高中数学反正弦函数

高中数学“反正弦函数”PCK分析研究

上海市松江二中奚志鸿

摘要：调查研究显示反正弦函数是教师和学生公认的难点概念。本文

运用PCK理论，对反正弦函数的作用与学习价值、知识本质及知识间的联

系、学习经验和困难分析、教学方法和策略分析进行了逐一阐述，并给出

了可供参考的一个教学案例。

关键词：PCK；难点概念；反正弦函数

1986年，时任美国教育研究会主席的斯坦福大学教授舒尔曼的研究提

出，教师除了应具备学科知识与一般教学法知识外，必须在教学过程中发展

另一种新的知识（PedagogicalContentKnowledge）,即PCK,其定义为“教

师个人教学经验、教师学科内容知识和教育学的特殊整合”，他还把PCK

描述为“教师最有用的知识代表形式”。①在此基础上,2005年格林斯曼提

出了PCK包含的框架：（1）一门学科的统领性观念，即关于学科本质的

知识和最有学习价值的知识，（2）知识间的联系，（3）学生在学习某一

知识过程中容易误解和混淆的问题，（4）如何将特定的知识呈现给不同学

生的策略。舒尔曼认为PCK最能区分学科专家与教学专家、高成效教师与

低成效教师间的差别。"PCK的实质是一种‘转化’的智能，是教师将学科

知识‘转化’成学生有效获得的一种学科教学智能，即教师根据课程理念、

目标，进行系统思考，把学科知识有效地‘转化’成教学任务，又由教学

任务有效地'转化'为学生实际的获得。第一次'转化'主要体现在教师

的教学设计中，表现为对课程目标、内容，学生认知基础、风格、个性的

把握，教学方法、策略的选择；第二次‘转化'主要体现于课堂教学中，

表现为知识的呈现，课堂的决策、监控、补救，媒体的使用，教学的指导、

1Shulman,L.S.Thosewhounderstand：knowledgegrowthinteaching[J].EducationalResearcher,1986,

15(2):4-14.

评价，生成问题的应对，师生关系。”②

在高中的概念中有很多概念学生始终不能掌握好，还有的概念连教师都

觉得难以传授好，可以称它们为难点概念，所以运用PCK理论分析难点概

念是一种有效途径。在《数学教育学报》2012年10月第21卷第5期“高

中数学十大难点概念的调查研究”一文中对上海市松江区全体在职85位高

中数学教师的问卷调查表明，在教师认为的“高中数学十大难点概念”的

排序中，“反正弦函数”列最难教的数学概念中的第八位，巧的是，对松

江区抽样的410名学生进行问卷调查中发现“反正弦函数”也列最难教的

数学概念中的第八位。③虽然这是不完全统计，但是这样的巧合在一定程度

上说明“反正弦函数”已成为教师和学生公认的难点概念，而PCK能有效

地转化突破知识的难点，所以对反正弦函数进行PCK分析很有必要。

我们尝试着用PCK分析的方法突破反正弦函数这个教学难点，对反正

弦函数教学时所涉及的知识地位与学习价值、知识本质及知识间的联系、

学生学习过程中的经验和困难、教学的方法和策略等进行整体分析。

1反正弦函数的作用与学习价值

《上海市中小学数学课程标准》在“反三角函数”这个学习内容的学

习要求及活动建议有“理解反正弦函数、反余弦函数和反正切函数的概念,

知道它们的基本性质和图像。会用计算器求反三角函数的值和用反三角函

数的值表示角的大小。”和“介绍三角学发展的概况”④。

反正弦函数是反三角函数之一，反三角函数与其它重要知识间的联系

也要求对反正弦函数要进行透彻分析。首先，反三角函数是基本初等

函数之一,它建立在函数的理论基础上，涉及到集合、映射、函数及其性质

等众多理论，故反三角函数的研究应在函数理论的指导下进行。其次反三角

国上海市青浦实验研究所.小学数学新手和专家教师PCK比较的个案研究一青浦实验的新世纪行动之四［J］上海教

育科研,2007(10):50

’阮晓明，王琴.高中数学十大难点概念的调查研究［J］.数学教育学报,2012,21(5):29

海市教育委员会编.上海市中小学数学课程标准(试行稿).上海：上海世纪出版集团上海教育出版社，2004(10)

