备战2024年高考数学一轮复习4.5导数的综合运用(精练)(原卷版+解析)

4.5导数的综合运用（精练）（提升版）题组一题组一零点个数1．（2022·山东·烟台二中）已知函数．(1)讨论的零点个数．(2)若有两个不同的零点，证明：．2．（2022·河南·长葛市）已知函数，．(1)当a＝2时，求曲线在处的切线方程；(2)讨论关于x的方程的实根个数．3．（2022·天津·二模）设函数为的导函数.(1)求的单调区间；(2)讨论零点的个数；(3)若有两个极值点且，证明：.题组二题组二已知零点个数求参1．（2022·河南濮阳·一模（文））已知函数．(1)讨论函数的单调性；(2)已知且关于x的方程只有一个实数解，求t的值．2．（2022·山东日照·三模）已知函数．(1)当时，求函数的单调区间；(2)当时，讨论的零点个数．3．（2022·四川成都·模拟预测（理））已知(1)当时，求的单调性；(2)讨论的零点个数．题组三题组三不等式恒（能）成立1（2022·安徽·合肥一六八中学模拟预测（文））已知函数.(1)若，求曲线在点处的切线方程；(2)若当时，恒成立，求a的取值范围.2（2022·江西）函数的图像与直线相切.(1)求实数a的值；(2)当时，，求实数m的取值范围.3（2022·辽宁·鞍山一中模拟预测）已知函数，函数．(1)求函数的单调区间．(2)时，不等式恒成立，求实数的取值范围．4．（2022·陕西·西北工业大学附属中学模拟预测（理））已知函数（，且）(1)求函数的单调区间；(2)若对、，使恒成立，求的取值范围.5．（2022·北京八十中模拟预测）已知函数.(1)当时，求函数在处的切线方程；(2)求函数的单调区间；(3)若对任意，都有成立，求实数a的取值范围.6．（2022·海南海口·二模）已知函数，．(1)若，求的最小值；(2)若当时，恒成立，求a的取值范围．7．（2022·山东烟台·三模）已知函数（）.(1)证明：当时，函数存在唯一的极值点；(2)若不等式恒成立，求的取值范围.8．（2022·新疆克拉玛依·三模（文））已知函数，.(1)求函数的单调递增区间；(2)若对任意，不等式恒成立，求的取值范围.题组四题组四证明不等式1．（2022·河南·高三阶段练习（理））已知函数，．(1)求函数的单调区间；(2)若方程的根为、，且，求证：．2．（2022·山东·模拟预测）已知函数，其中.(1)求函数的单调区间；(2)当时，①证明：；②方程有两个实根，且，求证：.3．（2022·全国·高三专题练习）已知函数．(1)求的最小值，并证明方程有三个不等实根；(2)设(1)中方程的三根分别为，，且，证明：．4．（2022·湖南·长沙一中一模）已知函数．（）在处的切线l方程为．(1)求a，b，并证明函数的图象总在切线l的上方（除切点外）；(2)若方程有两个实数根，．且．证明：．5．（2022·全国·高三阶段练习（理））已知函数（，e为自然对数的底数）．(1)求函数的极值；(2)若方程在区间内有两个不相等的实数根，证明：．4.5导数的综合运用（精练）（提升版）题组一题组一零点个数1．（2022·山东·烟台二中）已知函数．(1)讨论的零点个数．(2)若有两个不同的零点，证明：．【答案】(1)答案见解析(2)证明见解析【解析】(1)因为，所以1不是的零点．当，可变形为，令，则的零点个数即直线与图象的交点个数．因为，，得，又，所以在上单调递减，在上单调递增．因为，且当时，，所以当时，没有零点；当时，有一个零点；当时，有两个零点．(2)证明：由（1）知，当时，有两个零点．设，则，由得，所以，即．令，则，易得在上单调递减，在上单调递增．要证，即证．因为，且在上单调递增，所以只需证．因为，所以即证．令，则，所以在上单调递减．因为，所以．因为，所以，故．2．（2022·河南·长葛市）已知函数，．