高中数学诱导公式全集

高中数学诱导公式全集

常用的诱导公式有以下几组：

公式一：

设a为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等：

sin(2kn+a)=sina(keZ)

cos(2kn+a)=cosa(keZ)

tan(2kn+a)=tana(keZ)

cot(2kn+a)=cota(keZ)

公式二：

设a为任意角，n+c(的三角函数值与a的三角函数值之间的关系：

sin(n+a)=-sina

cos(n+a)=-cosa

tan(Ti+a)=tana

cot(n+a)=cota

公式三：

任意角a与-a的三角函数值之间的关系：

sin(-a)=-sina

cos(-a)=cosa

tan(-a)=-tana

cot(-a)=-cota

公式四：

利用公式二和公式三可以得到TT-C(与a的三角函数值之间的关系：

sin(TT-a)=sina

cos(TT-a)=-cosa

tan(TT-a)=-tana

cot(n-a)=-cota

公式五：

利用公式一和公式三可以得到2n-a与a的三角函数值之间的关系：

sin(2n-a)="sina

cos(2n-a)=cosa

tan(2n-a)=-tana

cot(2n-a)=-cota

公式六：

n/2±a及3Ti/2±a与c(的三角函数值之间的关系：

sin(n/2+a)=cosa

cos(n/2+a)=-sina

tan(TT/2+a)=-cota

cot(n/2+a)=-tana

sin(TI/2-a)=cosa

cos(TT/2-a)=sina

tan(TT/2-a)=cota

cot(TI/2-a)=tana

sin(3n/2+a)=-cosa

cos(3TT/2+a)=sina

tan(3TT/2+a)=-cota

cot(3n/2+a)=-tana

sin(3n/2-a)=-cosa

cos(3TT/2-a)=-sina

tan(3TT/2-a)=cota

cot(3n/2-a)=tana

似上kwZ)

注意：在做题时，将a看成锐角来做会上匕较好做。

诱导公式记忆口诀

※规律总结※

上面这些诱导公式可以概括为：

对于n/2*k±a(k£Z)的三角函数值，

①当k是偶数时，得到c（的同名函数值，即函数名不改变；

②当k是奇数时，得到a相应的余函数值，即sin—cos;cos—sin;tan-cot,cot-t

an.

(奇变偶不变)

然后在前面加上把a看成锐角时原函数值的符号。

(符号看象限)

例如：

sin(2n-a)=sin(4n/2-a),k=4为偶数，所以取sinao

当a是锐角时，2n-ae(270°,360°),sin(2n-a)<0,符号为"-".

所以sin(2n-a)=-sina

上述的记忆口诀是：

奇变偶不变，符号看象限。

公式右边的符号为把a视为锐角时，角k-360°+a(kwZ),-a、180°±a,360°-a

所在象限的原三角函数值的符号可记忆

水平诱导名不变；符号看象限。

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各种三角函数在四个象限的符号如何判断，也可以记住口诀"一全正；二正弦(余割)；

三两切；四余弦(正割)”.

这十二字口诀的意思就是说:

第一象限内任何一个角的四种三角函数值都是"+"

第二象限内只有正弦是,其余全部是;

第三象限内切函数是,弦函数是;

第四象限内只有余弦是,其余全部是.

上述记忆口诀，一全正，二正弦，三内切，四余弦

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还有一种按照函数类型分象限定正负：

函数类型第一象限第二象限第三象限第四象限

正弦.....+......+......—.....—....

余弦.....+......—.....—.....+....

正切.....+......—......+.....—....

颗.....+......—.......+.....—……

同角三角函数基本关系

同角三角函数的基本关系式

倒数关系：

tanacota=1

sinacsca=1

cosaseca=1

商的关系：

sina/cosa=tana=seca/csca

cosa/sina=cota=csca/seca

平方关系：

sinA2(a)+cosA2(a)=1

1+tanA2(a)=secA2(a)

1+cotA2(a)=cscA2(a)

同角三角函数关系六角形记忆法

六角形记忆法：

构造以“上弦、中切、下割；左正、右余、中间1”的正六边形为模型。

(1)倒数关系：对角线上两个函数互为倒数；

(2)商数关系：六边形任意一顶点上的函数值等于与它相邻的两个顶点上函数值的乘

积。

(主要是两条虚线两端的三角函数值的乘积)。由此，可得商数关系式。

(3)平方关系：在带有阴影线的三角形中，上面两个顶点上的三角函数值的平方和等

于下面顶点上的三角函数值的平方。

两角和差公式

两角和与差的三角函数公式

sin(a+p)=sinacosp+cosasinp

sin(a-p)=sinacosp-cosasinp

cos(a+p)=cosacosp-sinasinp

cos(a-p)=cosacosp+sinasinp

tan(a+p)=(tana+tanp)/(1-tanatanp)

tan(a-p)=(tana-tanp)/(1+tana-tanp)

二倍角公式

二倍角的正弦、余弦和正切公式(升幕缩角公式)

sin2a=2sinacosa

cos2a=cosA2(a)-sinA2(a)=2cosA2(a)-1=1-2sinA2(a)

tan2a=2tana/[l-tanA2(a)]

半角公式

半角的正弦、余弦和正切公式(降鬲扩角公式)

sinA2(a/2)=(1-cosa)/2

cosA2(a/2)=(1+cosa)/2

tanA2(a/2)=(1-cosa)/(1+cosa)

另也有tan(a/2)=(l-cosa)/sina=sina/(l+cosa)

万能公式

sina=2tan(a/2)/[l+tanA2(a/2)]

cosa=[l-tanA2(a/2)]/[l+tanA2(a/2)]

tana=2tan(a/2)/[l-tanA2(a/2)]

万能公式推导

B雌导：

sin2a=2sinacosa=2sinacosa/(cosA2(a)+sinA2(a))……*,

(因为cosA2(a)+siM2(a)=l)

再把*分式上下同除cosA2(a),可得sin2a=2tana/Q+tanA2(a))

然后用a/2代替a即可。

同理可推导余弦的万能公式。正切的万能公式可通过正弦比余弦得到。

三倍角公式

三倍角的正弦、余弦和正切公式

sin3a=3sina-4sinA3(a)

cos3a=4cosA3(a)-3cosa

tan3a=[3tana-tanA3(a)]/[1-3tanA2(a)]

三倍角公式推导

B雌导：

tan3a=sin3a/cos3a

=(sin2acosa+cos2asina)/(cos2acosa-sin2asina)

=(2sinacosA2(a)+cosA2(a)sina-sinA3(a))/(cosA3(a)-cosasinA2(a)-2sinA2

(a)cosa)

上下同除以cos八3(a),得：

tan3a=(3tana-tanA3(a))/(l-3tanA2(a))

sin3a=sin(2a+a)=sin2acosa+cos2asina

=2sinacosA2(a)+(1-2sinA2(a))sina

=2sina-2sinA3(a)+sina-2sinA3(a)

=3sina-4sinA3(a)

cos3a=cos(2a+a)=cos2acosa-sin2asina

=(2cosA2(a)-l)cosa-2cosasinA2(a)

=2cosA3(a)-cosa+(2cosa-2cos八3(a))

=4cosA3(a)-3cosa

即

sin3a=3sina-4sinA3(a)

cos3a=4cosA3(a)-3cosa

三倍角公式联想记忆

★记忆方法：谐音、联想

正弦三倍角：3元减4元3角(欠债了(被减成负数)，所以要〃挣钱〃(音似〃正弦"))

余弦三倍角：4元3角减3元(减完之后还有〃余")

☆☆注意函数名，即正弦的三倍角都用正弦表示，余弦的三倍角都用余弦表示。

★另外的记忆方法：

正弦三倍角：山无司令(谐音为三无四立)三指的是“3倍"since,无指的是减号，

四指的是“4倍”，立指的是sina立方

余弦三倍角：司令无山与上同理

和差化积公式

三角函数的和差化积公式

sina+sinp=2sin[(a+p)/2]-cos[(a-p)/2]

sina-sinp=2cos[(a+p)/2]sin[(a-0)/2]

cosa+cosp=2cos[(a+p)/2]cos[(a-p)/2]

cosa-cosp=-2sin[(a+p)/2]sin[(a-p)/2]

积化和差公式

三角函数的积化和差公式

sinacosp=0.5[sin(a+0)+sin(a-p)]

cosasinp=0.5[sin(a+0)-sin(a-p)]

cosacosp=0.5[cos(a+仪+cos(a-P)]

sinasinp=-0.5[cos(a+B)-cos(a-13)]

和差化积公式推导

附摊导：

首先,我们知道sin(a+b)=sina*cosb+cosa*sinb,sin(a-b)=sina*cosb-cosa*sinb

我们把两式相加就得到sin(a+b)+sin(a-b)=2sina*cosb

所以,sina*cosb=(sin(a+b)+sin(a-b))/2

同理，若把两式相减，就得至(Jcosa*sinb=(sin(a+b)-sin(a-b))/2

同样的,我们还知道cos(a+b)=cosa*cosb-sina*sinb,cos(a-b)=cosa*cosb+sina*