高中数学必修二教材习题（含答案）6

6.1平面向量的概念

6.1.2向量的几何表示

例1在图6.1-4中，分别用向量表示A地至B,C两地的位移，并根据图中的比例

尺，求出A地至8,C两地的实际距离（精确到.

解：而表示A地至5地的位移，且|丽卜

衣表示A地至C地的位移，且|恁卜.

6.1.3相等向量与共线向量

例2如图6.1-8,设。是正六边形ABCDEV的中心.

/w\

Ci-----»-------

图6.I8

（1）写出图中的共线向量；

（2）分别写出图中与04，0B>3相等的向量.

解：（1）0鼠,CB>DO，而是共线向量；

0B，庆,五0,衣是共线向量；

0C，丽，ED，的是共线向量.

（2）OA^CB^DO\

OB=DC=EO；

OC^AB^ED^FO-

练习

L下列量中哪些是向量？

悬挂物受到的拉力，压强，摩擦力，频率，加速度.

2.画两条有向线段，分别表示一个竖直向下、大小为18N的力和一个水平向左、大

小为28N的力.（用1cm长表示10N）

3.指出图中各向量的长度.（规定小方格的边长为0.5）

4.将向量用具有同一起点。的有向线段表示.

（1）当丽与是相等向量时，判断终点M与N的位置关系；

（2）当两与的是平行向量，且15M=2|网=1时，求向量丽的长度，并判

断而的方向与的方向之间的关系.

习题6.1

复习巩固

1.在如图所示的坐标纸（规定小方格的边长为1）中，用直尺和圆规画出下列向量：

（1）|西|=4,点A在点。正南方向；

（2）|布|=20,点B在点O北偏西45°方向;

（3）|反|=2,点C在点。南偏西30°方向.

【答案】（1）作图见解析（2）作图见解析（3）作图见解析

【解析】

【分析】

（1）按照题意要求画图即可；

（2）按照题意要求画图即可；

（3）按照题意要求画图即可；

【详解】解：如图.

2.如图，点。是的对角线的交点，且函=2,而=反丽=",分别写出

和折线WPQRST中与£,瓦£相等的向量.

【答案】与公相等的向量有：W,QP,SR；与石相等的向量有：DO,PM

与工相等的向量有：DC,RD,ST.

【解析】

【分析】

根据相等向量的定义直接求解即可.

【详解】解：与［相等的向量有：CO,QP,SR；

与加相等的向量有：DO,PM；

与工相等的向量有：DC,RD,ST.

【点睛】本题考查了相等向量的定义，属于基础题.

综合运用

3.判断下列结论是否正确（正确的在括号内写正确，错误的写错误），并说明理由.

3.若£与B都是单位向量，则£=几（）

【答案】错误

【解析】

【分析】根据向量相等的概念即可得到答案.

【详解】向量相等指的是向量的方向相同，模长相等，々与B都是单位向量，

则两个向量的模长相等，但是方向不一定相同.故错误.

故答案为：错误.

4.方向为南偏西60。的向量与北偏东60。的向量是共线向量.（）

【答案】J

【解析】

【分析】作图分析几何关系即可判断.

【详解】如图所示，

分别在。点的南偏西60。和北偏东60。作向量砺与丽，根据几何关系，0、A、B

三点共线，所以丽与前共线，所以说法正确.

故答案为：-1

5.直角坐标平面上的x轴、y轴都是向量.（）

【答案】错误

【解析】

【分析】根据向量的定义即可得到答案.

【详解】直角坐标平面上的x轴、y轴不是向量，因为只有方向没有大小，也没有起

点.

故答案为：错误.

6.若£与否是平行向量，则2=九（）

【答案】错误

【解析】

【分析】根据向量共线的知识确定正确答案.

【详解】［与B是平行向量，但的模不一定相等，所以£不成立，

所以判断错误.

故答案为：错误

7.若用有向线段表示的向量而与画不相等，则点M与N不重合.（）

【答案】V

【解析】

【分析】两个向量相等，大小相等，方向相同.

【详解】两个向量相等，则大小相等，方向相同，表示这两个向量的有向线段起点

相同，则终点也必然相同.由此可判断“若用有向线段表示的向量血与众不相

等，则点M与N不重合”为正确表述.

