线性代数与概率统计 课件全套 王佳新 第1-5章 随机事件的概率-参数估计

第一章随机事件的概率随机事件及概率第一节两类现象0102确定性现象条件决定结果随机性现象条件不能决定结果概率论与数理统计研究的对象随机现象01水在1个大气压下，加热到100度：沸腾确定02向上抛硬币：落到地面确定03向上抛硬币落到地面：正面向上随机引

言如何描述？数学上如何表示？一个现象的发生，往往受多个甚至是无数多个因素的影响，其中大量因素的影响是微弱的，时隐时现的，导致现象的结果呈现随机性。要研究随机现象的特点及性质，需要进行多次试验观测。产生随机性的原因？01试验各种科学实验和对某事物的观测的统称。02随机试验01可以在相同的条件下重复进行；02可能的结果不止一个，且试验前明确；03试验之前不能确定哪一个结果会出现。随机试验与样本空间例1写出下列随机试验的样本空间E1

:掷一粒骰子，观察出现的点数.03

随机试验E的所有可能结果组成的集合

𝛀中的元素，即E的每个结果ω.样本点例1E2

：抛一枚硬币两次，观察正反面出现的情况.E3：记录某超市一天内进入的顾客人数E4

:

在一大批灯管中任意抽取一个，测试其寿命.01随机事件随机试验中可能发生也可能不发生的事件随机事件

数学语言描述例1掷一粒骰子，观察出现的点数.事件

“出现的点数为偶数”02事件发生当代表试验结果的样本点属于A时，称事件A发生了.事件A“出现的点数为偶数”

={2,4,6}此时，代表试验结果的样本点“2”属于A.若试验的结果为2点，显然，事件A发生了03特殊事件不可能事件不包含任何样本点的事件，即空集.必然事件每次试验中一定会发生.基本事件由一个样本点组成的单点集.例1若试验E的样本空间为{1,

2,

3,

4,

5,

6

}则

Ai

=

{

i

}i

=1,2,3,

…

6都是基本事件.B“点数为4.5”

,

C

“点数小于9”？？

A,B不能同时发生.

A,

B

可以同时发生.随机事件的关系与运算01随机事件的关系相容关系包含关系事件B包含事件A,

A发生则B发生.

相等关系

不相容关系（互斥）样本空间的不同的基本事件都是互斥的Φ与任意事件互斥对立关系（互逆）A，B两事件在一次实验中有且仅一个发生.

样本空间的划分(多个事件)满足：n个事件B1,

B2

,……,

Bn两两互不相容01和事件为必然事件02BA02随机事件的运算研究事件运算的目的用简单事件表示复杂事件方法借助集合的运算和事件

BABA积事件

差事件

事件间的运算规律设A,B,C为事件，则有交换律结合律分配律对偶律引

言随机事件是集合，在集合上的度量方法：有限集合元素的个数有限区间的长度平面有界区域的面积空间有界区域的体积集合的质量下面我们将针对随机事件研究一种新的度量方法概率“概率”这种度量，与我们非常熟悉的个数、长度、面积、体积、质量等度量具有完全类似的性质和计算方法。数学上：如何定义概率？如何计算？设Ω是随机试验E的样本空间，对E的任一事件A，规定它对应于一个实数，记为P(A).随机事件的概率01概率的定义01RAP(A)Ω若两两互不相容，则若集合函数P(

·

)满足下列性质，则称P(A)为事件A的概率.非负性规范性可列可加性对于n

个互不相容的事件概率具有单调不减性！02概率的性质

不可能事件的概率为零，概率为零的事件不一定是不可能事件！有限可加性

AB AB

本小节结束！第一章随机事件的概率第二节古典概型01样本空间只含有有限个样本点，02每个基本事件发生的可能性相同则称这种试验为古典概型(或等可能概型)若试验

E

具有如下两个特点1.定义01基本事件的概率2.概率计算02一般事件的概率A所包含的样本点个数Ω

中样本点数01加法原理3.计数原理02乘法原理n=n1+n2+…+

nkA1A2AK…分类计数n=n1×n2×…×

nkA1A2AK…分步计数抛一枚骰子两次，求两次点数均为偶数的概率。例1解样本空间Ω

{

(i,

j)

