高中数学人教A版必修五《应用举例第一课时》

《应用举例第一课时》

♦教材分析

本节主要是正弦定理、余弦定理的进一步应用，利用正弦定理、余弦定理解决高度、距

离、角度以及三角形的综合应用。

通过运用正弦定、余弦定理解决工业、农业等方面的实际问题，使学生进一步体会数学

在实际问题中的应用，激发学生学习数学的兴趣，培养学生由实际问题抽象出数学问题并加

以解决的能力。

♦教学目标

【知识与能力目标】

能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些有关测量距离的实际问题，了解常

用的测量相关术语。

【过程与方法目标】

首先通过巧妙的设疑，顺利地引导新课，为以后的几节课做良好铺垫。其次结合学生的

实际情况，根据大纲要求以及教学内容之间的内在关系，铺开例题，设计变式，同时通过多

媒体、图形观察等直观演示，帮助学生掌握解法，能够类比解决实际问题。

【情感态度价值观目标】

激发学生学习数学的兴趣，并体会数学的应用价值；同时培养学生运用图形、数学符号

表达题意和应用转化思想解决数学问题的能力。

♦教学重难点

【教学重点】

实际问题中抽象出一个或几个三角形，然后逐个解决三角形，得到实际问题的解。

【教学难点】

实际问题向数学问题转化思路的确定，即根据题意建立数学模型，画出示意图。

♦课前准备

电子课件调整、相应的教具带好、熟悉学生名单、电子白板要调试好。

♦教学过程

新课导入

1、［复习旧知］

复习提问什么是正弦定理、余弦定理以及它们可以解决哪些类型的三角形？

1.正弦定理:

语言表述在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等

符号表示a_b_c

sin/1sini?sinC

比值的含义sin力sin8sinC

（其中々为的外接圆半径）

(1),a=27feinAfb=2/fsinB,c=2/feinC\

变形(2)sinA=—sinB=—sinC=—；

2Rf2Rf2R

(3)a\bIc-sin/：sin4：sinC

①已知两角和任一边，求其它两边及一角；

作用

②已知两边和其中一边对角，求另一边的对角。

2.余弦定理:

三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两

语言表述

边与它们夹角的余弦的积的两倍

#=Z/+d—22ccos力;

符号表示=#+d-2accos_B；

c2aAeosC.