第2版：77

函数是三角函数的反函数，故反三角函数必遵循反函数的理论。为此先要

对反函数的概念必须有清晰的认识和理解,基本要素包括定义域、值域,对

应法则等互相对应,从而课题的引入、概念的产生应互相对照,互相印证。

反正弦函数本身的重要性也要求我们对其有必要进行透彻分析。首先,

反正弦函数是反三角函数单元学习的重点和难点。本节课与反函数的基本

概念、性质有着紧密的联系，通过对这一节课的学习，既可以让学生掌握

反正弦函数的概念，又可使学生加深对反函数概念的理解，而且为学习其

它反三角函数奠定了基础，起到承上启下的重要作用，《数学学科教学基本

要求》中提及“类比反正弦函数的研究过程能对反余弦函数与反正切函数

作研究”。其次，反正弦函数作为基本初等函数之一，对后继课程的学习有

着重要的作用！如最简三角方程通解的表达，立体儿何中角的确定，直线

倾斜角的确定等。特别是在反三角函数中，反正弦函数有着模本的作用，

这一节内容的顺利解决对后一节的反余弦和反正切函数奠定了扎实的学习

方法。

2反正弦函数的知识本质及知识间的联系

2.1反正弦函数定义的剖析

2.1.1定义的文本解读

上海教育出版社2008版教材在高一年级第二学期第108页中给反正弦

函数所下的定义为：函数）,=3门户』-2,2］的反函数叫做反正弦函数，记作

［22.

x=arcsiny。习惯上用x表示自变量，用y表示函数，所以反正弦函数写成

y=arcsinx的形式，其中定义域为［-1』，值域为。

人民教育出版社2000版教材中没有反正弦函数定义，但在高中数学必

修2第73页中在第4.11节“已知三角函数值求角”中有这样一段话：”在

闭区间工二］上，符合条件sinx=a（-1。＜1）的角x,叫做实数a的反正弦,

22

记做arcsino,B|Jx=arcsina其中XE-----，且。=$也%。”

9_22一

2.1.2几个相关概念溯源

2.1.2.1正弦函数

上海2008版教材在高一年级第二学期第81页中的描述为：

对于任意一个实数x都对应着唯一的角(在弧度制中其弧度数等于这个

实数X),而这个角又对应着唯一确定的正弦值sinx,这样，对于任意一个实

数x都有唯一确定的值sinx与它对应，按照这个对应法则所建立的函数，表

示为y=sinx,叫做正弦函数。

2.1.2.2反函数

上海2008版版教材在高一年级第二学期第13页中的描述为：

对于函数y=/(x)(xeA),设它的定义域为D,值域为A,若对于A中任意

一个值y,在D中总有唯一的x值与它对应，且满足y=/(x),这样得到的x关

于的函数叫做y=/(x)的反函数，记作x=/T(y)。在习惯上，自变量常用x表

示，而函数用y表示，所以把它改写为〉="|(了)(%€4)。

2.1.3定义的逻辑分析

上海版采用了定义方法中最常见的属加种差的定义法，作为种概念

的反正弦函数的邻近的属概念是反函数概念，种差有两个：①正弦函数；

②正弦函数中自变量的范围是I工，工。

一22_

从人教版中可以看出人教版已经淡化了反正弦函数，把函数的品种减

少了，把反正弦函数的工具作用保留了下来。

2.2反正弦函数概念的表征分析

现代认知心理学认为，要更好的进行数学概念教学首先应该了解数学概

念是如何在学生头脑中记载和呈现的，这就是常说的数学概念的表征。郑

毓信、梁贯成（1998年）曾指出：“概念的正确理解无非就是指建立了‘恰当

的‘心理表征”。数学概念表征的建立是一种个性化的复杂的心理过程，反

正弦函数概念在学生头脑中的记载和呈现方式主要有三种。

一是符号表征：反正弦函数的符号表征为y=arcsinx,xe[-l,l]。这是一个

与初中所学的几类函数（一次函数、二次函数、反比例函数）形式上有很

大不同的函数解析式，类似于对数函数。

二是图形表征：反正弦函数的图形表征

分为两种，一种利用它与y=sinx,xG1的

L22]

