新高二数学12讲讲义（原卷版）

第1讲空间向量及其运算

新课标要求

1.经历由平面向量推广到空间向量的过程，了解空间向量的概念。

2.经历由平面向量的运算及其法则推广到空间向量的过程。

3.掌握空间向量的线性运算。

4.掌握空间向量的数量积。

知识梳理

1.空间向量的概念

与平面向量一样，在空间，我们把具有大小和方向的量叫做空间向量，空间向量的大小叫做空间向量的长

度或模，空间向量用字母4c...表示.

2.几个常见的向量

零向量长度为0的向量叫做零向量

单位向量模为1的向量叫做单位向量

相反向量与向量a长度相等而方向相反的向量，叫做a的相反向量，记做也

共线向量如果表示若干空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，那么这些向

量叫做共线向量或平行向量。我们规定：零向量与任意向量平行.

相等向量方向相同且模相等的向量叫做相等向量

3.向量的线性运算

交换律：a+b-b+a

结合律：a+(b+c)=(a+A)+c;4(〃a)=(〃/)a；

分配律：(A+//)a=Aa+/za;A(a+b)=Aa+Ab.

4.共面向量

平行于同一平面的向量，叫做共面向量.

5.空间向量的数量积

a-6=|«||Z>|cos<a,b>

零向量与任意向量的数量积为0.

名师导学

知识点1空间向量的有关概念

【例1T］（咸阳期末）已知正是空间的一个单位向量，则过的相反向量的模为（）

A.1B.2C.3D.4

【变式训练1-1】（龙岩期末）在平行六面体一小巴。1。1中，与向量五方相等的向量共有（）

A.I个B.2个C.3个D.4个

知识点2空间向量的线性运算

【例2-1］（泰安期末）如图所示，在长方体ABCD-43。山|中，。为AC的中点.

。）化简：初一;初一：初=；

（2）用抽，五方，衣表示时，则宓=________

【例2-2】（河西区期末）在三棱锥。一48。中，或=下，了，觉=飞,。为BC的中点，则

初=（）

A.4-+2^>B.-27t+T

C.^+：号+：君D.N一/一

【变式训练27】（东湖区校级一模）在空间四边形ABC。中，M,G分别是8C,C。的中点，则

M^-A^+A^=（）

A.2瓦B.3MSC.3前D.2M^

【变式训练2-2】（随州期末）如图，已知长方体—9，£>/,化简下列向量表达式，并在图中标

出化简结果的向量.

AB

(2)Z?+A3+W.

知识点3共面向量

【例37】（珠海期末）已知4,B,C三点不共线，点例满足3罚=捽+粹+网.

（1）而X，前X，丽日三个向量是否共面？

（2）点”是否在平面A8C内？

【变式训练3-1】（日照期末）如图所示，已知矩形ABCO和矩形4OEF所在的平面互相垂直，点M,N分

别在对角线BD,4E上，且=AN=1AE.

JJ

D

B

求证：向量丽ct）,无共面.

知识点4空间向量的数量积

【例47】（漂阳市期末）已知长方体ABCD—小BQiOi中，AB=AAl=2,AD=4,E为侧面ABi

的中心，尸为小功的中点•试计算：（1）配♦豆/；

⑵丽•两；

⑶够的.

【变式训练47】（兴庆区校级期末）如图所示，在棱长为1的正四面体A5CD中，E,尸分别是48,A。的

中点，求：

:A

C

（1廊•就

⑵融•或

⑶裾•虎;

(4)A§•.

名师导练

A组-［应知应会］

1.（台江区校级期末）长方体ABCD—4B1GR中，若池=37，五方=2了，词=5不，则存

等于（）

A.7+了+NB.+/+；耳

OZ0

C.37+2了+5万D.37+27-5^

2.（秦皇岛期末）若空间四边形0ABe的四个面均为等边三角形，则cos＜我动〉的值为（）

A.—B.C.—-D.0

222

3.（定远县期末）给出下列几个命题：

①向量过，7，N共面，则它们所在的直线共面；

②零向量的方向是任意的：

③若Z〃了，则存在唯一的实数入，使过=入了.