(1)当a＝2时，求曲线在处的切线方程；(2)讨论关于x的方程的实根个数．【答案】(1)(2)答案不唯一，具体见解析【解析】(1)当a＝2时，，，则切线的斜率为，又，所以曲线在处的切线方程是，即．(2)即为，化简得，令，则，令，则，令，得．当时，，即在上单调递增；当时，，即在上单调递减．①当时，，即，所以在R上单调递减．又，所以有唯一零点0；②当时，，，所以存在，，又，令，，所以在上单调递减，，即，所以存在，，xnm－0＋－单调递减单调递增单调递减则，又，所以存在，；同理，，又，所以存在，，由单调性可知，此时有且仅有三个零点0，，．综上，当时，有唯一零点，方程有唯一的实根；当时，有且仅有三个零点，方程有3个实根．3．（2022·天津·二模）设函数为的导函数.(1)求的单调区间；(2)讨论零点的个数；(3)若有两个极值点且，证明：.【答案】(1)单调递增区间为，单调递减区间为．(2)答案见解析(3)证明见解析【解析】(1)解：因为，所以．

即，，则．当时，，单调递增；当时，，单调递减．所以的单调递增区间为，的单调递减区间为．(2)解：由（1）得，．当时，，则在上无零点．当时，，则在上有一个零点．当时，，因为，，，所以，，，故在上有两个零点．综上，当时，在上无零点；当时，在上有一个零点；当时，在上有两个零点．(3)证明：由（2）及有两个极值点，且，可得，在上有两个零点，且．所以，

两式相减得，即．因为，所以．下面证明，即证．令，则即证．令，，则，所以在上单调递增，所以，故．又，所以，故．题组二题组二已知零点个数求参1．（2022·河南濮阳·一模（文））已知函数．(1)讨论函数的单调性；(2)已知且关于x的方程只有一个实数解，求t的值．【答案】(1)当时，在上单调递增；当时，在上单调递减，在上单调递增．(2)2【解析】(1)的定义域为，，当时，，则函数在上单调递增．当时，令，解得当时，，则在上单调递减；当，，则在上单调递增．(2)关于x的方程只有一个实数解，即只有唯一正实数解．设，则，令，，因为，，解得（舍去），，当时，，则在上单调递减；当时，，则在上单调递增，所以的最小值为．要使得方程只有唯一实数解，若，则，即，得，因为，所以．设，恒成立，故在上单调递减，至多有一解．又因为，所以，即，解得．若，由上得，，又，，，，令，在上，单增，故，即，故，即在各存在一个零点，不合题意.综上：.2．（2022·山东日照·三模）已知函数．(1)当时，求函数的单调区间；(2)当时，讨论的零点个数．【答案】(1)单调递减区间是，单调递增区间是(2)答案见解析【解析】(1)当时，，则，当时,恒成立，所以当时，单调递减；当时单调递增，即的单调递减区间是，单调递增区间是．(2)由题意，函数，设，则，当时，，单调递减；当时，，单调递增，又由，所以，令，可得，所以，其中，令，可得，令，则，可得时，单调递减；时，单调递增；所以，即时，恒成立；故时，单调递减；时，单调递增；所以﹐又由时，，当时，，函数的图象，如图所示，结合图象可得：当时，无零点；当或时，一个零点；当时，两个零点．3．（2022·四川成都·模拟预测（理））已知(1)当时，求的单调性；(2)讨论的零点个数．【答案】(1)在上单调递减，在上单调递增；(2)当，0个零点；当或，1个零点；，2个零点【解析】，求出函数的导函数，即可得到函数的单调性，从而得到函数的图象，数形结合即可得解；(1)因为，，所以，令，，所以在单增，且，当时，当时，所以当时，当时，所以在单调递减，在单调递增(2)解：因为令，易知在上单调递增，且，故的零点转化为即，当时无解，当时，令，，，所以当时，当时，所以在上单调递增，在上单调递增，所以的大致图象如下：①当即时，与没有交点，故函数有0个零点；②当或即或时，与有个交点，故函数有1个零点；③当即时，与有个交点，故函数有2个零点；综上：当时，0个零点；当或时，1个零点；时，2个零点；题组三题组三不等式恒（能）成立1（2022·安徽·合肥一六八中学模拟预测（文））已知函数.