|

i,

j

N

,1

i,

j

6

},

n

6

6

36A=“两次点数均为偶数”={

(2,2),(2,4),(2,6),(4,2),(4,4),(4,6),(6,2),(6,4),(6,6),}An

9,

P(A)

nA

1n 4将一枚硬币抛掷三次.（1）设事件A1为“恰有一次出现正面”，求P(A1)（2）设事件A2为“至少有一次出现正面”，求P(A2)例2解样本空间

产品抽样问题一批产品共有N

件，其中次品M

件。从中任取n

次，（每次一件不放回），求事件A“恰好取到k

件次品”的概率。例3解从N件产品中取出n

件，每种取法是一个基本事件所求的概率为条件概率第三节引言前一节讨论了随机事件概率的定义及计算方法.01将复杂事件表示为简单事件的运算，再利用概率的性质来计算复杂事件的概率；02一些简单概率模型中概率的计算方法.本节主要内容条件概率的概念；1利用条件概率，研究概率的计算方法。2条件概率许多实际问题中，需要计算在某事件B发生的条件下，事件A发生的概率，即为“条件概率”。P(

A

|B)记为将一枚硬币抛掷两次，观察其出现正反面的情况引例设事件A为“至少有一次为正面”设事件B为“两次掷出同一面”现求已知事件A发生的条件下B发生的概率

将事件A

已经发生的条件下事件B

发生的概率记为P(B|A)设H为正面，T为反面分析为事件B发生的条件下事件A发生的条件概率。1.定义设A，B是两个事件，且P(A)>0，称为在事件A发生条件下事件，B发生的条件概率。同理可得

2.性质1非负性2规范性3可列可加性对于每一事件B，有P(B|A)≥0对于必然事件Ω

，有P(Ω

|A)=1设B1

,B2，...是两两互不相容事件，则有：一家庭中有两个小孩，已知其中一个是女孩，问另一个也是女孩的概率是多少？例1解设事件A表示“两个都是女孩”，B表示“其中有一个是女孩”M:代表男孩，F:代表女孩

{(F

,

F

),

(F

,

M

),

(M

,

F

),

(M

,

M

)}

B

B

{(F,

F

),

(F,

M

),

(M

,

F)}A

{(F

,

F

)}所求概率为

P(

A|

B)

1

/

3乘法公式对任意两个事件A，B

，由条件概率公式可得乘积事件概率计算方法。01乘法公式设A，B为两个随机事件，则P(

AB)

P(B)P(

A|B)

P(

A)P(B|A)02n个事件的乘法公式P(

A1

A2

An

)

P(

A1

)P(

A2

|

A1

)P(

A3

|

A1

A2

)

P(

An

|

A1

A2

An

1

)本小节结束！第一章随机事件的概率频率与概率的关系随机事件发生的可能性大小－概率（０到１之间的一个数）是客观存在.

可通过多次试验观测来估计.1.事件发生的频率则称比值

在相同的条件下将试验E重复

次，若事件A

发生了次，为A

发生的频率．频率具有波动性，不能作为概率的定义.缺点频率在一定程度上反映了Ａ发生的可能性大小.反应由实际经验可知：010203当ｎ越来越大时，频率具有稳定性.这种“稳定性”也就是通常所说的统计规律性.频率的稳定值——概率的统计定义.

(不便于演绎推理)历史上曾有人做过试验,试图证明抛掷匀质硬币时，出现正反面的机会均等。大量的随机试验表明：概率n→

lim fn

(

A)存在，这个值就是概率？２.频率的性质非负性：01(2)

规范性：02有限可加性：若A1,A2,…,

Ak

两两互不相容，则03几何概型古典概型是关于试验的结果为有限个且每个结果出现的可能性相同的概率模型。保留等可能性，结果有无限多个推广：特别样本空间为区间，平面上的有界区域，空间中的有界区域。设Ω为平面有界区域，在Ω内等可能地任意取点。1.定义点落入Ω中任何区域A的可能性的大小与区域A

的面积成正比，而与其位置和形状无关，称具有这种特性的试验为二维几何概型.等可能记事件A

为“点落在区域A内”2.概率的计算ΩA2.概率的计算01由等可能性知02由可知A: 区间S: 长度一维几何概型二维几何概型三维几何概型A:立体区域S:体积（会面问题）甲、乙两人相约在晚上6点到7点之间在某地会面,先到者等候另