其中真命题的个数为（）

A.0B.1C.2D.3

4.（葫芦岛期末）在下列条件中，使M与A、B、C一定共面的是（）

A.0^1^2oA-oSB.0^=1^+弊+疑;

C.G+凝+就=7D.反+U2+加+历=6

5.（多选）（点军区校级月考）已知ABCO-A4G〃为正方体，下列说法中正确的是（）

A.（AN+A/+4瓦尸=3（A瓦『

B.而.（丽-即）=0

C.向量AO；与向量A1的夹角是60。

D.正方体A8CD-A与GR的体积为|A屏A<・AZj|

6.（都匀市校级期中）空间的任意三个向量。7，3W—2了，它们一定是向量（填"共面"或"不

共面"）.

7.（池州模拟）给出以下结论：

①两个空间向量相等，则它们的起点和终点分别相同；

②若空间向量过,了，满足同=|用，则过=了；

③在正方体AB。。一小中，必有而=前；

④若空间向量刀，不，了满足过=7?,讨=万，则布=下.

其中不正确的命题的序号为.

8.（未央区校级期末）0为空间中任意一点，A，B，C三点不共线，且一3一1—一，若P，

OP=-OA+-OB+tOC

48

A，B，C四点共面，则实数r=

9.（天津期末）在正四面体中，棱长为2,且E是棱AB中点，则尸巨小。的值为.

10.（三明期中）如图所示，在正六棱柱ABODE尸一4耳。1。1团风中・

（1）化简石月一前一瓦？+胡+囱+瓦工，并在图中标出表示化简结果的向量;

(2)化简瓦+取t+.+百百+4高，并在图中标出表示化简结果的向量•

11.(都匀市校级期中)如图所示，在四棱锥尸-4BCD中，底面ABCO为平行四边形，NZL4B=60。,

AB=2AD,P_D_L底面AB。。.求证：PA±BD.

12.(西夏区校级月考)如图所示，平行六面体ABCO-ABC〃中，E、F分别在瓦8和。。上，且

|BE|=^|BB,|.|E(F|=||DE>,|

(1)求证：A、E、G、F四点共面；

(2)EF=xAB+yAD+zAAt,求x+y+z的值.

B组-［素养提升］

1.（多选）（三明期中）定义空间两个向量的一种运算方笆）日=|初4b|sin<1,b>,则关于空间向量上述运

算的以下结论中恒成立的有（）

A.a®b—b®a

B.A（a®b）=（Aa）®b

C.（a+Z>）（8）c=（a0c）+0（8）c）

D.若&=（%,,y）,5=（*2，%），则不㊁石,内必-々MI

第2讲空间向量基本定理

新课标要求

了解空间向量基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解。

知识梳理

定理：如果三个向量a,5，c不共面，那么对空间任一向量p,存在有序实数组{x,y,z},

使得p=m+M+zc,其中{a,b,c}叫做空间的一个基底，a,b,c都叫做基向量.

名师导学

知识点1基底与基向量

【例1-1】有以下命题：①如果向量7与任何向量不能构成空间向量的一组基底，那么过，了的关系是

不共线；②。，4入。为空间四点，且向量成，质,历不构成空间的一个基底，则点0,45C一定共面；

③己知向量过，了,N是空间的一个基底，则向量/+7，W也是空间的一个基底•其中正确的

命题是（）

A.①②B.①③C.②③D.①②③

【变式训练1-1】已知向量{Z,万,N}是空间的一个基底，下列能构成空间的另一个基底的是（）

A.{H+N,N+Z,2Z—27}B.{/,m+N+Z,可+Z}

C.{/+N+/,2^+N,Z}D.{7?,V,27?+27）

知识点2空间向量基本定理及其应用

【例2-1】（龙华区校级期中）如图，在平行六面体ABCO-ABCIA中，M,N分别在面对角线AC,AC

上且CM=2A14,%N=2ND.记向量4片=4,4力=b,A4=C,用d,B,不表示MN.