余弦定理

.b-+c2-a2c2+a2-b2

cosA=----------------；cosBD=-----------------

2bc2ca

推论

222

「a+b-c

cosC=----------------

2ah

①.已知三边求三角；

作用

②.已知两边及它们的夹角，求第三边。

2、［设置情境］

请学生回答完后再提问：前面引言第一章''解三角形"中，我们遇到这么一个问题，“遥

不可及的月亮离我们地球究竟有多远呢？”在古代，天文学家没有先进的仪器就已经估算出

了两者的距离，是什么神奇的方法探索到这个奥秘的呢？我们知道，对于未知的距离、高度

等，存在着许多可供选择的测量方案，比如可以应用全等三角形、相似三角形的方法，或借

助解直角三角形等等不同的方法，但由于在实际测量问题的真实背景下，某些方法会不能实

施。如因为没有足够的空间，不能用全等三角形的方法来测量，所以，有些方法会有局限性。

于是上面介绍的问题是用以前的方法所不能解决的。今天我们开始学习正弦定理、余弦定理

在科学实践中的重要应用，首先研究如何测量距离。

二、研探新知，建构概念

解决实际测量问题的过程一般要充分认真理解题意，正确做出图形，把实际问题里的条

件和所求转换成三角形中的已知和未知的边、角，通过建立数学模型来求解。

三、质疑答辩，发展思维

例1、如图，设A、B两点在河的两岸，要测量两点之间的距离，测量者在A的同侧，

在所在的河岸边选定一点C,测出AC的距离是55m,ZBAC=51°,NACB=75°。求A、B两

点的距离（精确到0.Im）。

B

图1.2-1

启发提问1：AABC中，根据已知的边和对应角，运用哪个定理比较适当？

启发提问2：运用该定理解题还需要那些边和角呢？请学生回答。

分析：这是一道关于测量从一个可到达的点到一个不可到达的点之间的距离的问题，题

目条件告诉了边AB的对角，AC为己知边，再根据三角形的内角和定理很容易根据两个已知

角算出AC的对角，应用正弦定理算出AB边。

解：根据正弦定理，得ABAC

sinZACBsinZABC

_ACsinZACB_55sinZACB_55sin75°-55sin75°七gg7的

sinZABCsinZABCsin(180°-51°-75°)sin54°

答:A、B两点间的距离为65.7米。

变式训练：

一艘船以32.2nmile/h的速度向正北航行.在A处看灯塔S

在船的北偏东20的方向，30min后航行到B处，在B处看灯

塔在船的北偏东65的方向，已知距离此灯塔6.5nmile以外

的海区为航行安全区域，这艘船可以继续沿正北方向航行吗？

解：在AASS中，乙%4=115。，

NS=45°,由正弦定理得

eABsin20°16.1sin20°

SB----------------=-------------------7.787(nmile)

sin45°sin45°

设点室U直线力刚距离为无则

h=SBsin65°«7.06(〃mile)

・••A>6.5/7mile此船可以继续沿正北方向航行

答：此船可以继续沿正I匕方向航行

例2、如图，A、B两点都在河的对岸（不可到达），设计一种测量A、B两点间距离的方

法。

分析：这是例1的变式题，研究的是两个不可到达的点之间的距离测量问题。首先需要

构造三角形，所以需要确定C、D两点。根据正弦定理中已知三角形的任意两个内角与一边

既可求出另两边的方法，分别求出AC和BC,再利用余弦定理可以计算出AB的距离。

图1.2-2

解：测量者可以在河岸边选定两点C、D,测得CD二a,并且在C、D两点分别测得NBCA二

NACD二万，NCDB=7,ZBDA=^,在AADC和ABDC中，应用正弦定理得

AC=asin(7+b)=asin(7+b)

sin[180°-(/?+/+^)]sin(—+：+b)

Be=asin/二asin/

sin[180°-(a+^+/)]sin(a+/7+/)

计算出AC和BC后，再在AABC中，应用余弦定理计算出AB两点间的距离

AB=VAC2+BC2-2ACxBCcosa

分组讨论：还没有其它的方法呢？师生一起对不同方法进行对比、分析。

变式训练：

如图，为了测量正在海面匀速行驶的某船的速度，在海岸上选取距离1千米的两个观察

点C,I),在某天10：00观察到该船在A处，此时测得/ADC=30°,2分钟后该船行驶至B

处，此时测得NACB=60°,ZBCD=45°,NADB=60°,则船速为多少千米/分钟?

解：在aBCD中，ZBDC=30°+60°=90°,CD=1,ZBCD=45°,所以BC=a.

在4ACD中，ZCAD=180°-(60°+45°+30°)=45°,所以卫-=£•,AC=—.