互为反函数关系得到反正弦函数的图像是函

数八sinx,xj-生目的图像关于直线1对称

L22_

的图像，是一段曲线；另一种是在上一种的

基础上直接记忆图像（右图）。

三是函数机器表征：将反正弦函数看成是一台机器，它将内的实

数变换为Y，与内的角。

L22J

3反正弦函数学习经验和困难分析

3.1反正弦函数学习经验分析

3.1.1概念的发展简史

因为反正弦函数的重要作用是对角的表示，所以追根溯源离不开三角

学，三角学起源于天文、测量、航海等实际需要。

三角学的发展阶段：

（1）远古〜10世纪

用于测量三角学范围内的一些问题：

如在公元前3000年的古埃及建造金字塔、丈量耕地；公元前600年左右希

腊数学家泰勒斯利用相似三角形原理测量金字塔的高；公元前100多年的

我国《周髀算经》中记录人们用矩测高望远。这些测量角的事实就是反三

角函数的雏形。

(2)11世纪〜18世纪

三角学脱离天文学，独立成为数学的一个分支，开始出现“三角函数”

的定义，为出现“反三角函数”提供了可能。

(3)18世纪以后

三角学研究范围扩大，研究三角函数的主要对象，反三角函数也正式产

生。三角学曾属于分析学，现在属于儿何学，源于角是儿何图形。其中，

正弦函数是最重要也是最古老的一种三角函数。而反三角函数符号的创用

说法很多,如有书说1729年丹尼尔(B.Daniel,1700^1782)采用“As”表

示反正弦；1776年瑞士的兰伯特(J.H.Lambert,1728-1777)用“arc・sin”

表示反正弦，后来去掉中间的“-”便成了“arcsin”沿用下来。又有书

说“arcsin”是法国数学家拉格朗日于1772年引进的。还有书说，1813年

英国的赫谢尔(W.Herschel,1792〜1891)创用“sinh”，后被英美派采用，

我国采用我resin”。

3.1.2学生已有的相关经验

在反正弦函数概念教学之前，教师有必要了解学生在学反正弦函数概

念之前已有的知识和经历。认知理论认为这是影响反正弦函数概念学习最

重要的因素。

(1)函数概念：反正弦函数本身是一种函数，所以函数概念的掌握与

否关系重大。

(2)正弦函数：因为反正弦函数是正弦函数的反函数，所以对正弦函

数的概念和性质应该掌握。

(3)反函数概念和性质：反正弦函数的研究特别是性质基本依赖于先

前已学的反函数知识。

(4)计算器的使用：学生在学习锐角三角比时对特殊角的三角比值的

记忆已经转为利用计算器验证。

3.2反正弦函数学习障碍分析

数学概念理解障碍，是指学习者在数学概念时不能顺利进行描述、说

明、表达、推测、想象、比较、判别和初步应用等活动的一种状态。

学生在反正弦函数概念学习中易发生的主要障碍有：

(1)引入反正弦函数概念时的障碍

事实上，反正弦函数这个名称就会让学生产生误解，当教师一开始问

正弦函数有没有反函数时，有学生会毫不犹豫地回答：“有”，因为他想今

天要学的不就是“反"正弦函数吗。另外一个让学生如此轻率回答的重要

原因是学生对反函数的概念原本就理解得不透彻。

(2)理解反正弦函数符号时的障碍

在学生的心目中，反函数是用反解的方法求得的，但正弦函数无法用

反解的方法求其反函数，只能是规定，而且表示符号又是全新的。

(3)反正弦函数与三角函数概念混淆时产生障碍

学生易犯的通病，是受定势思维的负面影响，正弦函数的图像已深深

地映在学生脑海中，所以把反正弦函数与正弦函数混淆，分不清反三角函

数的定义域、值域以及自变量的取值与反三角函数值的对应关系。忽视、

遗忘主值区间的情况十分常见。

(4)作反正弦函数图像时的障碍

大部分学生知道利用反函数的性质：互为反函数的两函数图像关于直

线y=x对称来作出反正弦函数图像，但在作的时候会不注意两函数图像与

直线y=x的相对位置，画成有三个交点的情况。

4反正弦函数的教学方法和策略分析

4.1"反正弦函数”的知识呈现与教材分析

4.1.1课本内容结构体系

反正弦函数------>反正弦函数的运用

4.1.2课本内容具体编排

“反正弦函数”上海版教材是安排在高一数学第六章《三角函数》中,

教材(P105-P108)编排是:

(1)复习一个函数有反函数的条件

(2)分析正弦函数没有反函数

(3)说明正弦函数在，々工|有反函数

(4)给出反正弦函数的定义和图像、性质、恒等式

(5)例1：求反正弦函数的值(3个小题)