B

【例2-2】如图所示，在平行六面体ABCD-A'B'C'D'中，力B=4,=3,4A=5，/LBAD=90°，

Z.BAA!=ZDAA'=60°.

⑴求的长；

⑵求就与前的夹角的余弦值•

【变式训练2-1】如图，四棱锥P一。48c的底面为一矩形，P。，平面。48C,设万l=a,OC=

b,OP=c,E,厂分别为PC和PB的中点，试用a,b,c表示而，BE,AE,EF.

【变式训练2-2】如图所示，已知空间四边形4BC。的每条边和对角线长都等于I,点E,F,G分别是AB,

AD,CD的中点.

••••zrD

⑴求通•前;

（2）求EG的长.

名师导练

A组-［应知应会］

1.若向量过，了，N是空间的一个基底，向量讯=Z+H，H=Z-7，那么可以与包，论构成空

间的另一个基底的向量是（）

A.WB.7C.WD.2淀

2.（东城区期末）在四面体A8CD中，点尸在AD上，且A尸=2田，E为8c中点，则E户等于（）

­.1—.1―.2—>―.1―.1__.2—•

A.EF=-AC+-AB一一ADB.EF=一一AC一一AB+-AD

223223

—.1―.1—.?—.—.1__.1―.?—•

C.EF=-AC——AB+-ADD.EF=一一AC+-AB一一AD

223223

3.（常泽期末）如图，已知正方体A8CD-A用GR中，点E为上底面AG的中心，若丽=丽.+14月+）咒方

则％+y=()

A-gB.1C1D.2

4.（济宁期末）如图所示，在平行六面体A88-44CQ中，"为AG与MR的交点，若

AB=a,AD=b,AA^=c,则CM，=()

11-11-

C.——d+—b-^-cD.——a——b+c

2222

5.（阳泉期末）如图，在四面体。4BC中,。是BC的中点，G是4）的中点，则06等于（）

1—,1—.1—.1—.1—.1—.

A.-OA+-OB+-OCB.-OA+-OB+-OC

333234

1—.1―.1—.1―,1—.J―.

C.-OA+-OB+-OCD.-OA+-OB+-OC

244446

6.（烟台期末）三棱柱43。一4B1G中，底面边长和侧棱长都相等，NC441=NB441=60°,则异面

直线3G与ABi所成角的余弦值为（）

D-I

7.（多选）（南通期末）设b,0是空间一个基底（）

A.若万J_b,bVc,则日」

B.则5,乙两两共面，但b,5不可能共面

C.对空间任一向量力，总存在有序实数组（x,y,z）,使广=点+防+z^

D.则M+b,b-^-c,d+值一定能构成空间的一个基底

8.（邯郸期末）如图，在四棱柱A3CO-44G〃中，底面A5C。是平行四边形，点£为3。的中点，若

A]E=xAA]+yAB+zAD,则x+y+z=.

9.已知四棱柱ABCD-的底面ABCD是矩形，底面边长和侧棱长均为2,

乙414B=ZAiAD=60°,则对角线BDV的长为.

10.已知｛讨属｝为空间的一个基底，且市=瓦+2君一羽，屈=一3苗+磅+2或，

Od=et+e^-^,能否以｛无限｝作为空间的一个基底（填"能"或"不能"）.

11.（兴庆区校级期中）如图所示，已知空间四边形.CD的每条边和对角线都等于1，点E，F，G分别

是AB，AD<8的中点，设

AB=a,AC=b,AD=c,为空间向量的一组基底,

计算：

(1)EF.BA；

(2)\EG\.

12.(三门县校级期中)如图，在平行六面体ABC£)-AB|GR中，AB=5,4)=3,4A=4,ZDAB=90°,

NB/M,=N£>A4,=60°,i§：AB=d,AD=b,AA,=c.

(1)用h,C表示4(j；

(2)求AC的长.

D\

G

自/

XE

/3

B

13.如图，在空间四边形OABC中，已知E是线段3c的中点，G在AE上，且AG=2GE.

(1)试用向量GX，OS.宜表示向量6W；

(2)若OA=2,OB=3,OC=4,LAOB=90°-ZAOC=ZBOC=60°.求异面直线OG与AB

所成角的余弦值.

