对数与对数函数高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

对数函数及其性质1.通过阅读课文理解对数函数的概念。2.能画出具体对数函数的图象，并能根据对数函数的图象说明对数函数的性质学习目标

自学指导二、对数函数的图象与性质函数图象图象特征右侧上升下降性质定义域值域单调性函数值变化规律性质定义域值域单调性函数值变化规律续表增函数减函数

拓展

对数函数图象的特点

三、反函数

（3）对数函数y=logax(a>0且a≠1)在(0,+∞)上是增函数.(

)1.判断下列结论是否正确.（对的打“√”，错的打“×”）（1）函数y=log2(x+1)是对数函数.(

)×（2）若MN>0,则loga(MN)=logaM+logaN.(

)××

√（5）当x>1时,若logax>logbx,则a<b.(

)×

BD

3.(教材改编)已知函数y=loga(x+c)(a,c为常数,其中a>0,且a≠1)的部分图象如图所示,则下列结论成立的是

.(填序号)

①a>1,c>1;②a>1,0<c<1;③0<a<1,c>1;④0<a<1,0<c<1.④[解析]由图可知,函数在定义域内为减函数,所以0<a<1.又当x=0时,y>0,即logac>0,所以0<c<1.4.(易错点:忽视对底数的讨论)若函数y=logax(a>0,且a≠1)在[2,4]上的最大值与最小值的差是1,则a=

.

C突破考点题型考点一

对数的运算

B

1.在对数运算中,先利用幂的运算把底数或真数进行变形,化成分数指数幂的形式,使幂的底数最简,然后用对数运算法则化简合并.

2.先将对数式化为同底数对数的和、差、倍数运算,然后逆用对数的运算法则,转化为同底对数真数的积、商、幂再运算.3.ab=N⇔b=logaN(a>0,且a≠1)是解决有关指数、对数问题的有效方法,在运算中应注意互化.1.计算(lg2)2+lg2·lg50+lg25的结果为

.

[解析]原式=lg2(lg2+lg50)+lg25=2lg2+lg25=lg4+lg25=2.2

[解析]原式=lg2(lg2+lg50)+lg25=2lg2+lg25=lg4+lg25=2.2【例2】(1)

(2023·山东二模)已知函数f(x)=loga(2x+b-1)(a>0,且a≠1)的图象如图所示,则a,b满足的关系是(

).A.0<a-1<b<1

B.0<b<a-1<1

C.0<b-1<a<1

D.0<a-1<b-1<1

考点二

对数函数的图象A(2)(2023·宁波适应性考试)若a-2>a2(a>0且a≠1),则函数f(x)=loga(x-1)的图象大致是(

).[解析]∵a-2>a2(a>0且a≠1),且-2<2,∴指数函数y=ax为减函数,∴0<a<1,∴对数函数y=logax在(0,+∞)上为减函数.在该函数图象的基础上向右平移1个单位长度得到函数f(x)=loga(x-1)的图象,因此,C选项中的图象为函数f(x)=loga(x-1)的图象,故选C.CA

B

C

D利用对数函数的图象解决的两类问题及技巧(1)对一些可通过平移、对称变换作出其图象的对数型函数,在求解其单调性(单调区间)、值域(最值)、零点时,常利用数形结合思想;(2)对一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题,利用数形结合法求解.1.(2023·山东滕州模拟)函数f(x)=loga|x|+1(0<a<1)的图象大致为(

).[解析]由函数f(x)的解析式可确定该函数为偶函数,图象关于y轴对称.设g(x)=loga|x|,先画出当x>0时g(x)的图象,然后根据g(x)的图象关于y轴对称画出当x<0时g(x)的图象,最后由函数g(x)的图象向上整体平移1个单位长度即得f(x)的图象,结合图象知选A.AA

B

C

D

[解析]问题等价于函数y=f(x)与y=-x+a的图象有且只有一个交点,结合函数图象可知a>1.(1,+∞)考点三

对数函数的性质及应用

命题角度1

比较大小C

(2)(2023·广东押题考试)已知a=log23,b=log46,c=log69,则(

).

A.b<c<a

B.c<b<aC.a<c<b

D.c<a<bB

比较对数值大小的常见类型及解题方法常见类型解题方法底数为同一常数可由对数函数的单调性直接进行判断底数为同一字母需对底数进行分类讨论底数不同,真数相同可以先用换底公式化为同底后,再进行比较底数与真数都不同常借助1,0等中间量进行比较

D

B【例4】设a>0,且a≠1,解关于x的不等式:loga(4+3x-x2)-loga(2x-1)>loga2.

命题角度2

解对数不等式◎同源改编◎

解对数不等式的类型及方法:①形如logax>logab的不等式,借助y=logax的单调性求解,如果a的取值不确定,那么需分a>1与0<a<1两种情况讨论;②形如logax>b的不等式,需先将b化为以a为底的对数式的形式再进行求解.1.(2023·山东泰安模拟)设函数f(x)是定义在R上的偶函数,当x≥0时,f(x)=lg(3x+1)-1,则不等式f(x)>0的解集为(

).A.(-3,0)∪(3,+∞)

B.(3,+∞)

C.(-3,3)

D.(-∞,-3)∪(3,+∞)

[解析]当x≥0时,由f(x)=lg(3x+1)-1>0,得x>3.又因为函数f(x)为偶函数,所以不等式f(x)>0的解集为(-∞,-3)∪(3,+∞).故选D.2.若loga(a2+1)<loga2a<0,则a的取值范围是

.

【例5】(2020年新高考Ⅱ卷)已知函数f(x)=lg(x2-4x-5)在(a,+∞)上单调递增,则a的取值范围是(

).A.(-∞,-1] B.(-∞,2]

C.[2,+∞) D.[5,+∞)

[解析]由x2-4x-5>0,得x<-1或x>5,即函数f(x)的定义域为(-∞,-1)∪(5,+∞).令t=x2-4x-5,则t=(x-2)2-9,所以函数t在(-∞,-1)上单调递减,在(5,+∞)上单调递增,又函数y=lgt在(0,+∞)上单调递增,从而函数f(x)的单调递增区间为(5,+∞),由题意知(a,+∞)⊆(5,+∞),∴a≥5,故选D.命题角度3

对数函数型复合函数单调性D

已知f(x)=loga[g(x)]在区间[m,n]上是单调递增函数,对于这类问题,应从两个方面考虑:一是根据a与1的大小关系确定g(x)在[m,n]上的单调性;二是g(x)>0在x∈[m,n]时恒成立,此时只需g(x)min>0即可.

命题角度4

对数函数性质的综合ACD

利用对数函数的性质,求与对数函数有关的函数值域和复合函数的单调性问题,必须弄清三方面的问题:一是定义域,所有问题都必须在定义域内讨论;二是底数与1的大小关系;三是复合函数的构成,即它是由哪些基本初等函数复合而成的.另外,解题时要注意数形结合、分类讨论、转化与化归思想的使用.[解析]f(x)=lnx+ln(2-x),定义域为(0,2),f(x)=ln[x(2-x)]=ln(-x2+2x),令t=-x2+2x,y=lnt.∵t=-x2+2x,x∈(0,2),在(0,1)上单调递增,在(1,2)上单调递减,∴f(x)在(0,1)上单调递增,在(1,2)上单调递减,故A不正确;f(x)max=f(1)=0,故B正确;∵f(1+x)=ln(1+x)+ln(1-x),f(1-x)=ln(1-x)+ln(1+x),∴f(1+x)=f(1-x),∴f(x)的图象关于直线x=1