一人20分钟，过时就离开.假定每个人可在指定的一小时内任意时

刻到达，试计算两人能会面成功的概率.例事件A=“两人能会面成功”解记6点为计时时刻0，以分钟为时间单位，以x,

y分别表示甲、乙两人到达会面地点的时刻.样本空间为两人能会面成功的充要条件是所求概率为本小节结束！第一章随机事件的概率独立性第四节一、事件的相互独立性1引例盒中有5个球（3黑2白），每次取出一个，有放回地取两次。A=第一次抽取，取到黑球B=第二次抽取，取到黑球则有P(BA)=P(B),表示A的发生并不影响B发生的可能性大小。2定义设A,B是两事件，如果满足等式则称事件A、B

相互独立，简称A、B

独立。说明事件A与事件B相互独立，是指事件A的发生与事件B发生的概率无关。容易知道，若P(A)>0，P(B)>0,则A、B相互独立,与A、B互不相容不能同时成立。两事件相互独立与两事件互斥的关系两事件相互独立二者之间没有必然联系两事件互斥请同学们思考3三事件相互独立的概念设A,B,C是三个事件，如果满足不等式则称事件A,B,C

相互独立。二、几个重要定理1定理设A,B是两事件,且P(a)>0,若A,B相互独立,则P（B丨A）=P(B)，反之亦然证明2定理若事件A与B相互独立，则下列各对事件也相互独立。因此因为：证3两个推论1。若事件A1，

A2，···，An(n≥2)相互独立，则其中任意k(2≤k≤n)个事件也是相互独立。2。若事件A1，

A2，···，An(n≥2)相互独立，则将A1,A2,···,An中任意多个事件换成他们各自的对立事件，所得的n个事件仍相互独立。一个元件(或系统)能正常工作的概率称为元件(或系统)的可靠性.如下图,设有4个独立工作的元件1,2,3,4按先串联再并联的方式联接,设第i个元件的可靠性为例试求系统的可靠性.解以Ai（i=1,2,3,4）表示事件“第i个元件正常工作”，以A表示事件“系统正常工作”系统由两条线路I和II组成.当且仅当至少有一条线路中两个元件均正常工作时,系统才正常工作,故有

由事件的独立性,得系统的可靠性。

本小节结束！第二章一维随机变量及其概率分布引

言本章随机变量的概念引进随机现象中变量的随机性的刻画方法,从而更加深入地研究随机现象讨论随机变量第一节S={红色、白色}

非数量将S数量化在一装有红球、白球的袋中任摸一个球,观察摸出球的颜色。

引例

可采用下列方法红色白色S随机变量的定义X(ω)R

设Ω是试验E的样本空间，若对ω∈Ω，规定它对应于一个实数,记为X(ω),称定义在Ω上的实值单值函数X=X(ω)为一维随机变量，通常用大写字母X,Y,Z来表示.为什么引入随机变量?为什么引入随机变量？概率论是从数量上来研究随机现象内在规律性的，为了更方便有力的研究随机现象，就要用数学分析的方法来研究，需将任意的随机事件数量化。当把一些非数量表示的随机事件用数字来表示时，就建立起了随机变量的概念。随机变量与普通变量的区别？定义域不同：普通函数的定义域为数集，随机变量的定义域为样本空间1随机变量的取值依赖于试验结果，取某个值有一定的概率2随机变量举例抛掷一颗骰子，观察出现的点数X=X(ω)=ω表示出现的点数事件A={出现的点数为偶数}={2，4，6}.用随机变量X可将A表示为“X∈{2，4，6}”从一批灯泡中任取一只，测试其寿命.Ω={t/t≥0}X=X(t)=t

表示测试灯泡的寿命事件A={寿命不低于3000小时}

=

{

t/t≥3000}.用随机变量X可将A表示为X∈{t/t≥3000}按照随机变量可能取值情况，可以这样分类：连续型混合型随机变量类型离散型非离散型本小节结束！第二章一维随机变量及其概率分布离散型随机变量第二节引

言随机变量类型·离散型·非离散型·连续型·混合型1.离散型随机变量的定义随机变量X

的全部可能取值只有有限个或可列无限个.2.分布律设

X的所有可能取值为

x1,x2,…,

xk,

… .记

pk=

P

{

X

=

xk

}，k

=1,2,

…

,称此数列{

pk

}为X的分布律列表表示01非负性02规范性3.分布律的性质(一)(0―1)分布4.常用特殊离散分布其分布是(0―1)分布的分布律也可写成4.常用特殊离散分布例1“抛硬币”试验,观察正、反面情况.