故答案为：V

8.海拔、温度、角度都不是向量.（）

【答案】正确

【解析】

【分析】根据向量的定义得到答案即可.

【详解】这三个量只有大小没有方向，是标量，不是向量.

故答案为：正确.

拓广探索

9.如图，在矩形ABCO中，AB=2BC=2,M,N分别为边A3,CO的中点，在

以A,B,C,D,M,N为起点和终点的所有有向线段表示的向量中，相等的向量共

有多少对？

DNC

【解析】

【分析】

根据相等向量定义，分类讨论进行求解即可.

【详解】解：相等的非零向量共有24对.

易知3c=1,则模为1的相等向量有18对，其中与R声同向的共有6对；与汨反

向的也有6对；与而同向的共有3对；与而反向的也有3对.模为2的相等向量

共有2对.模为0的相等向量有4对.

【点睛】本题考查了相等向量的定义，考查了分类讨论思想，属于中档题.

变式练习题

10.下列说法正确的是（）

A.零向量没有方向B.向量就是有向线段

C.只有零向量的模长等于0D.单位向量都相等

【答案】C

【解析】

【分析】

根据向量的定义和性质依次判断每个选项得到答案.

【详解】零向量的方向是任意的，故A选项错误；

有向线段只是向量的一种表示形式，两者不等同，故B选项错误；

只有零向量的模长等于0,故c选项正确；

单位向量模长相等，单位向量若方向不同，则不是相等向量，故D选项错误.

故选：C.

【点睛】本题考查了向量的定义和性质，意在考查学生对于向量基本知识的掌握.

11.1.如图，已知点。是正六边形ABCOEF的中心.

（1）在图中标出的向量中，与向量方长度相等的向量有多少个?

（2）是否存在砺的相反向量？

【答案】（1）11个（2）存在

【解析】

【分析】（1）正六边形由对角线分割为六个全等的等边三角形，进而求出向量方长

度相等的向量；（2）相反向量即模长相等，方向相反的两个向量

【小问1详解】

与向量方长度相等的向量有：ED，EOrFErFO-AF<AB-OB>CB>

OC，反,共11个

【小问2详解】

存在，是08的相反向量

12.如图，点。，E,尸分别是△A3C的三边5C,AB,AC上的点，且都不与A,B,

C重合，赤=函.求证：ABDEsADCF.

A

【答案】证明见解析

【解析】

【分析】根据丽=丽，可得OF〃E4且。尸=石4,从而可得DE〃4F,即可证

得/C=/BDE,NFDC=NB,即可得证.

【详解】证明：因为砺=丽，所以。F7/E4且£>/=石4,故四边形AEZm是平

行四边形，

所以。E〃AF,则NC=NBDE,

由。E〃E4,得NFDC=NB,

故ABDESADCF.

13.如图，已知以。为圆心、1为半径的圆上有8个等分点A,B,C,D,E,F,G,

H,以图中标出的9个点为起点和终点作向量，

（1）而与砺的夹角是多少？

（2）与历垂直的向量有哪些？

【答案】(1)45°(2)OB,BO,OF,FO,BF,FB,CE,EC,AG,GA.

【解析】

【分析】（1）根据给定条件求出弧DE所对圆心角即可得解.

⑵根据给定条件可得ODLBF,再探求图中与3尸平行的线段即可得解.

【小问1详解】

因以。为圆心、1为半径的圆上的8个等分点分别为A,B,C,D,E,F,G,H,

则弧。E所对圆心角是45。，即有NOOE=45。，

所以而与砺的夹角为45°.

【小问2详解】

因以。为圆心、1为半径的圆上的8个等分点分别为4,B,C,D,E,F,G,H,

显然，B尸是圆。的直径，0D上BF,CE//BF//AG,如图：

所以与而垂直的向量有：OB,BO,OF,FO,BF,FB,CE,EC,AG,GA.

14.下列说法正确的是（）

A.向量々与B共线，石与2共线，则£与£也共线

B.任意两个相等的非零向量的始点与终点是一个平行四边形的四个顶点

c.向量£与B不共线，则公与B都是非零