sm45°sin3002

在aABC中，AB=AC2+BC2-2ACXBCXcos60°二，

2

r—V6_

所以AB¥，所以船速为心半千米/分钟。

224

学生阅读课本12页，了解测量中基线的概念，并找到生活中的相应例子。

四、巩固训练：

课本第14页练习第2题

五、课堂小结：

(1)分析：理解题意，分清已知与未知，画出示意图

(2)建模：根据已知条件与求解目标，把已知量与求解量尽量集中在有关的三角形中,

建立一个解斜三角形的数学模型

(3)求解：利用正弦定理或余弦定理有序地解出三角形，求得数学模型的解

(4)检验：检验上述所求的解是否符合实际意义，从而得出实际问题的解

六、作业布置：

课本第22页第2、3题

✓S

♦教学反思

略。

《应用举例第二课时》

♦教材分析

本节主要是正弦定理、余弦定理的进一步应用，利用正弦定理、余弦定理解决高度、距

离、角度以及三角形的综合应用。

通过运用正弦定、余弦定理解决工业、农业等方面的实际问题，使学生进一步体会数学

在实际问题中的应用，激发学生学习数学的兴趣，培养学生由实际问题抽象出数学问题并加

以解决的能力。

♦教学目标

【知识与能力目标】

能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些有关底部不可到达的物体高度测量

的问题。

【过程与方法目标】

本节课是解三角形应用举例的延伸。采用启发与尝试的方法，让学生在温故知新中学会

正确识图、画图、想图，帮助学生逐步构建知识框架。通过3道例题的安排和练习的训练来

巩固深化解三角形实际问题的一般方法。教学形式要坚持引导一一讨论一一归纳，目的不在

于让学生记住结论，更多的要养成良好的研究、探索习惯。作业设计思考题，提供学生更广

阔的思考空间。

【情感态度价值观目标】

进一步培养学生学习数学、应用数学的意识及观察、归纳、类比、概括的能力。

♦教学重难点

【教学重点】

结合实际测量工具，解决生活中的测量高度问题。

【教学难点】

能观察较复杂的图形，从中找到解决问题的关键条件。

♦课前准备

电子课件调整、相应的教具带好、熟悉学生名单、电子白板要调试好。

♦教学过程

塞乐斯生于公元前624年，是古希腊第一位闻名世界的大数学家。他原是一位很精明的

商人，靠卖橄榄油积累了相当财富后，塞乐斯便专心从事科学研究和旅行。他游历埃及时，

曾用一种巧妙的方法算出了金字塔的高度，使古埃及国王阿美西斯钦羡不已。赛乐斯的测量

方法是什么？

答：选一个天气晴朗的日子，在金字塔边竖立一根小木棍，然后观察木棍阴影的长度变

化，等到阴影长度恰好等于木棍长度时，赶紧测量金字塔影的长度，因为在这一时刻，金字

塔的高度也恰好与塔影长度相等。也有人说，塞乐斯是利用棍影与塔影长度的比等于棍高与

塔高的比算出金字塔高度的。如果是这样的话，就要用到三角形对应边成比例这个数学定理。

塞乐斯自夸，说是他把这种方法教给了古埃及人但事实可能正好相反，应该是埃及人早就知

道了类似的方法，但他们只满足于知道怎样去计算，却没有思考为什么这样算就能得到正确

的答案。

二、研探新知，建构概念

1.解决实际测量问题的过程一般要充分认真理解题意，正确做出图形，把实际问题里的

条件和所求转换成三角形中的已知和未知的边、角，通过建立数学模型来求解。

2.在解决实际问题时常会遇到一些有关角的术语：

(1)方向角：从指定方向到目标方向线所成的水平角。

(2)仰角与俯角：与目标视线在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视

线在水平线上方时叫仰角，目标视线在水平线下方时叫俯角。(如下图所示)

目标视线

水平视线

目标视线

三、质疑答辩，发展思维

例1、AB是底部B不可到达的一个建筑物，A为建筑物的最高点，设计一种测量建筑物

高度AB的方法。

分析:求AB长的关键是先求AE,在△ACE中，如能求出C点到建筑物顶部A的距离CA,

再测出由C点观察A的仰角，就可以计算出AE的长。

解：选择一条水平基线HG,使H、G、B三点在同一条直线上。由在H、G两点用测角仪

器测得A的仰角分别是a、p,CD=a,测角仪器的高是h,那么，在AACD中，根据正弦

八。_«sin0

定理可得

sin(a-p)

AB=AE+h=ACsina+h=asinasin/?+卜

sin(a-fi)

例2、如图，在山顶铁塔上B处测得地面上一点A的俯角a=54°40',在塔底C处测得

A处的俯角£=50°1'。已知铁塔BC部分的高为27.3m,求出山高CD（精确到1m）

图1.2-5

师:根据已知条件,大家能设计出解题方案吗？（给时间给学生讨论思考）若在AABD中求

CI）,则关键需要求出哪条边呢？

生：需求出BD边。

师：那如何求BD边呢？

生：可首先求出AB边，再根据NBAD=a求得。

解：在AABC中，ZBCA=90°+6，NABC=90°-a,NBAC=a-尸，/BAD=。.根据正弦

BCAB

定理知：=

疝（a-夕）sin（90'+/3）

ARJCsin（90'+-）_BCcos.

所以

sin（a-p）sin（a-夕）

解Rt△ABD中，得BD=ABsinZBAD="期网11。

sin(a-(J)

27.3cos50Tsin54’40'

将测量数据代入上式,得BD

sin(54°40'-50ol')

27.3cos50Tsin54=4(y

^177(m)

sin4°39'

CD=BD-BCg177-27.3=150(m)

答：山的高度约为150米。

师：有没有别的解法呢？

生：若在AACD中求CD,可先求出AC。

师：分析得很好，请大家接着思考如何求出AC?

生：同理，在AABC中，根据正弦定理求得。(解题过程略)

例3、如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正东行驶,到A处时测得公路南侧远处一山顶D

在东偏南15°的方向上,行驶5km后到达B处,测得此山顶在东偏南25°的方向上,仰角为8°,

求此山的高度CDo

图1.2-6

师：欲求出CD,大家思考在哪个三角形中研究比较适合呢？

生：在△BCD中

师：在△BCD中，已知BD或BC都可求出CD,根据条件，易计算出哪条边的长?