(6)例2：用反正弦函数值的形式表示下列各式中的x(3个小题)

(7)例3:化简下列各式(3个小题)(形如arcsin(sinx))

(8)练习共4题

①求值(反三角函数值)

②已知正弦值，求角

③判断命题真假

④求值(形如arcsin(sinx))

(9)习题

A组6题

①求值(反三角函数值)

②用计算器求值(反三角函数值)

③用反正弦函数值的形式表示各式中的x

④求值(形如sin(arcsinx))

⑤求值(形如arcsin(sinx))

⑥应用题

B组3题

①求函数定义域(形如y=arcsin(x-l))

②求值(与反余弦函数的综合题)

③证明题(与反余弦函数的综合题)

4.1.3对课本编排的理解

课本在一开始复习反函数的概念,意图是为说明定义在R上的正弦函数

不存在反函数作准备；接着说明正弦函数在有反函数，但未说明为

_22.

何取工工］;之后给出反正弦函数的概念、图像和性质以及三种例题，课

一22_

本的知识都是静态的，其中的隐性知识、隐性问题都没有呈现。

4.2反正弦函数的教学方法与策略

知识是静态的，认识是动态的，学科教学认识是教师对教学法、学科

内容、学习特征和学习情境等四个构成因素的综合理解，总是处于连续的

发展过程中，随着学科教学认识的发展，教师能够依据他们的理解为学科

中的特定内容创造教学策略，帮助学生在既定的情境中构建最有效的理解。

(1)针对反正弦函数概念名称本身的误导的教学策略——上位概念的

回忆与强调。尽管课本一开始这里复习了反函数的概念，有的学生对知识

的理解是机械的，这就要教师帮助学生再回忆、教师再强调反函数概念，

特别是“一一对应:另外，反函数是实数间的对应关系，而反正弦函数初

步理解是实数与角的对应关系，学生可能有点转不过弯，这就需要教师强

调“反正弦函数是实数与角的对应关系”，以后再深化为反正弦函数其实还

是实数与实数的对应。

(2)针对理解反正弦函数符号时的障碍的教学策略——类比已学记号

和介绍历史渊源。"arcsinx”这个记号与“log/”一样都是数学家为了表达

方便创造出来的，很多学生一开始会对此莫名其妙，他们会觉得还不如用

“si/x”好理解，其实欧美国家采用的就是“si/x”，我们的计算器上也

是用了这个记号，事实上这只是代号，用哪一个并不重要，但是因为我国

教材采用的是“arcsinx"，所以我们就以教材为本，尊重教材为先，而且

“arcsinx”其实也是有它的道理的，arcsin中sin是正弦，arc是什么意思呢?

