高中数学讲义-平面

高中数学讲义——平面

【最新课程标准】

1.借助长方体，在直观认识空间点、直线、平面的位置关系的基础上，抽象出空间点、

直线、平面的位置关系的定义.

2.了解关于平面的三个基本事实.

【学科核心素养】

1.了解平面的概念，掌握平面的画法及表示方法.（数学抽象）

2.能用符号语言描述空间点、直线、平面之间的位置关系.（直观想象）

3.能用三个基本事实证明简单的共面、共线问题.（逻辑推理）

4.理解两异面直线的定义，会用平面衬托来画异面直线.（数学抽象）

5.会用图形和符号语言表示直线与平面、平面与平面的位置关系.（直观想象）

L平面

1.L【教材要点】

1.1.1.要点一平面

概念几何里所说的“平面”是从生活中的一些物体中抽象出来的，是___一__的

常常把水平的平面画成一个________,并且其锐角画成______，且横边长等

画法

于邻边长的______，为了增强立体感，被遮挡部分用______画出来

（1）一个希腊字母：如a,B，y等；

表示方法（2）两个大写英文字母：表示平面的平行四边形的相对的两个顶点；

（3）四个大写英文字母：表示平面的平行四边形的四个顶点

1.直线在平面内的概念

如果直线I上的都在平面a内，就说直线/在平面«内，或者说平面a

直线/.

2.一些文字语言、数学符号与图形的对应关系

数学符号表示文字语言表达图形语言表达

—点A在直线1上-------

—点A在直线1外

—点A在平面a内

・A

—点A在平面a外%/

—直线/在平面a内

///

—直线/在平面a外///

—直线/，机相交于点AXT

—平面a,夕相交于直线/0切

状元随笔1.平面和点、直线一样，是只描述而不加定义的原始概念，不能进行度量;

2.平面无厚薄、无大小，是无限延展的.

1.1.2.要点二平面的基本性质

内容图形符号

A,B,C三点不共线=

过______________的三

基本事实1存在唯一的平面。使A,

点，_______一个平面

B,C^a

如果一条直线上的______

Ae/,且

基本事实2在一个平面内，那么这条

Beg_____

直线在________

如果两个不重合的平面有

一个公共点，那么它们有PWa且

基本事实3

且只有一条过该点的专

状元随笔1.基本事实1的作用：①确定平面；②证明点、线共面.基本事实1中要注

意条件“不在同一条直线上的三点”，事实上，共线的三点是不能确定一个平面的.同时要

注意经过一点、两点或在同一条直线上的三点可能有无数个平面；过不在同一条直线上的四

点，不一定有平面.因此，要充分重视“不在同一条直线上的三点”这一条件的重要性.

2.基本事实2的作用：①用直线检验平面（常被应用于实践，如泥瓦工用直的木条刮平

地面上的水泥浆）；②判断直线是否在平面内（经常被用于立体几何的说理中）.

3.基本事实3的主要作用：①判定两个平面是否相交；②证明共线问题；③证明线共

点问题.

基本事实3强调的是两个不重合的平面，只要它们有公共点，其交集就是一条直线.以

后若无特别说明，''两个平面是指不重合的两个平面.

1.1.3.要点三重要推论

推论1经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面.

推论2经过两条相交直线，有且只有一个平面.

推论3经过两条平行直线，有且只有一个平面.

(1)(2)(3)

1.2.【基础自测】

1.思考辨析（正确的打“，错误的打“x”）

（1）有一个平面的长是50m,宽是20m,厚是20cm.（）

（2）一条直线和一个点可以确定一个平面.（）

（3）空间不同的三点可以确定一个平面.（）

（4）四边形是平面图形.（）

2.如果qua,ba.a,InS=A,Ib=B,那么下列关系成立的是（）

A./caB.传。

c.ica=AD.inQ=B

3.如果空间四点A、B、C、。不共面，那么下列判断正确的是（）

A.A、B、C、。四点中必有三点共线

B.4、B、C、。四点中不存在三点共线

C.直线A8与CZ）相交

D.直线A8与CO平行

4.已知a。B=机，ac.a,buB,ab=A，则直线相与A的位置关系用集

合符号表示为.

L3.题型1文字语言、图形语言、符号语言的相互转化

例1（1）若A,B表示点，a表示直线，a表示平面，则下列叙述中正确的是（）

A.若Au。，Bua,则ABu。

B.若BGa,则

C.若aua,则4阴a

D.若ac：a,则AWa

⑵如图，用符号表示下列图形中点、直线、平面之间的位置关系.