随机变量X服从(0―1)分布.

其分布律为(二)伯努利试验、二项分布4.常用特殊离散分布伯努利(Bernoulli)试验.则称这一n重伯努利试验是一种非常重要的概率模型，它有广泛的应用,是研究最多的模型之一.例2抛一枚硬币观察得到正面或反面.若将硬币抛n次,就是n重伯努利试验.抛一颗骰子n次,观察是否“出现1点”,就是n重伯努利试验.二项概率公式·若X表示n重伯努利试验中事件A发生的次数，则X所有可能取的值为且两两互不相容.得X的分布律为称这样的分布为二项分布.记为·二项分布两点分布例3在相同条件下相互独立地进行5次射击,每次射击时击中目标的概率为0.6,则击中目标的次数X服从b(5,0.6)的二项分布.(三)泊松分布而取各个值的概率为例4商店的历史销售记录表明，某种商品每月的销售量服从参数为λ=10的泊松分布。为了以95%以上的概率保证该商品不脱销，问商店在月底至少应进该商品多少件？解设商店每月销售某种商品X件，月底的进货量为n件，按照题意要求为由附录的泊松分布表知于是，这家商店只要在月底进货该种商品15件（假定上个月无存货），就可以以95%的概率保证这种商品在下个月内不会脱销。小结离散型随机变量的分布两点分布二项分布泊松分布2.二项分布与（0-1）分布、泊松分布之间的关系。二项分布是（0-1）分布的推广，对于n次独立重复伯努利试验，每次试验成功的概率为p，设：若第i次试验成功，若第i次试验失败。他们都服从（0-1）分布并且相互独立，那么:服从二项分布，参数为（n，p）。以n，p（np=λ）为参数的二项分布，当n→时趋于以λ为参数的泊松分布，既本小节结束！第二章一维随机变量及其概率分布随机变量的分布函数第三节分布函数对于随机变量X,我们不仅要知道X

取哪些值,

X

取这些值的概率;而且更重要的是想知道X

在任意有限区间内取值的概率.引例

例如

分布函数的定义设X是一个随机变量，x是任意实数，函数称为X的分布函数。说明01分布函数主要研究随机变量在某一区间内取值的概率情况02分布函数F(x)是x的一个普通实函数分布函数的性质

01且0203重要公式12例题讲解例1解设H—正面，T—反面，则因此分布律为求分布函数例2设随机变量X的分布律为求X的分布函数，并求解X仅在-1,2,3三点处的概率不为0，而F(x)的值是X≤x的累积概率值，由概率的有限可加性本小节结束！第二章一维随机变量及其概率分布连续型随机变量第四节如果对于随机变量X的分布函数F(x),存在非负可积函数f(x)，使对于任意实数x有则称X为连续型随机变量，其中函数f(x)称为X的概率密度函数，简称概率密度。连续型随机变量的分布函数是连续函数.连续型随机变量的定义概率密度的性质关于连续型随机变量X概率密度f

(x

)并不是

X在点x处的概率值，f

(

x

)

越大，说明X

落在点x的小邻域内的概率越大1F(

x

)

是连续函数。

由此可知：X

落在任一区间上的概率与区间端点无关。即对任意实数a有：P{X=a}=0.2其他

计算举例例1设连续型随机变量

X

的概率密度为1确定常数k2求X的分布函数3求其他.得于是X的概率密度为解解即

解其他,常用特殊连续分布均匀分布一均匀分布函数连续型随机变量X具有概率密度若称X在(a,b)上服从均匀分布，记为X~U(a,b)则其他.例设电阻值R是一个随机变量，均匀分布在900Ω~1100Ω。求R的概率密度及R落在950Ω~1050Ω的概率。按题意,R的概率密度为

