项，设复数z=a+初(a,beR),则一方(a/eR),因为zeH，所以。=0,

因此z=Q£/?，即A正确;

B选项，设复数z=a+初(a,beR),贝ijz?=(a+/?z)2=/一匕2+2出,

因为z?eR，所而=0,若。=0力/°，则z史R；故B错;

但k、儿4•明1•/1D\m11a—hiah

C选项，设复数z=a+/??(a,/?eA),则一=———~-y

za+bia+b~a-+b-a~2+Zi-r2

因为*H,所以占二°‘即b"所以z="R故C正确:

D选项，设复数Z]=a+hi(a,h^R),z2=c+di(c,dG/?),

则ZjZ2=(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i,

a—\c=2—

因为Z/2ER，所以C0+/?C=O,若｛71<,_能满足+bc=0,但％wz,,

b=1d=-212

故D错误.

故选：AC.

【点睛】

本题主要考查复数相关命题的判断，熟记复数的运算法则即可，属于常考题型.

13.已知复数z满足z2+2|z|=0,则z可能为（）

A.0B.-2C.2iD.-2/

答案：ACD

【分析】

令代入已知等式，列方程组求解即可知的可能值.

【详解】

令代入，得：，

,解得或或

或或.

故选：ACD

【点睛】

本题考查了已知等量关系求复数，属于简单题.

解析：ACD

【分析】

令2=。+沅代入已知等式，列方程组求解即可知Z的可能值.

【详解】

令2=4+初代入Z2+2|Z|=0,得：cr-h2+2-Ja2+h2+2abi=0-

a2-b1+2-Ja2+b2=0a=0,a=0,4=0,

解得<八或或

2"=0/?=0b=2b=，l.

.**z=0或z=2i或z=—21•

故选：ACD

【点睛】

本题考查了已知等量关系求复数，属于简单题.

14.已知复数z满足Z2+2|Z|=0,则z可能为（）.

A.0B.-2C.2iD.-2i+l

答案：AC

【分析】

令，代入原式，解出的值，结合选项得出答案.

【详解】

令，代入，

得，

解得，或，或，

所以，或，或

故选：AC

【点睛】

本题考查复数的运算，考查学生计算能力，属于基础题.

解析:AC

【分析】

令z=a+例（aSeR）,代入原式，解出的值，结合选项得出答案.

【详解】

令2=4+勿（。,匕eR）,代入Z2+2|Z|=0,

得a2-b2+a1+b2+2或i=0，

所以z=0,或z=2i，或z=-2i.

故选：AC

【点睛】

本题考查复数的运算，考查学生计算能力，属于基础题.

JI兀、

（-（其中i为虚数单位）下列说法正确的是

（）

A.复数z在复平面上对应的点可能落在第二象限

B.Z可能为实数

C.忖=1

D.'的虚部为sin。

Z

答案：BC

【分析】

分、、三种情况讨论，可判断AB选项的正误；利用复数的模长公式可判断C选

项的正误；化简复数，利用复数的概念可判断D选项的正误.

【详解】

对于AB选项，当时，，，此时复数在复平面内的点

解析：BC

【分析】

分一2<。<0、。=0、0<。<一三种情况讨论，可判断AB选项的正误；利用复数的模

22

长公式可判断C选项的正误；化简复数利用复数的概念可判断D选项的正误.

Z

【详解】

rr

对于AB选项，当-上时，cos6>>0,sin6<0,此时复数z在复平面内的点在第

2

四象限；

当6=0时，z=—lwR；

TT

当0<。<一时，cos6>0,sin<9>0,此时复数z在复平面内的点在第一象限.

2

A选项错误，B选项正确；

对于C选项，=Jcos?e+sin'6=l,C选项正确；

11cos^-zsin^八..八

对于D诜中，—=------------=7-----------------------------------=cos^-zsin^,

、zcos0+isin6(cos0+isin•(cos0-isin0)

所以，复数’的虚部为一sin。，D选项错误.

z

故选：BC.

16.已知复数Z在复平面上对应的向量02=(-1,2),则()

A.z--l+2/B.z|-5C.z=1+2zD.z,z=5

答案：AD

【分析】

因为复数Z在复平面上对应的向量，得到复数，再逐项判断.

【详解】

因为复数Z在复平面上对应的向量，

所以，，|z|=,,

故选：AD

解析：AD

【分析】

因为复数Z在复平面上对应的向量反=(-1,2),得到复数z=-1+23再逐项判断.

【详解】

因为复数Z在复平面上对应的向量应=(-1,2)，

所以z=—l+2i,z=-1-2/>z\=\/5，z-z-5,

故选：AD

17.下列关于复数的说法，其中正确的是()

A.复数z=a+初是实数的充要条件是力=0

B.复数z=a+初(。力€/?)是纯虚数的充要条件是6刈

C.若Z-Z2互为共扼复数，则ZR2是实数

D.若4，Z2互为共物复数，则在复平面内它们所对应的点关于y轴对称

答案：AC

【分析】

根据复数的有关概念和充分条件和必要条件的定义进行判断即可.