生：BC边

解:在AABC中，ZA=15°,NC=25°-15°=10°,根据正弦定理,

BC_AB

sinAsinC

ABsinA5sin15

sinCsin1()

.7.4524(km)

CD=BCxtanZDBC^BCxtan8°七1047(m)

答：山的高度约为1047米。

四、巩固训练：

1.在某点B处测得建筑物AE的顶端A的仰角为6,沿BE方向前进30m,至点C处测得顶端

A的仰角为26,再继续前进10后m至D点，测得顶端A的仰角为40,求。的大小和建筑

物AE的高。

师：请大家根据题意画出方位图。

生：上台板演方位图（上图）

教师先引导和鼓励学生积极思考解题方法，让学生动手练习，请三位同学用三种不同方法板

演，然后教师补充讲评。

解法一：（用正弦定理求解）由已知可得在AACD中，

AC=BC=30,

AD=DC=10V3,

ZADC=180°-40,

.1OV3=30。

sin20sin(18O°—46)

因为sin46=2sin29cos2。

cos20=无，得2。=30°

2

6=15°,

.•.在RtAADE中，AE=ADsin60°=15

答：所求角。为15°,建筑物高度为15m

解法二：(设方程来求解)设DE=x,AE=h

在RtAACE中，(106+x)2+h2=302

在RtAADE+,x2+h2=(1073)2

两式相减，得x=5石，h=15

LC

.,.在RtAACE中，tan26=---z=---二——

10V3+X3

.•.2。=30°,6=15

答：所求角。为15°,建筑物高度为15m。

解法三：（用倍角公式求解）设建筑物高为AE=8,由题意，得

ZBAC=6»,ZCAD=261,

AC=BC=30m,AD=CD=1073m

x

在RtzXACE中，sin29二----------①

30

4

在Rt^ADE中，sin48=-广，---------②

10V3

/o

②+①得cos26=«,20=30°,。=15°,AE=ADsin60°=15

2

答：所求角。为15°,建筑物高度为15m。

2.课本第15页练习第1、2、3题

五、课堂小结：

利用正弦定理和余弦定理来解题时，要学会审题及根据题意画方位图,要懂得从所给的

背景资料中进行加工、抽取主要因素，进行适当的简化。

六、作业布置：

1、课本第19页练习第6、7、8题

2、为测某塔AB的高度，在一幢与塔AB相距20m的楼的楼顶处测得塔顶A的仰角为30°,

测得塔基B的俯角为45°,则塔AB的高度为多少m?

答案：20+-----(m)

3

♦教学反思

略。

《应用举例第三课时》

♦教材分析

本节主要是正弦定理、余弦定理的进一步应用，利用正弦定理、余弦定理解决高度、距

离、角度以及三角形的综合应用。

通过运用正弦定、余弦定理解决工业、农业等方面的实际问题，使学生进一步体会数学

在实际问题中的应用，激发学生学习数学的兴趣，培养学生由实际问题抽象出数学问题并加

以解决的能力。

♦教学目标

【知识与能力目标】

能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些有关计算角度的实际问题。

【过程与方法目标】

本节课是在学习了相关内容后的第三节课，学生已经对解法有了基本的了解，这节课应

通过综合训练强化学生的相应能力。除了安排课本上的例1,还针对性地选择了既具典型性

有具启发性的2道例题，强调知识的传授更重能力的渗透。课堂中要充分体现学生的主体地

位，重过程，重讨论，教师通过导疑、导思让学生有效、积极、主动地参与到探究问题的过

程中来，逐步让学生自主发现规律，举一反三。

【情感态度价值观目标】

培养学生提出问题、正确分析问题、独立解决问题的能力，并在教学过程中激发学生的

探索精神。

♦教学重难点

【教学重点】

能根据正弦定理、余弦定理的特点找到已知条件和所求角的关系。

【教学难点】

灵活运用正弦定理和余弦定理解关于角度的问题。

♦课前准备

电子课件调整、相应的教具带好、熟悉学生名单、电子白板要调试好.