B组-［素养提升］

1.已知平行六面体ABCD-ASiGDi的底面A8CQ是菱形，且NCQB=NOQD=ZBCD,如图所示,

则当西的值为多少时’4aL平面°出°?并给予证明.

Dx

第3讲空间向量及其运算的坐标表示

新课标要求

①了解空间向量基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示。

②掌握空间向量的线性运算及其坐标表示。

③掌握空间向量的数量积及其坐标表示。

1.空间向量运算的坐标表示

若。2,。3),〃=(历，历，》3),则：

(1)。+6=(。1+加,口++,u+土);

(2)。-5=(0—4，。2—。2,。3一加)；

(3)Aa=(2ai,2a2,九i3)(2£R);

(4)a-b=a\b\+。仍2+03加;

(5)。〃8=。=劝=。1=261,42=劝2,<73—R)；

(6)a_L力O。•力=00。仍1+。2历+。3加=0；

(l)\a\=y[a^a=y/a^+ai+a^；

ab。缶1+。2历+。3历

(8)cos〈a,b)

⑷血，。彳+/+泊・固屏+虎+4.

2.空间中向量的坐标及两点间的距离公式

在空间直角坐标系中，设A(ai,b\,ci),BQ,bz,ci),贝(J：

—►

(1)A8=(Q2—ai,bi-b\,C2-ci)；

(2)dAB=\AB\=^/(622-ai)2+(/?2-Z?1)2+(C2-ci)2.

名师导学

知识点1空间直角坐标系

【例1T】(武汉期末)点P(l,2,-3)关于xOz平面对称的点的坐标是()

A.(1,2,3)B.(1,-2,-3)C.(-1,2,-3)D.(-1,-2,3)

【变式训练厂1】(河南月考)在空间直角坐标系。孙z中，点(1,-2,4)关于y轴对称的点为()

A.(-1,-2,-4)B.(-1,-2,4)C.(1,2,-4)D.(1,2,4)

知识点2空间向量的坐标运算

【例2-1】(钦州期末)已知1=(1,2,1),5=(2,-4,1),贝U21+5等于()

A.(4,-2,0)B.(4,0,3)C.(-4,0,3)D.(4,0,-3)

【例2-2】(济南模拟)已知空间三点A(—2,0,2),5(-1,1,2),。(一3,0,4),设。=箱,b=AC.

(1)求a与分夹角的余弦值；

(2)若h与久一25互相垂直，求k的值；

(3)设|c|=3,c//BC,求c.

【变式训练2-1】(荷泽期末模拟)已知a=(2,—1,3),6=(0,-1,2).求:

(l)a+Z>；

⑵2a—3岳

⑶。力；

(4)(a+Z>)-(a-6).

【变式训练2-2】(烟台期末)已知4(1,0,。)，8(0,-1,1),若苏+2海与丽(。为坐标原点)的夹角为120。,

则A的值为()

A小B.邛

C.士今D.

知识点3空间两点间的距离

【例3-1】(淄博调研)已知△ABC的三个顶为A(3,3,2),8(4,-3,7),C(0,5,l),则8c边上的中线长为()

A.2B.3

C.4D.5

【变式训练3-1](温州期中)点M(-1,2,3)是空间直角坐标系Ox”中的一点，点M关于x轴对称的点

的坐标为,10Ml=.

名师导练

A组-［应知应会］

1.(安徽期末)空间直角坐标系中，点尸(2,-1,3)关于点M(-l,2,3)的对称点Q的坐标为(()

A.(4,1,1)B.(-4,5,3)C.(4,-3,1)D.(-5,3,4)

2.(金牛区校级期中)点A(3,2,1)关于xOy平面的对称点为()

A.(-3,-2,-1)B.(一3,2,1)C.(3,-2,1)D.(3,2,-1)

3.(东阳市校级月考)已知点A(l,-2,3),则点A关于原点的对称点坐标为()

A.(-1,2,3)B.(-1,2,-3)C.(2,-1,3)D.(-3,2,-1)