【详解】

解：对于：复数是实数的充要条件是，显然成立，故正确；

对于：若复数是纯虚数则且，故错误；

对于：若，互为共也复数

解析：AC

【分析】

根据复数的有关概念和充分条件和必要条件的定义进行判断即可.

【详解】

解：对于A：复数z=a+初是实数的充要条件是/?=(),显然成立，故A正

确；

对于3：若复数z=a+初是纯虚数则a=0且岳口)，故3错误；

对于C：若Z],Z2互为共扼复数，设Z]=a+〃(a,Z?€H),则z2R),所

222

以zIz2=(a+bi)(a-t>i)=a-i>i=片+户是实数,故。正确;

对于£)：若Z1,Z?互为共轨复数，设Z]=a+初则4=a—研R),所

对应的坐标分别为(。力)，(a,-b),这两点关于x轴对称，故0错误；

故选：AC

【点睛】

本题主要考查复数的有关概念的判断，利用充分条件和必要条件的定义是解决本题的关

键，属于基础题.

18.已知复数2=上一'2»,则下列结论正确的有()

22

A—1o2~p3in_2O2O_।73.

A・z・Z=lb・z=Z=-1z=-------1-------1

22

答案：ACD

【分析】

分别计算各选项的值，然后判断是否正确，计算D选项的时候注意利用复数乘

方的性质.

【详解】

因为，所以A正确；

因为，，所以，所以B错误；

因为，所以C正确；

因为，所以，所以D正确

解析：ACD

【分析】

分别计算各选项的值，然后判断是否正确，计算D选项的时候注意利用复数乘方的性质.

【详解】

I[13

因为z-z一+一丁7=：+-7=1，所以A正确;

244

7

......——i>z=-+-^-i>所以dwz，所以B错误;

因为Z2=-

22222

因为z3=Z2-Z==-1,所以C正确;

22人22J

.er-ri_2020,6x336+44~3~U石1,6：

因为=z'-z3=1，所以Z=Z=Z=Z・Z=(—-——I=--+—«,

所以D正确，

故选：ACD.

【点睛】

本题考查复数乘法与乘方的计算，其中还涉及到了共朝复数的计算，难度较易.

19.(多选题)已知集合加=徊加=H〃€叫，其中/为虚数单位，则下列元素属于集

合M的是()

A.(1-Z)(1+OB.C.D.(1-Z)-

答案：BC

【分析】

根据集合求出集合内部的元素，再对四个选项依次化简即可得出选项.

【详解】

根据题意，中，

时，；

时，

;时，；

时，，

选项A中，；

选项B中，；

选项C中，；

选项D中，.

解析：BC

【分析】

根据集合求出集合内部的元素，再对四个选项依次化简即可得出选项.

【详解】

根据题意，M=｛加加=，"'，〃e/v｝中，

〃=4Z（ZeN）时，i"=1；

〃=4%+1(左eN)时，

in=i；了=4&+2(&队+)时，广=一1；

〃=4攵+3(攵€必时，〃=-，，

选项A中,(l-z)(l+z)=2^M；

1-/_(1-炉_“

选项B中,

1+z(l+z)(l-z)

选项C中,

选项D中，（1-/）2=-2Z^M.

故选：BC.

【点睛】

此题考查复数的基本运算，涉及复数的乘方和乘法除法运算，准确计算才能得解.

20.已知i为虚数单位，则下列选项中正确的是（）

A.复数z=3+4i的模忖=5

B.若复数z=3+4i,则5（即复数z的共貌复数）在复平面内对应的点在第四象限

C.若复数（根2+3"2-4）+"-2m-24卜是纯虚数，则加=1或加=T

D.对任意的复数Z,都有Z?30

答案：AB

【分析】

求解复数的模判断；由共枕复数的概念判断；由实部为0且虚部不为0求得值

判断；举例说明错误.

【详解】

解：对于，复数的模，故正确；

对于，若复数，则，在复平面内对应的点的坐标为，在第四

解析：AB

【分析】

求解复数的模判断A：由共血复数的概念判断8:由实部为。且虚部不为0求得加值判断

C；举例说明。错误.

【详解】

解：对于A，复数z=3+4i的模|z|=不=5,故4正确；

对于8,若复数z=3+43则5=3—4"在复平面内对应的点的坐标为(3,-4),在第四

象限，故3正确；

对于C,若复数(n?+3m-4)+(疗-2/n-24)i是纯虚数，

nr+3m-4=0

则《,解