♦教学过程

三、新课导入

提问：前面我们学习了如何测量距离和高度，这些实际上都可转化已知三角形的一些边

和角求其余边的问题。然而在实际的航海生活中，人们又会遇到新的问题，在浩瀚无垠的海

面上如何确保轮船不迷失方向，保持一定的航速和航向呢？今天我们接着探讨这方面的测量

问题。

二、研探新知，建构概念

1.解决实际测量问题的过程一般要充分认真理解题意，正确做出图形，把实际问题里的

条件和所求转换成三角形中的已知和未知的边、角，通过建立数学模型来求解。

2.方位角：指从正北方向顺时针转到目标方向线的水平角。

方向角：从指定方向到目标方向线所成的水平角。

三、质疑答辩，发展思维

例1、如图，一艘海轮从A出发，沿北偏东75。的方向航行67.5nmile后到达海岛B,然

后从B出发,沿北偏东32°的方向航行54.0nmile后达到海岛C.如果下次航行直接从A出

发到达C,此船应该沿怎样的方向航行，需要航行多少距离？（角度精确到0.1",距离精确到

0.Olnmile）

«/cI

北

▲

东

西

一

倒

南

图1.2-7

学生看图思考并讲述解题思路

教师根据学生的回答归纳分析:首先根据三角形的内角和定理求出AC边所对的角/ABC,

即可用余弦定理算出AC边，再根据正弦定理算出AC边和AB边的夹角/CAB。

解：在AABC中，ZABC=180°-75°+32°=137°,根据余弦定理,

AC=7AB2+BC2-2ABxBCxcosZABC

=V67.52+54X)2_2X67.5X54.0XCOS137°

^113.15

根据正弦定理，BC=4c

sinZCABsinZABC

sinZCAB=BCsinZA3c

AC

_54.0sin137°

113.15

«=0.3255,

所以/CAB=19.0°,75°-NCAB=56.0°

答:此船应该沿北偏东56.1的方向航行，需要航行113.15nmile

例2、某巡逻艇在A处发现北偏东45°相距9海里的C处有一艘走私船，正沿南偏东75°的

方向以10海里/小时的速度向我海岸行驶,巡逻艇立即以14海里/小时的速度沿着直线方向

追去，问巡逻艇应该沿什么方向去追？需要多少时间才追赶上该走私船？

师：你能根据题意画出方位图？教师启发学生做图建立数学模型

分析：这道题的关键是计算出三角形的各边，即需要引入时间这个参变量。

解：如图，设该巡逻艇沿AB方向经过x小时后在B处追上走私船，则CB=10x,AB=14x,AC=9,

ZACB=75°+45°=120°

(14x)2=92+(lOx)2-2x9x10xcosl20°

T.a

化简得32x2-30x-27=0,即x=—,或x=——(舍去)

216

所以BC=lOx=15,AB=14x=21,

又因为sin/BAC"sin⑶=@乂旦二巫

AB21214

NBAC=38°13',或NBAC=141°47'(钝角不合题意,舍去),

38°13'+45°=83°13'

答：巡逻艇应该沿北偏东83°13'方向去追，经过1.4小时才追赶上该走私船。

评注：在求解三角形中，我们可以根据正弦函数的定义得到两个解，但作为有关现实生活的

应用题，必须检验上述所求的解是否符合实际意义，从而得出实际问题的解

四、巩固训练:

1.课本第18页练习;