4.(茂名期末)已知向量1=(1,-1,-2)及9=(-4,2,0)则1+5等于()

A.(-3,1,-2)B.(5,5,-2)C.(3,-1,2)D.(-5,-5,2)

5.(高安市校级期末)已知空间向量。=(-1/,1)石=(3,1,力^=(2,0,0),&+6=己则乂)2的值为()

A.±2B.-2C.2D.0

6.(丰台区期末)已知荏=(2,3,1),AC=(4,5,3),那么向量配=()

A.(-2,-2,-2)B.(2,2,2)C.(6,8,4)D.(8,15,3)

7.(多选)(三明期末)如图，在长方体ABCA-AgCQ中，AB=5,AQ=4,A4.=3,以直线ZM,DC,

OR分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，则()

A.点4的坐标为(4,5,3)

B.点G关于点8对称的点为(5,8,-3)

C.点A关于直线对称的点为(0,5,3)

D.点C关于平面484A对称的点为(8,5，0)

8.(公安县期末)在空间直角坐标系中，已知两点尸(5,1,幻与Q(5,b,4)关于坐标平面对称，则

a+b=.

9.(温州期末)在平面直角坐标系中，点4-1,2)关于工轴的对称点为4(-1,-2),那么，在空间直角坐标系

中，3(-1,2,3)关于x轴的对称轴点8'坐标为,若点C(l,-1,2)关于平面的对称点为

点C',则|9(7|=.

10.(浙江期中)空间直角坐标系O-孙z中，点M(1,-1,1)关于x轴的对称点坐标是；

\OM\=.

11.(兴庆区校级期末)已知G=(2,-3,1),6=(2,0,3),c=(l,0,2),则。+65-83=.

12.(辽阳期末)已知向量4=(一2,3,1),6=(1,-2,4),贝|々+5=.

13.(越秀区期末)已知点A(l,2,0)和向量1=(3,4,-12),若荏=24,则点8的坐标是.

14.(黄浦区校级月考)己知向量@=(7,-1,5),5=(-3,4,7),则旧+如=

15.(青铜峡市校级月考)已知点A，B关于点P(1,2,3)的对称点分别为4,9，若A(-l,3,-3)，不至=(3，

1,5),求点8的坐标.

16.(福建期中)已知空间三点A(-l,2,1),8(0,1,-2),C(-3,0,2)

(1)求向量A&与A©的夹角的余弦值，

(2)若向量3A方-Ad与向量A£i+%AC垂直，求实数4的值.

17.(扶余县校级月考)(I)设向量d=(3,5,-4),6=(2,0,3),c=(0,0,2),求：a-(b+c),a+6b-8c.

(II)已知点A(l,-2,0)和向量1=(—1,2,3)求点3坐标，使向量A月与不同向，且.

B组-［素养提升］

1.(襄阳期中)已知向量I,b,e是空间的一个单位正交基底，向量a+5,a-b,是空间的另一个基

底，若向量户在基底@，b,^下的坐标为(3,2,1),则它在。+5,a-h,C下的坐标为()

A.B.(，1,2)C.(1,—D.(^,—,1)

22222222

2.(安庆质检)已知空间三点AO2,3),仇一2,1,6),C(l,-1,5).

⑴若通〃肝，且|诵|=2寸苒求点P的坐标;

(2)求以诵，公为邻边的平行四边形的面积.

第4讲空间向量的应用

新课标要求

①能用向量语言指述直线和平面，理解直线的方向向量与平面的法向量。

②能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的夹角以及垂直与平行关系。

③能用向量方法证明必修内容中有关直线、平面位置关系的判定定理。

④能用向量方法解决点到直线、点到平面、相互平行的直线、相互平行的平面的距离问题和简单夹角

问题，并能描述解决这一类问题的程序，体会向量方法在研究几何问题中的作用。

知识梳理

i.空间中任意一条直线/的位置可以由/上一个定点以及一个向量确定，这个向量叫做直线的方向向

量.

2.若直线/垂直于平面a,取直线/的方向向量a,则a,a,则“叫做平面a的法向量.