(1)若，求曲线在点处的切线方程；(2)若当时，恒成立，求a的取值范围.【答案】(1)(2)【解析】(1)因为，所以又，所以切线方程为，即(2)由知，因为所以，当时，，当时，，当时，构造函数，当时，，单调递增，当时，，单调递减，故时，，因此当，单调递减，当时，，单调递增，故时，，因此综上：2（2022·江西）函数的图像与直线相切.(1)求实数a的值；(2)当时，，求实数m的取值范围.【答案】(1)1；(2).【解析】(1)，设切点为，所以有，因为是切线，所以有，设，显然当时，单调递增，所以有，当时，，所以无实数根，因此当时，方程有唯一实数根，即，于是有，因此有；(2)令，则在恒成立.若，即时，当时，由得，所以在单调递增，又，所以在恒成立；当时，所以.所以在恒成立.若即时，，则存在，使得在单调递减，则当时，矛盾，舍综上所述，的取值范围时.3（2022·辽宁·鞍山一中模拟预测）已知函数，函数．(1)求函数的单调区间．(2)时，不等式恒成立，求实数的取值范围．【答案】(1)的单调递增区间为，单调递减区间为；(2).【解析】(1)解：，令，则，当且仅当，时等号成立，∴在上单调递增，即在上单调递增．∵，∴时，，时，，∴的单调递增区间为，单调递减区间为．(2)解：时，恒成立，，，，时，，∴在上单调递增，∵，若，时，，∴在上单调递增，∴时，，∴在上单调递增，∴时，恒成立；若，∵，∴，∴，，，∴在有唯一解，设为，且，当时，，∴在上单调递减，∴时，，∴在上单调递减，∴与恒成立矛盾，舍去．综上，实数的取值范围是．4．（2022·陕西·西北工业大学附属中学模拟预测（理））已知函数（，且）(1)求函数的单调区间；(2)若对、，使恒成立，求的取值范围.【答案】(1)单调递增区间为，单调递减区间为(2)【解析】(1)的定义域为,（，且）显见，.①当时，，.若，则，，得.于是，.若，则，，得，于是，∴当时，,即在上单调递增②当时，，若，则，，得.于是，若，则，，得，于是，∴当时，.即在上单调递减综上得，的单调递增区间为，单调递减区间为(2)对、，使恒成立，即对，成立.由（1）知在上单调递减，在上单调递增，得为和中的较大者.，，设，（仅当时取等号）.∴在上单调递增，在上也单调递增.注意到∴当时，，；当时，①当时，即，得②当时，即（*）设，在上单调递增.∴当时，.不等式（*）无解综上所述，对、，使恒成立时，的取值范围为5．（2022·北京八十中模拟预测）已知函数.(1)当时，求函数在处的切线方程；(2)求函数的单调区间；(3)若对任意，都有成立，求实数a的取值范围.【答案】(1)；(2)答案见解析；(3)【解析】（1）由题设，且，则，所以，，故在处的切线方程为.(2)由且，当时，即在定义域上递减；当时，在上，递减，在上，递增，综上，时递减；时在上递减，上递增.(3)由（2），时递减且值域为，显然存在；时，的极小值为，当，即时，在上递减，上递增，只需，可得；当，即时，在上递增，则恒成立，满足题设；综上，a的取值范围为.6．（2022·海南海口·二模）已知函数，．(1)若，求的最小值；(2)若当时，恒成立，求a的取值范围．【答案】(1)1(2)【解析】(1)当时，，所以，易知单调递增，且，当时，，当时，，所以在上单调递减，在上单调递增，所以的最小值为．(2)设，由题意对任意恒成立．，若，则，则存在，使得当时，，所以在上单调递减，故当时，，不符合题意．若，由知当时，，所以，当时，，因此在上单调递增．又，所以当时，．综上，的取值范围是．7．（2022·山东烟台·三模）已知函数（）.(1)证明：当时，函数存在唯一的极值点；(2)若不等式恒成立，求的取值范围.【答案】(1)证明见解析(2)【解析】(1)函数的定义域为，.令，，则，因为，所以，，当时，在上恒成立，所以函数在上单调递增，由.又当时，，所以，存在唯一的，使得，当时，，即，所以函数在上单调递减，当时，，即，所以函数在上单调递增.所以函数存在唯一的极值点.(2)不等式恒成立，即在上恒成立.令，，所以，所以在上单调递增，又，则时有.所以，当时，恒成立，即，则有.令，则当时，，单调递增；当时，，单调递减，则在时取得最小值则（当且仅当时取等号）.令，则当时，，单调递增；当时，，单调递减，则在时取得最小值则（当且仅当时取等号）.因为，当时，，（当且仅当时取等号）.令，当时，，所以即在上单调递增，且，，所以，使，即，即，所以，当时，，单调递减；当时，，单调递增，所以，.所以，的取值范围为.8．（2022·新疆克拉玛依·三模（文））已知函数，.(1)求函数的单调递增区间；(2)若对任意，不等式恒成立，求的取值范围.【答案】(1)(2)【解析】(1)定义域为，即解得所以在单调递增(2)对任意，不等式恒成立，即恒成立，分离参数得.令，则．当时，，在上单调递减；当时，，在上单调递增.所以，即，故a的取值范围是.题组四题组四证明不等式1．（2022·河南·高三阶段练习（理））已知函数，．(1)求函数的单调区间；(2)若方程的根为、，且，求证：．【答案】(1)单调递减区间为，无单调递增区间；(2)证明见解析【解析】(1)解：因为，，所以定义域为，，所以在上单调递减，即的单调递减区间为，无单调递增区间；(2)证明：，，当时，当时所以在上是单调递减，在上单调递增，则，当时，，所以，且，当时，，所以，即，设直线与的交点的横坐标为，则，下面证明当时，，设，，则，当时，，当时，，所以在上是减函数，在上增函数，又因为，，所以当时，，，故当时，，设直线与的交点的横坐标为，则，所以，得证．2．（2022·山东·模拟预测）已知函数，其中.(1)求函数的单调区间；(2)当时，①证明：；②方程有两个实根，且，求证：.【答案】(1)单调递减区间为，单调递增区间为(2)①证明见解析；②证明见解析【解析】(1)解：函数的定义域为，函数的导数，解得，所以当时，此时，函数单调递减区间为，所以当时，此时，函数单调递增区间为，所以函数单调递减区间为，单调递增区间为.(2)当时，①要证不等式成立，即证明成立.即证明成立.令当时，此时，当时，此时，所以在单调递减，在单调递增所以最小值为，恒成立，即恒成立得证.②由①得恒成立，即直线始终在曲线下方或有唯一切点，又结合（1）可知单调递减区间为，单调递增区间为，所以当时取最小值，且当时，；当时，；当时，.所以方程有两个实根，则，且.由直线与联立解得交点的横坐标，显然因此，要证，只要证即可即证，即证即可又因为，所以只要证令恒成立所以在单调递增，即所以得证，原命题得证.3．（2022·全国·高三专题练习）已知函数．(1)求的最小值，并证明方程有三个不等实根；(2)设(1)中方程的三根分别为，，且，证明：．【答案】(1)最小值为，证明见解析；(2)证明见解析．【解析】(1)∵，∴当时，，单调递减；当时，，单调递增，故的最小值为．设，则方程变形为f(m)=m，即f(m)-m=0，令，，则，由得．因此，当时，，单调递减；当时，，单调递增．由于，故，又由，由零点存在定理，存在，使得，∴有两个零点1和，方程f(m)=m有两个根和，则如图，时，因为，故方程有一个根，下面考虑解的个数，其中，设，结合的单调性可得：在上为减函数，在上为增函数，而，，，故在上有且只有一个零点，，设，故，故即，而，故在上有且只有一个零点，故有两个不同的根、且，即方程共有三个不等实根；(2)由(1)知，且满足，，令，，则，令，则．当时，，单调递减，又∵，∴当时，，，单调递减，∵，∴，即．∵，∴，又∵，∴．∵，，而在单调递减，∴．即，故，原命题得证．4．（2022·湖南·长沙一中一模）已知函数．（）在处的切线l方程为．(1)求a，b，并证明函数