解故有指数分布二连续型随机变量X具有概率密度为若其中

随机变量X的分布函数为易知

应用背景某些元件或设备的寿命服从指数分布。无线电元件的寿命、电力设备的寿命、动物的寿命例如于是

例

{

X>0X≤0由题意，X的概率密度为解

正态分布三正态分布的概率密度函数若连续型随机变量X的概率密度为其中

f(x)的图形如图所示分布函数为

即有易知正态分布的应用背景正态分布是最常见最重要的一种分布,例如测量误差,人的生理特征尺寸如身高、体重等；正常情况下生产的产品尺寸、直径、长度、重量高度等都近似服从正态分布原函数不是初等函数正态分布的计算方法转化为标准正态分布查表计算引理则例

正态分布的重要性

正态分布有极其广泛的实际背景,是自然界和社会现象中最为常见的一种分布,一个变量如果受到大量微小的、独立的随机因素的影响,那么这个变量一般是一个正态随机变量。

二项分布、泊松分布等的极限分布是正态分布。所以，无论在实践中，还是在理论上，正态分布是概率论中最重要的一种分布。

小结1.连续型随机变量分布函数概率密度均匀分布正态分布指数分布2.常见连续型随机变量的分布本小节结束！第二章一维随机变量及其概率分布随机变量的函数的分布第五节引言某种商品的需求量是随机变量X，其销售收入就是需求量的函数，对于这类问题，用数学的语言来描述就是：例如

已知X

的概率分布，如何求其函数Y=g(x)

的概率分布？设f(x)是定义在随机变量X的一切可能值x的集合上的函数，若随机变量Y随着X的取值x的值而取y=f(x)的值，则称随机变量Y为随机变量X的函数，记作Y=f(X)若已知的随机变量X的分布，如何来求随机变量Y=f(X)的分布？问题离散型随机变量的函数分布例1

解Y所有可能取的值为0,1,4如果X是离散型随机变量，其函数Y=g(X）也是离散型随机变量若X分布律为则Y=g(X）的分布律为

连续型随机变量的函数分布例2设随机变量X具有概率密度其他.求随机变量Y=2X+8的概率密度解分别记X,Y的分布函数为下面先来求其他其他其他,定理其概率密度为例4X的线性函数即有小结离散型随机变量的函数的分布1若Y=g(X）且X的分布律为：则Y=g(X）的分布律为：连续型随机变量的函数的分布2方法1方法2本小节结束！第三章随机变量的数字特征数学期望第一节一离散型随机变量的数学期望二连续型随机变量的数学期望三数学期望的性质离散型随机变量的数学期望一年龄X1819202122人数16841解平均年龄可以反映某一人群的代表性年龄水平，对我校某专业20名学生年龄(X)进行统计，数据如下表所示。求其平均年龄？引例忽略了人数的比重20x

18

1

19

6

20

8

21

4

22

1

19.920 20 20 20 20

18

1

19

6

20

8

21

4

22

1年龄X1819202122人数6841nx

xk

pk

k

1数学期望离散型随机变量的数学期望一定义1设离散型随机变量X的分布律为若级数绝对收敛，的和为随机变量X的数学期望，记为E(X)

.则称级数即Notea)随机变量的期望由其分布唯一确定。b)数学期望刻画了随机变量取值的“平均数”。X ~

b(1,

p),

求E(

X

).（0-1）分布例1解因X的分布律为故X的数学期望为

0

(1

p)

1

p

pE(

X

)

xk

pkk

01Note服从（0-1）分布的随机变量的期望为p。设X ~

(

)，求E(

X

).泊松分布例2解X的分布律为(k

0,1,2,

,

0)k!

k

e

P{X

k}

则X的数学期望为

e

e

e

k

1

k

e

k

0 k

0k

1(k

1)!k!E(

X

)

xk

pk

kNote服从泊松分布的随机变量的期望为λ。连续型随机变量的数学期望二定义2设连续型随机变量X的概率密度为f(x)，若积分绝对收敛,则称积分的值为随机变量

X的数学期望，记为E(X)，即设X ~

U

(a,b)，求E(

X

).均匀分布例3解X的概率密度为0,其他X的数学期望为即数学期望位于区间（a,b）的中心。Note服从均匀分布的随机变量的期望即为区间中点。则

xde1

1

0000

0

e dx

e dxx

e

dxxf

(x)dx

E(

X

)

x

x

x

e

x

x

x设X ~

E(

)

(

0),

求E(

X

).指数分布例4解由题知，X

的概率密度为x

0x

0f(x)=0，

e

xNote服从指数分布的随机变量的期望为参数λ则

t

e

1

2

2111edx2

2e 2

dt2

e 2

dt2

2

(

x

)2

t

2

t

2

t

2

E(

X

)

xf(x)dx

x

(

t

)

dt

0

x

记t=设X ~

N

(

,

2

)

(

0),

求E(

X

).