3.（1）线线垂直：设直线/,加的方向向量分别为a,b,则/仍=0.

（2）线面垂直：设直线/的方向向量为a,平面a的法向量为"，则

（3）面面垂直：若平面a的法向量为“，平面”的法向量为v,则近夕。“，2"“=0.

4.设两异面直线所成的角为仇它们的方向向量分别为a，b,则cos—篇.

5.设直线/与平面a所成的角为仇直线/的方向向量为a,平面a的法向量为"，则sin8=|cos（a,

\，I。」

6.设二面角a—/一夕的平面角为仇平面a,4的法向量分别为小，〃2,则Icos9|=愣侑.

\n]||/<2|

名师导学

知识点1直线的方向向量与平面的法向量

【例1-1】（焦作期末）若点力（一加）需,2,9在直线/上，则直线/的一个方向向量为（）

A.Q,l,l）B.停I,：）C,D.

【例1-2】（广州期末）设Z=（3,-2,—l）是直线/的方向向量，讨=（1,2,-1）是平面a的法向量，则（）

A.B.l//aC.或LLaD.或/〃a

【变式训练17】（沙坪坝区校级模拟）若直线/的方向向量为Z，平面a的法向量为H，则能使/〃a

的是（）

A.Z=(l,0,0),7?=(-2,0,0)B.Z=(l,3,5)7=(l,0,l)

C.0*=(0,2,1),T?=(-1,0,-1)D.0*=(1,-1,3),7?=(0,3,1)

【变式训练1-2】(东阳市模拟)已知Z=(0,1,1),T=(1,1,0),N=(1,0,1)分别是平面a,13,7

的法向量，则a,B，，三个平面中互相垂直的有()

A.3对B.2对C.1对D.0对

知识点2用空间向量研究直线、平面的平行关系

【例2-1](浙江模拟)己知在正四棱柱A3CD—4B1G01中，4B=1,44i=2,点E为CG的中

点，点尸为的中点.求证：EF//AC.

【例2-2](柯城区校级模拟)如图，在底面为平行四边形的四棱锥P-4BC。中，ABLAC,PA_L平

ffiABCD,且P4=AB,点E是尸力的中点.

求证：PB〃平面AEC.

【例2-3】（金华期末）如图，己知棱长为4的正方体⑷?。。-中，M,

N,E,尸分别是棱,4B】，DC,B©的中点，求证：平面AMN//平面EFBD.

【变式训练2-1】（宿迁期末）如图，在长方体OAEB—014E1B1中，04=3,。8=4,。。1=2,

点P在棱幺4上，且AP=2P4,点S在棱BBi上，且SBi=28S,点Q、R分别是棱。1氏、AE的中

点.

求证：PQ//RS.

【变式训练2-2】（朝阳区期末）已知正方体一AUJQiR的棱长为2,E,F分别是DDt

的中点，求证：

⑴FG〃平面AOE；

⑵平面40E〃平面BQiF.

知识点3用空间向量研究直线、平面的垂直关系

【例3-1】（扬州期末）如图，在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD为直角梯形，AD//I3C,^BAD=90°，

P力_L底面ABC。，且PA=AD=AB=2BC,M为尸C的中点.

求证：PBYDM-,

【例3-2］（上城区校级模拟）如图所示，在正方体AB。。—4BQ1R中，E,F分别是QC的

中点，求证：平面4D1F.

【例3-3］（点军区校级月考）如图,在五面体ABCDEF中，F4JL平面ABCD,AD//BC//FE,ABLAD,

M为EC的中点，AF=AB=BC=FE=求证：平面AMD，平面CDE.

【变式训练3-1】（三明模拟）己知空间四边形A8C。中，AB1CD,AC1BD,求证：AD±BC.

【变式训练3-2】（镇海区校级模拟）如图，在四棱锥P—中，底面ABC。是矩形且=2,

AB=PA=V2＞产力"L底面ABC。，E是A£＞的中点，F在PC上.F在何处时，E尸，平面PBC?

【变式训练3-3】（未央区校级月考）在四面体ABCO中，平面8C。，BC=CD,/BCD=90°，

ZADB=30°＞E,尸分别是AC,AD的中点，求证：平面BEF_L平面ABC.