【方法归他】

(1)用文字语言、符号语言表示一个图形时，首先仔细观察图形有几个平面、几条直线

且相互之间的位置关系如何，试着先用文字语言表示，再用符号语言表示.

(2)要注意符号语言的意义，如点与直线的位置关系只能用“G”或“建”表示；直线与

平面的位置关系只能用“u”或表示.

(3)根据已知符号语言或文字语言画相应的图形时，要注意实线和虚线的区别.

跟踪训练1(1)已知a,夕是不同的平面，/,m,〃是不同的直线，P为空间中一点.若

aCB=/,〃u£,mHn=P)则点P与直线/的位置关系用符号表示为

(2)根据下列条件画出图形：

aCaua,bu8,a//AB,b//AB.

1.4.题型2点、线共面问题

例2已知：如图所示，h。b=A,I20[3=8,l\CL=C

求证：直线K，l2,在同一平面内.

15证明点、线共面的常用方法

(1)纳入平面法：先确定一个平面，再证明有关点、线在此平面内.

(2)辅助平面法：先证明有关的点、线确定平面a,再证明其余元素确定平面£,最后证

明平面a,4重合.

跟踪训练2己知直线a〃江直线/与a,。都相交，求证：过a,b,/有且只有一个

平面.

16题型3三点共线、三线共点问题

例3如图所示，在正方体ABCQ-A/ICIA中，E,尸分别为AB,441的中点.求证:

CE,D\F,D4三线交于一点.

变式探究若将题目条件中的“E,F分别为AB,A4,的中点”改成“E,F分别为AB,

A4上的点，且CCE=M"，求证：点。，A,M三点共线.

1.7.【方注精地】

（1）证明三点共线的方法

1首先找出两个平面，然后证明这三点都是

方法一:这两个平面的公共点，根据基本事实3可知,

:这些点都在两个平面的交线上

:选择其中两点，确定一条直线，然后证明

方法二

i另一点也在此直线上

(2)证明三线共点的步骤

步骤一;一[说明两条直线共面且交于一点

;说明这个点在另两个平面上，并且这两个

;平面相交

步骤三)一1得到交线也过此点，从而得到三线共点

跟踪训练3(1)如图，已知平面a,[i,且aCB=/,设梯形ABC。中，AD//BC,

且A8ua,CDuB.求证：AB,CD,/共点.

(2)已知△ABC在平面a外,ABAO.=p,ACHO-=R,BC0a=Q,如图.求

证：P,Q,R三点共线.

18易错辨析忽略基本事实的重要条件致误

例4已知A,B,C,D,E五点中,A,B,C,O共面，B,C,D,E共面，则A,B,

C,D,E五点的位置关系是()

A.共面B.不共面

C.共线D.不确定

解析：分两类进行讨论.

(1)若8,C,。三点不共线，则它们确定一个平面a.因为A,B,C,。共面，所以点A

在平面a内.

因为8,C,D,E共面，所以点E在平面a内.所以点A,E都在平面a内，即A,B,

C,D,E五点一定共面.

（2）若8,C,。三点共线于/,若AB,EG/,则A,B,C,D,E五点一定共面，但平

面不唯一；

若A,E中有且只有一个在/上，则A,B,C,D,E五点一定共面；若A,E都不在/

上，则A,B,C,D,E五点可能共面，也可能不共面.

故选D.

答案：D

L9.易错警示

易错原因纠错心得

解本题时易误认为因为4,B,C,O共面，所以点A在&

C,。所确定的平面内，因为8,C,D,E共面，所以点对于确定平面问题，在应用

E也在8,C,。所确定的平面内，所以点A,E都在B,基本事实1及三个推论时一

C,。所确定的平面内，即A,B,C,E五点一定共面.以定要注意它们成立的前提条

上错解忽略了基本事实1中“不在一条直线上的三个点”件.

这个重要条件.实际上B,C,。三点有可能共线.

【课堂十分钟】

1.下列四个选项中的图形表示两个相交平面，其中画法正确的是（）

ABCD

2.空间中，可以确定一个平面的条件是（）

A.三个点B.四个点

C.三角形D.四边形

3.如果A点在直线〃上，而直线〃在平面。内，点8在a内，可以表示为（）

A.Au。，aua,BRaB.Ada,aua,Bea

C.Aua,aQa,BuaD.A&a,aWa,B&a

4.三条平行直线最多能确定的平面的个数为.