正态分布例5解由题知，X的概率密度为1e2

22

(

x

)2,

x

Rf(x)=Note正态分布的第1个参数即其期望.数学期望的性质三设C是常数，则有E(C)=C1设X是一个随机变量，C是常数，则有E(CX)=CE(X)2设X,Y是两个随机变量，则有E(X+Y)=E(X)+E(Y)3E(XY)=E(X)E(Y)设X,Y是相互独立的随机变量，则有4小结四数学期望是一个实数，而非变量，它是一种加权平均，不同一般的平均值，它从本质上体现了随机变量X取可能值的真正的平均值。11数学期望的性质E(CX)=CE(X)E(C)=CE(X+Y)=E(X)+E(Y)X和Y相互独立→E(XY)=E(X)E(Y)1234方差第二节引例有甲、乙两种品牌的手表，它们的日走时误差分别记为X1

和

X2，其分布律如下（单位：s）：X1

2

1012pk0.030.070.80.070.03X

2

2

1012pk0.10.20.40.20.15k

1E(X1)

xkpk

2

0.03

(

1)

0.07

0

0.8

1

0.07

2

0.03

0

2

0.1

(

1)

0.2

0

0.4

1

0.2

2

0.1

0k

1E(X2)

xkpk5一、方差的定义则此例表明，E(X1)=E(X2)，从期望无法判断二者的优劣.A此时需引进新的随机变量[X-E(X)]2，记D(X)=E[X-E(X)]2则有D(X1)<D(X2)，故甲品牌的手表要优于乙.BNote:定义设X是一个随机变量，

存在，记为D(X)或VarD(X)，即称为标准差或均方差。Note:方差实际上是随机变量X函数的期望.A方差反映了随机变量取值的分散程度.B一、方差的定义1、利用定义计算二、方差的计算对于离散型随机变量1对于连续型随机变量22、利用公式计算X的分布律为

P{X

0}

1

p,

P{X

1}

p.E(

X

)

p.又

E(

X

2

)

02

(1

p)

12

p

p,则

D(

X

)

E(

X

2

)

[E(

X

)]2

p

p2

p(1

p).且设随机变量X~

b(1,

p)分布,

求D(

X

).0-1分布例1解Note：泊松分布的随机变量的期望与方差相同.E(

X

2

)

E[

X

(

X

1)

X

]

E[

X

(

X

1)]

E(

X

)故=

2

且

E(

X

)

.又D(

X

)

E(

X

2

)

[E(

X

)]2

.设X~

(

)(

0)，

求D(

X

).泊松分布例2解,

k

0,1,2,

,

0.k!

k

e

P{X

k}

a

b

.2且

E(

X

)又

E(

X

)

x

ab

a1dx

1

(a2

ab

b2

)2 b 23.12)222(aa

b

(b

a)2ab

b )

(2

13故

D(

X

)

E(

X

2

)

[E(

X

)]2设X~

U

(a,

b)，求D(

X

)..均匀分布例3解1, a

x

b,0,

其他.f

(x)

b

aX的概率密度为则

E(

X

)

1

，且02

2

dx

x

eE(

X )

x222

1 1

.

2

2

2D(

X

)

E(

X

2

)

[E(

X

)]2

故设X~

E(

)(

0)，求D(

X

).指数分布例4解f(x)

e

x

,

x

0,0,

其他.X的概率密度为且

E(

X

)

，故2

D(

X

)

x

f(x)dx

2

Note：正态分布的两个参数分别为其期望和方差．设X~

N

(

,

2

)

(

0),

求D(

X

).正态分布例5解1e2

22

(

x

)2f(x)

,

x

RX的概率密度为则有

三、方差的性质01则有02则有03四、小结D(X)是刻画X取值分散程度的一个量，它是衡量X取值分散程度的一个尺度。01方差的计算公式：02方差的性质：03（X、Y相互独立）本小节结束！第四章样本及抽样分布数理统计的任务序数理统计是应用广泛的一个数学分支，它以概率论为理论基础，根据试验或观察得到的数据来研究随机现象，对研究对象的客观规律性做出合理的估计和判断，以便对所考察的问题尽可能地作出精确而可靠的推断和预测,直至为采取一定的决策和行动提供依据和建议。总体与样本第一节基本概念1定义1

01总体（population）02个体（individual）被研究对象的全体组成总体的各个元素在研究2000名学生的年龄时,这些学生的年龄的全体就构成一个总体,每个学生的年龄就是个体。例1某工厂10月份生产的灯泡寿命所组成的总体中，个体的总数就是10月份生产的灯泡数，这是个有限总体；而该工厂生产的所有灯泡寿命所组成的总体是一个无限总体，它包括以往生产和今后生产的灯泡寿命。例2总体可以记作X个体用xi表示01抽样(sampling)从总体中抽取若干个体的过程02样本(sample)所得到的部分个体定义2定义303样本容量(samplesize)样本中所含个体的数量01样本观测值(sampleobservations)从总体中抽取样本容量为

n的样本，即得到n个随机变量：X1

,

X

2

,

,

Xn

.当n次试验结束后，得到n个数值：x1

,

x2

,

,

xn

.

称这n个数值为样本观测值.定义401简单随机样本(simplerandomsample)从总体中抽取样本容量为n的样本，若满足：1随机性：X1

,

X

2

,

,

Xn与总体X同分布2独立性：X1

,

X

2

,

,

Xn相互独立.则称此样本为简单随机样本。样本的分布2设X1

,

X

2

,

,

Xn为总体X的一个简单随机样本.01nx p

x

p

x1 21 2 n*x

,

x ,

,

xp

p

若X是离散型随机变量,其分布律为P{X

x}

p(x)

则样本

X1

,

X2

,

,

Xn

的分布律为02

n

f

x1 2 n 1 2*f

x

,

x ,

,

x

f

x

f

x若X是连续型随机变量,其概率密度为f

(

x)则样本

X1

,

X2

,

,

Xn

的概率密度为

niniii

x n

xn

p

q

p

qi

1i

1x 1

x

i

1*nn1 2 n 1 1 2 2

x

}p (x,x

,

,

x )

P{X

x

}P{X

x

}

P{X设X1

,

X

2

,

,

Xn是来自两点分布总体X的样本，X的分布为例1P{X

1}

p,P{X

0}

q(q

1

p,0

p

1

)

求样本分布律解(k

0,

1)P{X

k}

pk

q1

k由题知则样本分布律为样本样本容量简单随机抽样小结基本概念个体总体有限总体无限总体说明2在实际中遇到的总体往往是有限总体，它对应一个离散型随机变量；当总体中包含的个体的个数很大时，在理论上可认为它是一个无限总体。一个总体对应一个随机变量X，以后将不区分总体和相应的随机变量，统称为总体X。说明1样本函数与统计量第二节统计量的概念一若样本函数g

X1

,

X

2

,

,

Xn

中不含任何未知参数，则称样本函数g(

X1

,

X

2

,

,

Xn

)为统计量.定义Note：1.统计量实质上是特殊的样本函数.2.统计量中一定不能含有未知参数.样本方差：2其观测值为:其观测值为：样本均值：1常用的统计量二样本k阶原点矩4其观测值为:其观测值为：样本标准差3常用的统计量二其观测值为:样本k阶中心矩5常用的统计量二本小节结束！第四章样本及抽样分布抽样分布第四节定义1设总体X

~

N

0,

1

，X1,

X

2

,

,

Xn是来自X的一个样本，则称统计量(1)22212nX

X

X

X

…

223Note自由度是指(1)式右端包含的独立变量个数

2分布的性质可加性

2分布的期望和方差E(

2

)

n,

D(

2

)

2n.

2一分布~

2

n

.

2服从自由度为n的

2分布

记为定义2设X的分布函数为F

x

，对给定的

(0

1)，若有P

X

x

则称点x

为

F

x

的上

分位点.

f

x

dx

.P{X

x }

x

对于不同的α和n，上α分位点的值，可查阅

2分布表Note当X有密度函数f(x)时，(2)式可写成20.05

20

31.410.查得取

0.05，n

20例如t分布二定义1设

X

~

N

0,

1

，Y

~

2

(n)，且相互独立，则称定义2若对给定的

(0

1)，有P

T

t

(n)

.

f

t

dt

.P{T

t (n)}

t

(

n

)TNote随机变量Y nXT

服从自由度为n

的t

分布.记为

T

~

t

n

.t

分布的上α分位点则称点

t

(n)

为

t

n

分布的上

分位点.

t(n)的上α分位点t

(n)

可查t分布表.t

n

1.7058.利用t

分布的对称性，可得

t1

n

t

n

.当n

26，

0.05时例如，且相互独立，则称2212

n

，V

~

(n)设

U

~

F

分布三定义1

若F～F(n1

,

n2

)，则

1/F～F(n2

,

n1

).Note服从自由度为(n1

,n2

)

的F

分布.记为

F

~

F

n1

,

n2

.随机变量V

n2n1F

U

1

2

f

x

dx

.

(1) P{F

F

(n

,

n

)}

F

(

n1

,n2

)FF1

n1

,

n2

1

F

(n2

,

n1

).(2)利用F

分布的性质，有：定义2若对给定的

(0

1)，有

P

F

F

(n1

,

n2

)

.则称点F

(n1

,

n2

)

为

F

n1

,

n2

分布的上

分位点.NoteF(n1

,n2

)的上α分位点F

(n1

,

n2

)

可查F分布表当n1

10,

n2

30,

0.05时，F

n1

,

n2

2.16.例如正态总体统计量的分布四定理1设总体

X

~

N

,

2

，X

,

X,,

X

是来自总体

X的样本，则X

12

3n定理2设总体

X

~

N

,

2

，X

,

X,

,

X是来自总体

X的样本，有X

12

3nX

~

N

n

2

(1)

,

X

即:

n~N

0,1

.(2)

n

1

S

2~

2

(n

1).

2

2(3) 样本均值X与样本方差S

2相互独立.T

X

~

t

n

1

.S

n本节介绍的三个主要分布及两个重要定理，在数理统计中有着重要的应用。应注意，这两个定理都是正态总体下的结论。本小节结束！第五章参数估计点估计第一节定义1设θ为总体X的待估计参数，用样本X1

,

X

2

,X

3,

…Xn的一个统计量

ˆ

ˆ(

X1,

X

2

,X

3,…

Xn

)来估计

，则称

ˆ

ˆ(

X1,

X

2

,X

3,…

Xn

)为

的点估计量.对应于样本观测值x1,

x2

,

X

3,

…xn，称

ˆ(x1,

x2

,

,

xn

)为

的点估计值.对于点估计问题，关键是找一个合适的统计量，既有合理性，又有计算上的方便性.

常用方法:

矩估计法和极大似然估计法矩估计法一用样本矩去替换相应的总体矩；用样本矩的函数去替换相应的总体矩的函数.替换原则常指：英国统计学家

卡尔·皮尔逊(Karl

Pearson)提出替换原则，后来称之为矩估计法.定义2设总体X的分布函数为F(x;

1,

2,…

r)，其中

1,

2,…

r为待估计的r个未知参数，若总体X的k

阶原点矩都存在，即

X

kkk

12r

E

μ

,

,…

(k

1,2,…,

r).取样本的k阶原点矩

nikX

kAn

i

1

1(k

1,2,…,

r).矩估计法一作为总体的k阶原点矩的估计量，得方程组niX

k1

k

1

,

2，

3,…

r

n

i

1(k

1,2,…,

r).k

ˆ

ˆ

X

,

X

,X

…,

X

k

1 23

n解得称

ˆk

为

k

的矩法估计量，简称矩估计.极大似然估计二极大似然原理在随机试验中，许多事件都有可能发生，概率大的事件发生的可能性也大.

若在一次试验中，某事件A

发生了，则有理由认为事件A比其他事件发生的概率大，这就是所谓的极大似然原理。极大似然估计法就是依据这一原理得到的一种参数估计方法。(1)

若总体X为离散型：其分布律为极大似然估计二P{X

x}

p

x;

1,

2,…

r

，其中(

1,

2

,

3

,…

r

)

为待估参数.·设X1,

X

2

,X

3,

…Xn是X

的样本，其观测值为x1,

x2

,x3,

…xn

.