知识点4用空间向量研究空间中的距离问题

【例47】（海淀区校级期末）如图，已知正方形ABC。的边长为1,PDJL平面4BCD,且尸。=1,E,

尸分别为A8,BC的中点.

。）求点。到平面PE尸的距离;

⑵求直线AC到平面PEF的距离.

［变式训练4-1】（房山区期末）如图，在四棱锥尸一ABCD中，，平面ABCD,尸。=。。=BC=2,

AB=4,AB//DC,^BCD=90°.

⑴求点。到平面尸8c的距离;

（2）求点A到平面P8C的距离.

知识点5用空间向量研究空间中的夹角问题

【例5-1］（宝山区校级期末）如图，ABCQ为矩形，AB=2,AQ=4,以，面ABC。，PA=3,求异面直

线尸B与4c所成角的余弦值.

B

【例5-2】（常州期末）已知在正三棱柱ABC-AIBIG中，侧棱长与底面边长相等，求4团与侧面ACG4

所成角的正弦值.

【例5-3】（漳州三模）已知，以，平面ABC,AC1.BC,PA=AC=l,求二面角4一PB-C的余

弦值.

【变式训练5T】（沐阳县期中）如图，在正四棱柱ABCD-43Q1D1中，A4=4,AB=2,点M是BC

的中点.

Ac.

4fz

（1）求异面直线ACi与所成角的余弦值；

⑵求直线AG与平面小DM所成角的正弦值；

（3）求平面4DM与平面ABCD所成角的正弦值.

A组-［应知应会］

1.（杨浦区校级期中）若直线/的方向向量为记=（—1,0,-2）,平面a的法向量为d=（4,0,8）,

则（）

A.IHaB.IlaC.IcaD./与a斜交

2.（安徽模拟）已知4（2,—5,1）,B（2,-2,4）,（7（1,-4,1）,则向量就与向量方的夹角为（）

A.30°B.45°C,60°D.90°

3.（闵行区校级模拟）已知四边形A8C。是直角梯形，AABC=90°,S4J•平面42CZ）,

SA=AB=BC=1,则SC与平面ABC。所成的角0的余弦值为（）

A.逛B.-C.区D.迪

3232

4.（贵阳模拟）在正方体45。。一中，棱长为a,M,N分别为AB和AC上的点,

A1M=AN=^-a，则MN与平面33101。的位置关系是（）

O

A.垂直B.相交C.平行D.不能确定

5.（温州期末）如图，在长方体ABCD—AiBQiB中，AAX=AD=1,E为8的中点，点P在棱

幺Ai上，且。P〃平面3AE,则AP的长为（）

A，4

B,2

D.与4B的长有关

6.（鼓楼区校级模拟）二面角的棱上有A,B两点，直线AC,8。分别在这个二面角的两个半平面内,

且都垂直于A8,已知AB=4,AC=6,BD=8,（7Z>=2%/17）则该二面角的大小为（）

A.150°B.45°C.60°D.120°

7.（和平区校级二模）如图所示，在正方体ABCD-中，点尸是棱A8上的动点（P点可以

运动到端点A和B,设在运动过程中，平面PDBi与平面ADD14所成的最小角为a,则cosa=（）

AV2

匚2

逵

B

•3

渔

c3

・

吏

D>3

・

选

(多

（东阳市模拟）已知点P是平行四边形A8C。所在的平面外一点，如果方=（2,-1,一4）,

石5=（4,2,0）,五声=（一1,2,-1）,下列结论正确的有（）

A.AP±ABB.APA.AD

C.N是平面A8CD的一个法向量D.4声〃亘力

9.（江苏模拟）已知五3=（1,5,—2）,万8=（3,1,Z）,若加JL初，瓦5=（7—1,%—3）,且BPJL

平面ABC,则（H,y,z）等于.

10.（南通模拟）已知正三棱柱ABC-4B1G的各条棱长都相等，M是侧棱CG的中点，则向量相

与瓦方所成角的大小是.