arc并不是“反”的意思，它是英文单词，解释为“圆弧”，圆弧即圆周上

的一段，那么圆弧/与圆心角a有什么关系呢？l=ar,在单位圆中r=1,即

l=a,所以此时弧即角，角即弧。我们可以将〃c理解作角，所以arcsin从字

面上理解就是正弦值为y所对应的角，因此用arcsinx记反正弦函数是有道理

的，用这样的数学历史来解释，学生也易于理解，易于接受。另一个解决

办法可以联系旧知识，见4.3教学参考案例。

(3)针对反正弦函数与三角函数概念混淆的教学策略——设计例题对

照。通过设计两种函数的求值问题，让学生自己分辨模型。课本的例1中

仅求反正弦三角函数值，教师可以在其中插入求正弦值的题，及时让学生

灵活转换正弦函数值和反正弦函数值。

(4)针对作反正弦函数图像出现的问题的教学策略——多媒体辅助和

前期教学准备。可以让学生描多点来作出较为正确的图像，但是动手描点

也有局限性，教师可以采用多媒体辅助示范。兀Ayy=arcsinX

这里值得一提的是，产sinx,xe]。,'的图像必I-ZA=sinx

在直线y=x的下方是在课本的配套练习册__________/.，,

7°1i,

《数学练习部分高中一年级第二学期(试用

本)》的第五章《三角比》内P32的复习题B/[

组第一题中具体填表已经研究过，在此练习

册的第六章《三角函数》的P40页习题6.2的B组第二题也用三角函数证

明了。

4.3教学参考案例

(1)教学目标：

1.经历在正弦函数的某个单调区间上建立反三角函数的过程；

2.理解反正弦函数的概念，知道它的图像与性质；

3.会用反正弦函数的值表示角的大小；

4.在问题解决的过程中渗透数形结合等思想。

(2)教学重点：反正弦函数的概念与性质。

(3)教学难点：反正弦函数的概念、反正弦的符号、用反正弦函数的值表

示角的大小。

(4)教学过程：

教学过程设计意图

引入提问此处引例就是一个旧知，

1、引例：若sinx=Lxe0,-，求x.学生很容易解答，而变式题对

2L2_

于用惯计算器的学生来说，自

2、变式：若上题中“sinx=L”改为

2然而然使用计算器来解决，当

“sinx=那么X的值是什么？

3老师提醒：如果要求不能是近

3、正弦函数有没有反函数？为什么？

似值，而是要精确值呢？学生

4、如何限制正弦函数的定义域，使其

们都不知怎么办了，这里就是

存在反函数？

利用旧知识来引入，目的引起

5、为什么选择这个区间？可以选别的

知识需要，激发学生的求知

区间吗？

欲。

二、反正弦函数的概念

函数产sinx,xj-工二]的反函数叫做

_22.

反正弦函数，记作y=arcsinx,xe[-1,1],它

的值域为「工,工。

L22J

（说明1>arcsinx一个整体的符号，

2、arcsinx的意义。）

此处引入arcsinx时，把对

师：当我们学习指数函数的反函数的时候,

对于y想用y的表达式来表示x时，数函数记号插入进来让学生

当初是怎么写的？感觉新记号不可怕，原来它的

生：x=意义与已经学过的记号是一

师：对，那时我们就是创用了一个记号样的，这样从心理上认可了新

logX,它与/互为逆运算；现在这个

a记号：既然能学好对数记号，

arcsinx与sinx也是一样。arcsinx是一个整

这个记号也不难。

体，表示一个角，这个角的正弦值是X,而

口7C71

一旦XG----,一•

L22J

师：那么x)=?

生：sin(arcsinx)-x,而且xe----

_22.

师：这个记号与其逆运算结合在一起感觉

是“无效”了，那我们还有没有学过类似此处在老师的提示下让

的结论。学生联想有关对数的两个恒

生：⑴a'=-x(x>0)等式，在老师的进一步点拨与

师：上述恒等式都是〃尸的特例

=x小结下，学生还能创造出新的

生：老师，那还有：arcsin(sinx)-x

恒等式，学生很有成就感；当

师：很好，但是有些恒等式要注意恒等范

然在一番满足之后老师提出

围，怎样的角x经过正弦运算、再经过反正

恒等范围问题，让学生体会到

弦运算最终是本身？

生：(经过思考和讨论后认定)数学的创造还需数学的严谨

精神，从而对这一恒等式的注

arcsin(sinx)=x9

意点印象深刻。

例1、(口答)求值：

(2)arcsin出

(1)arcsin—(3)arcsin0

22

(4)arcsin1(6)arcsin41

三、反正弦函数y=arcsinx,xe[-1,1]的图

像与性质此处不用老师提醒，学生

T71

1、利用它与丁=5布工，XG的图像关很自然地运用反函数知识研

于直线y=x对称得到y=arcsin工的图像。究反正弦函数，说明运用已知

71兀的密切的相关知识是学生的

2^定义域：xe[-l,l]；值域:；

ye一展5

本能，老师的作用应该是提醒

3、奇偶性：奇函数（关于原点对称），即

学生那些不易察觉的旧知。

仕思xG[-1,1],arcsin(-x)=-arcsinx;

4、单调性：在xw[-1』内递增。

5、恒等式：

(1)sin(arcsinx)=x[T'l]

1i

_

_

_

*、_

_

(2)arcsin(sinx)=x1||_

9xe_

_

_

122I_

四、反正弦函数知识的运用

例2：用反正弦函数值的形式表示下列各式

中的X：

717C

(1)sinx=-,xG

3L22.

师：我们学习反正弦函数最大的用处是什

么？（回到引例变式）可以精确表示非特

殊角。这里的X表示什么

7171

生：此题的X表示在内的正弦值是

_2'2J

押角。

师：那么如何表示其精确值？虽然学好了反正弦函数

（此时有的学生已经能够说出正确答案的概念与性质，但学生的实际

应用才刚刚碰到，要达到真正

x=a心，3,有•的自;在疑惑，基于;这种