5.已知空间四边形ABC£）（如图所示），E,F分别是AB,A。的中点，G,H分别是BC,

CO上的点，且CG=3BC,CH=3DC.

求证：（1）E,F,H,G四点共面;

（2）直线/H,EG,AC共点.

2.平面答案

2.1.新知初探•课前预习

要点一

无藏延展平行四边形4502倍虚线

1.所有点经过

2.A&lA^lAGa肘。luaIQaICIU=AaCB=/

要点二

不在一条直线上有且只有两个点这个平面内lua公共直线aCB=/

且PG/

22［基础自测］

1.(1)X(2)X(3)X(4)X

2.解析：C4A又.•.AG/且Ada.同理Bd/且BWa.."ua.

答案：A

3.解析：A、B、C、。四点中若有三点共线，则必与另一点共面；直线AB与CO既不

平行也不相交，否则A、B、C、。共面.

答案：B

4.解析：因为aCB=〃3AGaua,所以Ada,同理AW夕，故A在a与4的交

线m上.

答案：Aem

2.3.题型探究,课堂解透

例1解析：(1)点与面的关系用符号C,而不是u,所以选项A错误；直线与平面的关

系用u表示，则表示错误；点A不在直线。上，但只要A,B都在平面a内，也存在

ABua,选项C错误；A&a,aca,则所以选项D正确.故选D.

(2)在图1中，a。B=/,aCa=A,anR=B.

在图2中，aCB=/,«ca,buB,aCl=P,bH\—P.

答案：(1)D(2)见解析

跟踪训练1解析：（1）因为〃?ua,"U£,〃？介n=P,所以pea,且PGR

又因为acB=/,所以点p在直线/上，所以pe/.

（2）图形如图所示.

答案：（1）PW/（2）见解析

例2证明：方法一（纳入平面法）：

因为/1nU=A,所以/1和，2确定一个平面a.

因为，2Cl'=8,所以

又因为6<=a,

所以BEa.同理可证C6«.

又因为8C/3,C03,所以［3<=a.

所以直线/1,12,/3在同一平面内.

方法二（辅助平面法）：

因为/iAU=A,所以/i,右确定一个平面a.

因为bC\=B,所以，2,/3确定一个平面日.

因为AG/2,Lua,所以AGa.

因为Ad'IwB,所以Ae及

同理可证BWa,B&p,C&a,CW£.

所以不共线的三个点A,B,C既在平面a内，又在平面/?内.

所以平面a和夕重合，即直线/i,h,b在同一平面内.

跟踪训练2证明：如图所示.由已知〃〃b得，

过a,6有且只有一个平面a.

设aAl=A,hAl=B,

所以Ada,BGa,且AC/,BG1,

所以/ua.即过a,b,/有且只有一个平面.

例3证明：连接E凡DC,4B,

因为E为AB的中点，

F为A4的中点，

1

所以EF统

又因为

1

所以EF^孙C.

所以E,F,出，C四点共面.

可设。FnCE=p.

又因为OiFu平面AQiDA,CEu平面A8CQ,

所以点尸为平面A\D\DA与平面ABCD的公共点.

又因为平面AQiDAC平面ABCD=DA,

所以P£DA,

即CE,DiF,£>A三线交于一点.

变式探究证明：因为AFnCE=M,

且OiFu平面A\D\DA,

所以Md平面AiDiDA.

同理MG平面BCDA,

从而M在两个平面的交线上，

因为平面AIDIDAC平面BCDA=AD,

所以MCA。成立.

所以点。，A,M三点共线.

跟踪训练3解析：(1)证明：因为梯形ABCQ中，AD//BC,

所以AB,CO是梯形48C3的两腰，

所以AB,CD必定相交于一点，

如图，设ABCCD=M.又因为ABua,CDuB,

所以"da,且MC/立

又因为anp=/,

所以MC/.即AB,CD,/共点.

(2)证明：因为A8Ca=P,所以PCa,P&AB,

而A8u平面ABC,则PG平面ABC；

同理可得RWa,R6平面ABC；QGa,QG平面ABC,

所以P,Q,R在平面a与平面ABC的交线上.

所以P,Q,