11.（清江浦区校级模拟）在四棱锥尸一48。。中，PZXL底面ABC。，底面ABC。是正方形，且

PD=AB=1,G为△A8C的重心，则PG与底面ABCQ所成角的正弦值为.

12.（沐阳县期中）在四棱锥P-4BC。中，底面4BCD为矩形，侧棱P4L底面A8CD,

AB=V3,BC=PA=1,E为尸。的中点，点N在面P4C内，且NE_L平面PAC,则点N到AB的距离

为__________

13.（滨海新区模拟）如图，在四棱锥P-ABCD中，底面A8CD为平行四边形，NDAB=60°，AB=2AD,

PD_L底面ABC。，PD=AD,则二面角力-PB-C的余弦值为.

14.（浦东新区校级月考）如图，在正方体ABCD-4BiGDi中，E为4G的中点，求异面直线CE

与8。所成的角.

15.（江宁区校级月考）如图，四边形ABCD是正方形，P4_L平面ABC。,

EB//PA,AB=PA=4,EB=2,F为尸。的中点.

（1）求证：AFLPC；

（2）求证：30〃平面PEC.

16.（临泉县校级月考）正方体中，E,F分别是BBi,C。的中点.

⑴求证：平面A&D_L平面小尸。i；

⑵在4E上求一点M,使得1.平面DAE.

17.(兴宁区校级期末)如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为直角梯形，LABC=LBAD=90°，

且PA=AB=BC=^AD=1,PAJL平面ABCD.

4

(1)求直线PB与平面PCD所成角的正弦值；

(2)在棱PO上是否存在一点E使得N4EC=90°?若存在，求AE的长；若不存在，请说明理由.

18.(沙坪坝区校级期末)如图，正三棱柱ABC-4属。1的底面边长是2,侧棱长是逐，。是AC的

中点.

(1)求二面角Ai—AD—A的大小.

(2)在线段441上是否存在一点E,使得平面BiGE，平面&BD?若存在，求出AE的长;若不存在,

说明理由.

B组-［素养提升］

1.（齐齐哈尔期末）如图，在圆锥SO中，A,8是。O上的动点，是＜30的直径，M,N是SB的

两个三等分点，乙=6（0＜。＜“），记二面角N—04—B,M—AE—B的平面角分别为a,（3,

若则。的最大值是（）

2.（如皋市期末）如图，在长方体一中，E是441的中点，点厂是AD上一点,

48=441=2,BC=3,AF=1,动点尸在上底面4B1G01上，且满足三棱锥尸一BE尸的体积等

于1,则直线CP与。所成角的正切值的最小值为

第5讲直线的倾斜角与斜率

新课标要求

①在平面直角坐标系中，结合具体图形，探索确定直线位置的几何要素。

②理解直线的倾斜角和斜率的概念，经历用代数方法刻画直线斜率的过程，掌握过两点的直线斜率的

计算公式。

③能根据斜率判定两条直线平行或垂直。

知识梳理

一、直线的倾斜角

当直线1与X轴相交时，以X轴为基准,X轴正向与直线1向上的方向之间所

定义成的角a叫做直线1的倾斜角

规定当直线1与x轴平行或重合时，规定直线1的倾斜角为0。

记法a

图示「弋

范围0。女＜180。

（1）表示平面直角坐标系内一条直线的倾斜程度；

作用（2）确定平面直角坐标系中一条直线位置的儿何要素是:直线上的一个定点

以及它的倾斜角,二者缺一不可

二、直线的斜率

定义（a为直线的（#90°一条直线的倾斜角a的正切值叫做这条直线的斜率

倾斜角）a=90°直线斜率不存在

记法常用小写字母k表示，即k=tana

范围R

作用用实数反映了平面直角坐标系内的直线的倾斜程度

三、直线的斜率公式

如果直线经过两点P（x,y）,P（x）,（x丰x），则直线的斜率公式为

11122212X2-X1

四、两条直线平行与斜率之间的关系

设两条不重合的直线/,/，倾斜角分别为a,a，斜率存在时斜率分别为k,k.则对应关系如下: