新教材同步备课2024春高中数学微专题强化练2球的切接问题新人教A版必修第二册

微专题强化练(二)球的切、接问题一、选择题1．一个底面积为1的正四棱柱的顶点都在同一球面上，若此球的表面积为20π，则该四棱柱的高为()A．3 B．2C．32 D．192．已知直三棱柱ABC-A1B1C1的底面为直角三角形，且两直角边长分别为1和23，此三棱柱的高为3，则该三棱柱的外接球的体积为()A．8π3C．32π33．圆柱内有一个球O，该球与圆柱的上、下底面及母线均相切，已知圆柱的体积为16π，则球O的体积为()A．32π3C．16π D．12π4．底面半径为3，母线长为2的圆锥的外接球O的表面积为()A．6π B．12πC．8π D．16π5．(多选)设一空心球是在一个大球(称为外球)的内部挖去一个有相同球心的小球(称为内球)，已知内球面上的点与外球面上的点的最短距离为1，若某正方体的全部顶点均在外球面上、全部面均与内球相切，则()A．该正方体的棱长为2B．该正方体的体对角线长为3＋3C．空心球的内球半径为3－1D．空心球的外球表面积为(12＋63)π二、填空题6．已知A，B是球O的球面上两点，∠AOB＝90°，C为该球面上的动点，若三棱锥O-ABC体积的最大值为36，则球O的表面积为________．7．若圆锥的高等于其内切球半径长的3倍，则圆锥侧面积与球的表面积的比值为________．8．在封闭的直三棱柱ABC-A1B1C1内有一个体积为V的球．若AB⊥BC，AB＝6，BC＝8，AA1＝3，则V的最大值是________．9．阿基米德的一个重要数学成就是“圆柱容球”定理：即在带盖子的圆柱形容器(容器的厚度忽视不计)里放一个球，该球与圆柱形容器的两个底面和侧面都相切，则球的体积是圆柱形容器的容积的23，并且球的表面积也是圆柱形容器的表面积的23．则该圆柱形容器的容积与它的外接球的体积之比为三、解答题10．求正四面体的内切球、棱切球(与各条棱均相切的球)及外接球的半径之比．微专题强化练(二)1．C[设球的半径为R，则4πR2＝20π，解得R2＝5．设四棱柱的高为h，则h2＋1＋1＝4R2，解得h＝32．故选C．]2．C[由题意，将直三棱柱ABC-A1B1C1补成长方体，如图所示，则该长方体的体对角线为232+设长方体的外接球的半径为R，则2R＝4，R＝2，所以该长方体的外接球的体积V＝43πR3＝323．A[设球O的半径为R，则圆柱的底面圆的半径为R，高为2R，所以πR2·2R＝16π，解得R＝2，则球O的体积为43πR3＝323π4．D[由圆锥的底面半径为3，母线长为2，可求得其轴截面的顶角为2π3．设该圆锥的底面圆心为O1，其半径为r，球O的半径为R，则O1O＝|R－1|，R2＝O1O2＋r2＝(R－1)2＋(3)2，解得R＝2，所以球O的表面积为4πR25．BD[设内、外球半径分别为r，R，则正方体的棱长为2r，体对角线长为2R，∴R＝3r，又由题知R－r＝1，所以r＝3+12，R＝∴正方体棱长为3＋1，体对角线长为3＋3，∴外接球表面积为π(3＋3)2＝(12＋63)π．故选BD．]6．144π[如图所示，当点C为垂直于平面AOB的直径端点时，三棱锥O-ABC的体积最大．设球O的半径为R，此时VO-ABC＝VC-ABO＝13×12×R2×R＝16R3＝36，解得则球O的表面积为4πR2＝144π．]7．32[设球的半径为r，则圆锥的高为3r，设圆锥的底面圆的半径为R设球心为点O，在Rt△AOM中，∠AMO＝90°，OM＝r，AO＝AH－OH＝2r，sin∠OAM＝OMAO＝1∴∠OAM＝30°，∴R＝AH·tan∠OAM＝3r，则AB＝2R＝23r，则圆锥的侧面积为S1＝πR·2R＝π×3r×23r＝6πr2，球O的表面积为S2＝4πr2，因此，圆锥的侧面积与球的表面积的比值为S1S2＝68．9π2[当球的半径最大时，球的体积最大，即在直三棱柱内，当球和三个侧面都相切时．因为AB⊥BC，AB＝6，BC＝8，所以AC＝10，底面的内切圆的半径即为此时球的半径r＝6+8-102＝2，直径为4大于侧棱．所以球的最大直径为3，半径为39．32∶8[设圆柱形容器里的球的半径为r，则圆柱形容器的底面半径为r，圆柱形容器的高h＝2r，则圆柱形容器的外接球的半径R＝2r22+r则圆柱形容器的容积为V1＝πr2·2r＝2πr3，它的外接球的体积为V2＝43π(2r)3＝823π则该圆柱形容器的容积与它的外接球的体积之比为V1V2＝210．解：设正四面体的棱长为1，外接球和内切球半径分别为R，r．如图所示，D为AB的中点，SE⊥CD，则线段SE为正四面体SABC的高，且SE＝SD2-DE2＝322-362＝63