2.如图，海中小岛A周围38海里内有暗礁，船正向南航行，在B处测得小.岛A在船的南

偏东30°,航行30海里到C处，在C处测得小岛力在船的南偏东45°,

如果此船不改变航向，继续向南航行，有无触礁的危险？

解：在ZkABC中，8c=30,8=30°,

NACB=18O°-45°=135°,

由正弦定理知二£=-^30AC

sinAsinBsin15。-sin30°

...AC=30sin30°=60cos15°=1576+1572..,.A到BC所在直线的距离为

sin15°

ACsin45°=（1576+I5V2）----=15（百+1）~40.98>38（海里）,

2

•••不改变航向，继续向南航行，无触礁的危险。

答：不改变航向，继续向南航行，无触礁的危险。

五、课堂小结：

解三角形的应用题时，通常会遇到两种情况：（1）已知量与未知量全部集中在一个三角

形中，依次利用正弦定理或余弦定理解之。（2）已知量与未知量涉及两个或几个三角形，这

时需要选择条件足够的三角形优先研究，再逐步在其余的三角形中求出问题的解。

六、作业布置：

课本第20页练习第9题

♦教学反思

略。

《应用举例第四课时》

♦教材分析

本节主要是正弦定理、余弦定理的进一步应用，利用正弦定理、余弦定理解决高度、距

离、角度以及三角形的综合应用。

通过运用正弦定、余弦定理解决工业、农业等方面的实际问题，使学生进一步体会数学

在实际问题中的应用，激发学生学习数学的兴趣，培养学生由实际问题抽象出数学问题并加

以解决的能力。

■、

♦教学目标

【知识与能力目标】

能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法进一步解决有关三角形的问题，掌握三角形

的面积公式的简单推导和应用。

【过程与方法目标】

本节课补充了三角形新的面积公式，巧妙设疑，引导学生证明，同时总结出该公式的特

点，循序渐进地具体运用于相关的题型。另外本节课的证明题体现了前面所学知识的生动运

用，教师要放手让学生摸索，使学生在具体的论证中灵活把握正弦定理和余弦定理的特点，

能不拘一格，一题多解。只要学生自行掌握了两定理的特点，就能很快开阔思维，有利地进

一步突破难点。

【情感态度价值观目标】

让学生进一步巩固所学的知识，加深对所学定理的理解，提高创新能力；进一步培养学

生研究和发现能力，让学生在探究中体验愉悦的成功体验。

♦教学重难点

【教学重点】

推导三角形的面积公式并解决简单的相关题目。

【教学难点】

利用正弦定理、余弦定理来求证简单的证明题。

♦课前准备

电子课件调整、相应的教具带好、熟悉学生名单、电子白板要调试好.

♦教学过程

一、新课导入

如果已知底边和底边上的高，可以求三角形面积.那么如果知道三角形两边及夹角，有

没有办法求三角形面积？

二、研探新知，建构概念

1.解决实际三角形问题的过程一般要充分认真理解题意，正确做出图形，把实际问题里

的条件和所求转换成三角形中的已知和未知的边、角，通过建立数学模型来求解。

2.在AABC中，边BC、CA、AB上的高分别记为h〃、院、hf,那么它们如何用已知边

和角表示？

hfl=bsinC=csinB；h/,=csinA=asinC；h(.=asinB=bsinaA

三、质疑答辩，发展思维

例1、在AABC中，根据下列条件，求三角形的面积S(精确到0.Icn^)

(1)已知a=14.8cm,c=23.5cm,B=148.5

(2)已知B=62.7°,C=65.8°,b=3.16cm;

(3)己知三边的长分别为a=41.4cm,b=27.3cm,c=38.7cm

分析：这是一道在不同已知条件下求三角形的面积的问题，与解三角形问题有密切的关

系，我们可以应用解三角形面积的知识，观察已知什么，尚缺什么？求出需要的元素，就可

以求出三角形的面积。

解：(1)应用S=」acsinB,得S=—x14.8x23.5xsinl48.5°9(cm2)

22

bsmC

(2)根据正弦定理，——---c---c=--------

sinBsinC--------------sinB

S二—bcsinA=—b2s1nosm'

22sinB

A=180°-(B+C)=180°-(62.7°+65.8°)=51.5

1sin65.8sin51.5

S=-x3.1602x----------------^4.0(zcm20

2sin62.7

(3)根据余弦定理的推论，得

c2^-a2-b2

DcosB=-----------

2ca

38.72+41.42-27.32

2x38.7x41.4

公O7697

sinB=Vl-cos2B弋71-0.7697240.6384

应用S='acsinB,得

2

S-x41.4x38.7x0,6384^511.4(cm2)

2

例2、如图,在某市进行城市环境建设中，要把一个三角形的区域改造成室内公园，经过测量

得到这个三角形区域的三条边长分别为68m,88m,127叫这个区域的面积是多少？(精确到

0.1cm2)?

师：你能把这一实际问题化归为一道数学题目吗？

生：本题可转化为已知三角形的三边，求角的问题，再利用三角形的面积公式求解。

由学生解答，老师巡视并对学生解答进行讲评小结。

解：设a=68m,b=88m,c=127m,根据余弦定理的推论，

c2+a2-b2

cosDB=-----------

2ca

=1272+682-882-.7532

2x127x68

sinB=Vl-0.75322«0.6578

应用S=—acsinB

2

Sx68x127x0.6578^2840.38(m2)

2

答：这个区域的面积是2840.38m2。

例3、在△ABC中，求证：

/八a2+b2sin2A+sin2B

(1)；—=------T-------------;

c2sin~C

(2)a2+h2+C2=2(bccosA+cacosB+abcosC)

分析：这是一道关于三角形边角关系恒等式的证明问题，观察式子左右两边的特点，联想到

用正弦定理来证明

证明：(1)根据正弦定理，可设